MAP 311 - Introduction aux probabilités et à la simulation

X1a, ε
Y= min(X, a)Z=X1{X>ε}
Y Z
E[Y]
eXXN(0,1)
R x 7→ 1
2exp(−|x|)|R|
T1√T
X
E(X) = Z+∞
0
P(X≥t)dt.
f:R×I→
R+RIE[f(Y, t)]dt =ERIf(Y, t)dt.
s
F
K≥1K
X∈[s, +∞)
X1, X2, . . . [0,1]
Mn= min{X1, X2, . . . , Xn}MnE[Mn]
(Mn)
ant≥0
P(anMn≤t)n→+∞ →P(E≤t),
E1
NnXi

XN(0,1) a, b
aX +b
a > 0P(X≥a)≤exp(−a2/2)
a√2π
t∈R E[etX ]
X Y X, Y
E[XY ] = 0
E1
XE1
E2Y{aY, a ∈R}
XE2
p
Lancer
la pièce
Lancer
la pièce
Lancer
la pièce
pile
pile
face
face
face
pile
Renvoyer
“face”
Renvoyer
“pile”
DEBUT
FIN
FIN
T∈ {2,4,6, . . .}R∈ { ,}
T R PPPPFFPPPFFP
k≥1
P(T= 2k) = p2+ (1 −p)2k−12p(1 −p),
P(T < +∞) = 1
P(R= ) = 1/2
E[T] = 1
p(1−p)
E[T]