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OPERATIONS
Propriétés des opérations :
Commutativité : x*y = y*x
Associativité : (x*y)*z = x*(y*)
Elément neutre : x*e = e*x = x
Symétrique : loi * dispose d’un élément neutre e => x possède un symétrique s’il existe xs tel que
x*xs = xs*x = e
Distributivité : x*(y°z) = (x*y) ° (x*z)
Addition dans N :
Définitions :
-soit 2 ensembles disjoint A de cardinal a et B de cardinal b => a+b = Card(AB)
-a+b = s, où s = b sauts sur droite numérique à partir de a vers la droite
Propriétés : commutative, associative, élément neutre = 0, compatible avec relation d’ordre. On peut ajouter
membre à membre 2 inégalités de même sens
Multiplication dans N :
Définitions :
-produit cartésien ensemble A x ensemble B, Card(A) x Card(B)
-axb = somme b+b+b+b… où b apparaît a fois
Propriétés : commutative, associative, élément neutre = 1, distributive sur addition et soustraction,
compatible avec relation d’ordre. On peut multiplier membre à membre 2 inégalités de même sens (nb
entiers positifs)
Soustraction :
Définitions :
- soit un ensemble A de cardinal a, composé d’un ensemble B de cardinal b et d’un ensemble C de cardinal c
=> a-b = Card(A)-Card(B) = Card(C)
- a-b = d où d = b sauts sur droite numérique à partir de a vers la gauche
La soustraction n’est pas une loi de composition interne car ne fonctionne que pour a > ou = b
Propriétés : compatible avec relation d’ordre, propriété des différences égales : pas de modification d’une
soustraction en ajoutant un même nb à ses 2 termes (n’est pas commutative, ni associative, pas d’élément
neutre)
Division euclidienne :
Définition : diviser a/b = chercher q tel que a = b x q + r (a = dividende, b = diviseur, q = quotient, r = reste)
Si a/b = q => division à quotient exact
Division euclidienne n’est pas une loi de composition interne car à tout couple d’entiers (a ; b) elle associe
un autre couple (q ; r)
Opérations dans Z, D, Q et R :
Addition : reste une loi de composition interne. Reste commutative, associative et élément neutre = 0,
compatible avec relation d’ordre. Mais chaque élément dispose aussi d’un symétrique (opposé).
Multiplication : reste une loi de composition interne. Reste commutative, associative et élément neutre = 1.
N’est pas compatible avec relation d’ordre que sur Z+, D+, Q+ et R+. Dans Z, seul 1 possèdent un
symétrique : lui-même. Dans Q et R, tous éléments non nuls ont un symétrique (inverse) : a-1 ou 1/a. Dans D,
certains éléments possèdent un inverse.
Soustraction : est cette fois une loi de composition interne. Compatible avec relation d’ordre, mais on ne peut
pas soustraire membre à membre 2 inégalités de même sens, propriété des différences égales (pas
commutative ni associative)
Division dans Q+ et R+ : diviser a/b = rechercher nb q tel que b x q = a => nb q = a x b-1. Pas commutative ni
associative, pas d’élément neutre. Compatible avec relation d’ordre dans Q+ et R+.
Résolution d’équations et d’inéquations :
Equation du 1er degré : a X x + b = c X x + d
Résolution : regrouper d’un côté du = les termes où figure l’inconnue, de l’autre ceux où elle n’apparaît pas.
Système de 2 équations à 2 inconnues : résolution :
-éliminer une inconnue dans une des équations => équation du 1er degré où x = seule inconnue : par
substitution (isoler x d’un côté du =, y de l’autre => exprimer y en fonction de x => remplacer y par cette
expression), par combinaison linéaire (multiplier la première équation par nb qui multiplie x dans la seconde,
et la seconde par nb qui multiplie x dans la première => même coefficient multiplicateur devant x dans les 2
équations => soustraire membre à membre les 2 équations => x et son facteur sont identiques des 2 côtés du
= et donc s’annulent)
-reporter valeur de x dans seconde équation pour trouver y
Inéquation du 1er degré : résolution :
-idem début résolution équation 1er degré (passer inconnue d’un côté du =)
-isoler l’inconnue
Preuves d’une opération :
Contrôle de l’ordre de grandeur :
-avec classe d’unité à laquelle appartient chiffres dans système numération base 10
-avec dizaine/centaine/millier… plus proche
Calcul inverse :
Division => multiplication (vérifier que D = d X q + r et r < d pour prouver D/d)
Soustraction => addition (vérifier b + c = a pour prouver que a – b = c)
Preuve par 9 :
Reste dans la division /9 d’un nb entier = reste de la division /9 de la somme de ses chiffres. Si elle échoue :
résultat = faux, si elle réussit résultat n’est pas forcément juste.
Pour multiplication :
-calcul somme des chiffres différents de 9 (reste) pour le multiplicande (en haut), résultat (gauche), et
multiplicateur (en bas), puis du produit de restes du haut et du bas (droite)
-chiffre de droite et de gauche doivent être égaux
Pour division :
-calcul reste du diviseur (en haut), du dividende (gauche), du quotient (bas) puis du produit des restes
chiffres du haut et du bas (droite)
-chiffres de droite et de gauche doivent être égaux
Contrôle du chiffre des unités :
-a+b=c : chiffre des unités de c = somme chiffres des unités de a et b
-aXb=c : chiffres des unités de c = chiffre des unités du résultat du produit des chiffres des unités de a et b
Contrôle des 2 derniers chiffres : idem qu’avec chiffres des unités
Calcul littéral :
Développer = transformer expression algébrique en une somme de produits la plus courte possible :
utilisation de la distributivité et règles des signes pour les produits.
Factoriser = écrire une expression algébrique sous la forme d’un produit de facteurs.
Identités remarquables :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a – b) = a² - b²
Equations du second degré : ax² + bx + c = 0
X0 est solution si (x – x0) peut y être mis en facteur
L’équation a 2 solution, x1 et x2 => l’expression peut se factoriser sous la forme a(x – x1)(x – x2)
L’équation n’a qu’une solution x0 => l’expression peut se factoriser sous la forme a(x – x0), et x0 = racine
double de l’équation
L’équation n’a pas de solution => l’expression ne peut pas se factoriser
L’équation x² = a admet 2 solutions : √a et -√a