Pythagore dans l`espace

Pythagore
dans l'espace
Dans l'espace cartésien, les coordonnées x, y et z déterminent la position d'un point
sur une sphère lorsqu'elles satisfont l'équation de la forme x^ + y^ + z^ = où r est le
rayon de la sphère.
De la même manière, on a la relation a^ + b^ + c^ = d^ où a, b et c sont les dimensions
d'un prisme droit et où d est la longueur de la grande diagonale passant d'un sommet à
un autre qui n'est pas dans le même plan que lui.
Tout comme U existe des triplets de Pythagore qui régissent le cercle et le triangle rec-
tangle dans le plan, nous allons tenter de trouver des quadruplets satisfaisant les équa-
tions dans l'espace. Soulignons que nous tentons de trouver des valeurs entières satis-
faisant la relation.
Algorithme des triplets de Pythagore
Choisissons deux entiers m et p tels qu'ils soient premiers entre eUx, que l'un soit pair
et que l'autre soit impair. En notation mathématique, on exprime (m, p) = 1, m pair et p
impair. Choisissons m>p.
Effectuons les calculs suivants:
a = 2mp b = m2 - p2 c = m^ + p2
Nous aurons nécessairement que a, b et c forment un triplet de Pythagore satisfaisant
la relation a^ + b^ = c^ telle que nous connaissons. Existe-t-il un algorithme permettant de
découvrir tous les quadruplets dans l'espace? Il va sans dire que cet algorithme devrait
inclure celui de Pythagore dans le cas où une des valeurs est nulle.
Quelles suppositions sont permises au départ comme valeurs possibles de a, b et c
afin de trouver d satisfaisant la relation?
Établissons premièrement des valeurs pour a et b, puis cherchons des valeurs de c
permettant de trouver une valeur de d satisfaisant la relation.
a et b n'ont pas la même parité
Si a et b n'ont pas la même parité, l'écart entre leurs valeurs ne peut valoir que 1, 3, 5,
7, etc.
Posons dès lors b = a + 1, puis b = a + 3, puis b = a + 5, etc.
Le cas b = a + 1
Par essais successifs, on trouve un tableau de la forme:
a b c d
0 1 0 1
1 2 2 3
2 3 6 7
3 4 12 13
4 5 20 21
a a+1 ab c+1
ffi
UJ
a
UJ
Ghislain Desmeules
Séminaire de Métabetchouan
23 ENVOL - JUIN 94

kj
Le cas b = a + 3
Par essais successifs, on trouve un tableau de la forme:
a b c d
0 3 4 5
1 4 8 9
2 5 14 15
3 6 22 23
4 7 32 33
a a+3 ab^ c+1
Le cas b = a + 5
Par essais successifs, on trouve un tableau de la forme:
a b c d
0 5 12 13
1 6 18 19
2 7 26 27
3 . 8 36 37
4 9 48 49
a a+5 ab4'12 c+1
Le cas b = a -i- 7
Par essais successifs, on trouve un tableau de la forme:
e
i b c d
C
» 7 24 25
1 8 32 33
2
» 9 42 43
3 1 10 54 55
4
i 11 68 69
e i a+7 ab+24 c+1
GENERALISATION
a b c d
a a+n ab+ûi^dl ab+Ia^iU
2 2
a2 + b2 c2 =
a2 + (a+n)2 + (ab+Ltt2dl)2 (ab+to2±U)2
2 2
a et b ont la même parité
1- a et b impairs
Les nombres entiers a et b ne peuvent être tous les deux impairs. En effet, un nombre
impair de la forme a = 2f + 1 donne au carré un nombre de la forme + 4f + 1. Un second
nombre impair de la forme b = 2k + 1 donne au carré un nombre de la forme 4k2 + 4k + 1.
Leur somme donne un nombre de la forme 4(f2 + f + k^ + k) + 2.
Dès lors, il est impossible dé trouver un nombre c qu'il soit pair ou impair de manière
que la relation soit satisfaite pour une valeur entière d.
- En effet, si c est pair, il est de la forme 2t et son carré est de la forme it^- La somme
des trois valeurs est de la forme 4u + 2. Aucun carré n'est de cette forme.
- De plus, si c est impair, il est de la forme 2u + 1 et son carré est de la forme + 4u +
1. La somme des trois valeurs est de la forme 4r + 3. Aucun carré n'est de cette forme.
2- a et b pairs
J'ai observé deux familles de solutions, selon que l'écart entre les deux nombres est
divisible par 4 ou que l'écart entre les deux nombres donne un reste de 2 si on le divise
par 4.
24 ENVOL - JUIN 94

i- a et b sont 0 modulo 4
Si a et b sont pairs et si l'écart entre leurs valeurs est 4, 8,12,16, etc.
Posons dès lors b = a + 4, puis b = a + 8, puis b = a + 12, etc.
Le cas b = a + 4
Par essais successifs, on trouve un tableau de la forme:
a b c d
0 4 0 4
2 6 3 . 7
4 8 8 12
6 10 15 19
8 12 24 28
a a44 ab c+4
4
Le cas b = a + 8
cessifs, on trouve un tableau de la forme:
a b c d
0 8 6 10
2 10 11 15
4 12 . 18 22
6 14 27 31
8 16 38 42
a ab+6 c+4
4
Le cas b = a + 12
Par essais successifs, on trouve un tableau de la forme:
Le cas b = a + 16
Par essais successifs, on trouve un tableau de la forme:
ii- a et b sont 2 modulo 4
Si a et b sont pairs et si l'écart entre leurs valeurs est 2, 6,10,14, etc.
Posons dès lors b = a + 2, puis b = a + 6, puis b = a + 10, etc.
a b c - d
0 12 16 20
2 14 23 27
4 16 32 36
6 18 .43 47
8 20 56 60
a a+12 âll+16 c+4
4
kl
O
a b c d
0 16 30 34
2 18 39 43
4 20 50 54
6 22 63 67
8 24 78 82
a a+16 at2+30 c+4
4
GeNERAliSATlON
a b c d
a a+n ab+(n2-161 ab+In^iim
4 8 4 8
a2 + b2 + c2 = d2
a2 + (a+n)2 + fah+(n2-16))2 fah+fn2+161l2
4 8 4 8
UJ
25 ENVOL - JUIN 94

M
a
M
Le cas b = a + 3
Par essais successifs, on trouve un tableau de la forme:
a b c d
0 2 0 2
2 4 4 6
4 6 12 14
6 8 24 26
8 10 40 42
a a+2 ab c+2
2
Le cas b = a + 6
Par essais successifs, on trouve un tableau de la forme:
a b c d
0 6 8 10
2 8 16 18
4 10 28 30
6 12 44 46
8 . 14 64 66
a a+6 c+2
2
Le cas b = a + 10
Par essais successifs, on trouve un tableau de la forme:
a b c d
0 10 24 26
2 12 36 38
4 14 52 54
6 16 72 74
8 18 . 96 98
a a+10 .
aJl+24
2 c+2
GÉNÉRAUSATION
a b c d
a a+n 2 4 2 4
a2 + b2 + c2 = • d2
a2 + . (a+n)2
(alj+ln^iâD^
2 4 2 4
AU SECOURS 1
Je possède trois familles de résultats et on voit bien que, dans chacune des familles, il
y a une infinité de solutions.
Mais il me manque toujours le principe unificateur qui contiendrait les trois familles
de résultats dans un même algorithme.
AU SECOURS 2
De plus, il existe d'autres quadruplets qui ne sont pas parmi ceux que j'ai trouvés. Je
n'ai pas, par exemple, le quadruplet (0, 8,15, 17). La recherche est incomplète et je suis à
court de ressources pour la compléter.
Existe-t-il un algorithme permettant de trouver toutes les solutions entières de la rela-
tion a^ + b^ + c^ = d^? .
26 ENVOL - JUIN 94