Suites, Séries, Intégrales Cours et exercices

Suites, Séries, Intégrales
Cours et exercices
Sylvie Guerre-Delabrière
Professeur à l’Université Pierre et Marie Curie

Table des matières
1 Quelques éléments de logique 1
1.1 Lettres grecques et symboles mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Implications [A⇒B] et équivalences [A⇐⇒ B] . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Intersection et réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Ordre des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8 Bornes supérieures et bornes inférieures dans R. . . . . . . . . . . . . . . 5
1.9 Exercices sur le chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.10 Corrigé des exercices sur le Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Suites et Séries Numériques 11
2.1 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Limites dans R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Opérations sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7 Exercices sur le chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8 Corrigé des exercices sur le Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Intégrale de Riemann et intégrale généralisée 47
3.1 Intégrales des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Fonctions intégrables, intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Calcul des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Intégration d’un produit de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Méthodes d’approximation numérique des intégrales . . . . . . . . . . . 62
3.7 Définition des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.8 Intégrales généralisées des fonctions positives. . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.9 Intégrales généralisées des fonctions ne gardant pas un signe constant . . 71
3.10 Exercices sur le chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.11 Corrigé des exercices sur le Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 Suites et séries de fonctions 79
4.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Continuité des limites et des sommes
pour la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
i

ii Table des matières
4.4 Dérivabilité des limites et des sommes
pour la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 Intégration des limites et sommes pour la convergence uniforme . . . . . 90
4.6 Exercices sur le chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.7 Corrigé des exercices sur le Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Séries entières 97
5.1 Définitions et disque de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 Dérivation et intégration des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Développement en série entière à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5 Développement en série entière des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . 107
5.6 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.7 Exercices sur le chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.8 Corrigé des exercices sur le Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6 Séries trigonométriques 119
6.1 Définitions et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2 Continuité, dérivation et intégration de la somme . . . . . . . . . . . . . 122
6.3 Développement en séries trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4 Exercices sur le chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.5 Corrigé des exercices sur le Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7 Intégrales de Riemann dépendant d’un paramètre 139
7.1 Théorème de convergence bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2 Continuité de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.3 Dérivabilité de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.4 Cas où les bornes d’intégration dépendent du paramètre . . . . . . . . . . 144
7.5 Exercices sur le chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.6 Corrigé des exercices sur le Chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8 Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre 151
8.1 Théorème de convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.2 Continuité de l’intégrale généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.4 Application : transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.5 Exercices sur le chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.6 Corrigé des exercices sur le Chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Bibliographie 171
Index 172

Chapitre premier
Quelques éléments de logique
1.1 Lettres grecques et symboles mathématiques
α alpha
β beta
γ gamma
δ delta
ε epsilon
ζ zeta
η eta
θ theta
ι iota
κ kappa
λ lambda
µ mu
ν nu
ξ xi
oomicron
π pi
ρ rho
σ sigma
τ tau
υ upsilon
ϕ phi
χ chi
ψ psi
ω omega
ΓGamma
∆Delta
ΘTheta
ΛLambda
ΞXi
ΠPi
ΣSigma
ϒUpsilon
ΦPhi
ΨPsi
ΩOmega
∀Pour tout
∃Il existe
⇒Implique
⇐⇒ Equivalent
∩Intersection
∪Réunion
φ vide
∈appartient
⊂est inclus
1.2 Implications [A⇒B] et équivalences [A⇐⇒ B]
Dans ce paragraphe, les symboles Aet Bdésignent des propriétés logiques, c’est-à-dire
des objets mathématiques exprimés à l’aide d’assemblages de signes : quantificateurs,
égalité, fonctions, ...
A toute propriété logique A, on peut attribuer des valeurs de vérité : Apeut être vraie ou
fausse.
La démarche du mathématicien consiste, par application de règles logiques, à déterminer,
à partir d’axiomes précisés, si une proposition est vraie ou fausse.
1.2.1 Définition. Implication.
La proposition [A ⇒B] veut dire : si la propriété A est vraie, alors la propriété B l’est
aussi.
En revanche, si la propriété An’est pas vraie, on ne peut rien dire de la propriété B.
1.2.2 Exemple. a=1⇒a2=1.
Cette proprosition s’exprime en disant que la propriété Aimplique la propriété B. La
propriété As’appelle l’hypothèse et la propriété Bs’appelle la conclusion.