Variables aléatoires

VARIABLES ALEATOIRES
I) Introduction
1.1) Un premier exemple
On considère une urne contenant 5 boules noires, 2 boules bleues et 3 boules rouges.
On extrait simultanément trois boules de l'urne.
Sur chaque triplet que l'on obtient, on peut s'intéresser à des choses tout à fait différentes.
Par exemple au nombre de boules noires qu'il contient. Ce nombre peut être égal à 0,1,2 ou 3.
Ou au nombre de boules bleues qui lui peut être égal à 0, 1 ou 2.
Ou encore au nombre de couleurs différentes que l'on a : il peut y en avoir 1, 2 ou 3.
Dans chacun de ces cas, le même univers des possibles qui est l'ensemble de tous les tirages
simultanés de trois boules fournit des renseignements différents selon ce que l’on examine.
Reprenons l'exemple du nombre de boules noires et appelons 34 ce nombre.
On a vu que 34 peut prendre les valeurs 0,1,2 ou 3. Si Ω est l'univers des possibles associé à
l'expérience, on écrira que
34 6Ω7 8 90,1,2,3:
On dira que 34 6Ω7 est l'univers image de Ω par la variable 34 .
Si l'on appelle 3; le nombre de boules bleues, et 3< le nombre de couleurs, on a
3; 6=7 8 90,1,2:
3< 6=7 8 91,2,3:
Prenons un triplet particulier obtenu par l'expérience aléatoire
> 8 9?, ?, @:
Pour ce triplet on aura
34 8 2, 3; 8 0, 3< 8 2
On écrira
34 6>7 8 2, 3; 6>7 8 0, 3< 6>7 8 2
Avec le triplet >A 8 9@, ?, B:, on aura :
34 6>C 7 8 1, 3; 6>C 7 8 1, 3< 6>C 7 8 1
Proposer un triplet tel que 34 6>AA7 8 0, 3; 6>AA7 8 2.
Que vaut 3< 6>AA7 ?
34 apparaît comme une application de Ω dans 91,2,3,4:.
Que peut-on dire de 3; et 3< ?
Les trois applications précédentes sont appelées variables aléatoires 6et parfois variables aléatoires
réelles ce que l'on écrit parfois VAR7.
Ce sont des variables puiqu'elles prennent différentes valeurs. Elles sont aléatoires dans le sens où
elles sont associées à une expérience aléatoire.
Par abus d'écriture, on définira l'évènement 634 8 27 qui correspond au sous-ensemble de Ω composé
des triplets contenant deux boules noires.
Cet évènement est réalisé si l'issue de l'expérience aléatoire est un triplet contenant deux boules
noires.
Comme il s'agit d'un évènement composé d'évènements élémentaires, on peut en calculer la
probabilité en considérant la probabilité uniforme induite.
On a
10
JKLM 6Ω7 8 N O 8 120
3
5 5
JKLM634 8 27 8 N O N O 8 10 P 5 8 50
2 1
Donc
50
5
8
Q634 8 27 8
120 12
Calculer de la même façon
Q634 8 07, Q 634 8 17, Q634 8 37
Puis
Q634 8 07 Y Q634 8 17 Y Q634 8 27 Y Q634 8 37
Que remarque t’on ? Ce résultat était-il prévisible ?
Ce résultat était prévisible, car la famille 9634 8 07, 634 8 17, 634 8 27, 634 8 37: forme un système
complet d'évènements.
Justifier l’affirmation précédente
C'est le système complet d'évènements canoniquement associé à la variable 34 .
On peut résumer les résultats précédents sous la forme d'un tableau :
34
0
1
2
3
Q634 8 R7 1/12 5/12 5/12 1/12
Ce tableau constitue la loi de probabilité de la variable 34 .
De la même façon, définir les systèmes complets d'évènements
associés aux variables 3; et 3< .
Déterminer les lois de probabilité de ces deux variables.
1.2) Un exemple standard
On considère une espace probabilisé 6Ω,T, Q7 où Ω est un univers des possibles fini ou dénombrable
associé à une expérience aléatoire quelconque.
Soit U un évènement. On peut créer une variable aléatoire 3V associée à U de la façon suivante : pour
tout évènement ω de Ω, on a :
3V6>7 8 0 si > [ U
3V 6>7 8 1 si > \ U
On dit que 3V est la fonction indicatrice de U et on la note souvent ]V .
L'évènement 63V 8 17 est donc l'ensemble des éléments ω de Ω tels que 3V 6>7 8 1, c'est-à-dire ceux
appartenant à U.
Réciproquement si ω \ U, alors ω \ 63V 8 17. On a donc
63V 8 17 8 U
De même 63V 8 07 8 9ω \ =, 36ω7 8 0: 8 9ω \ =,ω [ U: 8 U^.
On aura
Q63V 8 17 8 Q6U7
et
Q63V 8 07 8 1 _ Q6U7
Une variable aléatoire de ce type, c'est-à-dire telle que
36Ω7 8 90,1:
est une variable de Bernoulli.
1.3) Troisième exemple
On lance 3 fois une pièce et l'on s'intéresse au nombre de piles obtenus. On suppose que les résultats
de chaque lancer sont indépendants. a est la probabilté d'obtenir un pile à un lancer donné, et donc la
probabilité d'obtenir face est 1 _ a.
Le nombre de piles obtenus est un nombre entier entre 0 et 3.
L'univers des possibles de l'expérience peut être décrit de la façon suivante :
Ω 8 9bbb, bbQ, bQb, Qbb, QQb, QbQ, bQQ, QQQ:
On définit ainsi une variable aléatoire X de la façon suivante :
63 8 07 8 9bbb:
63 8 17 8 9bbQ, bQb, Qbb:
63 8 27 8 9QQb, QbQ, bQQ:
63 8 37 8 9QQQ:
Déterminer la loi de probabilité de 3.
Si la pièce est considérée comme bien équilibrée, on aura
1
a 81_a 8
2
Dans ce cas on obtient ainsi la loi de probabilité suivante
38R
0
1
2
3
Q63 8 R7 1/8 3/8 3/8 1/8
Considérons maintenant l'expérience aléatoire suivante : une urne contient 8 boules : une boule
portant le numéro 0, trois boules portant le numéro 1, trois boules portant le numéro 2 et une boule
portant le numéro 3. On extrait une boule de l'urne et l'on appelle e la variable aléatoire
correspondant au numéro de la boule tirée. Cette variable aléatoire a la même loi de probabilité que 3.
On peut donc simuler 6c'est-à-dire remplacer7 la première expérience aléatoire par cette dernière.
Dans chacun des exemples précédents, on peut associer au nombre de piles obtenus ou au numéro de
la boule tirée un gain équivalent en euros.
La loi de probabilité ci-dessus peut alors s'interpréter de la façon suivante : sur 8 parties jouées, en
moyenne on ne gagnera rien une fois, on gagnera un euro trois fois, deux euros trois fois également, et
trois euros une fois.
Le gain moyen sur 8 parties sera donc égal à : 1 P 0 Y 3 P 1 Y 3 P 2 Y 1 P 3 8 12
Par partie, ce gain sera donc de
12
3
8 8 1,5
8
2
On peut retrouver ce résultat en faisant le calcul suivant :
3
3
1
12
3
1
8 8 1,5
g hP0Yg hP1Yg hP2Yg hP3 8
8
8
8
8
2
8
Le nombre obtenu s'appelle espérance mathématique de la variable 3 6ou de la variable e7
1.4) Quatrième exemple
L'expérience aléatoire consiste à lancer un dé que l'on peut considérer comme bien équilibré jusqu'à
ce que l'on obtienne un "6". L'univers des possibles associé à cette expérience est donc l'ensemble des
k. . . 6
k 6.
suites de tirages de la forme 6k6
On suppose que le résultat de chaque lancer est indépendant des précédents et des suivants.
On désigne par 3 la variable aléatoire égale au nombre de lancers pour obtenir un "6".
A priori, 3 peut prendre toute valeur entière entre 1 et Y∞. On a donc
36Ω7 8 mn
L'évènement 63 8 o7 est égal à p 6kqrs
6k. . . 6k 6y
x"
6tuv7 "w
Les lancers étant indépendants, on a :
k 7 P … P Q66k7 P Q667
Q63 8 o7 8 Q66
q{{{{r{{{{s
tuv |}~}€
5
5
5
1
8 g h P g h P …P g h P g h
6
6
6
6
5 tuv
1
8g h
Pg h
6
6
Nous verrons qu'une telle loi de probabilité s'appelle loi géométrique.
Prenons un réel ‚ quelconque. On peut se poser la question du calcul de Q63 ƒ ‚7.
Commençons par quelques exemples.
Déterminer Q63 ƒ 37,
Q63 ƒ 3,47, Q63 ƒ _27
Q63 ƒ ‚7 si ‚ \„5,6…
Examinons le cas général.
Il n'est pas possible que l'on ait 63 ƒ ‚7 si ‚ est strictement inférieur à 1. Donc
†‚ ‡ 1, Q63 ƒ ‚7 8 0
Prenons un réel ‚ ˆ 1. Soit o 8 …‚„. On a
t
63 ƒ ‚7 8 63 8 17 ‰. . .‰ 63 8 o7 8 Š63 8 R7
‹Œv
Nous avons encore une fois par incompatibilité :
5 ‹uv
1
Pg h
Q63 ƒ ‚ 7 8 Q pŠ63 8 R7y 8  Q63 8 R 7 8  g6h
6
t
t
t
‹Œv
‹Œv
‹Œv
t
5
t
tuv
1
5 ‹uv 1
5 ‹
1 1 _ N6O
8 g h
8 g h 8
6
6
6
6 1_5
6
‹Œv
‹ŒŽ
6
Si l’on pose b 6‚7 8 Q63 ƒ ‚7, on a
b 6‚7 8 6‚ 7 8 
0
5
1_g h
6
…‘„
,
,
‚‡1
5 t
8 1_g h
6
’
‚ˆ1
1.5) Définition
Définition : 6Ω,T,P7 un espace probabilisé.
Une application 3 de Ω dans ℝ est une variable aléatoire sur Ω si :
†‚ \ ℝ, 9> \ Ω, 36>7 ƒ ‚: est un évènement lié à l'expérience aléatoire
6autrement dit est un élément de la tribu T7.
Autrement dit on peut calculer la probabilité Q 69> \ Ω, 36>7 ƒ ‚:7.
Cet évènement est décrit plus simplement par 3 ƒ ‚ et l'on écrit Q63 ƒ ‚7.
Propriétés déduites de la définition
1.Si 63 ƒ ‚7 est un évènement, 63 ” ‚7 l'est aussi
kkkkkkkkkk
En effet 63 ” ‚7 8 63
ƒ ‚7
2. 6K ‡ 3 ƒ •7 est un évènement.
En effet 6K ‡ 3 ƒ •7 8 6a ‡ 37 – 63 ƒ •7
3. 63 ˆ ‚7 est un évènement.
La démonstration est plus compliquée.
On considère la suite d'évènements N3 ” ‚ _ O
v
t t\m
.
Cette suite est décroissante. En effet on a pour tout entier o —
o ‡oY1˜
1
1
1
1
1
1
”
˜_ ‡ _
˜‚_ ‡‚_
o oY1
o
oY1
o
oY1
Donc si 3 ” ‚ _ t™v alors 3 ” ‚ _ t. Donc N3 ” ‚ _ t™vO š N3 ” ‚ _ tO.
v
On sait alors que ›
™œ
v
v
v
63 ” ‚ _ 7 est un évènement dont la limite est un évènement 6d'après les
tŒv
v
t
propriétés des tribus7 : cette limite est justement l'évènement 63 ˆ ‚7.
4. 63 8 K7 est un évènement.
En effet 63 8 K7 8 63 ˆ K7 – 63 ” K7.
5. 6K ƒ 3 ‡ •7 et 6K ƒ 3 ƒ •7 sont des évènements.
Ecrire ces ensembles comme
intersection de deux évènements.
L'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire 3 définie sur l'univers Ω est noté 36Ω7. On
l'appelle univers image
1.5) Variables aléatoires réelles discrètes
Définition
Soit X une VAR d'un ensemble Ω dans ℝ.
On dit que cette VAR est discrète si 36Ω7 est un ensemble fini ou dénombrable.
1.6) Opérations sur les variables aléatoires réelles
Les opérations sur les VAR sont celles que l'on définit habituellement sur les fonctions numériques.
On considère un espace probabilisé 6Ω, T, Q7 et deux VAR définies sur cet espace : 3 et e.
On peut alors définir la variable somme 3 Y e par
†> \ Ω, 63 Y e76>7 8 36>7 Y e6>7
De même, on définira la variable produit 3 P e par
†> \ Ω, 63 P e76>7 8 36>7 P e6>7
Enfin, on définit la variable 3, où  est un réel, par
6376>7 8 36>7
On peut définir ainsi la somme de plusieurs variables aléatoires.
Dans l'expérience aléatoire correspondant au lancer d'une pièce, l'univers des possibles est
Ω 8 9pile,face:
On peut associer à cet univers une variable aléatoire prenant la valeur 1 si l'on a obtenu "pile" et 0 si
l'on a obtenu "face".
On répète o fois cette expérience et l'on définit ainsi n variables aléatoires : 3v , 3ž , … , 3t .
On définit enfin la variable e 8 ∑t‹Œv 3‹
Cette variable prend toute valeur entière de 0 à o.
Elle correspond en fait au nombre de "piles" que l'on a obtenu sur les o lancers.
1.7) Loi de probabilité d'une variable discrète
Définition :
Soit 6Ω, T, Q7 un espace probabilisé et 3 une VAR discrète sur Ω.
On appelle loi de probabilité de 3 la suite 6éventuellement finie7 6at 7t\m définie de la façon suivante :
†o ˆ 1, at 8 Q69> \ Ω, 36>7 8 ‚t , ‚_o \ 36Ω7:7 8 Q63 8 ‚t 7
Exemple 1 :
On reprend l'exemple de la pièce que l'on lance o fois.
On suppose que la probabilité d'obtenir "pile" est égale à a et celle d'obtenir "face" est égale à
¡ 8 1 _ a.
On s'intéresse au nombre de "piles" obtenu.
Nous avons vu cet exemple dans l'introduction avec o 8 3.
On avait obtenu :
Q63 8 07 8 61 _ a7¢
Q63 8 17 8 361 _ a7ž a
Q63 8 27 8 361 _ a7a¢
Q63 8 37 8 a¢
Reprendre l’exercice avec o 8 4.
On commencera par décrire Ω.
On peut bien entendu construire d'autres VAR sur Ω.
Considérons par exemple la VAR qui associe à tout élément de Ω le nombre maximum de piles
consécutifs qui apparaissent dans cet élément en prenant pour convention que s'il n'y a aucun pile, la
variable prendra la valeur 0 et si tous les "piles" présents sont isolés, elle prendra la valeur 1.
Déterminer e6Ω7.
Décrire l’évènement 6e 8 R7 pour tout entier R de 6e 8 R7.
En déduire la loi de probabilité de e
Exemple 2
Si l'on reprend le même type de variable que 3 avec o 8 10, il devient bien plus difficile de
déterminer Ω.
On peut par exemple dire que 36QQQbQbbQQb7 8 6, mais combien d'éléments de Ω sont tels que leur
image par 3 est 6.
On peut considérer chaque élément de Ω comme un mot de 10 lettres écrit avec les deux symboles F et
P.
Chaque mot correspond à une application de l'ensemble 91,2,3,4,5,6,7,8,9,10: dans l'ensemble 9F,P:.
Il y a 2¹⁰8 1024 applications de ce type.
C’est pour cela qu’il devient vraiment difficile de décrire exhaustivement l'ensemble Ω.
On sait que 36Ω7 8 90,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10:.
On peut pourtant définir la loi de probabilité de 3.
Plaçons-nous dans un problème concret. On suppose que a 8 1¨3 et donc ¡ 8 2¨3.
On peut modéliser le problème de la façon suivante : une urne contient 3 boules numérotées de 1 à 3,
la boule numéro 1 est blanche, les deux autres sont noires.
L’expérience aléatoire consiste alors à extraire une boule, à noter son numéro, puis à remettre cette
boule dans l’urne. On suppose que les boules sont indiscernables au toucher et donc qu’elles ont
toutes la même probabilité d’être tirée. On procède ainsi à 10 tirages successifs.
On obtient des mots de longueur 10 écrits avec les trois symboles 1,2 et 3.
Il y a 3vŽ mots de ce type 6autant que d’applications d’un ensemble à 10 éléments 6correspondant au
numéro du tirage7 dans un ensemble à 3 éléments7.
La variable e qui correspond au nombre de "1" dans chaque mot simule la variable 3. Elles ont les
mêmes lois de probabilité.
L’évènement 6e 8 07 est réalisé si l’on obtient un mot ne contenant pas de "1".
Le cardinal de l’ensemble 6e 8 07est égal au nombre de mots écrits avec uniquement les symboles
« 2 » et « 3 ». Il y a 2vŽ mots de ce type. Comme nous sommes en situation d’équiprobabilité, on peut
conclure par indépendance que :
JKLM 6e 8 07 2vŽ
2 vŽ
Q 6e 8 07 8
8
8
g
h
JKLM 6ΩC 7
3vŽ
3
L’évènement 6e 8 17 est réalisé l’on obtient un mot ne contenant qu’un seul "1".
Le cardinal de l’ensemble 6e 8 17est égal au nombre de mots écrits avec un « 1 » et neuf symboles
« 2 » ou « 3 ».
Pour déterminer ce cardinal, on effectue une procédure à deux étapes. On choisit une place pour le
« 1 », puis on met sur les neuf places restantes un mot de longueur 9 composé uniquement de « 2 » et
de « 3 ». Il y a 2« mots de ce type. On a donc par indépendance :
10
«
N O 2«
10 1 2
1
Q6e 8 17 8
8N O g h
1 3 3
3vŽ
De la même façon, déterminer Q6e 8 27, Q6e 8 37 et plus
généralement pour tout entier R compris entre 1 et 10, Q6e 8 R7.
Vérifier la formule obtenue pour Q6e 8 07 et Q6e 8 107.
On dit que la variable aléatoire e 6et donc aussi la variable 37 suit une loi binomiale.
Nous reverrons ce type de loi un peu plus loin.
Exemple 3
On considère la situation suivante : une urne contient 12 boules : huit rouges et quatre bleues. On
extrait simultanément 3 boules de l'urne.
Soit 3 la variable aléatoire correspondant au nombre de boules rouges que l'on a obtenu dans les trois
boules extraites.
L'ensemble Ω est constitué par tous les sous-ensembles de trois boules que l'on peut extraire de
12
l'urne. Il y en a N O 8 220.
3
On a 36Ω7 8 90,1,2,3:.
4
L'évènement 63 8 07 correspond au tirage de trois boules bleues. Il y a N O 8 4 tirages de ce type
3
possibles. On a donc :
4
N O
1
Q63 8 07 8 3 8
12
N O 55
3
L'évènement 63 817 correspond au tirage d'une boule rouge et de deux boules bleues, donc à un
triplet de trois boules contenant une rouge et deux bleues.
Calculer Q63 8 17, puis Q63 8 27 et Q63 8
37.
On peut généraliser le type de calcul que l'on vient de faire à une urne contenant o boules : ¬ rouges
et o _ ¬ bleues. On extrait de l'urne L boules et l'on s'intéresse au nombre de boules rouges obtenues.
o
L'univers des possibles contient N O ensembles de L éléments extraits parmi les o boules de l'urne.
L
On a 36Ω7 8 90,1, . . . , L:.
Pour R \ 90,1, . . . , L:, on aura
¬ o_¬
N ON
O
Q63 8 R7 8 R oL _ R
N O
L
On dira que X suit une loi hypergéométrique.
Nous reviendrons sur cette loi ultérieurement.
1.8) Caractérisation d'une loi de probabilité d'une VAR discrète
Propriété directe
Théorème
Soit 6Ω, T, Q7 un espace probabilisé et 3 une VAR définie sur Ω. On suppose que
36=7 8 9‚v , ‚ž , . . . , ‚t , . . . :
On pose pour tout o ˆ 1, at 8 Q63 8 ‚t 7.
On a les propriétés suivantes :
17 †o, at ˆ 0
t
27 lim  a‹ 8 1
t­™œ
‹Œv
Bien entendu dans le cas d'une variable discrète prenant un nombre fini de valeurs o, on remplace la
limite tout simplement par
t
 a‹ 8 1
t
™œ
‹Œv
‹Œv
‹Œv
Remarque — lim  a‹ 8  a‹ est la somme d'une série.
t­™œ
La première propriété est évidente, puisqu'il s'agit de probabilité.
Nous avons vu dans des cas particuliers que la famille 63 8 ‚‹ 7‹\m forme un système complet
d’évènements 6fini ou dénombrable7 d'évènements. Cette propriété se généralise.
En effet, puisque 3 est une application, si ω est un élément de Ω, il existe une valeur et une ‚® telle que
36>7 8 ‚® .
Donc tout élément ω de Ω appartient à un et un seul des ensembles 63 8 ‚‹ 7. Ces ensembles sont
disjoints deux à deux 6un même élément de Ω n'a qu'une image par 37 et leut réunion forme Ω.
D'après les axiomes de Kolmogorov, on a :
™œ
™œ
™œ
Q pŠ6 3 8 ‚t y 8 lim  Q63 8 ‚‹ 7 8 lim  a‹ 8 Q6Ω7 8 1
t­™œ
tŒv
t­™œ
tŒv
tŒv
Exemple 1 :
On reprend l’exemple de la loi binomiale vue dans l’exemple 2 du 1-77.
On a trouvé que
‹
2 vŽu‹
10 1
6
7
°0,10±,
†R \
Q 3 8 R 8 N Og h g h
R
3
3
On a alors
vŽ
vŽ
‹ŒŽ
‹ŒŽ
1 ‹ 2 vŽu‹
1 2 vŽ
10
 Q63 8 R 7 8  N O g h g h
8 g Y h 8 1vŽ 8 1
R
3
3
3 3
Exemple 2
Dans l’exemple 1-47, nous avons rencontré une variable aléatoire 3 telle que son univers image est
36Ω7 8 mn et telle que
On a pour tout entier o ˆ 1,
5 ‹uv 1
†R \ mn , Q63 8 R 7 8 g h
6
6
t
On a donc
t
‹Œv
‹Œv
5 ‹uv 1
1
5 ‹uv
 Q63 8 R7 8  g h
8 g h
6
6
6
6
‹Œv
On procède à un changement de variable :
t
t
5
g h
6
‹Œv
‹uv
tuv
5
8 g h 8
6
‹ŒŽ
‹
5 t
1 _ N6O
5
1_6
5 t
8 6 ²1 _ g h ³
6
t
Et donc
1
5 ‹uv
5 t
g h
81_g h
6
6
6
t
‹Œv
1
5 ‹uv
5 t
lim  g h
8 lim 1 _ g h 8 1
t­™œ 6
t­™œ
6
6
‹Œv
Dans ce type de situation, la question est de savoir si nous avons vraiment un système complet
d'évènements.
En effet si les évènements 63 8 o7 sont bien réalisables et disjoints deux à deux, on n'a pas prouvé
que leur réunion était égale à Ω, mais que la probabilité de cette réunion est égale à celle de Ω.
Autrement dit que le complémentaire de cette réunion est de probabilité nulle. Mais s'agit-il de
l'évènement impossible, ou seulement d'un évènement quasi-impossible ?
On dit que la famille des µ63 8 o7¶t\mn forme un système quasi-complet d'évènements.
Cette situation se reproduira dans ce genre de problèmes. Les énoncés par abus de langage
considèrent qu'il s'agit simplement d'un système complet d'évènements.
Si 6Ω, Q6Ω77 est un espace probabilisable fini contenant o évènements élémentaires, on considère un
o-uplet de valeurs réelles 6‚v , ‚ž , … , ‚t 7 et un o-uplet de nombres réels positifs 6av , až , … , at 7 tels
que :
Propriété réciproque
·
 a‹ 8 1
‹Œv
Alors on peut définir une variable aléatoire 3 sur Ω par sa loi de probabilité :
36Ω7 8 9‚v , ‚ž , … , ‚t :
†1 ƒ R ƒ o, Q63 8 ‚‹ 7 8 a‹
De la même façon si Ω est un ensemble infini dénombrable, si l'on dispose d'une suite croissante
6‚v , ‚ž , … , ‚t , … 7 qui tend vers Y∞ et d'une suite 6at 7t\mn , composé de nombres positifs tels que
™œ
 at 8 1
tŒv
alors on peut définir une 3 variable aléatoire sur Ω par sa loi de probabilité :
36Ω7 8 9‚v , ‚ž , … , ‚t , … :
†R \ mn , Q63 8 ‚‹ 7 8 a‹
Bien évidemment la remarque que nous avons faite un peu plus haut reste valable : la famille
63 8 o7t\mn constitue un système quasi complet d'évènements.
Cet énoncé réciproque permet de considérer des variables aléatoires indépendamment de toute
expérience aléatoire en donnant seulement leur loi à partir d'un espace probabilisé non précisé 6ce
qui justifie la simulation7.
1.9) Représentation graphique d'une loi
Deux grandes façons sont utilisées pour représenter graphiquement une VAR : les diagrammes en
bâtons et les histogrammes.
Considérons par exemple la variable aléatoire définie par la lloi
oi de probabilité suivante :
2
3
5
7
3/10 1/10 2/10 1/10 1/10 1/10
Sa représentation sous la forme de bâtons sera la suivante :
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-4
-1
-
2
Si nous prenons le cas d'une loi binomiale de paramètres
En appliquant la formule
3
5
et
7
, on a 6Ω7890,1,2,...,10:.
on obtient la loi de probabilité suivante :
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,017 0,087 0,195 0,26 0,228
0,22 0,137 0,057 0,016 0,003 0,0004
On représente graphiquement ce type de série habituellement par un histogramme.
3/10
1/4
1/5
3/20
1/10
1/20
0
10
1.10) Fonction de répartition
Définition
Soit X une VAR définie sur un espace probabilisé 6Ω,T, Q7.
On appelle fonction de répartition de 3, la fonction b définie par :
†‚ \ ℝ, b6‚7 8 Q63 ƒ ‚7
Exemple de la loi donnée du premier exemple graphique
Déterminer la fonction de répartition de la variable 3 dont la loi
de probabilité est :
3
_4
_1 2
3
5
7
Q63 8 R7 3/10 1/10 2/10 1/10 1/10 1/10
On représente une telle fonction sous la forme d'une fonction en escalier.
Propriétés de la fonction de répartition
17 b est une fonction croissante 6mais pas strictement croissante7
27 b est une fonction continue à droite en tout réel.
37 On a lim b6‚7 8 1 et lim b6‚7 8 0
‘­™œ
‘­uœ
47 b est discontinue à gauche en tout point de ℝ correspondant à une valeur de 36Ω7.
Si ¹ est un tel point on a — Q63 8 ¹7 8 b6¹7 _ lim b6‚7
‘­º
57 D'une façon générale, †‚ \ ℝ, b6‚7 8  Q63 8 ‚‹ 7 avec ‚‹ \ 36Ω7
Remarque : b est continue sur ℝ-36Ω7.
‘»¼‘
1.11) Lien entre loi de probabilité et fonction de répartition
Nous avons vu les premiers liens ci-dessus.
On a quelques propriétés importantes.
17 Q6K ‡ 37 8 1 _ b6K7
Propriété évidente puisque 6K ‡ 37 8 kkkkkkkkkk
63 ƒ K7
27 †K \ ℝ, †• \ ℝ, tels que K ƒ •, Q6K ‡ 3 ƒ •7 8 b6•7 _ b6K7
On a
On a également
On a donc
Donc
Et donc
6K ‡ 3 ƒ •7 8 6K ‡ 37 – 63 ƒ •7
6K ‡ 37 ‰ 63 ƒ •7 8 Ω
Q6Ω7 8 Q6K ‡ 37 Y Q63 ƒ •7 _ Q66K ‡ 37 – 63 ƒ •77
1 8 1 _ b6K7 Y b6•7 _ Q6K ‡ 3 ƒ •7
Q6K ‡ 3 ƒ •7 8 b6•7 _ b6K7
Dans certains problèmes il est plus simple de déterminer la fonction de répartition pour déterminer la
loi de probabilité de la variable.
Considérons l’exemple suivant :
On effectue dans une urne contenant des boules numérotées de 1 à ?, o tirages successifs en
remettant la boule tirée à chaque fois.
Soit X la VAR égale au plus grand des numéros tirés.
On a
36Ω7 8 °1, ?±
Soit R \ 36Ω7.
L'évènement 63 ƒ R7 correspond au fait que tous les numéros tirés sont inférieurs ou égaux à R.
Il s’agit donc d’une liste ordonnée avec répétition de o numéros pris dans l’ensemble °1, R±.
Le cardinal de l’évènement 63 ƒ R7 est donc égal à R t .
Le nombre de listes ordonnées avec répétition que l’on peut faire avec les ? boules est : ? t .
On a donc
Rt
6
7
Q 3ƒR 8 t
?
Or 63 ƒ R7 8 63 8 R7 ‰ 63 ‡ R7 8 63 8 R7 ‰ 63 ƒ R _ 17
Donc par incompatibilité
Q63 ƒ R 7 8 Q63 8 R 7 Y Q63 ƒ R _ 17
Donc
R t 6R _ 17t
6
7
6
7
6
7
Q 3 8R 8Q 3 ƒR _Q 3 ƒR_1 8 t_
?
?t
II) Moments d'une variable aléatoire
2.1) Espérance mathématique
On considère une VAR 3 définie sur un espace probabilisé 6Ω,T, Q7
On donne 36Ω7 8 9‚v , ‚ž , … , ‚t :, et pour tout R \ °1, o±, Q63 8 ‚‹ 7 8 a‹
a) On suppose X(Ω)
X(Ω) fini
Définition
On appelle espérance mathématique de 3 le réel noté ½637 défini par
t
t
‹Œv
‹Œv
½ 637 8  ‚‹ Q63 8 ‚‹ 7 8  ‚‹ a‹
Exemple 1
Calculer ½637 si la loi de probabilité de 3 est la suivante :
3
_4
_1 2
3
5
7
Q63 8 R7 3/10 1/10 2/10 1/10 1/10 1/10
Exemple 2
Soit a un réel compris strictement entre 0 et 1.
On considère une variable aléatoire 3 dont la loi est
36Ω7 8 °0, o± et
o
†R \ °0, o±, Q63 8 R7 8 N O a‹ 61 _ a7tu‹
R
17 Démontrer que l’on a bien une loi de probabilité.
27 Donner l’expression de ½ 637 sous la forme d’une somme
o
o_1
37 Montrer la formule R N O 8 o N
O
R
R_1
47 En déduire que ½ 637 8 oa
On donne 36Ω789‚v , ‚ž , . . . , ‚t , . . . : 8 6‚t 7 suite croissante de réels et l'on note pour tout R \
mn, Q63 8 ‚‹ 7 8 a‹ .
b )On suppose X(Ω) infini dénombrable
dénombrable
Définition
On dit que la variable 3 admet une espérance si la série ∑‚t Q63 8 ‚t 7 est absolument convergente.
L'espérance est alors égale à
t
™œ
‹Œv
‹Œv
½ 637 8 lim  ‚‹ Q63 8 ‚‹ 7 8  ‚‹ Q63 8 ‚‹ 7
t­™œ
La phrase « la série ∑‚t Q63 8 ‚t 7 est absolument convergente » signifie que la limite quand o tend
vers l’infini de
t
est un nombre réel.
Exemple :
|‚‹ |Q63 8 ‚‹ 7
‹Œv
On admettra la formule suivante :
t
†K \ ℝ, lim 
t­™œ
‹ŒŽ
K‹
8 ÀÁ
R!
On considère une variable aléatoire 3 dont la loi de
probabilité est donnée par
36Ω7 8 m
‹
†R \ m, P63 8 R 7 8 À u , λ \ ℝ
R!
17 Vérifier qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité
27 Montrer que l’espérance mathématique ½637 existe
et que ½ 637 8 
Remarquons que comme le théorème le précise, si 36Ω7 est infini, l’existence de l’espérance n’est pas
garantie.
2.2) Le théorème du transfert
a) Variable aléatoire fonction d'une autre variable aléatoire
Définition
On considère une VAR 3 définie sur un espace probabilisé 6Ω,T, Q7.
Soit Ä une fonction de ℝ dans ℝ et soit e 8 Ä637 6en fait e 8 Ä Å 37 une variable définie sur 36Ω7
Alors e est aussi une VAR définie sur 6Ω,T, Q7
La loi de Y se déduit de celle de X.
Prenons un exemple dans le cas fini :
On considère la variable 3 dont la loi de probabilité est
donnée par le tableau suivant :
38R
_3
_1
0
1
2
3
Q63 8 R7 2/10 1/10 1/10 2/10 3/10 1/10
On considère les variables e et É définies par
e 8 33 Y 2
Déterminer les lois de e et de É.
Bien entendu, si l’on a déterminé la loi de probabilité de e 8 Ä637, on peut toujours utiliser cette loi
de probabilité pour calculer l'espérance, mais, si cela était possible, il serait plus simple de déduire
directement l'espérance MÀ e 8 Ä637 sans avoir besoin de passer par l'établissement de la loi de
probabilité de e.
On a pour cela le théorème du transfert.
On l'énoncera d'abord dans le cas où 36Ω7 est fini.
b) Calcul de l'espérance
Théorème
Théorème 6dit du transfert ou du transport7
On considère une VAR 3 définie sur un espace probabilisé 6Ω,T, Q7.
Soit Ä une fonction de ℝ dans ℝ et soit e 8 Ä637
Soit 36Ω78 9‚₁, . . . , ‚t :
e admet une espérance définie par
t
½6e7 8  Ä6‚‹ 7 P Q63 8 ‚‹ 7
‹Œv
Donnons en une démonstration dans le cas plus simple où l’application Ä réalise une bijection de
9‚v , . . . , ‚t : sur un ensemble 9Èv , . . . , Èt :, avec la convention ȋ 8 Ä6‚‹ 7.
Nous savons alors que si la loi de probabilité de 3 est donné par
†R \ °1, o±, Q63 8 ‚‹ 7 8 a‹
alors la loi de probabilité de e est donnée par
†R \ °1, o±, Q6e 8 ȋ 7 8 a‹
Donc
t
t
‹Œv
‹Œv
½ 6e 7 8  ȋ P Q6e 8 ȋ 7 8  Ä6‚‹ 7 P Q63 8 ‚‹ 7
Nous admettrons le résultat dans le cas où l’application Ä n’est pas une bijection.
En reprenant les données de l’exercice précédent, calculer
de deux manières différentes ½6e7 et ½6É7.
Dans le cas d'un X6Ω7 infini dénombrable, le théorème du transfert prend la forme suivante :
Théorème
On considère une VAR 3 définie sur un espace probabilisé 6Ω,T, Q7.
Soit Ä une fonction de ℝ dans ℝ et soit e 8 Ä637
Soit 36Ω7 8 6‚t 7t\mn , 6‚t 7 étant une suite croissante d'éléments.
Si la série de terme général Ä6‚t 7Q63 8 ‚t 7 est absolument convergente, alors la variable e admet
une espérance donnée par :
t
½6e7 8 lim  Ä6‚‹ 7Q63 8 ‚‹ 7
t­™œ
‹Œv
2.3) Une application importante du théorème du transfert
Théorème
On considère une VAR 3 définie sur un espace probabilisé 6Ω,T, Q7.
Soit K et • deux réels et e 8 K3 Y •
On a ½6K3 Y •7 8 K½637 Y •
Nous n’avons pas différencié ici les cas où 36Ω7 est fini ou infini dénombrable.
Remarquons que la convergence absolue de ∑ ‚t Q63 8 ‚t 7 implique celle de ∑6K‚t Y •7Q63 8 ‚t 7
En effet, on a
Donc
t
|K‚t Y •|Q63 8 ‚t 7 ƒ |K||‚t |Q63 8 ‚t 7 Y |•|Q63 8 ‚t 7
t
t
‹Œv
‹Œv
 |K‚‹ Y •|Q63 8 ‚‹ 7 ƒ  |K||‚t |Q63 8 ‚t 7 Y  |•|Q63 8 ‚t 7
‹Œv
Remarquons que toutes les séries qui apparaissent ici sont croissantes puisqu’elles sont des sommes
de termes positifs.
Or
t
t
t
t
‹Œv
‹Œv
‹Œv
|K||‚t |Q63 8 ‚t 7 Y  |•|Q63 8 ‚t 7 8 |K| |‚t |Q63 8 ‚t 7 Y |•|  Q63 8 ‚t 7
‹Œv
t
On sait que lim |‚t |Q63 8 ‚t 7 existe par convergence absolue. Soit  sa limite.
On sait que
t­™œ
‹Œv
t
|‚t |Q63 8 ‚t 7 ƒ 
‹Œv
D’autre part
lim  Q63 8 ‚t 7 8 1
t­™œ
Et
Donc
Et donc
t
t
‹Œv
 Q63 8 ‚t 7 ƒ 1
‹Œv
t
t
|K| |‚t |Q63 8 ‚t 7 Y |•|  Q63 8 ‚t 7 ƒ |K| Y |•|
‹Œv
‹Œv
t
 |K‚‹ Y •|Q63 8 ‚‹ 7 ƒ |K| Y |•|
‹Œv
t
La suite de terme général ʋŒv |K‚‹ Y •|Q63 8 ‚‹ 7 est croissante et majorée. Elle est donc
convergente et donc la série ∑6K‚t Y •7Q63 8 ‚t 7 est absolument convergente.
Démonstration du théorème
On a :
½ 6e7 8 6K‚‹ Y •7Q63 8 ‚‹ 7
‹\Ë
8 K  ‚‹ Q63 8 ‚‹ 7 Y •  Q63 8 ‚‹ 7
‹\Ë
8 K½ 637 Y • P 1
8 K½ 637 Y •
‹\Ë
2.4) Moments d'ordre Ì d'une variable aléatoire
Définition
On considère une VAR 3 définie sur un espace probabilisé 6Ω,T, Q7.
On appelle moment d'ordre R de 3 le nombre ½63 ‹ 7 si il existe.
On note ¬‹ 637 8 ½63 ‹ 7 le moment d'ordre R.
Nous utiliserons principalement le moment d'ordre 2 : ½63²7
2.5) Moments centrés d'ordre Ì d'une variable aléatoire
Définition
On considère VAR 3 définie sur un espace probabilisé 6Ω,T, Q7, admettant une espérance.
‹
On appelle moment centré d'ordre R de 3 le nombre ½ Nµ3 _ ½637¶ O si il existe
2.6) Variance et écart type
Définition
Définition
On considère une VAR 3 définie sur un espace probabilisé 6Ω,T, Q7, admettant une espérance.
On appelle variance de 3 et l'on note Î637 le moment centré d'ordre 2 de 3 s'il existe.
On appelle écart type et l'on note Ï637 la racine carrée de la variance : Ï637 8 ÐÎ637
On a donc
ž
Î637 8 ½663 _ ½6377²7 8 µ‚t _ ½ 637¶ Q63 8 ‚t 7
t\Ë
ž
La variance apparaît comme la moyenne 6au sens des probabilités7 des carrés 6µ‚t _ ½ 637¶ 7 des
écarts à la moyenne 6‚t _ ½ 637 7des valeurs prises par 3.
C’est un nombre positif ou nul puisque c’est une somme de nombres positifs.
Remarque
On dit que 3 est une variable aléatoire constante si 36Ω7 ne contient qu'un seul élément. Soit K cet
élément.
On a †> \ Ω, 36>7 8 K.
On aura donc évidemment Q63 8 K7 8 1 et ½637 8 K P 1 8 K.
On aura Î637 8 6K _ K7² P Q63 8 K7 8 0 P 1 8 0
Réciproquement si Î637 8 0, comme Î637 est une somme de nombres positifs, cela implique que
chacun de ces nombres est égal à 0.
ž
†o \ Ñ, µ‚t _ ½ 637¶ Q63 8 ‚t 7 8 0
Si l'on suppose qu'aucun des Q63 8 ‚t 7 n'est nul 6ce qui sera nécessairement le cas si 36Ω7 est fini et
que l’on ne conserve que les évènements réalisables7, alors †o, ‚t 8 ½637 donc la variable 3 est
constante.
On peut dire de façon globale que la variable est presque constante 6autrement dit il existe K \ 36Ω7
tel que Q63 8 K7 8 1 et †• Ò K, • \ 36Ω7, Q63 8 •7 8 07.
Calculer Î637 si la loi de probabilité de 3 est la
suivante :
3
_4
_1 2
3
5
7
Q63 8 R7 3/10 1/10 2/10 1/10 1/10 1/10
2.7) La formule de KoenigKoenig-Huyghens
Théorème
On considère une VAR 3 définie sur un espace probabilisé 6Ω,T, Q7, admettant une espérance et une
variance.
ž
On a : Î637 8 ½63 ž 7 _ µ½ 637¶
Pour la démonstration, nous utiliserons une propriété que nous démontrerons un peu plus loin :
Si 3 et e sont deux VAR définies sur un même espace probabilisé 6Ω,T, Q7, admettant chacune une
espérance, alors 3 Y e admet une espérance et l'on a :
½63 Y e7 8 ½637 Y ½6e7
On a donc
ž
ž
Î637 8 ½ Nµ3 _ ½ 637¶ O 8 ½ N3 ž _ 23½ 637 Y µ½ 637¶ O
Posons ¬ 8 ½637, on a
Î637 8
8
8
8
½ 63 ž _ 2¬½ 637 Y ¬ž 7
½63 ž 7 _ 2¬½637 Y ¬ž
½63 ž 7 _ 2½637½637 Y ½637ž
½63 ž 7 _ ½637ž
C'est cette forme que l'on privilégie pour calculer la variance.
Le calcul de ½ 63 ž 7 est souvent délicat. Assez fréquemment, nous commencerons par calculer
½6363 _ 177.
En effet, ½µ363 _ 17¶ 8 ½ 63 ž _ 37 8 ½ 63 ž 7 _ ½637.
Nous allons voir une application de cette écriture dans l’exercice qui suit.
Soit a un réel compris strictement entre 0 et 1.
Nous avons vu que la variable aléatoire 3 dont la loi
est 36Ω7 8 °0, o± et
o
†R \ °0, o±, Q63 8 R7 8 N O a‹ 61 _ a7tu‹
R
admettait une espérance égale à
½ 637 8 oa
o
o_2
17 Montrer que R6R _ 17 N O 8 o6o _ 17 N
O
R
R_2
27 Calculer ½6363 _ 177
37 En déduire que Î 637 8 oa61 _ a7
2.8) Variance de Ô 8 ÕÖ Y ×
On a
Î6e7 8 Î6K3 Y •7 8 ½66K3 Y •7ž 7 _ µ½ 6K3 Y •7¶
ž
On utilise alors la propriété ½6K3 Y •7 8 K½637 Y •
On a
Î6e7 8 ½6Kž 3 ž Y 2K•3 Y •²7 _ 6K½637 Y •7²
8 K²½63²7 Y 2K•½637 Y •² _ K²6½6377² _ 2K•½637 _ •²
8 K²½63²7 _ K²½637² 8 K²6½63²7 _ ½637²7
8 K²Î637
On a donc la formule
On en déduit que
Î6K3 Y •7 8 Kž Î637
Ï6K3 Y •7 8 ÐÎ6K3 Y •7 8 ÐKž Î 637 8 |K|ÐÎ637 8 |K|Ï637
2.9) Variable centrée réduite
Soit X une VAR définie sur un espace probabilisée 6Ω,T, Q7 qui admet une espérance ½637 8 ¬ et une
variance Î637. On pose Ï 8 Ï637.
On veut associer à 3 une variable aléatoire d'espérance égale à 0 et de variance égale à 1. On note
habituellement 3 n cette variable.
Définitions
Une variable d'espérance égale à 0 est dite centrée
Une variable de variance égale à 1 est dite réduite.
Une variable d'espérance égale à 0 et de variance égale à 1 est dite centrée réduite.
On cherche une relation affine entre 3 et 3 n de la forme 3 n 8 K3 Y •
On aura ½63 n 7 8 0 8 ½6K3 Y •7 8 K½637 Y • 8 K¬ Y •
On aura également Î63^ n7 8 1 8 Î6K3 Y •7 8 K²Î637 8 K²Ï²
K¬ Y • 8 0’
On doit donc résoudre le système : Ù ž ž
K Ï 81
On se place dans le cas d'une variable X qui n'est pas presque constante. On aura Ï ” 0.
On trouve alors deux valeurs possibles pour K.
Le plus simple est de prendre la valeur positive, donc
1
K8
Ï
On en tire
¬
•8_
Ï
On a donc
1
¬ 3_¬
3n 8 3 _ 8
Ï
Ï
Ï
Ou encore
3 _ ½637
3n 8
Ï 637
Remarque
On appelle moment centré réduit d'ordre R de X le moment d'ordre R de 3 n.