Chapitre II. Arithmétique

Chapitre II. Arithmétique
2012
L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e
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I- Les ensembles:
Il existe plusieurs ensembles de nombres.
Ensemble des nombres entiers naturels.
      Contient tous les nombres entiers positifs.
Ensemble des nombres entiers relatifs.
         Contient tous les nombres entiers positifs et
négatifs.
On en déduit que l’ensemble est contenu dans l’ensemble. (  ) .
 : Se lit est inclus dans.
D : Ensemble des nombres décimaux.
Ensemble de tous les nombres que l’on peut mettre sous la forme suivante :
Où est un nombre entier relatif   et un entier naturel  
Remarque :
Donc tout entier relatif peut être écrit sous la forme suivante :
Autrement dit tout nombre relatif est aussi nombre décimal.
Par conséquent, L’ensemble des nombres entier relatif est contenu (ou inclus) dans
l’ensemble des nombre décimaux.
Ensemble des nombres rationnels.
Ensemble de tous les nombres que l’on peut mettre sous la forme
Où est un entier relatif.  , etun entier relatif non nul.  
Ensemble des entiers relatifs non nuls.
Remarque :
Tout nombre décimal est un nombre rationnel.   
Ensemble des nombres réels.
Un nombre irrationnel, est un nombre que l’on ne peut pas mettre sous la forme
.
Exemples :
Le nombre   

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Le nombre   
Est l’ensemble des nombres rationnels et irrationnels.
Résumé :
II- Vocabulaire.
Diviseurs et multiples :
On dit que 30 est un multiple de 5 et de 6.
On dit que 5 est un diviseur de 30, de même 6 est un diviseur de 30.
Si    .
  : est un multiple de
 Sont des diviseurs de 
Ensemble des diviseurs d’un nombre :
Les diviseurs de 30 sont 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 et 30.
On note :      L’ensemble des diviseurs de 30.
On note :     L’ensemble des multiples de 5.
1 est un diviseur de tous les nombres.
0 est un multiple de tous les nombres.
Nombre premier :
Définition :
Un nombre est dit premier s’il a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même.
L’ensemble des nombres premiers est infini.
Les nombre premiers sont utilisés en cryptographie.
Propriété :
Tout nombre entier est décomposable en produit de facteurs premiers.

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Remarque : Soit L’ensemble des diviseurs de 225.
De même 420 admet              
diviseurs
Ces deux nombres ont plusieurs diviseurs en communs.
Parmi ces diviseurs communs : 15 est le plus grand
15 est le plus grand diviseur commun des nombres 225 et 420.
On note  : Le plus grand diviseur commun de 225 et 420.
Nombres premiers entre eux :
Définition :
Deux entiers sont premiers entre eux, si leur PGCD est égal à 1
III- Algorithmes d’Euclide et de différences.
Le nombre de diviseurs est égal à

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1- Algorithme d’Euclide.
Exemple :
Calcul du PGCD de deux nombres.
PGCD (420 ; 225)=15
Dividende
Diviseur
Reste
420
225
195
225
195
30
195
30
15
30
15
0
Euclide
Philosophe et mathématicien
Grec. Naissance vers 325 av
J.C. Décès vers 365 av J.C.

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2- Algorithme des soustractions successives.
Exemple :
01515
151530
153045
453075
7530105
10530135
13530165
16530195
30195225
195225420