Chapitre II. Arithmétique

Chapitre II. Arithmétique
I-
2012
Les ensembles:
Il existe plusieurs ensembles de nombres.
ℕ: Ensemble des nombres entiers naturels.
ℕ = {0; 1; 2; 3; ⋯ } Contient tous les nombres entiers positifs.
ℤ: Ensemble des nombres entiers relatifs.
ℤ = {⋯ ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; ⋯ } Contient tous les nombres entiers positifs et
négatifs.
On en déduit que l’ensemble ℕ est contenu dans l’ensemble ℤ . (ℕ ⊂ ℤ ) .
ℕ ⊂ ℤ : Se lit ℕ est inclus dans ℤ .
D : Ensemble des nombres décimaux.
Ensemble de tous les nombres que l’on peut mettre sous la forme suivante :
𝒂
𝟏𝟎𝒏
Où 𝑎 est un nombre entier relatif (𝑎 ∈ ℤ) et 𝑛 un entier naturel( 𝑛 ∈ ℕ)
Remarque :
100 = 1
Donc tout entier relatif 𝑎 peut être écrit sous la forme suivante :
𝑎
𝑎= 0
10
Autrement dit tout nombre relatif est aussi nombre décimal.
Par conséquent, L’ensemble des nombres entier relatif est contenu (ou inclus) dans
l’ensemble des nombre décimaux.
ℕ⊂ℤ⊂𝐷
ℚ: Ensemble des nombres rationnels.
Ensemble de tous les nombres que l’on peut mettre sous la forme
𝒂
𝒃
Où 𝑎 est un entier relatif. (𝑎 ∈ ℤ) , et 𝑏 un entier relatif non nul.( 𝑏 ∈ ℤ∗ ).
ℤ∗ ∶ Ensemble des entiers relatifs non nuls.
Remarque :
Tout nombre décimal est un nombre rationnel. (𝐷 ⊂ ℚ)
ℝ: Ensemble des nombres réels.
Un nombre irrationnel, est un nombre que l’on ne peut pas mettre sous la forme
𝑎
𝑏
.
Exemples :
Le nombre 𝜋 ≃ 3,14 ⋯
Les mathématiques au collège
Page 1
Chapitre II. Arithmétique
2012
Le nombre √2 ≃ 1,414 ⋯
ℝ: Est l’ensemble des nombres rationnels et irrationnels.
Résumé :
ℕ⊂ℤ⊂𝑫⊂ℚ⊂ℝ
II-
Vocabulaire.
Diviseurs et multiples :
30 = 5 × 6
On dit que 30 est un multiple de 5 et de 6.
On dit que 5 est un diviseur de 30, de même 6 est un diviseur de 30.
Si 𝑁 = 𝑎 × 𝑏 .
 𝑁 : est un multiple de 𝑎 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑏.
 𝑎 𝑒𝑡 𝑏: Sont des diviseurs de 𝑁.
Ensemble des diviseurs d’un nombre :
Les diviseurs de 30 sont 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 et 30.
On note :𝐷(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} L’ensemble des diviseurs de 30.
On note : 𝑀(5) = {0; 5; 10; 15; 20; ⋯ } L’ensemble des multiples de 5.
1 est un diviseur de tous les nombres.
0 est un multiple de tous les nombres.
Nombre premier :
Définition :
Un nombre est dit premier s’il a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même.
L’ensemble des nombres premiers est infini.
Les nombre premiers sont utilisés en cryptographie.
Propriété :
Tout nombre entier est décomposable en produit de facteurs premiers.
Les mathématiques au collège
Page 2
Chapitre II. Arithmétique
2012
Remarque : Soit 𝐷(225) L’ensemble des diviseurs de 225.
𝐷(225) = {𝟏; 𝟑; 𝟓; 9; 𝟏𝟓; 25; 45; 75; 225}
Le nombre de diviseurs est égal à
(𝟐 + 1) × (𝟐 + 1) = 3 × 3 = 𝟗
225 = 3𝟐 × 5𝟐
420 = 2𝟐 × 3𝟏 × 5𝟏 × 7𝟏
De même 420 admet (𝟐 + 1) × (𝟏 + 1) × (𝟏 + 1) × (𝟏 + 1) = 3 × 2 × 2 × 2 = 𝟐𝟒
diviseurs
𝐷(420) = {𝟏; 2; 𝟑; 4; 𝟓; 6; 7; 10; 12; 14; 𝟏𝟓; 20; 21; 28; 30; 35; 42; 60; 70; 84; 105; 140; 210; 420}
Ces deux nombres ont plusieurs diviseurs en communs.
Parmi ces diviseurs communs : 15 est le plus grand
15 est le plus grand diviseur commun des nombres 225 et 420.
On note 𝑃𝐺𝐶𝐷(225; 420) : Le plus grand diviseur commun de 225 et 420.
Nombres premiers entre eux :
Définition :
Deux entiers sont premiers entre eux, si leur PGCD est égal à 1
III-
Algorithmes d’Euclide et de différences.
Les mathématiques au collège
Page 3
Chapitre II. Arithmétique
2012
1- Algorithme d’Euclide.
Exemple :
Calcul du PGCD de deux nombres.
PGCD (420 ; 225)=15
Dividende
420
225
195
30
Diviseur
225
195
30
15
Reste
195
30
15
0
Euclide
Philosophe et mathématicien
Grec. Naissance vers 325 av
J.C. Décès vers 365 av J.C.
Les mathématiques au collège
Page 4
Chapitre II. Arithmétique
2012
2- Algorithme des soustractions successives.
Exemple :
420  225  195
225  195  30
195  30  165
165  30  135
135  30  105
105  30  75
75  30  45
45  30  15
30  15  15
15  15  0
Les mathématiques au collège
Page 5