Les équations de Maxwell dans des matériaux composites

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 991–996, 2000
Équations aux dérivées partielles/Partial Differential Equations
Les équations de Maxwell dans des matériaux
composites : problèmes de densité
Stephanie LOHRENGELa, Serge NICAISEb
aLaboratoire Jean-A.-Dieudonné, Université de Nice–Sophia-Antipolis, parc Valrose,
06108 Nice cedex 2, France
Courriel : loh[email protected].fr
bMACS, Université de Valenciennes, B.P. 311, 59304 Valenciennes cedex, France
Courriel : [e-mail]
(Reçu le 6 avril 2000, accepté le 27 avril 2000)
Résumé. Dans cette Note, une condition nécessaire et suffisante est établie sous laquelle, dans un
polygone du plan décomposé en Jsous-domaines, les champs réguliers par morceaux sont
denses dans le sous-espace de H(rot; Ω) dont les éléments vérifient div(εE)∈L2(Ω) et
ont leur trace tangentielle dans L2(∂Ω). La démonstration fait intervenir explicitement les
singularités d’un problème scalaire de transmission. Sur le plan numérique, le résultat de
densité permet de résoudre les équations de Maxwell avec une condition d’impédance sur
le bord dans des matériaux composites à l’aide des éléments finis conformes dans H1(Ω).
2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Maxwell’s equations in composite materials: remarks on density
Abstract. In this Note, a necessary and sufficient condition is found, which guarantees the density
of piecewise regular vector fields in the subspace of H(curl; Ω) whose elements satisfy
div(εE)∈L2(Ω) and have their tangential trace in L2(∂Ω);Ωbeing a polygonal domain
of R2, union of Jpolygonal subdomains. The proof uses explicitly the singularities of a
scalar transmission problem. Numerically, the result allows a discretization of Maxwell’s
equations with an impedance boundary condition in composite materials by means of nodal,
H1-conforming, finite elements. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et
médicales Elsevier SAS
Abridged English version
In this Note, we establish a density result for piecewise regular functions in functional spaces which are
used in the resolution of Maxwell’s equations in composite materials. We consider the electromagnetic field
in a bounded domain Ωmade of Jhomogeneous materials, with an impedance condition on its boundary.
The results are proven in the case of a two-dimensional domain. Similar results can be obtained in three
dimensions and will be presented in a future work.
Note présentée par Roland GLOWINSKI.
S0764-4442(00)00304-9/FLA
2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 991

S. Lohrengel, S. Nicaise
We assume that Ωis a polygon embedded in R2. The electromagnetic coefficients are given by two
piecewise constant functions εand µ. This defines a partition Pof Ωinto a finite number of polygonal
subdomains Ω1,...,ΩJsuch that on each Ωjwe have ε(x)=εj>0and µ(x)=µj>0.
It follows from Maxwell’s equations that the electric field Eand the magnetic field Hbelong to
H(curl; Ω) with div(εE)∈L2(Ω) and div(µH)∈L2(Ω), whereas the tangential trace of E(resp. the
normal trace of H)areinL2(∂Ω).
A density result has been proven in [3] and [4] in the homogeneous case (J=1) for general Lipschitz
domains of R2and R3. In the present Note we use the technique of [3] to provethat a similar density result
in the context of composite materials needs special conditions on the functions εand µ. In particular, if
J>3, there always exist examples for which the density result does not hold.
The numerical application is the approximationof Maxwell’s equations by means of nodalfinite elements
(see [1] and [2]). This approximation is possible if and only if the density result holds, otherwise there are
singular fields which need to be taken into account explicitly.
Let us now precisethefunctional framework.We considera regularizedformulation of the time-harmonic
Maxwell equations (see [2]) which leads to seek the electric field in
W=E∈H(curl; Ω) |div(εE)∈L2(Ω); E×n|∂Ω∈L2(∂Ω).
We introduce the following spaces of piecewise regular functions
PHs(Ω; P)=u∈L2(Ω) |uj∈Hs(Ωj),j=1,...,J,
where ujdenotes the restriction of uon Ωj. We denote by PHs(Ω; P)the corresponding spaces of vector
fields.
We characterize the closure of PH1(Ω; P)∩Win W, which in terms of scalar potentials amounts to
prove a density result for
H=u∈H1(Ω)/R|div(εgrad u)∈L2(Ω); u|∂Ω∈H1(∂Ω).
We are thus led to consider explicitly the singularities of a transmission problem involving the operator
∆εu=div(εgrad u). Indeed, if these singularities are too strong, there are singular fields which cannot
be approximated by regular fields. Theorem 1 below characterizes these singular fields in the case of an
impedance boundary condition (see [2] and [5] for a perfect conductor).
In the sequel, Sext denotes the set of boundary vertices; for S∈S
ext,letΛDir+
ε,S be the set of positive
singular exponents of the operator ∆Dir
ε(∆εwith Dirichlet boundary condition). With a given λ∈ΛDir+
ε,S
we associate a (unique) eigenvector φλ(θ)satisfying
∂θ(ε∂θφλ)+λ2εφλ=0 on ]0,ω[,
φλ(0) = φλ(ω)=0,
where (r, θ)are the local polar coordinates with respect to S,andωis the interior angle at S. We denote by
hS,λ =ηSrλφλ,
and ηSis an appropriate cut-off function (ηS≡1in a neighbourhoodof S). Since interior singularities have
been described in [5], we assume up to now that the singular exponents corresponding to interior vertices
are >1. Our main result is the:
THEOREM 1. – We have
W=PH1(Ω; P)∩W⊕Span ∇hS,λS∈Sext ,λ∈ΛDir+
ε,S ∩]0,1/2[ .
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The following density result is then immediate:
COROLLARY 1. – The space PH1(Ω; P)∩Wis dense in Wif and only if
∀S∈S
ext :Λ
Dir+
ε,S ∩]0,1/2[ = ∅,(1)
is satisfied.
The above theorem is proved with the help of an analogous result in terms of scalar potentials:
THEOREM 2. – The space PH2(Ω; P)∩His dense in Hif and only if (1) is satisfied.
1. Introduction
Dans cette Note, nous traitons la question de densité des fonctions régulières par morceaux dans les
espaces fonctionnels qui interviennent dans la résolution des équations de Maxwell dans des matériaux
composites. Nous considérons la propagation d’une onde électromagnétique dans un domaine Ωborné
composé de Jmatériaux homogènes avec une condition d’impédance sur le bord. Les résultats seront
démontrés dans le cas d’un domaine bidimensionnel. En ce qui concerne le problème en 3D, des résultats
similaires peuvent être établis et font l’objet d’un travail en cours.
On suppose que Ωest un polygone du plan. Les coefficients électromagnétiques sont donnés par deux
fonctions εet µconstantes par morceaux; elles définissent ainsi une partition Pde Ωen un ensemble fini
de polygones Ω1,...,ΩJtelle que sur chaque Ωjon ait ε(x)=εj>0et µ(x)=µj>0.
Il découle des équationsde Maxwell que le champ électrique Eet le champ magnétique Happartiennent
àH(rot; Ω) avec div(εE)∈L2(Ω) (resp. div(µH)∈L2(Ω)), tandis que la trace tangentielle de E(resp.
la trace normale de H) se trouve dans L2(∂Ω).
Le cas du milieu homogène (J=1) a été traité dans [3] et [4], et un résultat de densité a été établi
pour des domaines à frontière lipschitzienne. Ici, nous nous proposons de répondre à la question si oui
ou non un résultat de densité similaire est vrai dans le contexte des milieux composites. Nous suivons la
démarche décrite dans [3] pour montrer que la densité ne peut être établie que sous certaines conditions sur
les fonctions εet µ. En particulier, dès que J>3, il existe toujours des dispositifs pour lesquels le résultat
de densité est violé.
L’enjeu de ce résultat de densité est à la fois théorique et numérique : il permet en fait de discrétiser les
équations de Maxwell à l’aide d’une méthode d’éléments finis nodaux conformedans H1(voir [1] et [2]).
2. Résultats principaux
Précisons à présent le cadre fonctionnel. Pour cela, on considère les équations de Maxwell en régime
harmonique sous la forme d’un problème régularisé (voir [2]) ce qui conduit à rechercher le champ
électrique dans
W=E∈H(rot; Ω) |div(εE)∈L2(Ω); E×n|∂Ω∈L2(∂Ω),
muni de la norme
kEkW=kEk2+krotEk2+
div(εE)
2+kE×nk21/2.
On introduit les espaces de fonctions régulières par morceaux
PHs(Ω; P)=u∈L2(Ω) |uj∈Hs(Ωj),j=1,...,J,
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S. Lohrengel, S. Nicaise
où ujdésigne la restriction de usur Ωj. De même, on pose PHs(Ω; P)=PHs(Ω; P)2pour les champs
de vecteurs. Pour caractériser l’adhérence de PH1(Ω; P)∩Wdans W, il suffit en fait de considérer la
question en termes de potentiel scalaire. À cet effet, introduisons l’espace
H=u∈H1(Ω)/R|div(εgrad u)∈L2(Ω); u|∂Ω∈H1(∂Ω)
pour lequel on a évidemment grad H⊂W.
Le contrôle de ∆εu=div(εgrad u)en norme L2fait alors intervenir de manière explicite les
singularités d’un problème scalaire de transmission décrites dans [8–10]. Si ces singularités sont trop
«fortes» (de sorte que la condition (1) ci-dessous n’est plus vérifiée), il existe des champs dits «singuliers»
qui échappent à l’approximation par champs réguliers (et donc par éléments finis nodaux). Une analyse de
ces champs singuliers s’impose alors dans l’objectif de les traiter de manière explicite. Le cas de la condition
de type conducteur parfait (E×n|∂Ω=0,H·n|∂Ω=0) a fait l’objet de [2] (milieux homogènes et deux
milieux séparés par un plan) et de [5] (matériaux composites).
Le théorème 1 ci-dessous identifie les singularités pour la condition d’impédance. Plus précisément,
notons Sext l’ensemble des sommets extérieurs (i.e. situés sur le bord) de Ωet pour S∈S
ext,ΛDir+
ε,S
l’ensemble des exposants singuliers positifs de l’opérateur ∆Dir
ε(∆εavec condition de Dirichlet sur le
bord extérieur). À chaque λ∈ΛDir+
ε,S est associé un (unique) vecteur propre φλ(θ)qui vérifie
∂θ(ε∂θφλ)+λ2εφλ=0 sur ]0,ω[,
φλ(0) = φλ(ω)=0,
lorsque (r, θ)sont les coordonnées polaires centrées en Set ωl’angle intérieur en S.SiηSest une fonction
de troncature qui vaut 1près de Set 0sur un voisinage des autres sommets, notons
hS,λ =ηSrλφλ,
et posons
ES,λ =∇hS,λ.
Comme les singularités intérieures ont été décrites dans [5], nous supposons dorénavant que les exposants
singuliers correspondant à des sommets intérieurs sont >1.
THÉORÈME 1. – On a la décomposition
W=PH1(Ω; P)∩W⊕Span ES,λS∈Sext ,λ∈ΛDir+
ε,S ∩]0,1/2[ .
De ce résultat on déduit immédiatement le :
COROLLAIRE 1. – L’espace PH1(Ω ; P)∩West dense dans Wsi et seulement si la condition
∀S∈S
ext :Λ
Dir+
ε,S ∩]0,1/2[ = ∅,(1)
est satisfaite.
Pour la démonstration, nous nous appuyons sur un résultat similaire pour l’espace Hdes potentiels
scalaires :
THÉORÈME 2. – L’espace PH2(Ω; P)∩Hest dense dans Hsi et seulement si (1) est vérifiée.
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Les équations de Maxwell dans des matériaux composites
3. Densité «vectorielle» et densité «scalaire»
Rappelons que l’objectif de cette Note est la caractérisation de l’adhérence de PH1(Ω ; P)∩Wdans
W. Ce problème se ramène au problème en potentiel scalaire grâce à la :
PROPOSITION 1. – L’espace PH1(Ω; P)∩West dense dans Wsi et seulement si PH2(Ω; P)∩Hest
dense dans H.
Démonstration. – On montre que sur l’espace H, la semi-norme
|u|H=k∆εuk2+
J
X
j=1
k∂τjuk2
0,∂Ωj∩∂Ω1/2
définit une norme équivalente à la norme canonique.
On établit ensuite l’existence d’un potentiel vecteur régulier. Il découle d’un résultat de [6] (appliqué
séparément à chaque sous-domaine Ωj) qu’il existe F∈PH1(Ω; P)∩H(rot; Ω) vérifiant :
rotF=rotE,
Fj×n|∂Ωj=0,∀j=1,...,J, et
kFkPH1(Ω;P)6ckrotEk0,Ω.
Or, on n’aura pas en général que div(εF)∈L2(Ω) globalement sur Ω. Afin de remédier à cette
difficulté, on relève la trace normale de Fjsur ∂Ωjen une fonction r∈PH2(Ω; P)∩H1
0(Ω) vérifiant
∂rj
∂nk|Γjk
=(Fj·nk)|Γjk et krkPH2(Ω;P)6ckFkPH1(Ω;P), l’existence de cette fonction découlant du
théorème 1.5.2.8 de [7]. Le champ G=F−grad rest alors un potentiel vecteur de Edans PH2(Ω; P)∩
Wayant les mêmes propriétés que F.
On considère ensuite l’application Φ:W→Hqui à E∈Wassocie l’unique élément p∈Hvérifiant
E=G+grad p. Par construction de G,Φest une application continue et surjective. Par ailleurs, il vient
que ΦPH1(Ω; P)∩W⊂PH2(Ω; P)∩H, et le résultat suit. 2
4. Les singularités
Pour obtenir les théorèmes 1 à 2, il nous reste maintenant à caractériser l’orthogonalde PH2(Ω; P)∩H
dans H.
PROPOSITION 2. – Notons Nε,Dir l’orthogonal (dans L2(Ω))de l’image de l’opérateur ∆Dir
ε(comme
opérateur de PH2(Ω; P)∩H∩H1
0(Ω) dans L2(Ω)).Alorsf∈PH2(Ω; P)∩H⊥si et seulement si il
existe g∈N
ε,Dir tel que
∆εf=gdans Ω,
∂2
τf=−ε∂νgsur ∂Ω.(2)
Démonstration. – Par les lemmes 2.14 et 2.15 de [9], g∈N
ε,Dir si et seulement si g∈L2(Ω) vérifie
∆εg=0dans Ωet g=0sur le bord extérieur. La relation d’orthogonalité pour la norme |·|
Himplique
que f∈PH2(Ω; P)∩H⊥si et seulement si
(∆εf,∆εu)Ω+
J
X
j=1
(∂τjf,∂τju)∂Ωj∩∂Ω=0,∀u∈PH1(Ω; P)∩H.
On conclut en posant g=∆
εfet en appliquant la formule de Green. 2
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