Les équations de Maxwell dans des matériaux composites

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 991–996, 2000
Équations aux dérivées partielles/Partial Differential Equations
Les équations de Maxwell dans des matériaux
composites : problèmes de densité
Stephanie LOHRENGEL a , Serge NICAISE b
a
Laboratoire Jean-A.-Dieudonné, Université de Nice–Sophia-Antipolis, parc Valrose,
06108 Nice cedex 2, France
Courriel : [email protected]
b
MACS, Université de Valenciennes, B.P. 311, 59304 Valenciennes cedex, France
Courriel : [email protected]
(Reçu le 6 avril 2000, accepté le 27 avril 2000)
Résumé.
Dans cette Note, une condition nécessaire et suffisante est établie sous laquelle, dans un
polygone du plan décomposé en J sous-domaines, les champs réguliers par morceaux sont
denses dans le sous-espace de H(rot; Ω) dont les éléments vérifient div(εE) ∈ L2 (Ω) et
ont leur trace tangentielle dans L2 (∂Ω). La démonstration fait intervenir explicitement les
singularités d’un problème scalaire de transmission. Sur le plan numérique, le résultat de
densité permet de résoudre les équations de Maxwell avec une condition d’impédance sur
le bord dans des matériaux composites à l’aide des éléments finis conformes dans H1 (Ω).
 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Maxwell’s equations in composite materials: remarks on density
Abstract.
In this Note, a necessary and sufficient condition is found, which guarantees the density
of piecewise regular vector fields in the subspace of H(curl; Ω) whose elements satisfy
div(εE) ∈ L2 (Ω) and have their tangential trace in L2 (∂Ω); Ω being a polygonal domain
of R2 , union of J polygonal subdomains. The proof uses explicitly the singularities of a
scalar transmission problem. Numerically, the result allows a discretization of Maxwell’s
equations with an impedance boundary condition in composite materials by means of nodal,
H1 -conforming, finite elements.  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et
médicales Elsevier SAS
Abridged English version
In this Note, we establish a density result for piecewise regular functions in functional spaces which are
used in the resolution of Maxwell’s equations in composite materials. We consider the electromagnetic field
in a bounded domain Ω made of J homogeneous materials, with an impedance condition on its boundary.
The results are proven in the case of a two-dimensional domain. Similar results can be obtained in three
dimensions and will be presented in a future work.
Note présentée par Roland G LOWINSKI.
S0764-4442(00)00304-9/FLA
 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
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S. Lohrengel, S. Nicaise
We assume that Ω is a polygon embedded in R2 . The electromagnetic coefficients are given by two
piecewise constant functions ε and µ. This defines a partition P of Ω into a finite number of polygonal
subdomains Ω1 , . . . , ΩJ such that on each Ωj we have ε(x) = εj > 0 and µ(x) = µj > 0.
It follows from Maxwell’s equations that the electric field E and the magnetic field H belong to
H(curl; Ω) with div(εE) ∈ L2 (Ω) and div(µH) ∈ L2 (Ω), whereas the tangential trace of E (resp. the
normal trace of H ) are in L2 (∂Ω).
A density result has been proven in [3] and [4] in the homogeneous case (J = 1) for general Lipschitz
domains of R2 and R3 . In the present Note we use the technique of [3] to prove that a similar density result
in the context of composite materials needs special conditions on the functions ε and µ. In particular, if
J > 3, there always exist examples for which the density result does not hold.
The numerical application is the approximation of Maxwell’s equations by means of nodal finite elements
(see [1] and [2]). This approximation is possible if and only if the density result holds, otherwise there are
singular fields which need to be taken into account explicitly.
Let us now precise the functional framework. We consider a regularized formulation of the time-harmonic
Maxwell equations (see [2]) which leads to seek the electric field in
W = E ∈ H(curl; Ω) | div(εE) ∈ L2 (Ω); E × n|∂Ω ∈ L2 (∂Ω) .
We introduce the following spaces of piecewise regular functions
PH s (Ω; P) = u ∈ L2 (Ω) | uj ∈ Hs (Ωj ), j = 1, . . . , J ,
where uj denotes the restriction of u on Ωj . We denote by PH s (Ω; P) the corresponding spaces of vector
fields.
We characterize the closure of PH 1 (Ω; P) ∩ W in W , which in terms of scalar potentials amounts to
prove a density result for
H = u ∈ H1 (Ω)/R | div(ε grad u) ∈ L2 (Ω); u|∂Ω ∈ H1 (∂Ω) .
We are thus led to consider explicitly the singularities of a transmission problem involving the operator
∆ε u = div(ε grad u). Indeed, if these singularities are too strong, there are singular fields which cannot
be approximated by regular fields. Theorem 1 below characterizes these singular fields in the case of an
impedance boundary condition (see [2] and [5] for a perfect conductor).
In the sequel, Sext denotes the set of boundary vertices; for S ∈ Sext , let ΛDir+
ε,S be the set of positive
(∆
with
Dirichlet
boundary
condition).
With a given λ ∈ ΛDir+
singular exponents of the operator ∆Dir
ε
ε
ε,S
we associate a (unique) eigenvector φλ (θ) satisfying
∂θ (ε∂θ φλ ) + λ2 εφλ = 0
on ]0, ω[ ,
φλ (0) = φλ (ω) = 0,
where (r, θ) are the local polar coordinates with respect to S, and ω is the interior angle at S. We denote by
hS,λ = ηS rλ φλ ,
and ηS is an appropriate cut-off function (ηS ≡ 1 in a neighbourhood of S). Since interior singularities have
been described in [5], we assume up to now that the singular exponents corresponding to interior vertices
are > 1. Our main result is the:
T HEOREM 1. – We have
W = PH 1 (Ω; P) ∩ W ⊕ Span ∇hS,λ S∈Sext ,λ∈ΛDir+ ∩]0,1/2[ .
ε,S
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The following density result is then immediate:
C OROLLARY 1. – The space PH 1 (Ω; P) ∩ W is dense in W if and only if
∀ S ∈ Sext : ΛDir+
ε,S ∩ ]0, 1/2[ = ∅,
(1)
is satisfied.
The above theorem is proved with the help of an analogous result in terms of scalar potentials:
T HEOREM 2. – The space PH 2 (Ω; P) ∩ H is dense in H if and only if (1) is satisfied.
1. Introduction
Dans cette Note, nous traitons la question de densité des fonctions régulières par morceaux dans les
espaces fonctionnels qui interviennent dans la résolution des équations de Maxwell dans des matériaux
composites. Nous considérons la propagation d’une onde électromagnétique dans un domaine Ω borné
composé de J matériaux homogènes avec une condition d’impédance sur le bord. Les résultats seront
démontrés dans le cas d’un domaine bidimensionnel. En ce qui concerne le problème en 3D, des résultats
similaires peuvent être établis et font l’objet d’un travail en cours.
On suppose que Ω est un polygone du plan. Les coefficients électromagnétiques sont donnés par deux
fonctions ε et µ constantes par morceaux ; elles définissent ainsi une partition P de Ω en un ensemble fini
de polygones Ω1 , . . . , ΩJ telle que sur chaque Ωj on ait ε(x) = εj > 0 et µ(x) = µj > 0.
Il découle des équations de Maxwell que le champ électrique E et le champ magnétique H appartiennent
à H(rot; Ω) avec div(εE) ∈ L2 (Ω) (resp. div(µH) ∈ L2 (Ω)), tandis que la trace tangentielle de E (resp.
la trace normale de H) se trouve dans L2 (∂Ω).
Le cas du milieu homogène (J = 1) a été traité dans [3] et [4], et un résultat de densité a été établi
pour des domaines à frontière lipschitzienne. Ici, nous nous proposons de répondre à la question si oui
ou non un résultat de densité similaire est vrai dans le contexte des milieux composites. Nous suivons la
démarche décrite dans [3] pour montrer que la densité ne peut être établie que sous certaines conditions sur
les fonctions ε et µ. En particulier, dès que J > 3, il existe toujours des dispositifs pour lesquels le résultat
de densité est violé.
L’enjeu de ce résultat de densité est à la fois théorique et numérique : il permet en fait de discrétiser les
équations de Maxwell à l’aide d’une méthode d’éléments finis nodaux conforme dans H1 (voir [1] et [2]).
2. Résultats principaux
Précisons à présent le cadre fonctionnel. Pour cela, on considère les équations de Maxwell en régime
harmonique sous la forme d’un problème régularisé (voir [2]) ce qui conduit à rechercher le champ
électrique dans
W = E ∈ H(rot; Ω) | div(εE) ∈ L2 (Ω); E × n|∂Ω ∈ L2 (∂Ω) ,
muni de la norme
2
1/2
.
kEkW = kEk2 + k rot Ek2 + div(εE) + kE × nk2
On introduit les espaces de fonctions régulières par morceaux
PH s (Ω; P) = u ∈ L2 (Ω) | uj ∈ Hs (Ωj ), j = 1, . . . , J ,
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où uj désigne la restriction de u sur Ωj . De même, on pose PH s (Ω; P) = PH s (Ω; P)2 pour les champs
de vecteurs. Pour caractériser l’adhérence de PH 1 (Ω; P) ∩ W dans W , il suffit en fait de considérer la
question en termes de potentiel scalaire. À cet effet, introduisons l’espace
H = u ∈ H1 (Ω)/R | div(ε grad u) ∈ L2 (Ω); u|∂Ω ∈ H1 (∂Ω)
pour lequel on a évidemment grad H ⊂ W .
Le contrôle de ∆ε u = div(ε grad u) en norme L2 fait alors intervenir de manière explicite les
singularités d’un problème scalaire de transmission décrites dans [8–10]. Si ces singularités sont trop
« fortes » (de sorte que la condition (1) ci-dessous n’est plus vérifiée), il existe des champs dits « singuliers »
qui échappent à l’approximation par champs réguliers (et donc par éléments finis nodaux). Une analyse de
ces champs singuliers s’impose alors dans l’objectif de les traiter de manière explicite. Le cas de la condition
de type conducteur parfait (E × n|∂Ω = 0, H · n|∂Ω = 0) a fait l’objet de [2] (milieux homogènes et deux
milieux séparés par un plan) et de [5] (matériaux composites).
Le théorème 1 ci-dessous identifie les singularités pour la condition d’impédance. Plus précisément,
notons Sext l’ensemble des sommets extérieurs (i.e. situés sur le bord) de Ω et pour S ∈ Sext , ΛDir+
ε,S
l’ensemble des exposants singuliers positifs de l’opérateur ∆Dir
(∆ε avec condition de Dirichlet sur le
ε
bord extérieur). À chaque λ ∈ ΛDir+
ε,S est associé un (unique) vecteur propre φλ (θ) qui vérifie
∂θ (ε∂θ φλ ) + λ2 εφλ = 0
sur ]0, ω[ ,
φλ (0) = φλ (ω) = 0,
lorsque (r, θ) sont les coordonnées polaires centrées en S et ω l’angle intérieur en S. Si ηS est une fonction
de troncature qui vaut 1 près de S et 0 sur un voisinage des autres sommets, notons
hS,λ = ηS rλ φλ ,
et posons
ES,λ = ∇hS,λ .
Comme les singularités intérieures ont été décrites dans [5], nous supposons dorénavant que les exposants
singuliers correspondant à des sommets intérieurs sont > 1.
T HÉORÈME 1. – On a la décomposition
W = PH 1 (Ω; P) ∩ W ⊕ Span ES,λ S∈Sext ,λ∈ΛDir+ ∩]0,1/2[ .
ε,S
De ce résultat on déduit immédiatement le :
C OROLLAIRE 1. – L’espace PH 1 (Ω ; P) ∩ W est dense dans W si et seulement si la condition
∀ S ∈ Sext : ΛDir+
ε,S ∩ ]0, 1/2[ = ∅,
(1)
est satisfaite.
Pour la démonstration, nous nous appuyons sur un résultat similaire pour l’espace H des potentiels
scalaires :
T HÉORÈME 2. – L’espace PH 2 (Ω; P) ∩ H est dense dans H si et seulement si (1) est vérifiée.
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3. Densité « vectorielle » et densité « scalaire »
Rappelons que l’objectif de cette Note est la caractérisation de l’adhérence de PH 1 (Ω ; P) ∩ W dans
W . Ce problème se ramène au problème en potentiel scalaire grâce à la :
P ROPOSITION 1. – L’espace PH 1 (Ω; P) ∩ W est dense dans W si et seulement si PH 2 (Ω; P) ∩ H est
dense dans H.
Démonstration. – On montre que sur l’espace H, la semi-norme
1/2
J
X
k∂τj uk20,∂Ωj ∩∂Ω
|u|H = k∆ε uk2 +
j=1
définit une norme équivalente à la norme canonique.
On établit ensuite l’existence d’un potentiel vecteur régulier. Il découle d’un résultat de [6] (appliqué
séparément à chaque sous-domaine Ωj ) qu’il existe F ∈ PH 1 (Ω; P) ∩ H(rot; Ω) vérifiant :
rot F = rot E,
F j × n|∂Ωj = 0,
∀ j = 1, . . . , J, et
kF kPH 1 (Ω;P) 6 c k rot Ek0,Ω .
Or, on n’aura pas en général que div(εF ) ∈ L2 (Ω) globalement sur Ω. Afin de remédier à cette
difficulté, on relève la trace normale de F j sur ∂Ωj en une fonction r ∈ PH 2 (Ω; P) ∩ H10 (Ω) vérifiant
∂rj
= (F j · nk )|Γjk et krkPH 2 (Ω;P) 6 c kF kPH 1 (Ω;P) , l’existence de cette fonction découlant du
∂nk
|Γjk
théorème 1.5.2.8 de [7]. Le champ G = F − grad r est alors un potentiel vecteur de E dans PH 2 (Ω; P) ∩
W ayant les mêmes propriétés que F .
On considère ensuite l’application Φ : W → H qui à E ∈ W associe l’unique élément p ∈ H vérifiant
E = G + grad p. Par construction
de G, Φ est une application continue et surjective. Par ailleurs, il vient
que Φ PH 1 (Ω; P) ∩ W ⊂ PH 2 (Ω; P) ∩ H, et le résultat suit. 2
4. Les singularités
Pour obtenir les théorèmes 1 à 2, il nous reste maintenant à caractériser l’orthogonal de PH 2 (Ω; P) ∩ H
dans H.
(comme
P ROPOSITION 2. – Notons Nε,Dir l’orthogonal (dans L2 (Ω)) de l’image de l’opérateur ∆Dir
ε
⊥
si et seulement si il
opérateur de PH 2 (Ω; P) ∩ H ∩ H10 (Ω) dans L2 (Ω)). Alors f ∈ PH 2 (Ω; P) ∩ H
existe g ∈ Nε,Dir tel que
dans Ω,
∆ε f = g
(2)
∂τ2 f = −ε∂ν g sur ∂Ω.
Démonstration. – Par les lemmes 2.14 et 2.15 de [9], g ∈ Nε,Dir si et seulement si g ∈ L2 (Ω) vérifie
∆ε g = 0 dans Ω et g = 0 sur le bord extérieur. La relation d’orthogonalité pour la norme | · |H implique
⊥
que f ∈ PH 2 (Ω; P) ∩ H si et seulement si
J
X
(∂τj f, ∂τj u)∂Ωj ∩∂Ω = 0,
(∆ε f, ∆ε u)Ω +
∀ u ∈ PH 1 (Ω; P) ∩ H.
j=1
On conclut en posant g = ∆ε f et en appliquant la formule de Green. 2
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⊥
L’ensemble Nε,Dir joue ainsi un rôle essentiel dans la caractérisation de PH 2 (Ω; P) ∩ H . En effet à
Q
−1
chaque g ∈ Nε,Dir non nul tel que ∂ν g est dans H−1 (∂Ω) (égal à L
(Γ` ), lorsque Γl , ` = 1, . . . , L,
`=1 H
forment les côtés de ∂Ω), correspond un élément non trivial de cet orthogonal. Or le lemme 2.22 de [9]
montre que pour tout S ∈ Sext et tout λ ∈ ΛDir+
ε,S , il existe un élément gS,λ dans Nε,Dir qui se comporte
comme r−λ φλ près de S. Sa dérivée normale est donc dans H−1 (∂Ω) si et seulement si λ < 1/2. Sous
la condition (1) la proposition 2 conduit au théorème 2 puisqu’alors la seule fonction g ∈ Nε,Dir telle que
∂ν g ∈ H−1 (∂Ω) est la fonction nulle.
Pour la preuve du théorème 1, grâce au lemme de Lax–Milgram, on montre d’abord que pour tout
2
⊥
satisfaisant
S ∈ Sext et tout λ ∈ ΛDir+
ε,S ∩ ]0, 1/2[ , il existe un élément fS,λ dans (PH (Ω ; P) ∩ H)
(2) avec g = gS,λ . On montre que l’ensemble des fS,λ forme une famille libre et ainsi la dimension
⊥
P
vaut S∈Sext #(ΛDir+
de PH 2 (Ω; P) ∩ H
ε,S ∩ ]0, 1/2[). On conclut en remarquant que les fonctions
hS,λ construites au paragraphe 2 sont dans H, ne sont pas dans PH 2 (Ω; P) ∩ H (par un choix approprié
de la fonction de troncature ηS , on montre que la fonction hS,λ n’est pas orthogonale à fS,λ ) et sont
linéairement indépendantes. Il reste ensuite à remarquer que si h ∈ H r PH 2 (Ω; P) ∩ H, alors la
continuité de l’application Φ introduite dans la démonstration de la proposition 1 implique que ∇h ∈
W r PH 1 (Ω; P) ∩ W .
Remarque 1. – 1) Dans le cas homogène la condition (1) est toujours vérifiée (car les exposants singuliers
du Laplacien avec condition de Dirichlet sont toujours > 1/2).
2) Par le théorème 8.1 de [5], si J > 3, il existe des coefficients εj pour lesquel l’ensemble
ΛDir+
ε,S ∩ ]0, 1/2[ est non vide, et donc pour lesquel (1) est violée.
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