Chapitre 1.1a – Les oscillations

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C Page 1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Chapitre 1.1a – Les oscillations
La cinématique
La cinématique est l’étude du mouvement d’un objet en fonction du temps. Pour ce faire,
nous avons recours aux concepts de position, vitesse et accélération :
Position :
(
)
tx unité : m
Vitesse :
(
)
tv
x
unité : m/s
Accélération :
(
)
ta
x
unité : m/s
2
L’objectif de la cinématique est de définir ces trois fonctions du temps. Ces équations
forment ensemble les équations du mouvement. Grâce au calcul différentiel et intégral, il
existe les relations mathématiques entre ces fonctions
1
:
Relation avec la dérivée : ( )
(
)
t
tx
tv
x
d
d
= et ( )
(
)
(
)
2
2
d
d
d
d
t
tx
t
tv
ta
x
x
==
Relation intégrale :
( ) ( )
∫
=
=−
t
tt
xixx
i
ttavtv d et
( ) ( )
∫
=
=−
t
tt
xi
i
ttvxtx d
La cinématique avec une accélération constante
Considérons une accélération constante de la forme
(
)
0 xx
ata = . Nous pouvons reconstruire
toutes les équations du MUA
2
à partir de l’équation différentielle suivante :
(
)
0 xx
ata = et
(
)
0
2
2
d
d
x
a
t
tx
=
(accélération constante)
1)
( ) ( )
∫
=
=−
t
tt
xixx
i
ttavtv d
⇒
( )
∫
=
=−
t
t
xxx
tavtv
0
00
d (Remplacer
(
)
ta
x
)
⇒
(
)
[
]
t
xxx
tavtv
0
00
=− (Résoudre l’intégrale)
⇒
(
)
tavtv
xxx 00
+=
(Évaluer l’intégrale)
2)
( ) ( )
∫
=
=−
t
tt
xi
i
ttvxtx d
⇒
( ) ( )
∫
=
+=−
t
t
xx
ttavxtx
0
000
d (Remplacer
(
)
tv
x)
⇒
( ) [ ]
t
x
t
x
t
atvxtx
0
2
0
0
00
2
+=−
(Résoudre l’intégrale)
⇒
( )
2
000
2
1tatvxtx
xx
++=
(Évaluer l’intégrale)
1
Rappel de mécanique : Physique XXI Volume A, chapitre 1.13 et 1.14
2
Rappel de mécanique : Physique XXI Volume A, chapitre 1.6

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
L’oscillateur harmonique simple (OHS)
L’oscillateur harmonique simple OHS est une équation différentielle
3
reliant la position x à
l’accélération
x
a de la façon suivante :
xa
x
2
ω −=
À l’aide des relations différentielles reliant
(
)
tx ,
(
)
tv
x et
(
)
ta
x entre elles, nous
pouvons développer l’OHS de la façon suivante :
xa
x
2
ω −=
⇒
x
t
v
x2
d
d
ω −= (Définition de l’accélération, tva
xx
d/d=)
⇒
(
)
x
t
tx
2
d
d/dd
ω −= (Définition de la vitesse, txv
x
d/d=)
⇒
x
t
x
2
2
2
d
d
ω −= (Dérivée seconde,
(
)
22
d/dd/d/dd txttx =)
Nous avons ici une équation contenant uniquement une référence au concept de position x
ainsi que sa dérivée seconde par rapport au temps t. La solution de cette équation
différentielle est une équation du mouvement
(
)
tx associé à un objet qui subit une
accélération de la forme xa
x
2
ω −= . Pour solutionner cette équation différentielle
particulière, il faut :
Trouver une équation
(
)
tx telle que « dérivée deux fois » par rapport à t,
elle est égale à elle-même multipliée par la constante
2
ω −.
Choix #1 :
t
ex
ω
=
Vérification :
(
)
(
)
xe
t
e
t
e
t
x
t
tt
22
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
ωω
ω
ω
ωω
====
Conclusion : Ce choix n’est pas valide , car xx
t
x
22
2
2
d
d
ωω −≠= .
Choix #2 :
(
)
φ
ω
+
=
tAx sin
Vérification :
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) xtA
t
tA
t
tA
t
x
22
2
2
2
2
sin
d
cosd
d
sind
d
d
ωφωω
φωωφω
−=+−=
+
=
+
=
Conclusion : Le choix #2 est judicieux et la fonction est une solution particulière de
l’équation différentielle de l’OHS Cette solution porte le nom de
mouvement harmonique simple (MHS).
3
Une équation différentielle est une relation mathématique entre une ou plusieurs fonctions inconnues et
leurs dérivées.

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Le mouvement harmonique simple (MHS)
L’équation du mouvement harmonique simple MHS est la solution à l’équation
différentielle de l’oscillateur harmonique simple OHS et elle est représentée
mathématiquement à l’aide d’une fonction sinusoïdale. Les conditions de position
initiale
0
x et de vitesse initiale
0 x
v nécessaire à la description complète du mouvement
(
)
tx
sont décrites à l’intérieur des paramètres d’amplitude A et de constante de phase
φ
:
(
)
(
)
φω += tAtx sin
où
(
)
tx : Position de l’objet selon l’axe x (m)
A
: Amplitude du mouvement (m)
ω
: Fréquence angulaire (rad/s)
t
: Temps (s)
φ
: Constante de phase (rad)
A -A
0
x
x > 0 x < 0
Le système masse-ressort est un OHS,
le mouvement est donc un MHS.
Preuve :
La preuve détaillée reliant le MHS
(
)
(
)
φω += tAtx sin comme étant la solution la plus
générale à l’OHS xa
x
2
ω −= est réalisée au chapitre 1.1c. On y trouve également les
relations reliant
0
x et
0 x
v aux paramètres A et
φ
.
Paramètres de l’équation du mouvement harmonique simple
Le mouvement harmonique simple utilise la fonction sinus pour exprimer la position en
fonction du temps. Essayons de mieux comprendre les paramètres utilisés pour décrire ce
mouvement.
Amplitude
A
:
L’amplitude est la position maximale
atteinte durant le mouvement. Cette
position oscille sinusoïdalement entre –A
et + A.
(
)
st
(
)
tAx ω sin=
A
−
A
0
(
)
mx
Ex :
(
)
st
(
)
tx ω sin10 =
10
−
10
0
(
)
mx
(
)
st
(
)
tx ω sin5 =
5
−
5
0
(
)
mx

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Période
T
:
La période représente le temps requis pour
effectuer une oscillation complète. Cette
condition est vérifiée lorsque l’objet
revient à sa position initiale avec la même
vitesse (module et orientation).
(
)
st
(
)
tAx ω sin =
4
T
2
T
4
3T
T
A
−
A
0
T
(
)
mx
T
Ex :
(
)
st
A
−
A
0
s10
(
)
mx
(
)
st
A
−
A
0
s5
(
)
mx
Constante de phase
φ
:
La constante de phase joue le rôle de
condition initiale sur la position à t = 0.
On utilise la constante de phase pour
ajuster l’argument de la fonction sinus afin
de bien faire correspondre
0
x et
0 x
và t = 0.
(
)
radt
ω
2
π
π
2
3
π
π
2
A
−
A
0
π
2
(
)
φω += tAx sin
φ
(
)
mx
Ex :
(
)
radt
ω
A
−
A
0
(
)
tAx
ω
sin
=
(
)
mx
(
)
radt
ω
A
−
A
0
(
)
2/sin
π
ω
+
=
tAx
2/
π
(
)
mx
(
)
radt
ω
A
−
A
0
(
)
π
ω
+
=
tAx sin
π
(
)
mx
(
)
radt
ω
A
−
A
0
2/3
π
(
)
mx
(
)
2/3sin πω += tAx
(
)
radt
ω
A
−
A
0
(
)
2/sin
π
ω
−
=
tAx
2/
π
(
)
mx
(
)
radt
ω
A
−
A
0
π
(
)
mx
(
)
πω −= tAx sin

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C Page 5
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Fréquence angulaire
ω
:
La fréquence angulaire
ω
représente la vitesse à
laquelle une oscillation complète peut être effectuée.
Une oscillation est complétée après 2 π radians
parcourus dans la fonction sinus durant une période
complète T. Ainsi, on peut relier la fréquence
angulaire
ω
et la période T grâce à l’expression
suivante :
T
π
ω
2
=
ou
π
ω
2
=
T
où
ω
: Fréquence angulaire (rad/s)
π
2 : Cycle complet en radian de la fonction sinus de l’oscillation (rad)
T
: Cycle complet temporel de l’oscillation, période (s)
Position en fonction de
t
: (seconde)
(
)
st
(
)
tAx ω sin =
4
T
2
T
4
3T
T
A
−
A
0
T
(
)
mx
T
Position en fonction de
t
ω
: (radian)
(
)
radt
ω
(
)
tAx ω sin =
2
π
π
2
3
π
π
2
A
−
A
0
π
2
(
)
mx
π
2
Situation 1 : Du graphique à l’équation.
Dans un sys
-
tème bloc-ressort, la position du bloc est donnée
par le graphique ci-contre. On désire déterminer
la valeur des paramètres qui permettent de
décrire le mouvement du bloc à l’aide de la fonc-
tion x = A sin( ω t).
x
(m)
t
(s)
0,1
0
–
0,1
2
4
6
8
À partir du graphique, on peut lire l’amplitude et la période de l’oscillation :
m1,0 = A et s8 = T
On peut maintenant évaluer la fréquence angulaire :
T
π
ω
2
=
⇒
( ) 8
2
π
ω =
⇒
rad/s
4
π
ω
=
Nous avons ainsi l’équation du mouvement suivante :
(
)
tAx ω sin=
⇒
=4 sin1,0 t x
π