TRAVAUX DIRIGÉS LM 125 ESPACES VECTORIELS

TRAVAUX DIRIG´ ES LM 125
ESPACES VECTORIELS - APPLICATIONS LIN´ EAIRES
– Les feuilles d’exercices sont aussi disponibles sur ma page web :
http ://cermics.enpc.fr/∼pradeath/Enseignement.html
Questions de cours
Question 1. Rappeler la d´efinition de la somme directe de deux sous-espaces vectoriels et celle de deux
sous-espaces vectoriels suppl´ementaires.
Question 2. Soient Eet Fdeux espaces vectoriels et f∈ L(E, F ). Rappeler la d´efinition du noyau et de
l’image de f.
Question 3. Soient Eet Fdeux espaces vectoriels et f∈ L(E, F ). On suppose que fest un isomorphisme
de Esur F, montrer que f−1est un isomorphisme de Fsur E.
Exercices
Sous-espaces suppl´ementaires.
Exercice 1. Soient Fet Gles deux sous-espaces vectoriels de R4d´efinis par
F=(x, y, z, t)∈R4, x =y=zet G=(x, y, z, t)∈R4, x =t= 0.
Montrer que Fet Gsont des sous-espaces vectoriels suppl´ementaires.
Exercice 2. Soit P2l’espace vectoriel des fonctions polynˆomes r´eelles de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2, et F
et Gles sous-ensembles de P2d´efinis par
F={p∈ P2, p est une fonction paire}et G={p∈ P2, p(0) = p(1) = 0}.
(1) Caract´eriser les ´el´ements de Fet de G.
(2) En d´eduire que Fet Gsont des sous-espaces vectoriels de P2.
(3) Montrer que Fet Gsont suppl´ementaires.
Exercice 3. Soit a∈Ret les sous-espaces vectoriels de R3suivants :
Fa=(x, y, z)∈R3, ax +y−z= 0et Ga=(x, y, z)∈R3, ax −ay −z= 0, x =z.
(1) Trouver une condition n´ecessaire et suffisante sur la valeur de apour que la somme de Faet Gasoit
directe.
(2) Si a= 0, les sous-espaces vectoriels Faet Gasont-ils suppl´ementaires ?
(3) Si a= 1, les sous-espaces vectoriels Faet Gasont-ils suppl´ementaires ?
Exercice 4. Soit E=(un)n∈N∈RN,(un)n∈Nconvergentele sous-espace vectoriel des suites r´eelles
convergentes.
Montrer que l’ensemble des suites constantes et l’ensemble des suites convergeant vers 0sont des sous-
espaces vectoriels suppl´ementaires de E.
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Image et noyau.
Exercice 5. Soit fun endomorphisme de Rn. Montrer que les trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
Rn= Im(f)⊕ker(f),(1)
Im(f) = Im(f2),(2)
ker(f) = ker(f2).(3)
Exercice 6. (1) Pour des applications lin´eaires f∈ L(E, F )et g∈ L(F, G), ´etablir l’´equivalence
g◦f= 0 ⇐⇒ Im f⊂ker g.
(2) Soit fun endomorphisme d’un espace vectoriel Etel que f2+f−2idE= 0, o`u idEest l’application
identit´e. Montrer que
Im(f−idE)⊂ker(f+ 2idE),Im(f+ 2idE)⊂ker(f−idE),
E= ker(f−idE)⊕ker(f+ 2idE).
Exercice 7. Soit n∈Net E=Rn[X]l’espace vectoriel des polynˆomes r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.
Pour p≤n, on note eple polynˆome d´efini par ep(x) = xppour tout x∈R.
Soit fl’application d´efinie sur Epar f(P) = Qo`u Q(x) = P(x+ 1) + P(x−1) −2P(x)pour tout x∈R.
(1) Montrer que fest une application lin´eaire de Edans E.
(2) Calculer f(ep). Quel est son degr´e ? En d´eduire Im fet ker f.
(3) Soit Qun polynˆome de Im f. Montrer qu’il existe un unique polynˆome Ptel que f(P) = Qet
P(0) = P0(0) = 0.
Applications lin´eaires.
Exercice 8. Soit Eun espace vectoriel et f∈ L(E)telle que f3=f2+f+idE, o`u idEest l’application
identit´e. Montrer que fest un automorphisme (i.e. fest bijective).
Exercice 9. Soit Eun espace vectoriel, on note idEl’application identit´e. Soit uun endomorphisme de E,
– on dit que uest un projecteur si u◦u=u,
– on dit que uest involutif si u◦u=idE.
(1) Montrer que si uest un projecteur, alors idE−uest un projecteur. V´erifier que
Im u={x∈E, u(x) = x}et E= ker u⊕Im u.
(2) Montrer que si uest involutif, alors c’est un isomorphisme et E= Im(idE+u)⊕Im(idE−u).
(3) Montrer que si uest un projecteur, alors 2u−idEest involutif. Montrer que tout endomorphisme
involutif peut se mettre sous cette forme.
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