Le foncteur de bi-ensembles des modules de p

POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES
acceptée sur proposition du jury:
Prof. M. Troyanov, président du jury
Prof. J. Thévenaz, directeur de thèse
Prof. E. Bayer Fluckiger, rapporteur
Prof. S. Bouc, rapporteur
Dr R. Stancu, rapporteur
Le foncteur de bi-ensembles des modules de p-permutation
THÈSE NO 5338 (2012)
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE
PRÉSENTÉE LE 21 MAI 2012
À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE BASE
CHAIRE DE THÉORIE DES GROUPES
PROGRAMME DOCTORAL EN MATHÉMATIQUES
Suisse
2012
PAR
Mélanie BAUMANN

Remerciements
En pr´eambuledemath`ese, je souhaite remercier toutes les personnes qui ont apport´e
leur aide `asar´ealisation :
En premier, je souhaite remercier mon directeur de th`ese, le Professeur Jacques
Th´evenaz, pour le temps qu’il a bien voulu me consacrer ainsi que pour sa patience, ses
pr´ecieux conseils et sa relecture. Sans lui, cette th`ese n’aurait pas pu voir le jour.
Je tiens `a remercier le Professeur Marc Troyanov pour avoir accept´ed’ˆetre le pr´esident
du jury ainsi que la Professeur Eva Bayer, le Professeur Serge Bouc et le Docteur Radu
Stancu pour avoir accept´es d’ˆetre membres du jury.
Je remercie l’ensemble du personnel de la Chaire de Th´eorie des Groupes, ainsi que
Mme Maria Cardoso et Mme Anna Dietler pour leur pr´ecieuse aide.
Je tiens `a remercier mes parents pour leur soutien tout au long de mes ´etudes. Un
remerciement tout particulier `a Laurent, pour m’avoir encourag´ee et “support´ee” tout
au long de ces quatres ann´ees (ce ne fut pas toujours facile ;-) ). Je tiens aussi `a remercier
sa famille.
Je remercie les membres de la GNU Generation ainsi que de PolyLAN. Un remer-
ciement particulier `a Marianne. Je remercie aussi Maximilien pour m’avoir r´eguli`erement
empˆech´e de travailler ;-) (et vive “Mon petit Poney” . . . ).
Ce travail n’aurait pu aboutir sans l’aide de nombreuses autres personnes. Que me
pardonnent celles que je ne mentionne pas ici.
iii

R´esum´e
Soit kun corps alg´ebriquement clos de caract´eristique p,o`upest un nombre premier
ou 0. Soient Gun groupe fini et ppk(G) le groupe de Grothendieck des kG-modules de
p-permutation. Si on le tensorise avec C,alorsCppkdevient un foncteur de bi-ensembles
C-lin´eaire.
On rappelle que les foncteurs de bi-ensembles simples SH,V sont param´etris´es par
lespaires(H, V ), o`uHest un groupe fini et Vun COut(H)-module simple. Si on ne
consid`ere que les p-groupes, alors Cppk=CRkest le foncteur usuel des repr´esentations
et on connaˆıt les foncteurs simples qui sont ses facteurs de composition. Si on ne consid`ere
que les p-groupes, alors Cppk=CBest le foncteur de Burnside et l’on connaˆıt aussi les
foncteurs simples qui sont ses facteurs de composition.
On veut trouver les facteurs de composition de Cppken g´en´eral. Pour atteindre cet
objectif, on montre d’abord que les facteurs de composition des cas particuliers ci-dessus
sont aussi des facteurs de composition pour Cppk.Puisonconsid`ere des groupes d’ordre
petit pour essayer de trouver de nouveaux facteurs de composition. Cela nous am`ene `a
trouver les nouveaux facteurs de composition suivants :
•Les foncteurs simples SCm,Cξet SCp×Cp×Cm,Cξ,o`u(m, ξ) parcourt l’ensemble des
paires constitu´ees d’un entier positif mpremier `apet d’un caract`ere primitif
ξ:(Z/mZ)→C. Leur multiplicit´e comme facteur de composition est ´egale `a1.
•Les foncteurs simples SCpCl,C,o`ulest un nombre premier `ap, l’action de Clsur
Cpest fid`ele et Cest le COut(CpCl)-module trivial. Leur multiplicit´e comme
facteur de composition est ´egale `aϕ(l).
•Les foncteurs simples SG,C,o`uGest un B-groupe fini p-hypo-´el´ementaire (dont on
fait une classificiation explicite) et Cle COut(G)-module trivial.
On montre aussi qu’apparaissent des foncteurs simples sp´ecifiques, index´es par les
groupes C3C4,C5C4et A4.
En route, on trouve tous les facteurs de composition du sous-foncteur des modules
de permutation.
Mots cl´es : Foncteur de bi-ensembles, modules de p-permutation, facteurs de composi-
tion.
v