Chapitre NOMBRES DÉCIMAUX 6

Chapitre
NOMBRES DÉCIMAUX
6 ème
Différencier le chiffre et le nombre.
Rangs des chiffres.
Écriture des nombres décimaux en lettres sans utiliser le mot virgule.
Écriture des nombres décimaux sous forme de fraction décimale.
Repérage sur une droite et comparaison des nombres décimaux.
Encadrements, troncatures.
Chapitre
6 ème
NOMBRES DÉCIMAUX
Rappels
Chiffre des millions
Chiffre des centaines de milliers
Chiffre des dizaines de milliers
Chiffre des milliers
Chiffre des centaines
Chiffre des dizaines
Chiffre des unités
virgule
Chiffre des dixièmes
Chiffre des centièmes
Chiffre des millièmes
4
7
8
5
2
5
1
,
6
2
4
Attention : Ne pas confondre « chiffre » et « nombre ».
Exemples :
Pour 0,27 : 7 est le chiffre des centièmes et 27 est le nombre de centièmes
Pour 32 : 2 est le chiffre des unités et 32 est le nombre d’unités.
1) Ecritures d’un nombre décimal :
a) Ecriture à « virgule » :
L’écriture à virgule d’un nombre décimal se compose :
d’une partie entière (à gauche de la virgule)
d’une partie décimale (à droite de la virgule).
Ces deux parties comportent un nombre fini de chiffres.
Exemples :
Pour 13,27 :
la partie entière est 13 unités
la partie décimale est 27 centièmes = 0,27
13 + 0,27 = 13,27
Pour 202,3 :
la partie entière est 202 unités
la partie décimale est 3 dixièmes = 0,3
202,3 = 202 + 0,3
Remarques :
On ne change pas un nombre décimal si on ajoute ou si on enlève :
des 0 avant la partie entière
des 0 après la partie décimale.
Exemples : 4,31 = 04,31 et 2,3 = 2,30
Un nombre entier est aussi un nombre décimal.
Exemple : 32 = 32,0
b) Ecriture « en toutes lettres » :
Exemples :
Le nombre décimal 34,25 peut se lire et s’écrire :
trente-quatre virgule vingt-cinq (lecture « naturelle ») ou encore
trente-quatre unités et vingt-cinq centièmes
0,102 = zéro virgule cent deux
ou encore
0,102 = cent deux millièmes.
c) Ecritures fractionnaires :
Exemples :
1 dixième = 0,1 =1 : 10 =
1
10
1 centième = 0,01 =1 : 100 =
1
100
3 millièmes = 0,003 =3 : 1 000 =
3
1 000
2
= 2 dixièmes
10
5
= 5 centièmes
0,05 = 5 : 100 =
100
0,2 = 2 : 10 =
Remarque :
Un nombre décimal admet plusieurs écritures fractionnaires.
Exemple : 0,25 =
250
25
mais on a aussi 0,25 = 0,250 =
.
100
1 000
Vocabulaire :
Une fraction dont le dénominateur est 1, 10, 100, 1000…etc est une fraction « décimale ».
Exemples :
327
= 327 centièmes
100
567
= 567 dixièmes
10
12 10 2
+
= 1 + 0,2 = 1,2
=
10 10 10
234 200 34
+
= 2 + 0,34 = 2,34
=
100 100 100
3 591 3 000 591
=
+
= 3 + 0,591 = 3,591
1 000 1 000 1 000
75
0 075
= 0,075
=
1 000 1 000
d) Décompositions d’un nombre décimal:
Exemples :
34,25 = ( 3 × 10) + (4 × 1) + ( 2 × 0,1) + (5 × 0,01)
34,25 = 34 +
2
5
+
10 100
34,25 = 34 + 0,25 = 34 +
25
100
2) Repérage sur une demi-droite graduée :
a) Demi-droite graduée :
On appelle « demi-droite graduée » une demi-droite sur laquelle sont fixés :
un point origine
une unité de longueur que l’on reporte régulièrement à partir de l’origine
un sens.
Exemples :
unité de longueur
0
1
2
3
4
5
6
O
A
B
C
D
E
F
L’origine est le point O
b) Abscisse d’un point : (propriété admise)
Sur une demi-droite graduée :
chaque point est repéré par un nombre appelé « abscisse » de ce point
à chaque nombre correspond un point.
Exemples :
L’abscisse du point A est le nombre 1. On dit que 1 est l’abscisse du point A.
On note A(1) ou encore x A = 1 .
L’abscisse du point B est le nombre 2. On dit que 2 est l’abscisse du point B.
On note B(2) ou encore x B = 2 .
L’abscisse du point F est le nombre 6. On dit que 6 est l’abscisse du point F.
On note F(6) ou encore x F = 6 .
3) Comparaison des nombres décimaux:
a) Vocabulaire:
« Comparer deux nombres » signifie déterminer s’ils sont égaux ou non.
S’ils sont différents, il faut préciser lequel est le plus grand.
« Ranger des nombres » dans l’ordre « croissant » revient à les ranger du plus petit au
plus grand.
« Ranger des nombres » dans l’ordre « décroissant » revient à les ranger du plus grand
au plus petit.
b) Notations:
Notation
a<b
a≤b
a>b
a≥b
a=b
Lecture
« a est strictement inférieur à b »
« a est inférieur ou égal à b »
« a est strictement supérieur à b »
« a est supérieur ou égal à b »
« a est égal à b »
Exemple
8 < 12
Taille ≤ 1,20 m
12 > 8
Poids ≥ 50 kg
4 = 4 ,0
Exemples :
Ranger dans l’ordre croissant les nombres 3 ; 11 ; 10 et 14.
La réponse est : 3 < 10 < 11 < 14 .
Ranger dans l’ordre décroissant les nombres 3 ; 11 ; 10 et 14.
La réponse est : 14 > 11 > 10 > 3 .
c) Méthode de comparaison de deux nombres décimaux:
Méthode:
Le plus grand de deux nombres décimaux est celui qui a la plus grande partie entière.
Si les parties entières sont égales, le plus grand nombre est celui qui a le plus grand
chiffre des dixièmes.
Si les parties entières et les chiffres des dixièmes sont égaux, le plus grand nombre est
celui qui a le plus grand chiffre des centièmes.
Et ainsi de suite…
Exemples :
Comparer 179,83 et 181,77.
En comparant les parties entières, on a 179 < 181 donc 179,83 < 181,77 .
Comparer 2,8 et 2,13.
Les parties entières sont égales.
On compare alors les chiffres des dixièmes : 8 > 1 donc 2,8 > 2,13 .
Comparer 7,34 et 7,312.
Les parties entières et les chiffres des dixièmes sont égaux.
On compare alors les chiffres des centièmes : 4 > 1 donc 7,34 > 7,312 .
4) Valeurs approchées d’un nombre décimal:
a) Encadrement :
Vocabulaire:
« Encadrer un nombre » signifie écrire ce nombre entre deux valeurs ; l’une est
inférieure à ce nombre, l’autre est supérieure.
« Intercaler un nombre » entre deux nombres a et b signifie trouver un nombre
compris entre a et b.
Exemples :
Encadrer 26,343 par deux entiers consécutifs ( consécutifs signifie « qui se suivent »).
La réponse est : 26 < 26,343 < 27 .
Intercaler un nombre entre 2,81 et 2,82.
Une des réponses possibles est : 2,81 < 2,811 < 2,82
Remarque : On dit que 2,81 < 2,811 < 2,82 est un « encadrement » de 2,811.
b) Valeurs approchées par défaut ; valeurs approchées par excès:
Vocabulaire:
26 < 26,343 < 27 est un encadrement à l’unité près de 26,343.
26 est une « valeur approchée par défaut à l’unité » près de 26,343.
27 est une « valeur approchée par excès à l’unité » près de 26,343.
26,3 < 26,343 < 26,4 est un encadrement au dixième près de 26,343.
26,3 est une « valeur approchée par défaut au dixième » près de 26,343.
26,4 est une « valeur approchée par excès au dixième » près de 26,343.
26,34 < 26,343 < 26,35 est un encadrement au centième près de 26,343.
26,34 est une « valeur approchée par défaut au centième » près de 26,343.
26,35 est une « valeur approchée par excès au centième » près de 26,343.
Exemple:
Trois personnes veulent partager équitablement une note de restaurant de 47 euros.
Une calculatrice affiche :
On remarque que le résultat de la division donné par la
47 ÷ 3 ≈ 15,66666667
calculette est une valeur approchée par excès.
Comme on ne peut pas aller au-delà du centime d’euro, chaque personne paiera 15,67 €.
On a donc choisi une valeur approchée par excès au centième près pour payer la note.
c) Troncature et arrondi :
Troncature : On appelle troncature au dixième d’un nombre décimal,
le nombre obtenu en supprimant tous les chiffres après le chiffre des dixièmes.
Exemple :
La troncature au dixième de 2,625 est 2,6.
On « coupe » après le chiffre des dixièmes.
Remarque : « troncature » vient du verbe tronquer qui signifie « couper ».
On peut donner des troncatures à tous les rangs :
Exemples :
La troncature au centième de 2,625 est 2,62.
On « coupe » après le chiffre des centièmes.
La troncature à l’unité de 2,625 est 2.
On « coupe » après le chiffre des unités.
Arrondi : On appelle arrondi au dixième d’un nombre N, le nombre à un seul chiffre après
la virgule le plus proche de N.
Exemple :
L’arrondi au dixième de 2,625 est 2,6
En effet, 2,625 est plus proche de 2,6 que de 2,7
puisque le chiffre des centièmes est inférieur à 5.
On peut donner des arrondis à tous les rangs :
Exemples :
L’arrondi à l’unité de 2,625 est 3
En effet, 2,625 est plus proche de 3 que de 2 puisque le chiffre des dixièmes est supérieur à 5.
Il y a une ambiguïté, pour déterminer l’arrondi au centième de 2,625.
En effet, le chiffre des millièmes est égal à 5 donc 2,625 est aussi proche de 2,62 que de 2,63.
Quand il y a une ambiguïté , on choisit par convention la valeur approchée par excès.
Donc on choisira 2,63 comme arrondi au centième de 2,625.
Remarque :
Cette convention pour les arrondis est celle qui est utilisée par la majorité des calculettes.