06 - nombres décimaux Prépa IFSI

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Les nombres décimaux
1 – définition :
Il y a des nombres compris entre deux entiers. Notre système étant décimal, nous pouvons découper cet intervalle en
10 pour obtenir des dixièmes de l’unité. Par exemple entre 1 et 2, le nombre qui suit 1 est 1 +
1
10
. Mais par commodité et
parce que le système décimal nous le permet, on pourrait écrire ce nombre 1,1. Ce nombre comporte une virgule qui sépare la
partie entière à gauche, de la partie décimale ou fractionnaire à droite.
Ce procédé pourrait être réitéré entre 1,1 et 1,2 pour obtenir des dixièmes de dixièmes (centièmes) et ainsi de suite.
De tels nombres sont appelés des nombres décimaux et l’ensemble des nombres décimaux se note ID.
Dans tous les cas, un nombre décimal a un nombre fini de chiffres après la virgule et il peut être bien-sûr négatif.
Un nombre décimal peut se décomposer de plusieurs manières :
Exemple : 1,64 = 1 + 0,64
= 1 +
6 4
10 100
+
= 1 + 0,6 + 0,04
= une unité + 6 dixièmes + 4 centièmes.
On a le tableau suivant :
Classe des
millions Classe des mille Unités simples Partie décimale
c d u c d u c d u dixièmes centièmes millièmes dix-
millièmes Cent- millièmes Mille millième
2 – fractions décimales :
Les nombres décimaux sont un cas particulier des nombres rationnels. Ce sont des fractions dont le dénominateur est
10, 100, 1000 etc c’est-à-dire une puissance de 10 donc :
Si a est décimal alors a =
n
p
10
où p entier relatif et n entier naturel.
La réciproque est fausse. Toutes les fractions ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’un décimal : celle qui le peuvent
comporte des puissances de 2 et/ou de 5 au dénominateur et s’appellent des fractions décimales : on peut mettre leur
dénominateur sous la forme d’une puissance de 10 donc :
Toute fraction de la forme
n m
p
2 5
×
(n et m entiers naturels) est un nombre décimal
3 – opérations :
1) Addition-soustraction : On aligne les chiffres qui se correspondent : centaines avec centaines, unités avec unités,
dixièmes avec dixièmes, centièmes avec centièmes etc….
2) Multiplication : On effectue la multiplication comme avec les entiers sans tenir compte de la virgule, puis on
place la virgule à la fin selon le nombre total de chiffres après la virgule des deux nombres.
3) Division : On ne divise pas avec la virgule. On déplace la virgule vers la droite dans les deux nombres autant de
fois que le nombre qui a le plus de chiffres après la virgule devienne entier. On complète l’autre nombre avec des
0 si c’est nécessaire.
4) Diviser par 0,1 ; 0.01 ; 0,001 : c’est multiplier par 10, 100, 1 000 : on décale la virgule vers la droite.
5) Multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 : c’est diviser par 10, 100, 1 000 : on décale la virgule vers la gauche.