SIMULATION DE VARIABLES ALEATOIRES APPLICATION A LA

SIMULATION
DE
VARIABLES ALEATOIRES
APPLICATION A LA RESOLUTION
D’UN PROBLEME D’ACTUARIAT
On se propose de simuler des réalisations indépendantes de variables aléatoires discrètes ou
continues en utilisant le logiciel scientifique SCILAB. Ensuite on utilisera ces résultats pour
résoudre un problème d’actuariat. La fonction rand() fournissant une valeur tirée selon une loi
uniforme sur [0 1] sera le point de départ de toute simulation (elle existe dans la plupart des
logiciels scientifiques). Dans tout ce qui suit, U désigne une variable uniforme sur [0 1] et
U 1 ,U 2 ,... des variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur [0 1].
PARTIE THEORIQUE
VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES
VARIABLE A NOMBRE FINI DE VALEURS
n
avec p0 = 0 est une variable à n
Vérifier que la variable Y définie par Y = ∑ xi 1I  i−1
i


i =1
 ∑ p j ≤U < ∑ p j 


 j =0
j =0

valeurs x1 , x 2 ,..., x n de loi p1 , p 2 ,..., p n . L’application de cette formule permet en particulier
de simuler des variables de Bernoulli et binômiale.
VARIABLE DE POISSON
Montrer que Z = ∑ n × 1I  n+1
suit une loi de Poisson de paramètre λ .
n


−λ
n ≥1
 ∏U j ≤ e < ∏U j 



j =1
j =1

PROCESSUS DE POISSON HOMOGENE
Un processus de Poisson homogène de taux λ est une variable aléatoire de Poisson de
paramètre λt . On rappelle (cf. exercice II.4) que les laps de temps écoulés entre deux arrivées
successives d’événements régis par un tel processus sont des variables aléatoires
indépendantes exponentielles de même paramètre λ . C’est cette propriété qui sera utilisée
pour générer un processus de Poisson.
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VARIABLES CONTINUES
VARIABLE UNIFORME SUR [a b]
Montrer que la variable X = (b − a )× U + a suit une loi uniforme sur [a b].
VARIABLE EXPONENTIELLE (GENERATION PAR LOI INVERSE)
Soient X une variable aléatoire de fonction de répartition F et T = F −1 (U ). Montrer que X et
T ont même loi. En déduire un procédé permettant de simuler une variable exponentielle de
paramètre λ .
EXERCICE
On considère un processus de Poisson homogène de taux ν . X A désigne la variable aléatoire
« laps de temps écoulé entre deux événements successifs générés par ce processus » . X D est
une variable aléatoire exponentielle de paramètre nµ et X S est la variable aléatoire
exponentielle associée à un processus de Poisson homogène de taux nλ . En outre, on suppose
que X A , X D et X S sont indépendantes.
1. Quelle est la loi suivie par X E = Inf (X A , X D , X S ) ?
2. Calculer P{X E = X A }, P{X E = X D } et P{X E = X S }.
PARTIE PRATIQUE
VARIABLES DISCRETES
1. Construire une fonction générant une matrice m × n de tirages indépendants d’ une
variable discrète à N valeurs (x1 , x 2 ,..., x N ) et de loi (p1 , p 2 ,..., p N ).
2. Ecrire une fonction retournant m réalisations indépendantes d’ une variable de Bernoulli de
paramètre p et traçant l’ histogramme de ces valeurs. On pourra, par exemple, utiliser cette
fonction pour tracer l’ histogramme de 10000 simulations d’ une variable de Bernoulli de
paramètre 0.75.
3. Grâce au 1, déduire une fonction pour simuler une matrice m × n de réalisations
indépendantes d’ une variable binômiale de paramètres (L, p).
4. Créer une fonction retournant une matrice m × n de réalisations indépendantes d’ une
variable de Poisson de paramètre λ .
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5. Tracer sur le même graphique l’ histogramme de 10000 réalisations indépendantes d’ une
loi de Poisson de paramètre 2 et la densité théorique d’ une telle loi multipliée par la taille
du tirage (ici 10000).
VARIABLES CONTINUES
1. Construire une fonction fournissant une matrice m × n de réalisations indépendantes d’ une
loi uniforme sur v = [a b].
2. Créer une fonction exponentielle délivrant une matrice
indépendantes d’ une variable exponentielle de paramètre λ .
m×n
de réalisations
3. Ecrire une nouvelle fonction exponentielle traçant l’ histogramme de N valeurs d’ une
variable exponentielle de paramètre λ rangées en nb classes d’ amplitudes égales.
Superposer sur le même graphique le tracé de la densité théorique. En guise d’ application,
on pourra prendre N = 10000, λ = 0.5 et nb = 20.
MODELE DE RISQUE EN ASSURANCES
Chaque assuré d’ une compagnie d’ assurances déclare un nombre de sinistres qui suit un
processus de Poisson de taux lambda. On suppose que lambda ne varie pas d’ un individu à
l’ autre et que ces processus sont indépendants.
Le montant de l’ indemnité versée consécutive à un sinistre suit une loi uniforme sur v = [a b].
Le nombre de nouveaux assurés est un processus de Poisson de taux nu et la durée pendant
laquelle un assuré reste dans la compagnie suit une loi exponentielle de paramètre mu. Ces
durées sont indépendantes d’ un individu à l’ autre.
Pour simplifier, on supposera que le paiement des primes versées par un assuré à la
compagnie s’ effectue de façon continue avec le temps. C’ est-à-dire que si t 0 et t1 désignent
deux dates quelconques (t 0 < t1 ) auxquelles un assuré est couvert par la compagnie, alors le
montant versé par cet individu entre t 0 et t1 est c × (t1 − t 0 ) avec c constante indépendante du
temps et identique pour chaque assuré.
On se propose d’ effectuer une simulation de ce modèle afin d’ estimer la probabilité pour que
le capital de la compagnie soit toujours positif de la date 0 à la date T.
Pour ce faire, on décrira le système à un instant donné t par le couple (n, a ) avec n le nombre
d’ assurés et a le montant du capital de la compagnie. On notera n0 le nombre d’ assurés à
l’ instant initial et a 0 le capital.
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Afin de faciliter la construction de l’ algorithme, si t désigne une date quelconque à laquelle le
nombre d’ assurés est n , on déterminera les lois des variables aléatoires :
-
X A laps de temps écoulé depuis t pour qu’ un nouvel assuré soit couvert par la compagnie
X D laps de temps écoulé depuis t pour qu’ on enregistre le premier départ parmi les n
clients
X S laps de temps écoulé depuis t pour que le premier sinistre déclaré par l’ un des n
assurés survienne.
L’ évolution du système en fonction du temps sera décrite en considérant l’ occurrence des
événements :{un nouvel assuré est couvert},{un assuré quitte la compagnie} et {un sinistre
est déclaré}.
1. Réaliser l’ algorithme décrivant le fonctionnement du système sur une durée T en notant si
le capital est resté ou non positif durant cette période. On utilisera avec profit les résultats
de l’ exercice de la partie théorique.
2. Ecrire la fonction correspondante permettant l’ estimation de la probabilité cherchée avec
le tracé de son évolution au cours du temps. L’ estimation s’ effectuera à partir d’ un
nombre N de simulations de l’ évolution du système entre 0 et T. Ainsi les paramètres
d’ entrée de la fonction sont N, T, a0 , n0 , c, nu, mu, lambda, v = [a b]. En sortie, la valeur
estimée de la probabilité et le graphe du tracé des estimations en fonction des itérations
successives.
3. Des études statistiques préalables ont permis d’ estimer les paramètres nu, mu, lambda et v
de telle sorte que nu = 1, mu = 1, lambda = 5 et v = [2 10]. La durée de référence choisie
est T = 10, le capital initial est 1000 et le nombre initial d'
assurés est 30. On recherche la
valeur de la prime d’ assurance c (par unité de temps) pour laquelle la probabilité que le
capital soit insuffisant à faire face aux indemnités à verser soit de l’ ordre de 1%. Pour
répondre à cette question, on tracera sur un même graphique les courbes d’ estimation de la
probabilité que le capital soit insuffisant en effectuant à chaque fois 100 itérations dans les
cas c = 1, c = 5, c = 10 et c = 15.
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