Espaces compacts

Chapitre 3
Espaces compacts
Définition 17. Soit Xun espace topologique.
1. Un recouvrement de Xest une famille (Ai)i∈Ide parties de Xtelle que
X=∪i∈IAi. Si de plus Iest un ensemble fini, on dit que (Ai)i∈Iest un
recouvrement fini de X.
2. Soit (Ai)i∈Iun recouvrement de X.SiJ⊂Itel que X=∪j∈JAj, on dit
que (Aj)j∈Jest un sous-recouvrement de (Ai)i∈I.
3. Un recouvrement ouvert de Xest une famille d’ouverts (Ui)i∈Itelle que
X=∪i∈IUi.
Définition 18. Soit Xun espace topologique séparé. On dit que Xest compact si
de tout recouvrement ouvert de Xon peut extraire un sous-recouvrement fini.
Proposition 28. Soit Xun espace topologique séparé. Les propriétés suivantes
sont équivalentes.
i) Xest compact.
ii) De toute famille de fermés dont l’intersection est vide, on peut extraire une
sous-famille finie dont l’intersection est vide.
iii) Toute famille de fermés dont toute sous-famille finie est d’intersection non vide
est elle même d’intersection non vide.
Démonstration. i)⇔ii)
Supposons que ∩i∈IFi=∅.Alors par passage au complémentaire, ∪i∈I(Fi)c=
X. Donc il existe un sous-recouvrement fini ∪j∈J(Fj)cde ∪i∈I(Fi)ctel que ∪j∈J(Fj)c=
X. Donc, ∩j∈JFj=∅.La réciproque est analogue.
ii)⇔iii)
Par contraposée.
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26 CHAPITRE 3. ESPACES COMPACTS
Définition 19. Soient Xun espace topologique et Aune partie de X.
1. On dit que Aest compacte si A, munie de la topologie induite par celle de
Xest un espace compact.
2. On dit que Aest relativement compacte si ¯ Aest compacte.
Théorème 7. Soient Xun espace topologique séparé et Aune partie de X.
1. Si Aest compacte, alors Aest fermée dans X.
2. Si Xest compact et Aest fermée dans X, alors Aest compacte.
3. Si Xest métrisable et Aest compacte, alors Aest bornée.
Démonstration. 1. On va montrer que Acest ouvert en montrant qu’il est voi-
sinage de chacun de ses points. Soit donc x∈Ac. Puisque Xest séparé,
pour tout a∈Ail existe Va∈ V(a)et Ux,a ∈ V(x)tel que Va∩Ua,x =∅.
On a alors A⊂ ∪a∈AVa.Et puisque Aest compact, il existe a1, a2, ...antel
que A⊂ ∪n
i=1Vai. Soit alors U=∩n i=1Ux,ai.Ona∪n i=1Vai∩U=∅,etU
est un voisinage de x, et qui est inclus dans Ac. D’où le résultat.
2. Soit ∪i∈IUiun recouvrement ouvert de A. Puisque Aest fermé, Acest
ouvert, et donc Ac∪(∪i∈IUi)forme un recouvrement ouvert de X. Puis
que Xest compact, il existe U1, ..., Untel que X⊂Ac∪(∪n
i=1Ui). Donc
A⊂ ∪n
i=1Ui.
3. Soit dla distance associée à X. Puisque A⊂ ∪a∈AB(a, 1) et Acom-
pact, il existe a1, ..., antels que A⊂ ∪n
i=1B(ai,1). On pose alors α=
maxn
i=1 d(a1, ai). Pour tout x∈A, il existe i0∈1, ..., n tel que x∈
B(ai0,1). Donc d(x, a1)≤d(x, ai0)+d(ai0, a1)≤α+ 1.
Corollaire 6. Soit Xun espace topologique séparé.
1. Si Kest une partie compacte de Xet Fest une partie fermée de Xalors
K∩Fest une partie compacte de X.
2. Si F1, F2, ..., Fnsont des parties fermées de X, alors la réunion ∪n
i=1Fiest
compacte si et seulement si pour tout i,Fiest compacte.
3. Si (Ki)i∈Iest une famille de parties compactes de X, alors l’intersection
∩i∈IKiest compacte.
Démonstration. 1. C’est une conséquence du 2) du corollaire précédent en
considérant la topologie induie sur K. On peut aussi reprendre la démons-
tration. Soit (Ui)i∈Iune famille d’ouverts recouvrant K∩F. Puisque Fest
fermé Fcest ouvert. De sorte ∪i∈IUi∪Fcrecouvre K. Comme Kest com-
pact on peut en extraire un sous-recouvrement fini ∪i=1nUi∪Fcrecouvrant
K. Alors ∪i=1nUirecouvre K∩F.

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2. L’union finie de compacts est compacte. La réciproque découle du point pré-
cédent.
3. L’intersection de compacts est fermée. Donc compacte, car incluse dans un
compact.
Exercice
Montrer que tout sous-ensemble fini d’un espace topologique est compact.
Théorème 8 (Heine).Tout intervalle fermé et borné de Rest compact.
Démonstration. Soit [a, b]un intervalle fermé borné de R.Sib=aalors [a, b]est
compact. Supposons b > a. Soit (Ui)i∈Iune famille d’ouverts recouvrant [a, b].
Soit El’ensemble des x∈[a, b]pour lesquels il existe J⊂Ifini tel que [a, x]⊂
(Ui)i∈J.Eest non vide car a∈E, et Eest majoré par b. Soit c= sup E. On
va montrer que c∈Eet que c=b. Soit ic∈Itel que c∈Uic. Alors il existe
�>0tel que c∈]c−�, c +�[⊂Uic. Par définition de la borne supérieure il existe
x∈]c−�, c]∩E. Donc il existe J⊂Ifini tel que [a, x]⊂(Ui)i∈J.Alors
[a, c]⊂ ∪i∈JUi∪Uic.Donc c∈E. On montre maintenant que c=b. Supposons
en effet que c < b. Alors soit d∈]c, c +�[∩[a, b]. Alors [a, d]⊂ ∪i∈JUi∪Uic.Ce
qui montre que x∈Ece qui est une contradiction.
Théorème 9 (Bolzano-Weierstrass).Soit Xun espace compact.
1. Pour toute suite décroissante (Fn)n≥0de parties fermées non vides de X, on
a∩n≥0Fn�=∅.
2. Toute suite dans Xa au moins une valeur d’adhérence.
3. Une suite dans Xest convergente si, et seulement si, elle a une unique valeur
d’adhérence qui est alors sa limite.
4. Toute partie infinie Ade Xpossède au moins un point d’accumulation.
Démonstration. 1. Supposons que ∩n≥0(Fn)=∅. Alors puisque Xest com-
pact, il existe Ntel que ∩N
n=0(Fn) = FN=∅, ce qui est une contradiction.
2. D’après la définition 17, on sait que l’ensemble des valeurs d’adhérence est :
A=∩n≥0{xp, p ≥n}.
Or ({xp, p ≥n})n≥0forme une suite décroissante de parties fermées non
vides. Le résultat est donc une conséquence de 1.

28 CHAPITRE 3. ESPACES COMPACTS
3. On sait déjà que si une suite converge alors elle possède une unique va-
leur d’adhérence qui est sa limite. Réciproquement, supposons que la suite
(xn)n≥0possède une unique valeur d’adhérence l. Soit Fn={xp, p ≥n}.
Alors,
∩n≥0Fn=l.
Soit Uun ouvert contenant l. Alors F=Ucest fermé. Et F∩l=F∩
∩n≥0Fn=∅.Or(Fn∩F)n≥0est une suite décroissante de parties fermées.
Donc d’après 1, il existe Ntel que FN∩F=∅. Alors pour tout n≥N,
xn∈U.
4. Soit Aune partie infinie de X. Supposons que Ane possède pas de point
d’accumulation. Alors pour tout x∈Xil existe un voisinage Vxde xtel que
Vx∩A=xou Vx∩A=∅. Or X=∪x∈X{x}=∪x∈XVx. Donc, puisque
Xest compact il existe x1, ..., xn∈Xtels que X=∪n
i=1Vxi. Mais alors
A∩X=A⊂ {x1, ..., xn}.
Ce qui contredit le fait que Aest une partie infinie.
Définition 20. Un espace métrique est dit précompact, si pour tout �>0il existe
un recouvrement fini par des boules de rayon �.
Proposition 29. Soit Xun espace métrique et Aun sous ensemble de X.Ona:
1. L’espace métrique Xest précompact si et seulement si pour tout �>0il
existe un recouvrement fini de Xpar des parties de diamètre inférieur ou
égal à �.
2. Si Xest précompact, alors Aest précompact.
3. Si Aest précompact alors ¯ Aest précompact.
Démonstration. 1. Toute partie de diamètre inférieur ou égal à �est incluse
dans une boule de rayon epsilon.
2. Evident.
3. Si A⊂ ∪n
i=1B(xi, �)alors ¯
A⊂ ∪n
i=1B(xi,2�).
Proposition 30. Soit Xun espace métrique précompact. Alors Xest séparable.
En particulier, tout espace métrique compact est séparable.

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Démonstration. Pour tout n≥1, il existe un ensemble fini Dntel que X=
∪x∈DnB(x, 1
n). On vérifie alors que D=∪n≥1Dnest dense dans X. Puisque tout
espace métrique compact est précompact, on en déduit que tout espace compact est
séparable.
Lemme 1 (Lebesgue).Soient Xun espace métrique tel que toute suite dans X
possède une sous-suite convergente. Soit (Ui)i∈Iun recouvrement ouvert de X.
Alors il existe un réel r > 0tel que toute boule ouverte de rayon rsoit contenue
dans au moins un des Ui.
Démonstration. On raisonne par l’absurde. Supposons que pour tout r > 0il existe
xtel que B(x, r)ne soit incluse dans aucun des Ui. Alors pour tout n, il existe xn
tel que B(xn,1
n)ne soit incluse dans aucun des Ui. On extrait alors une sous-suite
convergente xnkde xn. Soit ala limite de xnk. Alors il existe itel que a∈Ui.
Soit rtel que B(a, r)⊂Ui. Soit nktel que 1
nk<r 2et d(a, xnk)<r 2. Alors pour
tout y∈B(xnk,1
nk), on a que d(y, a)≤d(y, xnk) + d(xnk, a)< r. Autrement dit
B(xnk,1
nk)⊂B(a, r)⊂Ui. Contradiction.
Théorème 10. Soit Xun espace métrique. Les propriétés suivantes sont équiva-
lentes.
1. L’espace topologique Xest compact.
2. L’espace métrique Xest précompact et complet.
3. Toute partie infinie de Xpossède au moins un point d’accumulation.
4. Toute suite de Xpossède une sous-suite convergente.
5. Pour toute suite décroissante de (Fn)n≥0de parties fermées non vides de X,
ona∩n≥0Fn�=∅.
Démonstration. 1) ⇒2)
Tout espace compact est précompact. Par ailleurs puisque Xest compact, toute
suite possède une valeur d’adhérence. Or toute suite de Cauchy possédant une va-
leur d’adhérence converge vers cette valeur d’adhérence. Donc tout espace compact
est complet.
2) ⇒3)
Soit Aune partie infinie de X. On va construire une suite (An)n≥0de parties in-
finies décroissante de X, telles que δ(An)≤2
n. On pose A0=A. Supposons
Anconstruit. Puisque Xest précompact, on peut recouvrir Xpar une famille fi-
nie de boules de rayon 1
n+1 :X=∪x∈IB(x, 1 n+1 ). Puisque Anest infinie et
recouvert par un nombre fini de boules, il existe au moins une des boules conte-
nant une infinité d’éléments de An. Soit B(x, 1
n+1 )cette boule. On pose alors