Mise en graphique

CHAPITRE 1 : Construction d’un graphique et
recherche d'une loi par la méthode graphique
1.1. Utilité d’un graphique
Généralement, on trace un graphique pour l'une des raisons suivantes :
1. Montrer comment une grandeur mesurée varie en fonction d’une autre (toutes les autres
grandeurs susceptibles d’avoir une influence sur la première restant constantes)
Exemple : allongement d’un ressort en fonction de la charge (§ 4.3.a).
2. Déterminer une constante physique
Exemple : la constante de rappel d’un ressort (§ 4.3.a).
3. Réduire l’influence des erreurs accidentelles (§ 4.3).
4. Trouver une relation mathématique entre les grandeurs mesurées et déduire ainsi une loi
physique y = f(x) (§ 4.4).
1.2. Etapes dans l’établissement d’un graphique
4.2.1. Choix des axes
On trace deux axes rectangulaires orientés positivement vers le haut et vers la droite, sur lesquels
on porte généralement, en abscisse, la variable indépendante (x) et en ordonnée, la variable
dépendante (y), représentant souvent la grandeur mesurée.
x
y
4.2.2. Choix des échelles
a) L’origine des axes et les échelles sont choisis de manière à utiliser la plus grande partie de
la feuille de papier graphique dont on dispose, pour avoir la plus grande précision possible sur le
tracé (voir aussi § 4.2.4.g). Si la courbe ne passe pas par l’origine, celle-ci ne doit pas
nécessairement se trouver sur le graphique. On dit dans ce cas que l'on "casse l'échelle".
Exemple_1 : Tableau 1
X [cm] 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9
Y [kg] 4,10 4,25 4,38 4,54 4,66 4,80 4,96
Le tableau 1 donne les valeurs correspondantes de deux variables x et y. Ces valeurs sont portées
de manière plus correcte sur le graphique 2 que sur le graphique 1.

Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi C1 - 2
Plus précisément, pour représenter graphiquement y en fonction de x, on a utilisé ici un canevas
linéaire ou métrique. Les échelles sont choisies d’après le domaine de variation de x et y lors des
mesures mais également telles qu'elles facilitent le report des points.
Pour représenter la fonction donnée au tableau 1, en supposant que x soit donné en cm et y en kg
et que l'on dispose d’un canevas de 20 cm × 30 cm, on peut prendre par exemple comme
échelles: 1 cm / 10cm pour X & 20 cm/kg pour Y.
b) Si la variable dépendante varie de plusieurs ordres de grandeur dans le domaine de mesure,
au lieu de prendre un canevas métrique comme pour le graphique 2, on utilise la représentation
dite semi-logarithmique. L'axe X est linéaire tandis que l'axe Y représente le logarithme en base
10 de Y. Attention, dans ce cas, Y ne peut pas être inférieur ou égal à 0.
Exemple_2 : Tableau 2
X 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9
Y 3,76 37,2 184 550 871 1500 1880
Le graphique 3 est une
représentation semi-
logarithmique de la
fonction donnée au
tableau 2.
c) Si la variable dépendante et la variable indépendante varient toutes deux de plusieurs
ordres de grandeur dans le domaine de mesure, on prend un canevas à deux échelles
logarithmiques ; il est dit canevas log-log. Dans ce cas, ni X, ni Y ne peuvent être
inférieurs ou égaux à 0.
Exemple_3 : Tableau 3
X 0,06 0,15 0,61 3,7 8,9 25 86
Y 3,76 37,2 184 550 871 1500 1880
Le graphique 4 est une
représentation log-log
de la fonction donnée
au tableau 3.

Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi C1 - 3
4.2.3. Report des points et tracé de la courbe
a) Chaque couple (x, y) de coordonnées sera représenté par un point1. Il ne faut pas
perdre de vue que les mesures relatives aux coordonnées sont affectées d’une erreur
absolue que l'on doit calculer pour chaque point. On fera apparaître ces erreurs sur le
graphique sous forme de barres d’erreur.
Une barre d’erreur sur un canevas métrique est un segment de droite centré sur le
point considéré, de longueur égale à deux fois l’erreur absolue sur la coordonnée
concernée et parallèle à l’axe correspondant. y + εy
y − εy
2
ε
y
Symbole du point et de la barre d'erreur pour l'axe Y:
y
Barre d'erreur verticale ¾ on peut aussi dessiner les barres d'erreur pour l'axe X (barres d'erreur
horizontales) :
Exemple_4 :
2 εx
Tableau 4
2 (degré) S (sans dimension)
0
20
55
90
125
160
0
0,08 ± 0,05
0,265 ± 0,041
0,323 ± 0,034
0,382 ± 0,027
0,391 ± 0,021
Pour différentes valeurs de l’angle 2, déterminé à 1° près 2, on a mesuré une grandeur S et estimé
l’erreur absolue sur celle-ci. Les valeurs obtenues, reprises au tableau 4 sont portées sur le
graphique 4 où on a indiqué les barres d’erreur.
b) Dans la plupart des cas, on tracera la courbe de telle façon qu’elle traverse, au mieux,
toutes les barres d’erreur (graphique 4). Si cela n’est pas possible, on la tracera de
manière qu’elle laisse au-dessus d’elle un nombre de points égal à celui qu’elle laisse
en dessous d’elle (graphique 7). Si certains points sont trop éloignés de la courbe, il
s’agit généralement de mesures faussées.
1 Le symbole de représentation de ce point peut être de forme : circulaire, carrée, triangulaire (triangle sur pointe ou
sur base), ou autre … la surface intérieure pouvant être vide ou pleine.
2 La barre d’erreur horizontale ne pourra être dessinée.

Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi C1 - 4
4.2.4. Remarques
a) On indiquera, le long de chaque axe, la nature de la
variable ainsi que l'unité en laquelle elle est exprimée :
un graphique sur lequel on n'a pas porté ces indications n'a
pas de signification !
b) Il n'est pas nécessaire que les ordonnées et les abscisses
soient portées à la même échelle. Si elles le sont, le
coefficient angulaire d'une droite peut être mesuré
directement par la tangente de la pente. Dans le cas
contraire, on calcule le coefficient par le rapport des
ordonnées et des abscisses correspondantes, exprimées
chacune avec les unités utilisées pour le graphique.
c) Chaque graphique portera un titre qui indique clairement
ce qu'il représente.
d) Si le graphique comporte plusieurs courbes, on les
tracera en traits différents, on les numérotera
éventuellement et on joindra une légende au graphique.
e) S’il s’avère intéressant de ne pas choisir le sens des axes comme indiqué au § 4.2.1, on
n’oubliera pas de noter ce sens au moyen d’une flèche.
Dans certains cas, l’examen de l’allure générale de la courbe permet de la prolonger hors du
domaine de mesure. On effectue alors une extrapolation. Ce prolongement de la courbe sera
dessiné en trait interrompu.
f) La courbe tracée permet d’obtenir une valeur probable de la variable dépendante pour toute
valeur de la variable indépendante, dans le domaine de mesure, et inversement. On dit que l’on
fait une interpolation.
g) Nous avons vu au § 4.2.2 comment choisir les échelles. Cependant, on ne peut pas toujours
prendre des échelles aussi grandes. En effet, il est souhaitable que la limite de précision de la
lecture sur le graphique corresponde à la limite de précision de la mesure (par exemple, si l’on
mesure un temps au 1/10 de seconde, il faut que 1/10 de seconde soit représenté par 1 ou 2 mm).
Si l’on prend des échelles plus grandes 3, les erreurs accidentelles entraînent une trop grande
dispersion des points expérimentaux; la courbe est plus difficile à tracer et la loi expérimentale
n’est pas définie avec plus de précision.
Inversement, le canevas dont on dispose peut être trop petit pour appliquer la méthode ci-dessus.
On devra généralement prendre une solution intermédiaire raisonnable , notamment quand
l’erreur absolue est différente suivant la mesure.
Exemple : Pour le graphique 4, 1 mm en ordonnée correspond à 3,3... unités du
dernier chiffre significatif de S.
3 On ne peut plus dessiner la barre d’erreur.

Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi C1 - 5
4.3. Exemples d’utilisation d’un graphique
Un tableau de chiffres ne peut généralement faire ressortir la fonction tandis qu’un graphique
permet de juger, du premier coup d'œil, de l’allure de celle-ci et de déduire des renseignements
sur le phénomène physique étudié.
Exemple_5 : On a mesuré l'allongement d'un ressort en fonction de la force de traction. Les
résultats sont repris au tableau 4 et portés en graphique 5. Puisque l'on cherche le coefficient de
rigidité k du ressort, et que l'on sait que F = −kx, on portera l’allongement x en abscisse et la
force F en ordonnée tel que k représente la pente ou coefficient angulaire de la droite F= f(x).
Si l'examen du tableau ne donne aucun renseignement d'ensemble, celui du graphique 5 montre
immédiatement que le ressort est linéaire pour autant que la charge ne dépasse pas 1 kgf. Au
delà, )x devient de plus en plus grand pour un même )F. On dit que la limite d’élasticité du
ressort est dépassée 4.
Ne considérons plus maintenant que la partie linéaire et changeons l'échelle pour augmenter la
précision. On obtient ainsi le graphique 5'.
Tableau 5
charge F (N) allongement x (cm)
0 0
2 0,55
4 0,95
6 1,50
8 1,95
10 2,55
12 3,15
13 3,75
14 4,50
15 5,75
16 6,60
X (cm) X
5' (cm)
4 Il n’est pas certain, dans ces conditions, que le ressort reprenne sa longueur initiale lorsqu’on supprime la
charge.