Mise en graphique

CHAPITRE 1 : Construction d’un graphique et
recherche d'une loi par la méthode graphique
1.1. Utilité d’un graphique
1.
2.
3.
4.
Généralement, on trace un graphique pour l'une des raisons suivantes :
Montrer comment une grandeur mesurée varie en fonction d’une autre (toutes les autres
grandeurs susceptibles d’avoir une influence sur la première restant constantes)
Exemple : allongement d’un ressort en fonction de la charge (§ 4.3.a).
Déterminer une constante physique
Exemple : la constante de rappel d’un ressort (§ 4.3.a).
Réduire l’influence des erreurs accidentelles (§ 4.3).
Trouver une relation mathématique entre les grandeurs mesurées et déduire ainsi une loi
physique y = f(x) (§ 4.4).
1.2. Etapes dans l’établissement d’un graphique
4.2.1. Choix des axes
On trace deux axes rectangulaires orientés positivement vers le haut et vers la droite, sur lesquels
on porte généralement, en abscisse, la variable indépendante (x) et en ordonnée, la variable
y
dépendante (y), représentant souvent la grandeur mesurée.
x
4.2.2. Choix des échelles
a)
L’origine des axes et les échelles sont choisis de manière à utiliser la plus grande partie de
la feuille de papier graphique dont on dispose, pour avoir la plus grande précision possible sur le
tracé (voir aussi § 4.2.4.g). Si la courbe ne passe pas par l’origine, celle-ci ne doit pas
nécessairement se trouver sur le graphique. On dit dans ce cas que l'on "casse l'échelle".
Exemple_1 :
X [cm]
6
6,5
Y [kg]
4,10
4,25
Tableau 1
7
4,38
7,5
8
8,5
9
4,54
4,66
4,80
4,96
Le tableau 1 donne les valeurs correspondantes de deux variables x et y. Ces valeurs sont portées
de manière plus correcte sur le graphique 2 que sur le graphique 1.
C1 - 2
Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi
Plus précisément, pour représenter graphiquement y en fonction de x, on a utilisé ici un canevas
linéaire ou métrique. Les échelles sont choisies d’après le domaine de variation de x et y lors des
mesures mais également telles qu'elles facilitent le report des points.
Pour représenter la fonction donnée au tableau 1, en supposant que x soit donné en cm et y en kg
et que l'on dispose d’un canevas de 20 cm × 30 cm, on peut prendre par exemple comme
échelles: 1 cm / 10cm pour X & 20 cm/kg pour Y.
b)
Si la variable dépendante varie de plusieurs ordres de grandeur dans le domaine de mesure,
au lieu de prendre un canevas métrique comme pour le graphique 2, on utilise la représentation
dite semi-logarithmique. L'axe X est linéaire tandis que l'axe Y représente le logarithme en base
10 de Y. Attention, dans ce cas, Y ne peut pas être inférieur ou égal à 0.
Exemple_2 :
Tableau 2
X
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
Y
3,76
37,2
184
550
871
1500
1880
Le graphique 3 est une
représentation
semilogarithmique de la
fonction donnée au
tableau 2.
c)
Si la variable dépendante et la variable indépendante varient toutes deux de plusieurs
ordres de grandeur dans le domaine de mesure, on prend un canevas à deux échelles
logarithmiques ; il est dit canevas log-log. Dans ce cas, ni X, ni Y ne peuvent être
inférieurs ou égaux à 0.
Exemple_3 :
Tableau 3
X
0,06
0,15
0,61
3,7
8,9
25
86
Y
3,76
37,2
184
550
871
1500
1880
Le graphique 4 est une
représentation log-log
de la fonction donnée
au tableau 3.
C1 - 3
Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi
4.2.3. Report des points et tracé de la courbe
a)
Chaque couple (x, y) de coordonnées sera représenté par un point1. Il ne faut pas
perdre de vue que les mesures relatives aux coordonnées sont affectées d’une erreur
absolue que l'on doit calculer pour chaque point. On fera apparaître ces erreurs sur le
graphique sous forme de barres d’erreur.
Une barre d’erreur sur un canevas métrique est un segment de droite centré sur le
point considéré, de longueur égale à deux fois l’erreur absolue sur la coordonnée
concernée et parallèle à l’axe correspondant.
y + εy
Symbole du point et de la barre d'erreur pour l'axe Y:
2 εy
y
y − εy
Barre d'erreur verticale ¾ on peut aussi dessiner les barres d'erreur pour l'axe X (barres d'erreur
horizontales) :
Exemple_4 :
2 εx
Tableau 4
S (sans dimension)
2 (degré)
0
20
55
90
125
160
0
0,08 ± 0,05
0,265 ± 0,041
0,323 ± 0,034
0,382 ± 0,027
0,391 ± 0,021
Pour différentes valeurs de l’angle 2, déterminé à 1° près 2, on a mesuré une grandeur S et estimé
l’erreur absolue sur celle-ci. Les valeurs obtenues, reprises au tableau 4 sont portées sur le
graphique 4 où on a indiqué les barres d’erreur.
b)
1
Dans la plupart des cas, on tracera la courbe de telle façon qu’elle traverse, au mieux,
toutes les barres d’erreur (graphique 4). Si cela n’est pas possible, on la tracera de
manière qu’elle laisse au-dessus d’elle un nombre de points égal à celui qu’elle laisse
en dessous d’elle (graphique 7). Si certains points sont trop éloignés de la courbe, il
s’agit généralement de mesures faussées.
Le symbole de représentation de ce point peut être de forme : circulaire, carrée, triangulaire (triangle sur pointe ou
sur base), ou autre … la surface intérieure pouvant être vide ou pleine.
2
La barre d’erreur horizontale ne pourra être dessinée.
Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi
C1 - 4
4.2.4. Remarques
a) On indiquera, le long de chaque axe, la nature de la
variable ainsi que l'unité en laquelle elle est exprimée :
un graphique sur lequel on n'a pas porté ces indications n'a
pas de signification !
b) Il n'est pas nécessaire que les ordonnées et les abscisses
soient portées à la même échelle. Si elles le sont, le
coefficient angulaire d'une droite peut être mesuré
directement par la tangente de la pente. Dans le cas
contraire, on calcule le coefficient par le rapport des
ordonnées et des abscisses correspondantes, exprimées
chacune avec les unités utilisées pour le graphique.
c) Chaque graphique portera un titre qui indique clairement
ce qu'il représente.
d) Si le graphique comporte plusieurs courbes, on les
tracera en traits différents, on les numérotera
éventuellement et on joindra une légende au graphique.
e) S’il s’avère intéressant de ne pas choisir le sens des axes comme indiqué au § 4.2.1, on
n’oubliera pas de noter ce sens au moyen d’une flèche.
Dans certains cas, l’examen de l’allure générale de la courbe permet de la prolonger hors du
domaine de mesure. On effectue alors une extrapolation. Ce prolongement de la courbe sera
dessiné en trait interrompu.
f) La courbe tracée permet d’obtenir une valeur probable de la variable dépendante pour toute
valeur de la variable indépendante, dans le domaine de mesure, et inversement. On dit que l’on
fait une interpolation.
g) Nous avons vu au § 4.2.2 comment choisir les échelles. Cependant, on ne peut pas toujours
prendre des échelles aussi grandes. En effet, il est souhaitable que la limite de précision de la
lecture sur le graphique corresponde à la limite de précision de la mesure (par exemple, si l’on
mesure un temps au 1/10 de seconde, il faut que 1/10 de seconde soit représenté par 1 ou 2 mm).
Si l’on prend des échelles plus grandes 3, les erreurs accidentelles entraînent une trop grande
dispersion des points expérimentaux; la courbe est plus difficile à tracer et la loi expérimentale
n’est pas définie avec plus de précision.
Inversement, le canevas dont on dispose peut être trop petit pour appliquer la méthode ci-dessus.
On devra généralement prendre une solution intermédiaire raisonnable , notamment quand
l’erreur absolue est différente suivant la mesure.
Exemple : Pour le graphique 4, 1 mm en ordonnée correspond à 3,3... unités du
dernier chiffre significatif de S.
3
On ne peut plus dessiner la barre d’erreur.
C1 - 5
Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi
4.3. Exemples d’utilisation d’un graphique
Un tableau de chiffres ne peut généralement faire ressortir la fonction tandis qu’un graphique
permet de juger, du premier coup d'œil, de l’allure de celle-ci et de déduire des renseignements
sur le phénomène physique étudié.
Exemple_5 : On a mesuré l'allongement d'un ressort en fonction de la force de traction. Les
résultats sont repris au tableau 4 et portés en graphique 5. Puisque l'on cherche le coefficient de
rigidité k du ressort, et que l'on sait que F = −kx, on portera l’allongement x en abscisse et la
force F en ordonnée tel que k représente la pente ou coefficient angulaire de la droite F= f(x).
Si l'examen du tableau ne donne aucun renseignement d'ensemble, celui du graphique 5 montre
immédiatement que le ressort est linéaire pour autant que la charge ne dépasse pas 1 kgf. Au
delà, )x devient de plus en plus grand pour un même )F. On dit que la limite d’élasticité du
ressort est dépassée 4.
Ne considérons plus maintenant que la partie linéaire et changeons l'échelle pour augmenter la
précision. On obtient ainsi le graphique 5'.
Tableau 5
charge F (N)
allongement x (cm)
0
2
4
6
8
10
12
13
14
15
16
0
0,55
0,95
1,50
1,95
2,55
3,15
3,75
4,50
5,75
6,60
X (cm)
4
X (cm)
5'
Il n’est pas certain, dans ces conditions, que le ressort reprenne sa longueur initiale lorsqu’on supprime la
charge.
C1 - 6
Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi
Pour déterminer la pente, on choisit deux points A et B sur la droite tracée (non pas des
valeurs apparaissant dans le tableau 4 !). Les plus éloignés possible l’un de l’autre et on calcule :
F − FA
k= B
x B − xA
Ici, on prend A à l’origine et B de coordonnée (2,2; 9) , k = 9/2,25 = 4 N/cm.
On voit (graphique 5') que les points expérimentaux ne sont pas tous sur la droite. Tracer celle-ci
permet de minimiser l’influence des erreurs accidentelles.
Exemple_6 :
On va déterminer l’accélération de la pesanteur g à l’aide d’un pendule simple.
L
On sait que la période du pendule est donnée par : T = 2 π
g
Si on mesure la période T pour différentes longueurs L du pendule et si on porte en graphique T
en fonction de L , on obtient une droite de coefficient angulaire 2π/ g
Les résultats des mesures sont repris au tableau 6 et portés sur le graphique 6.
L(m)
0
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
Tableau 6
√L
0
0,632
0,775
0,894
1
1,095
1,183
1,265
1,342
1,414
1,483
T(sec)
0
1,21
1,58
1,82
1,93
2,18
2,33
2,55
2,64
2,85
2,98
On voit que le tracé de la droite réduit l’influence des erreurs accidentelles. Le calcul du
coefficient angulaire "YB −YA / XB − XA" donne g = 9,90 m.s!2.
C1 - 7
Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi
4.4. Calcul de la meilleure droite : régression linéaire
Lorsqu’on effectue des mesures précises, on n’utilise le graphique que pour se rendre compte de
la forme de la courbe. On propose alors une forme analytique pour cette courbe, dont on se
donne l'équation, et on applique des méthodes numériques pour calculer les paramètres
apparaissant dans cette équation. Ces méthodes, comme la méthode des moindres carrés,
permettent, à partir des résultats de mesure, de calculer la meilleure courbe 5 qui passe parmi les
points expérimentaux. On dit que l'on effectue un ajustement.
Dans les cas que nous étudierons le plus souvent, il s'agira de l'ajustement d'une droite
d'équation: y = mx + y0 avec 2 paramètres à calculer : m et y0. On parle ainsi du calcul de la
meilleure droite ou droite de régression.
La régression6 linéaire par la méthode des moindres carrés consiste à rendre minimal
2
l'expression ∑ y ic − y im où les yic représentent les ordonnées calculées via la relation prédite :
b
g
i
yic = mxi + y0
avec les xi les valeurs mesurées de la variable indépendante et les yim les valeurs mesurées des y
correspondants.
Les paramètres se calculent à l'aide des relations :
N
m =
∑x
i =1
i
− N x y
yi
∑ bx
N
i
−
i =1
y0
=
y
x
g
x
2
− m x
avec
y
=
1 N
xi
∑
N i =1
=
1 N
∑ yi
N i =1
c'est-à-dire <x> la valeur moyenne des xi et <y> la valeur moyenne des yi.
5
6
Ainsi que les erreurs sur les coefficients cherchés.
Régression : meilleur ajustement d'une courbe y = f(x, a, b, c ..) à N points de mesure (x1, y1) (x2, y2) (x3,
y3),… (xN, yN) et k paramètres a, b, c, …k & régression linéaire : meilleur ajustement à N points de mesure
(x1, y1) (x2, y2) (x3, y3),… (xN, yN) et 2 paramètres a et y0.
C1 - 8
Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi
Dans le cas du tableau 6, ces relations donnent g = 9,82 m.s!2 tandis que pour le tableau 5, on
trouve k = 3,99 N.cm!1.
Pour juger de l’excellence de l’ajustement des points expérimentaux (yi, xi) à la droite d’équation
y = mx + y0, on calcule le coefficient de régression r tel que :
∑ bx
N
m
r2
2
=
i =1
N
∑ by
i
i
g
yg
−
x
2
2
−
i =1
et on extraie la racine carrée de r2. On considère que le signe de r est le même que celui de m;
& ! 1 # r # 1 , avec r = ± 1 correspondant à un ajustement parfait.
Pour affecter ensuite d'une erreur les paramètres m et y0, on calcule les expressions suivantes:
c1 − r h m
a N − 2f r
2
εm
= 3σ m
avec σ
2
m
=
2
2
N
εy
0
= 3 σ y0
avec σ 2y0
=
∑x
i =1
N
2
i
σ 2m
4.5. Recherche d’une loi
Nous avons vu, au paragraphe précédent, qu'avant d'appliquer
calculer les paramètres apparaissant dans l’équation régissant
nécessaire, au préalable, de se donner cette équation. Si on
procédera, par exemple, comme décrit ci-dessous, en
successivement.
des méthodes numériques pour
un phénomène physique, il est
ne la connaît pas a priori, on
traçant plusieurs graphiques
Soient x et y deux grandeurs dépendant probablement l'une de l'autre. La forme de l’équation y =
f(x) liant ces grandeurs est inconnue mais on dispose d’une série de couples (xi, yi) mesurés qui
peuvent définir des points sur un graphique.
1ière possibilité : si les points se répartissent approximativement (c-à-d aux erreurs
expérimentales près) sur une droite lorsqu'on porte en graphique y en fonction de x, on dit que y
est une fonction linéaire de x :
y = mx + y0
Les paramètres m et y0 peuvent être déterminés, soit à partir du graphique, soit par voie
numérique (cf. tableau résumé).
C1 - 9
Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi
2ième possibilité : si la première possibilité n’est pas réalisée on peut porter en graphique ln y 7
en fonction de x. Si on obtient une droite, on dit que y est une fonction exponentielle de x. On a :
y = y0 eαx
ln y = ln y0 + α x
car
3ième possibilité : si les deux premières possibilités ne sont pas réalisées, on portera en
graphique log y en fonction de log x (ou ln y en fonction de ln x). Si on obtient une droite, on a :
y = β xn
log y = log β + n log x
car
Remarque importante: Il est évident que l’on obtient une droite quelle que soit la base utilisée pour les
f b xg
logarithmes car si une fonction peut se mettre sous la forme y = e 1 , elle peut également prendre la
bg
bg
forme y = 10 2 ou y = a 3 quelque soit a positif différent de l’unité.
¾ les papiers graphiques utilisent les log en base 10. Cependant, en Physique, ce sont les logarithmes
naturels qui permettent de formuler les lois de la façon la plus simple. On utilisera donc essentiellement
les logarithmes en base e = 2,71828182... pour les lois.
f x
f x
4ème possibilité : On peut également porter y en fonction de ln x. Si on obtient une droite, on dit
que y est une fonction logarithmique de x. On a :
y = a ln x + b
NB Il existe évidemment d’autres possibilités, correspondant à des fonctions plus complexes
dont il est parfois difficile de trouver la forme analytique. D’autre part, il n’est pas toujours
nécessaire de suivre l’ordre indiqué ici, lorsqu'on est guidé, par exemple, par la théorie. Ainsi, si
vous êtes assurés que la loi théorique rendant compte d’un phénomène expérimental est bien une
loi puissance avec un exposant n connu, vous pouvez éventuellement vous contenter de porter en
graphique y en fonction de xn en vue de vérifier que les points expérimentaux ainsi considérés
s’alignent sur une droite passant par l’origine.
En résumé : si on obtient une droite sur
papier graphique
Linéaire
y = m x + y0
Equation y = f(x)
y − y1
Paramètres pente
m= 2
x 2 − x1
Ordonnée à l'origine
y0 = y3 − m ⋅ x3
Semi-log
y = y 0 ⋅ eα x
ln y 2 − ln y1
α=
x 2 − x1
ln y 0 = ln y 3 − α ⋅ x 3
Log-log
y = β ⋅ xn
log y 2 − log y1
n=
log x 2 − log x1
log β = log y 3 − n ⋅ log x 3
⇒ y 0 = e ln y 0
⇒ β = 10log β
y3
e α⋅x 3
TRUC si fonction
décroissante :
méthode T1/2
[α] = [x]−1
[y0] = [y]
raccourci : β =
raccourci : y 0 =
UNITES !
7
[m] = [y] / [x]
[y0] = [y]
ln désigne les logarithmes en base e ou népériens.
log sans notation de base désigne les logarithmes en base 10.
y3
x 3n
n : sans unité !
[β] = [y] / [x]n
C1 - 10
Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi
Remarque très importante :
Si on obtient une droite sur un graphique semi-log avec pente négative c-à-dire une exponentielle
décroissante d'équation :
y = y0 e
−
t
τ
alors il existe une méthode graphique pour une détermination rapide des paramètres y0 et τ.
1/ Détermination de y0 : valeur de y à l'instant initial (pour t = 0) ¾ se lit directement sur le
graphique.
2/ Calcul de τ par la méthode de la demi-vie T1/2 :
Le temps de demi-vie se définit comme le temps que met la grandeur y pour passer de sa valeur
initiale y0 à la moitié de cette valeur initiale (y0/2) :
y0
= 5000
y0 / 2
= 2500
T1/2 = 1,5 s
¾ T1/2 se détermine sur le graphique
¾ τ et T1/2 sont liés par la relation suivante :
car à t = T1/2, on a : y =
T
− 1/ 2
y0
= y0 ⋅ e τ
2
⇒ e
τ=
T1/ 2
τ
T1/ 2
ln 2
=2 ⇒
T1/ 2
= ln 2 .
τ
C1 - 11
Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi
4.6. Exercices
1.
En physique nucléaire, on utilise des détecteurs de rayonnements. Lors de leur mise en
fonctionnement, on mesure, en fonction de leur tension d'alimentation (U en volt), le
nombre de radiations détectées pendant un laps de temps déterminé (→ taux de comptage
ici enregistré en 1 min → en cpm / coups par minute) ainsi que la hauteur des signaux
électriques correspondant (en unités arbitraires [u.a.]). Les résultats des mesures sont
résumés dans le tableau ci-dessous.
U (V)
1800
1850
1900
1950
2000
2050
2100
2150
2200
2250
2300
2350
2400
2450
Taux de comptage
(cpm)
11
164
235
260
269
279
288
283
298
308
317
347
422
517
Hauteur impulsion
( u.a.)
39
40
45
53
64
79
105
149
230
357
548
811
1138
1542
Tracer les 2 graphiques correspondants, en utilisant du papier graphique linéaire dans les 2
cas, soit :
1/ le taux de comptage en fonction de la haute tension, courbe que l'on appelle plateau de
fonctionnement du détecteur dans le jargon des détecteurs de rayonnements;
2/ la hauteur des impulsion en fonction de la haute tension.
Décrivez vos observations.
Pour la partie linéaire du graphique #1, tracer une droite et calculer la pente de celle-ci, ce que
l'on nomme la pente du plateau dans le jargon des détecteurs de rayonnements.
Sachant que l'erreur sur une mesure de comptage est en racine carrée de celui-ci, recalculer la
pente par la méthode des moindres carrés ainsi que l'erreur sur celle-ci.
Dans le cas du graphique #2, quel type de papier graphique aurait–il mieux valu utiliser ?
Vérifiez-le en reportant les points de mesure sur papier graphique mieux approprié.
Réponse : graphique #1 : pente du plateau = 0,154 cpm/V.
Graphique #2 : exponentielle croissante ¾ Papier semi-log.
C1 - 12
Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi
2.
On recherche la loi d’absorption du rayonnement gamma par la matière. Pour cela, on
mesure le nombre Ni de photons qui traversent différentes épaisseurs di de plomb par unité
de temps :
di (cm)
Ni (cpm)
0,1
9231
0,5
6703
1
4493
1,5
3012
Unités de Ni :
2
2019
coups par
2,5
1353
minute ou cpms
3
907
3,5
608
4
408
4,5
273
5
183
Trouver, par la méthode graphique, la loi N = f(d) en utilisant du papier graphique semilog. Déterminer les paramètres de la fonction par calcul et de façon graphique (méthode de
la demi-vie).
Réponse : N = N 0 e − µ d avec N0 = 10000 et µ = − 0,80 cm−1.
3.
En physique nucléaire, on utilise couramment des détecteurs semi-conducteurs. La capacité
électrique d'un tel détecteur dépend de la tension d’alimentation. On a mesuré cette
capacité C en fonction de la tension appliquée U. Les résultats sont donnés au tableau cidessous. On demande de rechercher, en utilisant un graphique log-log, la forme analytique
de la fonction C = f(U) et de calculer les coefficients correspondants.
U(V)
C(pF)
10
25
20
19
40
14
70
11
100
9
200
7
400
5
Réponse : C = 68 U0,44 pF (U en V)
C1 - 13
Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi
4.
Pour un milieu non diffusant, la transparence en un point est le rapport entre les intensités
du flux lumineux transmis et du flux incident en ce point. Elle prend des valeurs comprises
entre 1 (milieu parfaitement transparent) et 0 (milieu parfaitement opaque : absorption
totale).
L’opacité d’un tel milieu est l’inverse de la transparence. Elle prend des valeurs
s’échelonnant de 1 à 4.
Vu la difficulté de manier des grands nombres, on a défini la densité optique comme étant
le logarithme en base 10 de l’opacité. Une mesure de la densité optique pour un milieu non
diffusant donne une valeur indépendante de l’appareil et de la géométrie de la mesure.
Cette grandeur est très utilisée en photographie. En fait, dans le cas d’une image photographique, comme dans le cas de tout milieu diffusant, la valeur mesurée de la densité optique
dépend fortement des conditions de mesure. On doit donc effectuer cette mesure dans des
conditions aussi proches que possible de celles d’utilisation. La valeur ainsi obtenue est
appelée densité photographique. Elle dépend de la quantité de lumière reçue par
l’émulsion, du temps de développement et, comme on vient de le dire, de la façon dont on
l’a mesurée.
On a mesuré, dans des conditions particulières, la densité photographique D d’une
émulsion exposée à une quantité de lumière Q, produit de l’éclairement et du temps de
pose. Q est donc exprimé en lux seconde (symbole lx s). Le tableau ci-dessous donne les
valeurs mesurées de D en fonction de Q ; l’émulsion de départ, le temps de développement
(2 min) et le révélateur (nature et température) étant identiques dans chaque cas.
Quantité de
Densité
lumière
photographique
u.a. : unités arbitraires
Q (lx s)
D (u.a.)
1
0,28
2
0,42
3,5
0,59
5
0,65
7
0,76
10
0,84
On demande de rechercher, en utilisant un graphique semi-log, la forme analytique de la
relation qui lie D à Q {D = f(Q)} et de calculer les coefficients de la "droite"
correspondante.
Réponse : Q = f(D) = 0,342 e4,02 D lx.s. ¾ D = f(Q) = 0,247 ln(Q) + 0,268
C1 - 14
Chapitre 1 : Construction d’un graphique & Recherche d’une loi
5.
On prépare une solution saturée d’acide benzoïque dans 10 cm3 de benzène. On laisse
tomber 1 cm3 de cette solution à la surface de l’eau distillée (40 cm3) contenue dans un
vase muni d’électrodes distantes de 3 cm. Au même instant, on applique la tension entre
les électrodes et on enclenche le chronomètre. On note l’intensité du courant traversant la
solution toutes les minutes à partir de la deuxième minute. On obtient ainsi :
t (min)
I (mA)
2
12,1
3
18,3
4
25,7
5
37,5
6
55,5
7
80,5
8
112,0
9
146,0
10
232,0
11
358,0
On demande de rechercher, par la méthode graphique, la loi donnant l’intensité du courant
en fonction du temps. On calculera les coefficients apparaissant dans la formule par la
méthode des moindres carrés.
Réponse : I = 5,95 e0,367 t mA (t en min).