Régime sinusoïdal forcé (Ex)

PCSI 2 Régime sinusoïdal forcé
2015 – 2016 1/8
REGIME SINUSOIDAL FORCE
I Dipôle inconnu
Dans le montage suivant, le GBF délivre une tension e(t) sinusoïdale de pulsation ω, R est une résistance et D un dipôle inconnu. On
note
€
u(t)=Umcos ω t
( )
et
€
v(t)=Vmcos ω t+ ϕ
( )
les tensions aux bornes respectivement de R et de D.
On visualise à l’oscilloscope v(t), u(t) et on obtient le graphe suivant.
L’unité de l’axe des temps est 10-2 s et celle de l’axe des tensions est 1 V.
On utilise ces résultats graphiques pour déterminer les caractéristiques de D, sachant que R = 100 Ω.
1) Déterminer Vm, Um ainsi que la pulsation ω des signaux utilisés.
2) La tension v est-elle en avance ou en retard sur la tension u ? En déduire le signe de ϕ. déterminer la valeur de ϕ à partir du
graphe.
3) On note Z = X + j Y l’impédance du dipôle D.
a) Déterminer à partir des résultats précédents les valeurs de X et de Y.
b) Par quel dipôle (condensateur, bobine, …) peut-on modéliser D ? Donner ses caractéristiques.
Réponse : Vm = 3,5 V ; Um = 5,0 V ; ω = 1,0.102 rad.s-1 ; ϕ
€
≈
π/4 rad ; X
€
≈
50 Ω ; Y
€
≈
50 Ω ; bobine avec r
€
≈
50 Ω et L
€
≈
0,5 H.
II Détermination de grandeurs électriques en régime sinusoïdal forcé
Dans les deux circuits suivants, le générateur délivre une tension e(t) associée à la tension complexe
€
e=Em
j ω t
.
On donne Em = 15,0 V, ω = 314 rad.s-1, et les impédances R = 1,00.103 Ω, Lω = 2,00.103 Ω et 1/(Cω) = 1,00.103 Ω.
Déterminer les grandeurs complexes notées avec un point d’interrogation, en déduire les expressions réelles des fonctions du temps, et
déterminer l’avance ou le retard temporel de la grandeur par rapport à la tension e(t).
Réponse :
€
uL(t)=21,2 cos 100 π t+
π
4
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
en V en avance de 2,50 ms ;
€
uC(t)=10,6 cos 100 π t−3
π
4
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
en V en retard de 7,50 ms ;
€
uC(t)=13,4 cos 100 π t−0, 46
( )
en V en retard de 1,48 ms ;
€
iL(t)=6, 7 cos 100 π t−2, 03
( )
en mA en retard de 6,48 ms.
-6#
-5#
-4#
-3#
-2#
-1#
0#
1#
2#
3#
4#
5#
6#
-1# 1# 3# 5# 7# 9#
Tension'
t'
u(t)#
v(t)#
D
R
e
u
v
uC ?
R
L
C
e
iL ?
uC ?
R
L
C
e
uL ?

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2015 – 2016 2/8
III On donne le circuit ci-contre.
Déterminer la condition de résonance de tension aux bornes du condensateur.
Réponse : R >
€
L
2C
.
IV On alimente le dipôle AD représenté sur le schéma de la figure ci-contre par
une tension sinusoïdale de valeur instantanée :
u(t) = Uo
€
2
sin ωt
1) Exprimer L en fonction de R, C et ω pour que le dipôle AD soit équivalent
à une résistance pure Req.
2) On donne R = 100 Ω, C = 100/3 µF et ω = 400 rad.s-1. Calculer L.
3) Le circuit étant alimenté par une tension de valeur efficace Uo = 180 V, calculer numériquement la valeur efficace de l'intensité
du courant I dans la bobine.
4) Calculer numériquement les valeurs efficaces des différences de potentiel uAB et uBD.
5) Calculer numériquement les valeurs efficaces des intensités des courants I1 et I2 circulant respectivement dans la résistance et
dans le condensateur.
Réponse : L =
€
R2C
1+R2C2 ω
2
; I = 5 A; UAB = 240 V; UBD = 300 V; I1 = 3 A; I2 = 4 A.
V Etude d’un circuit (R, L, C)
Un dipôle comprend, en série, un résistor de résistance R, une bobine d’inductance L et de résistance négligeable, un condensateur de
capacité C.
On applique, aux bornes A et B du dipôle ainsi constitué, une tension alternative sinusoïdale uAB(t) de fréquence f réglable, de valeur
efficace UAB constante et égale à 1,80 V.
A - Résonance et caractéristiques
On fait varier la fréquence f et on mesure l’intensité efficace I du courant i dans le dipôle.
1) Quelle est l’allure de la courbe ? Justifier.
2) Sur cette courbe, on peut distinguer les trois points suivants :
S, correspondant au sommet de la courbe, de coordonnées (980 Hz, 360 mA) ;
P1 de coordonnées (955 Hz, 254 mA) ; P2 de coordonnées (1020 Hz, 254 mA).
Quelle est la valeur de la résistance R du résistor ?
3) Définir et construire sur le graphique la bande passante à - 3 dB (décibels) du dipôle (R, L, C), et déterminer sa largeur.
En déduire la valeur du facteur de qualité Q du dipôle (R, L, C).
4) Quelle est la valeur de l’inductance L de la bobine ?
5) Quelle est la valeur de la capacité C du condensateur ?
6) Montrer que la tension efficace UC de la tension uC aux bornes du condensateur peut se mettre, à la résonance, sous la forme :
UC = Q.UAB.
7) En déduire l’expression de Q en fonction de R, C et fo (fréquence de résonance du dipôle). Retrouver sa valeur.
8) Expliquer le danger que peut présenter le phénomène de résonance pour certains éléments du circuit.
B – Observation à l’oscilloscope
Avec un oscilloscope bicourbe, on veut visualiser, à la résonance, les variations, en fonction du temps, de uAB(t) d’une part, et de
l’intensité instantanée i(t) d’autre part.
1) Indiquer, sur un schéma, les branchements de l’oscilloscope permettant de visualiser la tension uAB(t) et l’intensité instantanée
i(t). Justifier votre choix.
2) On veut observer, sur l’écran de 10 cm de large sur 8 cm de haut, des courbes correspondant sensiblement à deux périodes des
grandeurs visualisées; préciser les sensibilités que l’on doit utiliser, en les choisissant parmi les valeurs suivantes :
Base de temps en ms.cm-1 : 0,1 ; 0,2 ; 0,5 ; 1 ; 2 ; 5 ; 10 ;
Sensibilités des voies 1 et 2 en V.cm-1 : 0,1 ; 0,2 ; 0,5 ; 1 ; 2 ; 5 ; 10.
3) Représenter les oscillogrammes obtenus.
L
C
R
~
ω
u=Uo cos t
A
B
D
R
C
L
I
I
I
1
2

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Réponse : R = 5 Ω ; Q = 15 ; L = 12,24 mH ; C = 2,15 µF ; 0,2 ms.cm-1 ; 1 V.cm-1.
VI On considère deux signaux sinusoïdaux de même pulsation ω :
u1 (t) = U1m cos ( ω t )
u2(t) = U2m cos ( ω t - ϕ ).
A partir des représentations graphiques des signaux données ci-
contre (t en s et u en V), déterminer
1) la période ;
2) la fréquence ;
3) la pulsation ;
4) les amplitudes et leurs valeurs efficaces ;
5) leur déphasage ϕ en radian et en degré.
Réponse : ω = 942 rad.s-1 ; N = 150 Hz ; T = 6,7 ms ;
U1m = 4 V ; U2m = 3 V ; U1 = 2,8 V ; U2 = 2,1 V ;
ϕ = - 1,18 rad = - 67,5 °.
VII Quartz et électronique
Aucune connaissance sur le quartz et la piézo-électricité n’est requise pour traiter ce problème dans lequel les candidats sont guidés
par de nombreuses questions indépendantes et progressives.
Le quartz est une forme particulière de cristal de silice. Il présente des propriétés physiques très intéressantes : la piézo-électricité.
Quand on comprime un morceau de quartz dans une direction particulière, une tension apparaît aux bornes du cristal (c’est l’effet
piézo-électrique). Réciproquement, quand on applique une tension aux bornes d’un quartz, ce dernier se déforme proportionnellement
à la tension appliquée (c’est l’effet piézo-électrique inverse). Ainsi, le quartz est très intéressant pour l’électronique car on parvient à
réaliser des circuits oscillants, à base de résonateur à quartz, très stables dans le temps. Actuellement le quartz est remplacé par
certaines céramiques piézo-électriques.
Partie A : Modélisation d’un résonateur à quartz
1) Modèles mécanique et électrique du résonateur à quartz
Un cristal de quartz est taillé sous forme de pastille cylindrique mince. La base circulaire présente un diamètre d = 1 cm et
l’épaisseur de la pastille est e = 0,2 mm. Des électrodes métalliques (en or généralement) sont déposées sur chacune des faces
circulaires du quartz (on suppose que ces faces sont totalement métallisées) (figure 1). On parle d’électrodes de connexion. On a
ainsi réalisé un condensateur plan.
Figure 1 : schéma d’un quartz alimenté par une tension V(t)
D’un point de vue mécanique, lorsque l’on soumet le disque piézo-électrique à une tension sinusoïdale V(t) = V.cos(ωt), il va être,
dans le cadre d’une approximation linéaire, le siège d’une vibration mécanique sinusoïdale sous l’effet d’une force extérieure
proportionnelle à cette tension.
u1
u2
V(t)
q
-q
A
B

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Modélisation proposée : un élément de masse m du corps piézo-électrique, placé à une distance x de son point de repos, est soumis
aux forces suivantes, toutes orientées selon un axe (Ox) que l’on ne précise pas ici :
• une force de rappel de type élastique –k.x (k > 0) qui a pour origine la rigidité du matériau,
• des frottements supposés proportionnels à la vitesse et de la forme
€
−h.dx
dt
(h > 0),
• une force due à l’effet piézo-électrique
€
β .V(t)
(β > 0),
• le poids est négligé.
a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique au petit élément de masse m dans le référentiel du laboratoire
supposé galiléen, établir l’équation différentielle vérifiée par x(t) en supposant que le mouvement se fasse selon l’axe (Ox).
D’un point de vue électrique, la charge totale q apparaissant sur les électrodes planes a deux origines :
• les deux faces planes du disque forment un condensateur de capacité Cp, d’où une charge q1(t),
• l’effet piézo-électrique provoque l’apparition d’une charge q2 proportionnelle à x : q2(t) = γ.x(t).
b) On montre que la capacité d’un condensateur plan vaut
€
Cp=
ε
o
ε
rS
e
où S est la surface d’une électrode, e l’épaisseur du
condensateur,
€
ε
o
la permittivité du vide (sa valeur est
€
ε
o
= 8,85.10-12 F.m-1) et
€
ε
r
une constante valant pour le quartz
€
ε
r
= 2,3.
Estimer alors la capacité Cp appelée capacité de connexion.
Quelle est la relation entre la charge q1, la capacité Cp et la tension V(t) ?
c) En reprenant l’équation différentielle obtenue pour x(t), écrire l’équation différentielle vérifiée par la charge q2(t).
d) Considérons le circuit représenté sur la figure 2 ci-dessous.
Figure 2 : circuit R, L, Cs série
Montrer que la charge q2(t) est équivalente à la charge d’un condensateur de capacité Cs dans le circuit série R, L, Cs dont la
tension aux bornes est V(t). On donnera alors les expressions de R, L et Cs en fonction de m, h, β, γ et k.
2) Etude de l’impédance équivalente du quartz
Dans cette partie, on néglige la résistance R du quartz. Le schéma électrique simplifié est alors donné sur la figure 3.
Pour les applications numériques, on prendra L = 500 mH, Cs = 8,00.10-2 pF et Cp = 8,00 pF.
Figure 3 : modèle électrique d’un quartz
On se placera toujours en régime sinusoïdal forcé ( les grandeurs dépendront de la pulsation ω).
a) Calculer alors l’impédance complexe du quartz, vue entre les bornes A et B.
On l’écrira sous la forme :
€
ZAB =−j
αω
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
1−
ω
2
ω
r
2
1−
ω
2
ω
a
2
où j est le nombre imaginaire pur tel que
€
j2=−1
.
R
L
CS
q2
-q2
V(t)
L
CS
A
B
Cp

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2015 – 2016 5/8
On donnera, en fonction de L, Cp et Cs les expressions de α, ωa2 et ωr2.
Montrer aussi que
€
ω
a
2>
ω
r
2
.
On pourra admettre les résultats de cette question pour poursuivre la résolution du problème.
b) Donner les valeurs numériques des fréquences fa et fr correspondant respectivement aux pulsations ωa et ωr.
c) Etudier le comportement inductif ou capacitif du quartz en fonction de la fréquence. On rappelle qu’un dipôle a un
comportement inductif (respectivement capacitif) si la partie imaginaire de son impédance est positive (respectivement
négative).
d) Tracer l’allure de
€
ZAB =ZAB
, module de l’impédance complexe du quartz, en fonction de la fréquence.
3) Etude expérimentale de la résonance d’un quartz
On veut tracer expérimentalement la courbe donnant l’impédance du quartz en fonction de la fréquence d’excitation. On dispose
d’un générateur basses fréquences pouvant délivrer une tension sinusoïdale d’amplitude réglable. Le GBF possède une résistance
interne Rg. On dispose d’une résistance variable, d’un quartz et d’un oscilloscope.
Dans cette question on néglige toujours la résistance du quartz sauf dans la question c).
On réalise alors le montage de la figure 4 suivante.
Figure 4 : montage expérimental pour l’étude de la résonance du quartz
a) Calculer le rapport de la tension de sortie
€
Vs
à celle d’entrée
€
VE
:
€
H=
Vs
VE
en fonction de
€
Rv
et de
€
ZAB
.
b) On choisit, pour chaque fréquence, la résistance
€
Rv
de telle façon que
€
H=1
2
.
Que vaut alors le module de l’impédance du quartz en fonction de
€
Rv
?
c) Autour du pic de résonance d’intensité situé vers 796 kHz, on mesure une bande passante de 50,0 Hz.
Quelle est la valeur numérique du facteur de qualité Q du quartz défini comme le rapport de la fréquence de résonance à la
largeur de la bande passante ? Commenter cette valeur.
Si la fréquence de résonance et la bande passante sont mesurées respectivement avec une incertitude-type de 103 Hz et 0,02 Hz,
quelle sera l’incertitude-type u(Q) sur le facteur de qualité ?
En supposant que le facteur de qualité soit donné par la relation
€
Q=L
ω
o
R
(
€
ω
o
étant la pulsation de résonance), estimer la
valeur de la résistance R du quartz.
Partie B : Principe d’une montre à quartz
Une horloge est composée d’un oscillateur plus ou moins stable dans le temps et d’un système de comptage des oscillations. Le quartz
utilisé présente une fréquence de résonance de 32768 Hz. Cela signifie que 32768 fois par seconde une impulsion électrique est émise
par le circuit oscillant. Un dispositif électrique doit compter les impulsions. Ces compteurs fonctionnent dans la technologie binaire
(suite de 0 et de 1). Une impulsion électrique correspond à la valeur 1. La valeur 0 correspond à aucun signal électrique.
1) Compteur modulo 2
Un tel compteur délivre une impulsion de sortie dès qu’il a compté 2 impulsions à son entrée. Si en entrée d’un tel compteur on
envoie le signal à 32768 Hz délivré par le circuit à quartz, quelle est la fréquence du signal de sortie du compteur modulo 2 ?
GBF
Rg
Rv
A
B
voie A
voie B
VE
VS