7 Généralités sur les fonctions numériques

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Généralités sur les fonctions numériques
Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d’une variable réelle et à
valeurs réelles.
7.1 Notions de base sur les fonctions
Si I, J sont deux parties non vides de R,on note JIl’ensemble de toutes les fonctions définies
sur Iet à valeurs dans J. Les éléments de JIsont plus simplement appelés fonctions de Idans
J.
On notera : f:I→J
x7→ f(x)
ou f:I→Jou f:x7→ f(x)une fonction de Idans J.
L’ensemble JIest une R-algèbre commutative et unitaire en le munissant des opérations
suivantes :
–pour f, g dans JI,la somme f+gest définie par :
∀x∈I, (f+g) (x) = f(x) + g(x),
–pour f, g dans JI,le produit f·gest définie par :
∀x∈I, (f·g) (x) = f(x)·g(x),
–pour fdans JIet λdans R,le produit λf est définie par :
∀x∈I, λf (x) = λf (x).
Pour toute fonction f∈RI,on note f(I)l’image de I. C’est le sous-ensemble de Rdéfini
par :
y∈f(I)⇔ ∃x∈I|y=f(x).
Si fest une fonction de Idans Jet gune fonction définie sur Jet à valeurs réelles, alors la
composée g◦fest la fonction définie sur Ipar :
∀x∈I, g ◦f(x) = g(f(x)) .
On rappelle qu’une fonction fde Idans Jest dite :
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–injective si :
∀(x, x0)∈I2,(f(x) = f(x0)⇔x=x0),
ou de manière équivalente si :
∀(x, x0)∈I2,(x6=x0⇔f(x)6=f(x0)) ,
–surjective de Isur J:
∀y∈J, ∃x∈I|y=f(x),
ou de manière équivalente si J=f(I),
–bijective de Isur Jsi elle est injective et surjective de Isur J, ce qui équivaut à dire que :
∀y∈J, ∃!x∈I|y=f(x).
Dans ce cas la fonction réciproque de fest la fonction f−1définie sur Jet à valeurs dans
Idéfinie par : ¡y∈Jet x=f−1(y)¢⇔(x∈Iet y=f(x)) .
Dans le cas où Iest un intervalle d’extrémités −aet aavec a > 0,on dit que f∈RIest
paire [resp. impaire], si f(−x) = f(x)[resp. f(−x) = −f(x)] pour tout x∈I.
Une fonction paire n’est jamais injective.
Exercice 7.1 Montrer que toute fonction f:R→Rs’écrit de manière unique comme somme
d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
Solution 7.1 Supposons que f=g+havec gpaire et himpaire. Avec :
½f(x) = g(x) + h(x)
f(−x) = g(−x) + h(−x) = g(x)−h(x)
pour tout réel x, on déduit que nécessairement get hsont définies par g(x) = f(x) + f(−x)
2
et h(x) = f(x)−f(−x)
2pour tout réel x, ce qui prouve l’unicité d’une telle décomposition. Et
réciproquement, on vérifie que ces deux fonctions conviennent.
Les fonctions usuelles √·,exp,ln, xa,cos,sin,tan,··· sont supposés connus. Elles seront
définies plus loin.
7.2 Fonctions bornées
Définition 7.1 On dit qu’une fonction f:I→Rest majorée [resp. minorée] si l’ensemble
f(I)est majorée [resp. minorée] dans R,ce qui signifie qu’il existe un réel M[resp. m] tel que :
∀x∈I, f (x)≤M[resp. m≤f(x)].
Définition 7.2 On dit qu’une fonction f:I→Rest bornée si elle est à la fois majorée et
minorée.

Fonctions monotones 169
Du théorème de la borne supérieure, on déduit que si f:I→Rest une fonction qui est
majorée [resp. minorée], alors l’ensemble f(I)admet une borne supérieure [resp. inférieure].
On note sup
x∈I
f(x)[resp. inf
x∈If(x)] cette borne supérieure [resp. inférieure]. On rappelle que la
borne supérieure est le plus petit des majorants de f(I),ce qui se traduit par :
∀x∈I, f (x)≤sup
x∈I
f(x)
∀ε > 0,∃x∈I|sup
x∈I
f(x)−ε < f (x)≤sup
x∈I
f(x)
et que la borne inférieure est le plus grand des minorants de f(I),ce qui se traduit par :
(∀x∈I, inf
x∈If(x)≤f(x)
∀ε > 0,∃x∈I|inf
x∈If(x)≤f(x)<inf x∈If(x) + ε
7.3 Fonctions monotones
Définition 7.3 On dit qu’une fonction f:I→Rest croissante [resp. décroissante] si :
∀(x, x0)∈I2,(x≤x0⇒f(x)≤f(x0)[resp. f(x)≥f(x0)]).
On définit les notions de fonction strictement croissante ou strictement décroissante en rem-
plaçant les inégalités larges par des inégalités strictes.
Définition 7.4 On dit qu’une fonction f:I→Rest monotone si elle est croissante ou
décroissante.
Une fonction strictement monotone est une fonction strictement croissante ou strictement
décroissante.
On résume avec le théorème suivant quelques résultats utiles relatifs aux opérations sur les
fonctions monotones de même sens de variation.
Théorème 7.1 Soient f, g deux fonctions croissantes [resp. décroissantes] de Idans R.
1. La somme f+gest croissante [resp. décroissante] ;
2. si fet gsont à valeurs positives, alors le produit f·gest croissant [resp. décroissant] ;
3. si fest à valeurs strictement positives, alors l’inverse 1
fest décroissante [resp. croissante].
Démonstration. On suppose les fonctions fet gcroissantes et on se donne x, x0dans I
tels que x≤x0.
1. Résulte de :
(f+g) (x) = f(x) + g(x)≤f(x0) + g(x0) = (f+g) (x0).
2. De f(x)≤f(x0)et g(x)≥0,on déduit que f(x)g(x)≤f(x0)g(x)et de g(x)≤g(x0)et
f(x0)≥0,on déduit que f(x0)g(x)≤f(x0)g(x0),ce qui donne f(x)g(x)≤f(x0)g(x0).
3. De 0< f (x)≤f(x0),on déduit que 1
f(x0)≤1 f(x).

170 Généralités sur les fonctions numériques
Théorème 7.2 Soient fune fonction monotone de Idans Ret gune fonction monotone
définie sur une partie Jde Rqui contient f(I).La fonction g◦fest alors monotone sur I.
Cette fonction est croissante si fet gsont de même sens de variation et décroissante sinon.
Démonstration. Soient x, x0dans Itels que x≤x0.
Si fet gsont croissantes, alors f(x)≤f(x0)et g(f(x)) ≤g(f(x0)) .
Si fet gsont décroissantes, alors f(x)≥f(x0)et g(f(x)) ≤g(f(x0)) .
Si fest croissante et gdécroissante, alors f(x)≤f(x0)et g(f(x)) ≥g(f(x0)) .
Si fest décroissante et gcroissante, alors f(x)≥f(x0)et g(f(x)) ≥g(f(x0)) .
Théorème 7.3 Si fest une application strictement monotone de Idans R,elle réalise alors
une bijection de Isur f(I)d’inverse strictement monotone et de même sens de variation que
f.
Démonstration. En remplaçant éventuellement fpar −f, on peut supposer que fest
strictement croissante. Si x6=ydans Ion a x < y ou y < x (l’ordre de Rest total) ce qui
entraîne f(x)< f (y)ou f(y)< f (x),soit f(x)6=f(y)dans tous les cas. La fonction fest
donc injective et elle réalise une bijection de Isur f(I).
Il est facile de vérifier que la fonction réciproque f−1est également strictement croissante.
Le théorème de la borne supérieure nous permet de montrer le résultat suivant important
dans l’étude des points fixes.
Exercice 7.2 Montrer que toute fonction croissante fde I= [a, b]dans I, admet au moins
un point fixe, c’est-à-dire qu’il existe un réel αdans Itel que f(α) = α.
Solution 7.2 L’ensemble :
E={x∈[a, b]|f(x)≥x}
est non vide (f(a)∈[a, b]entraîne f(a)≥a) majoré par b, il admet donc une borne supérieure
α∈[a, b].
Si α=aalors f(x)< x pour tout x∈I\{a}et pour n0∈N∗tel que a+1
n0≤bon a, du fait
de la croissance de fsur I:
∀n≥n0, a ≤f(a)≤fµa+1
n¶< a +1 n
qui par passage à la limite quand ntend vers l’infini donne a=f(a).
Si α > a, par définition de la borne supérieure, on peut trouver pour tout entier naturel non
nul nun réel xn∈¸α−1
n, α¸∩Eet :
∀n≥1, f (α)≥f(xn)≥xn> α −1
n
qui par passage à la limite quand ntend vers l’infini donne f(α)≥α, c’est-à-dire que αest
dans E.
Si α=balors α≤f(α)≤b=αet α=f(α).
Si α < b, pour nassez grand on a α≤f(α)≤fµα+1
n¶< α +1 nqui par passage à la limite
donne α=f(α).
En définitive αest un point fixe de fdans I.

Fonctions monotones 171
Remarque 7.1 Le résultat de l’exercice précédent n’est plus valable pour fdécroissante comme
le montre l’exemple de la fonction fdéfinie par f(x) = 1 si x∈·0,1
2¸et f(x) = 0 si
x∈¸1
2,1¸.
Il n’est pas valable non plus sur un intervalle fermé non borné comme le montre l’exemple de
f(x) = x+ 1 sur [0,+∞[.
Dans le cas d’une fonction décroissante on a le résultat suivant.
Exercice 7.3 Montrer qu’une fonction décroissante fde I= [a, b]dans Iadmet au plus un
point fixe dans I.
Solution 7.3 Si α≤βsont deux points fixes de fdans I, on a alors pour fdécroissante :
α=f(α)≥f(β) = β,
et α=β. La fonction fadmet donc au plus un point fixe dans I.