Table des matières

Table des matières
A Calculus 9
A1 Trigonométrie 11
A1.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A1.1.1 Relation de congruence, mesure d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A1.1.2 Mesure algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A1.2 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A1.3 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
A1.4 Formules de linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
A1.5 Formules de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
A1.6 Formules de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
A1.7 Formulaire de Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
A2 Nombres entiers, suites usuelles 19
A2.1 Relation d’ordre, sous-ensembles de Net de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A2.1.1 Majorants et maximum, minorants et minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A2.1.2 Minimum et maximum d’ensembles d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
A2.2 Généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
A2.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
A2.2.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
A2.2.3 Caractère borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
A2.3 Suites récurrentes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
A2.3.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
A2.3.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
A2.3.3 Suites arithmetico-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
A2.3.4 Suites récurrentes linéaires d’ordre deux à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . 23
A2.4 Sommation des termes d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
A2.5 Produit des termes d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
A2.6 Les coefficients binomiaux et la formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A2.6.1 Factorielle d’un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A2.6.2 Les coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A2.6.3 La formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
A3 Fonctions usuelles 31
A3.1 Fonctions logarithme, exponentielle, hyperboliques et puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A3.1.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A3.1.2 La fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A3.1.3 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
A3.1.4 Les fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
A3.1.5 Croissance comparée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
A3.2 Généralités sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A3.2.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
A3.2.3 Bijection, fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
A3.3 Quelques rappels d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A3.3.1 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A3.3.2 Fonctions paires, impaires, périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A3.3.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 TABLE DES MATIÈRES
A3.3.4 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A3.3.5 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A3.3.6 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
A3.3.7 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
A3.4 Les fonctions trigonométriques et leurs réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A3.4.1 La fonction cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A3.4.2 La fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A3.4.3 La fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A3.5 Dérivation des fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A3.6 Bilan : dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A4 Nombres complexes 47
A4.1 Forme algébrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A4.2 Affixe d’un point ou d’un vecteur du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A4.3 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A4.4 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A4.5 Exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A4.6 L’ensemble des nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
A4.7 Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
A4.8 L’exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A4.9 Transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A4.9.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A4.9.2 Réflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A4.9.3 Homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A4.9.4 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A5 Equations différentielles linéaires à coefficients constants 57
A5.1 Équations d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A5.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A5.1.2 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A5.1.3 Régime transitoire, régime établi (ou permanent) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
A5.1.4 Existence et unicité de la solution à conditions intiales fixées . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A5.2 Équations d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A5.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A5.2.2 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A5.2.3 Unicité de la solution à conditions initiales fixées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A5.2.4 Régime libre, régime forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A6 Racines de l’unité 65
A6.1 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A6.2 Racines n-ièmes d’un complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A6.2.1 Racines de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A6.2.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
A6.3 Équations du second degré dans C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
A7 Calcul intégral 69
A7.1 Quelques résultats sur les primitives et l’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A7.1.1 Notion de primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A7.1.2 Intégrale d’une fonction sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
A7.2 L’intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A7.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A7.3.1 Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A7.3.2 Quand effectuer un changement de variable, et surtout lequel ? . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A7.4 Quelques méthodes à connaitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
A7.5 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

TABLE DES MATIÈRES 3
A8 Arithmétique 77
A8.1 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A8.2 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A8.3 PGCD, PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A9 Sommes doubles 81
A9.1 Sommation sur un carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A9.2 Sommation sur un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
A9.3 Sommation par paquets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
B Analyse 85
B1 Limites de suites 87
B1.1 Borne inférieure et borne supérieure d’un ensemble de réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B1.1.1 Borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B1.1.2 Borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B1.2 Notion de limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
B1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
B1.2.2 Premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
B1.2.3 Opérations élémentaires sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B1.2.4 Comparaison asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B1.3 Méthodes élémentaires de calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B1.4 Quelques critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
B1.4.1 Le théorème de la limite monotone : une condition suffisante de convergence . . . . . . . 93
B1.4.2 Le cas des suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
B1.4.3 Une condition suffisante à l’inexistence d’une limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
B1.5 Suites récurrentes définies par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
B1.5.1 Problèmes de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
B1.5.2 Suites récurrentes définies par une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
B1.5.3 Suites récurrentes définies par une fonction monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
B1.6 Extension aux suites à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
B2 Limites de fonctions et continuité 99
B2.1 Limites : définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
B2.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
B2.1.2 Définition des limites à l’aide de la notion de voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
B2.1.3 Limite en un réel x0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
B2.1.4 Limites à gauche et à droite d’un réel x0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
B2.1.5 Limite en +∞ou −∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
B2.2 Premiers résultats sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B2.2.1 Quelques résultats sur la notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B2.2.2 Opérations élémentaires sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
B2.3 Le théorème de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
B2.4 Continuité et dérivabilité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
B2.4.1 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
B2.4.2 Dérivabilité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
B2.5 Interprétation du taux d’accroissement comme une approximation affine . . . . . . . . . . . . . . 108
B2.6 Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
B2.7 Étude des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
B2.7.1 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
B2.7.2 Propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
B3 Dérivation des fonctions d’une variable réelle 113
B3.1 Dérivée d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
B3.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
B3.1.2 Formules de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
B3.2 Dérivées successives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
B3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4 TABLE DES MATIÈRES
B3.2.2 Produit, inverse et quotient de fonctions de classe Cn(I,R).................. 115
B3.2.3 Composée, réciproque de fonctions de classe Cn(I,R)..................... 116
B3.2.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
B3.3 Propriétés globales des fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
B3.3.1 Extrema locaux d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
B3.3.2 Théorème de Rolle et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
B3.3.3 Variations d’une fonction et signe de sa dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
B3.3.4 Une brève extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
B3.3.5 Théorème de la limite de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B3.4 Quelques formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
B4 Équations différentielles 121
B4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
B4.2 Cas des équations normalisées homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
B4.2.1 Structure de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
B4.2.2 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
B4.3 Cas des équations normalisées non homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B4.3.1 Structure de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B4.3.2 Recherche d’une solution particulière d’une équation non homogène . . . . . . . . . . . . 122
B4.3.3 Plan d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B4.3.4 Existence et unicité de la solution à conditions intiales fixées . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B4.4 Cas général : principe de recollement des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B4.5 La méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B5 Comparaisons locales 127
B5.1 Prépondérance (ou négligeabilité) et domination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B5.1.1 Notion de prépondérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B5.1.2 Notion de domination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
B5.1.3 Propriétés élémentaires de oet O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
B5.2 Équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
B5.2.1 Définition et caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
B5.2.2 Ce qui est vrai (et ce qui ne l’est pas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
B5.3 Changement de variable et composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C Algèbre 135
C1 Logique, ensembles, relations 137
C1.1 Propositions, vérité et valeurs booléennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
C1.1.1 Les connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
C1.1.2 Les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
C1.2 Négation d’une proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
C1.3 Ensembles et relation d’appartenance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
C1.4 Opérations élémentaires sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
C1.4.1 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
C1.4.2 Définition d’un ensemble par compréhension, à partir d’une formule . . . . . . . . . . . . 143
C1.4.3 Union et intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
C1.4.4 Complémentaire d’un ensemble dans un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
C1.4.5 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
C1.5 Notion de relation binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
C1.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
C1.5.2 Relations d’équivalence, classes d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
C1.5.3 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

TABLE DES MATIÈRES 5
C2 Applications 147
C2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
C2.2 Image directe et réciproque d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
C2.3 Fonctions injectives, surjectives et bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
C2.3.1 Injections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
C2.3.2 Surjections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
C2.3.3 Bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
C2.3.4 Applications inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
C3 Systèmes linéaires 153
C3.1 Notion de matrice et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
C3.2 Notion de système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
C3.3 Opérations élémentaires sur les lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
C3.4 Systèmes et matrices échelonnées par lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
C3.5 Algorithme du pivot de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
C3.6 Notion de rang et systèmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
C4 Matrices 161
C4.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
C4.2 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
C4.2.1 Combinaisons linéaires et structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
C4.2.2 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
C4.2.3 Application du produit aux systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
C4.2.4 Propriétés élémentaires du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
C4.2.5 Application du produit : structure de l’ensemble des solutions d’un système linéaire . . . 165
C4.2.6 Puissances d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
C4.3 Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
C4.3.1 Définition et premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
C4.4 Matrices semblables, matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
C4.5 Transposition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
C4.6 Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
C4.6.1 Caractérisation des matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
C4.6.2 Calcul de l’inverse d’une matrice par la méthode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . 171
C5 Espaces vectoriels 173
C5.1 Définition et exemples de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
C5.2 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
C5.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
C5.2.2 Notion de famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
C5.2.3 Notion de famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
C5.2.4 Notion de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
C5.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
C5.3.1 Définition, caractérisation et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
C5.3.2 Sous-espace vectoriel engendré par un nombre fini de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 178
C5.3.3 Intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
C5.3.4 Sous-espace vectoriel engendré par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
C5.3.5 Sommes de sous-espaces, sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
C6 Espaces vectoriels de dimension finie 181
C6.1 Introduction aux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
C6.1.1 Définition, caractérisation et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
C6.1.2 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
C6.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
C6.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
C6.2.2 Le théorème de la base incomplète (et ses avatars) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
C6.2.3 Dimension d’un espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
C6.2.4 Interaction de la notion de cardinal avec les familles libres et génératrices . . . . . . . . . . 185
C6.2.5 Introduction à l’étude des espaces vectoriels de dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . 186