Table des matières

Table des matières
A Calculus
A1 Trigonométrie
A1.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A1.1.1 Relation de congruence, mesure d’un angle
A1.1.2 Mesure algébrique . . . . . . . . . . . . . . .
A1.2 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . .
A1.3 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A1.4 Formules de linéarisation . . . . . . . . . . . . . . .
A1.5 Formules de factorisation . . . . . . . . . . . . . . .
A1.6 Formules de changement de variable . . . . . . . .
A1.7 Formulaire de Trigonométrie . . . . . . . . . . . . .
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A2 Nombres entiers, suites usuelles
A2.1 Relation d’ordre, sous-ensembles de N et de R . . . . . . . . . . . . . .
A2.1.1 Majorants et maximum, minorants et minimum . . . . . . . . . .
A2.1.2 Minimum et maximum d’ensembles d’entiers . . . . . . . . . . .
A2.2 Généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A2.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A2.2.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A2.2.3 Caractère borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A2.3 Suites récurrentes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A2.3.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A2.3.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A2.3.3 Suites arithmetico-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A2.3.4 Suites récurrentes linéaires d’ordre deux à coefficients constants
A2.4 Sommation des termes d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A2.5 Produit des termes d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A2.6 Les coefficients binomiaux et la formule du binôme de Newton . . . . .
A2.6.1 Factorielle d’un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A2.6.2 Les coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A2.6.3 La formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3 Fonctions usuelles
A3.1 Fonctions logarithme, exponentielle, hyperboliques et puissance
A3.1.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.1.2 La fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.1.3 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.1.4 Les fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.1.5 Croissance comparée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.2 Généralités sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.2.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.2.3 Bijection, fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.3 Quelques rappels d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.3.1 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.3.2 Fonctions paires, impaires, périodiques . . . . . . . . . . .
A3.3.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
TABLE DES MATIÈRES
A3.3.4 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.3.5 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.3.6 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.3.7 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.4 Les fonctions trigonométriques et leurs réciproques
A3.4.1 La fonction cosinus . . . . . . . . . . . . . . .
A3.4.2 La fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . .
A3.4.3 La fonction tangente . . . . . . . . . . . . . .
A3.5 Dérivation des fonctions à valeurs complexes . . . .
A3.6 Bilan : dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . .
A4 Nombres complexes
A4.1 Forme algébrique d’un nombre complexe . . . . .
A4.2 Affixe d’un point ou d’un vecteur du plan . . . .
A4.3 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . .
A4.4 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . .
A4.5 Exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . . . . .
A4.6 L’ensemble des nombres complexes de module 1
A4.7 Forme trigonométrique d’un nombre complexe .
A4.8 L’exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . .
A4.9 Transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . .
A4.9.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A4.9.2 Réflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A4.9.3 Homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A4.9.4 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A5 Equations différentielles linéaires à coefficients constants
A5.1 Équations d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A5.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A5.1.2 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A5.1.3 Régime transitoire, régime établi (ou permanent) . . . . . . .
A5.1.4 Existence et unicité de la solution à conditions intiales fixées
A5.2 Équations d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A5.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A5.2.2 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A5.2.3 Unicité de la solution à conditions initiales fixées . . . . . . .
A5.2.4 Régime libre, régime forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A6 Racines de l’unité
A6.1 Fonctions polynomiales . . . . . . . . .
A6.2 Racines n-ièmes d’un complexe non nul
A6.2.1 Racines de l’unité . . . . . . . . .
A6.2.2 Cas général . . . . . . . . . . . .
A6.3 Équations du second degré dans C . . .
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A7 Calcul intégral
A7.1 Quelques résultats sur les primitives et l’intégration . . . . . . . . . . .
A7.1.1 Notion de primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A7.1.2 Intégrale d’une fonction sur un segment . . . . . . . . . . . . .
A7.2 L’intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A7.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A7.3.1 Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A7.3.2 Quand effectuer un changement de variable, et surtout lequel ?
A7.4 Quelques méthodes à connaitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A7.5 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
3
A8 Arithmétique
A8.1 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A8.2 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A8.3 PGCD, PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
77
78
78
A9 Sommes doubles
A9.1 Sommation sur un carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A9.2 Sommation sur un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A9.3 Sommation par paquets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
81
82
83
B Analyse
85
B1 Limites de suites
B1.1 Borne inférieure et borne supérieure d’un ensemble de réels . . . . . . . . . . . . . . .
B1.1.1 Borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B1.1.2 Borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B1.2 Notion de limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B1.2.2 Premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B1.2.3 Opérations élémentaires sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B1.2.4 Comparaison asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B1.3 Méthodes élémentaires de calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B1.4 Quelques critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B1.4.1 Le théorème de la limite monotone : une condition suffisante de convergence
B1.4.2 Le cas des suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B1.4.3 Une condition suffisante à l’inexistence d’une limite . . . . . . . . . . . . . . .
B1.5 Suites récurrentes définies par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B1.5.1 Problèmes de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B1.5.2 Suites récurrentes définies par une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . .
B1.5.3 Suites récurrentes définies par une fonction monotone . . . . . . . . . . . . . .
B1.6 Extension aux suites à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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96
97
B2 Limites de fonctions et continuité
B2.1 Limites : définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B2.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B2.1.2 Définition des limites à l’aide de la notion de voisinage . . . . . .
B2.1.3 Limite en un réel x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B2.1.4 Limites à gauche et à droite d’un réel x0 . . . . . . . . . . . . . . .
B2.1.5 Limite en +∞ ou −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B2.2 Premiers résultats sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B2.2.1 Quelques résultats sur la notion de limite . . . . . . . . . . . . . . .
B2.2.2 Opérations élémentaires sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . .
B2.3 Le théorème de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B2.4 Continuité et dérivabilité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B2.4.1 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B2.4.2 Dérivabilité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B2.5 Interprétation du taux d’accroissement comme une approximation affine
B2.6 Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B2.7 Étude des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B2.7.1 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B2.7.2 Propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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109
109
110
B3 Dérivation des fonctions d’une variable réelle
B3.1 Dérivée d’une fonction en un point . . . . .
B3.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . .
B3.1.2 Formules de dérivation . . . . . . .
B3.2 Dérivées successives d’une fonction . . . .
B3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . .
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4
TABLE DES MATIÈRES
B3.2.2 Produit, inverse et quotient de fonctions de classe C n ( I, R )
B3.2.3 Composée, réciproque de fonctions de classe C n ( I, R ) . . .
B3.2.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B3.3 Propriétés globales des fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . .
B3.3.1 Extrema locaux d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . .
B3.3.2 Théorème de Rolle et applications . . . . . . . . . . . . . . .
B3.3.3 Variations d’une fonction et signe de sa dérivée . . . . . . .
B3.3.4 Une brève extension aux fonctions à valeurs complexes . .
B3.3.5 Théorème de la limite de la dérivée . . . . . . . . . . . . . .
B3.4 Quelques formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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120
B4 Équations différentielles
B4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B4.2 Cas des équations normalisées homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B4.2.1 Structure de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B4.2.2 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B4.3 Cas des équations normalisées non homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . .
B4.3.1 Structure de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B4.3.2 Recherche d’une solution particulière d’une équation non homogène
B4.3.3 Plan d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B4.3.4 Existence et unicité de la solution à conditions intiales fixées . . . . .
B4.4 Cas général : principe de recollement des solutions . . . . . . . . . . . . . . .
B4.5 La méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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B5 Comparaisons locales
B5.1 Prépondérance (ou négligeabilité) et domination
B5.1.1 Notion de prépondérance . . . . . . . . .
B5.1.2 Notion de domination . . . . . . . . . . .
B5.1.3 Propriétés élémentaires de o et O . . . . .
B5.2 Équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B5.2.1 Définition et caractérisation . . . . . . . .
B5.2.2 Ce qui est vrai (et ce qui ne l’est pas) . .
B5.3 Changement de variable et composition . . . . .
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Algèbre
C1 Logique, ensembles, relations
C1.1 Propositions, vérité et valeurs booléennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1.1.1 Les connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1.1.2 Les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1.2 Négation d’une proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1.3 Ensembles et relation d’appartenance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1.4 Opérations élémentaires sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1.4.1 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1.4.2 Définition d’un ensemble par compréhension, à partir d’une formule
C1.4.3 Union et intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1.4.4 Complémentaire d’un ensemble dans un autre . . . . . . . . . . . . . .
C1.4.5 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1.5 Notion de relation binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1.5.2 Relations d’équivalence, classes d’équivalence . . . . . . . . . . . . . .
C1.5.3 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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146
TABLE DES MATIÈRES
C2 Applications
C2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C2.2 Image directe et réciproque d’un ensemble
C2.3 Fonctions injectives, surjectives et bijectives
C2.3.1 Injections . . . . . . . . . . . . . . . .
C2.3.2 Surjections . . . . . . . . . . . . . . .
C2.3.3 Bijections . . . . . . . . . . . . . . . .
C2.3.4 Applications inversibles . . . . . . .
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C3 Systèmes linéaires
C3.1 Notion de matrice et exemples . . . . . . . .
C3.2 Notion de système linéaire . . . . . . . . . .
C3.3 Opérations élémentaires sur les lignes . . . .
C3.4 Systèmes et matrices échelonnées par lignes
C3.5 Algorithme du pivot de Gauss-Jordan . . . .
C3.6 Notion de rang et systèmes de Cramer . . .
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C4 Matrices
C4.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C4.2 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C4.2.1 Combinaisons linéaires et structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C4.2.2 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C4.2.3 Application du produit aux systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C4.2.4 Propriétés élémentaires du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C4.2.5 Application du produit : structure de l’ensemble des solutions d’un système linéaire
C4.2.6 Puissances d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C4.3 Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C4.3.1 Définition et premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C4.4 Matrices semblables, matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C4.5 Transposition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C4.6 Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d’une matrice . . . . . . . . . . . . . .
C4.6.1 Caractérisation des matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C4.6.2 Calcul de l’inverse d’une matrice par la méthode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . .
C5 Espaces vectoriels
C5.1 Définition et exemples de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C5.2 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C5.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C5.2.2 Notion de famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C5.2.3 Notion de famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C5.2.4 Notion de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C5.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C5.3.1 Définition, caractérisation et exemples . . . . . . . . . . . . . . .
C5.3.2 Sous-espace vectoriel engendré par un nombre fini de vecteurs
C5.3.3 Intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . .
C5.3.4 Sous-espace vectoriel engendré par une partie . . . . . . . . . .
C5.3.5 Sommes de sous-espaces, sous-espaces supplémentaires . . . .
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C6 Espaces vectoriels de dimension finie
C6.1 Introduction aux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C6.1.1 Définition, caractérisation et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C6.1.2 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C6.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C6.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C6.2.2 Le théorème de la base incomplète (et ses avatars) . . . . . . . . . . . . .
C6.2.3 Dimension d’un espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . .
C6.2.4 Interaction de la notion de cardinal avec les familles libres et génératrices
C6.2.5 Introduction à l’étude des espaces vectoriels de dimension infinie . . . .
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6
TABLE DES MATIÈRES
C6.3 Dimension et sous-espaces vectoriels . . . . . . .
C6.3.1 Croissance de la dimension . . . . . . . .
C6.3.2 Dimension et somme de sous-espaces . .
C6.3.3 Dimension d’un produit de sous-espaces
C6.4 Rang d’une famille finie de vecteurs . . . . . . .
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C7 Polynômes
C7.1 Suites à support fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C7.2 Polynômes, structure d’espace vectoriel sur K [ X ] . .
C7.3 Produit de polynômes, structure d’algèbre sur K [ X ] .
C7.4 Composition de polynômes . . . . . . . . . . . . . . .
C7.5 Dérivation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . .
C7.6 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Géométrie
D1 Géométrie du plan
D1.1 Familles libres, familles liées . . . . . .
D1.1.1 Coordonnées cartésiennes . . . .
D1.2 Changement de repère cartésien . . . .
D1.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . .
D1.4 Produit mixte et déterminant . . . . . .
D1.5 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . .
D1.6 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D1.6.1 Généralités . . . . . . . . . . . .
D1.6.2 Distance d’un point à une droite
D1.6.3 Quelques lignes de niveau . . .
D1.6.4 Demi-plans . . . . . . . . . . . .
D1.7 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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D2 Géométrie de l’espace
D2.1 Bases, repères et orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D2.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D2.2.1 Définition et propriétés fondamentales . . . . . . .
D2.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D2.4 Produit mixte et déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . .
D2.5 Application à l’étude des droites et des plans de l’espace .
D2.5.1 Les plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D2.5.2 Les droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D2.5.3 Droites et plans parallèles, orthogonaux et sécants
D2.6 Projection orthogonale et calculs de distances . . . . . . .
D2.6.1 Mesure algébrique et produit scalaire . . . . . . . .
D2.6.2 Distance d’un point à un plan . . . . . . . . . . . .
D2.6.3 Distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . .
D2.7 Coordonnées cylindriques et sphériques . . . . . . . . . . .
D2.8 Étude des sphères de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . .
D2.8.1 Définition, équations et caractérisation . . . . . . .
D2.8.2 Intersection d’une sphère avec. . . . . . . . . . . . .
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214
214
215
216
218
218
219
219
220
221
221
221
Probabilités
E1 Dénombrement
E1.1 Notion de cardinal d’un ensemble fini . . . .
E1.1.1 Définition et premiers résultats . . . .
E1.1.2 Cardinaux et opérations ensemblistes
E1.2 listes ou tirages avec remise . . . . . . . . . .
E1.3 Arrangements ou tirages sans remise . . . .
223
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226
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TABLE DES MATIÈRES
7
E1.3.1 Définitions et premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E1.3.2 Application des arrangements aux permutations d’un ensemble
E1.4 Combinaisons ou tirages simultanés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E1.4.1 Définitions et premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E1.4.2 Applications des combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E1.5 Exercice de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E2 Probabilités sur un univers fini
E2.1 Notion de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E2.1.1 Univers et évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E2.1.2 Probabilité sur un univers . . . . . . . . . . . . . . . .
E2.1.3 Un exemple : la probabilité uniforme . . . . . . . . .
E2.1.4 Probabilités et opérations ensemblistes élémentaires
E2.2 Notion de dépendance et de probabilité conditionnelle . . .
E2.2.1 Synthèse de la probabilité conditionnelle . . . . . . .
E2.2.2 Notion d’indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . .
E3 Variables aléatoires
E3.1 Definition . . . . . . . . . .
E3.2 Loi d’une variable aléatoire
E3.3 Lois de référence . . . . . .
E3.3.1 Loi uniforme . . . .
E3.3.2 Loi de Bernoulli . . .
E3.3.3 Loi binomiale . . . .
E3.4 Espérance . . . . . . . . . .
E3.5 Théorème de transfert . . .
E3.6 Variance et écart-type . . . .
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233
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237
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239
239
240
241
241
241
241
242
244
244
8
TABLE DES MATIÈRES
Première partie
Calculus
Chapitre
A1
Trigonométrie
Dans ce chapitre, nous commencerons par définir (à partir de l’intuition géométrique) les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente, puis nous établirons ensuite les formules trigonométriques
fondamentales.
Ä → −
ä
On appelle P le plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé direct R = O, −
ı ,→
 .
A1.1 Quelques rappels
A1.1.1 Relation de congruence, mesure d’un angle
Définition 1.
Soit a > 0 et ( x, y) ∈ R2 . On dit que x et y sont « congrus modulo a » lorsqu’il existe k ∈ Z tel que x = y + ka. On note
alors :
x ≡ y [ a] .
Notation. — On note R2 l’ensemble des couples de réels, R3 l’ensemble des triplets de réels, et plus généralement, R n désigne l’ensemble des n-uplets de réels.
— Le symbole ∃ se lit « il existe. » Ainsi, la définition précédente se traduit par l’équivalence suivante :
x ≡ y [ a] ⇐⇒ ∃k ∈ Z, x = y + ka.
→
→
Soient −
u,−
v deux vecteurs non nuls.
→
→
Si α est une mesure de l’angle orienté entre −
u et −
v , alors α + 2kπ, avec k ∈ Z est
une autre mesure de ce même angle.
Réciproquement, toute mesure de cet angle est congrue
àäα modulo 2π.
Ä→ −
→
→
Soient −
u,−
v deux vecteurs non nuls. On notera −
u,→
v une mesure quelconque
→
→
de l’angle orienté entre −
u et −
v , qui est donc définie modulo 2π.
Remarque. Lorsqu’on utilise des angles orientés, il ne faut pas oublier la congruence modulo 2π.
A1.1.2 Mesure algébrique
Définition 2.
Un axe est une droite orientée par un vecteur directeur de norme 1 (tout vecteur de norme 1 sera dit unitaire). Par exemple
→
→
l’axe des abscisses est orienté par le vecteur −
ı et l’axe des ordonnées est orienté par le vecteur −
 . Si A et B sont deux
−
→
points d’un axe orienté ∆ par un vecteur u , alors la « mesure algébrique de AB » est le nombre réel AB défini par :
AB =
(
−→
→
AB si AB a le même sens que −
u
−→
→
− AB si AB n’a pas le même sens que −
u
→
Ainsi, comme le vecteur −
u est unitaire, on a l’égalité :
−→
→
AB = AB × −
u.
Exemple 3.
12
Trigonométrie
→
Soit ∆ un axe dirigé par un vecteur unitaire −
u et A, B, C trois
−→
−
→
−
→
−
→
points de ∆ tels que AB = 2 u et BC = 3 u .
On a alors :
AB = 2 , BC = 3 et CA = −5.
A1.2 Le cercle trigonométrique
Définition 4.
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1.
Théorème/définition 5.
Soit C le cercle trigonométrique.
−−→
→
i ) Soit x ∈ R. Il existe un unique point M de C tel que −
ı , OM ≡
x [2π ] .
ii ) Les coordonnées de M dans le repère R sont appelées « cosinus » et
« sinus » de x, et sont notées (respectivement) cos x et sin x. Sur le
dessin ci-contre, on a donc :
OH = cos x et OK = sin x
Démonstration. Le point i ) est admis, et le point ii ) est une simple définition.
π
π
[π ] ⇐⇒ ∃k ∈ Z, x = + kπ.
2
2
ii ) sin x = 0 ⇐⇒ x ≡ 0 [ π ] ⇐⇒ ∃k ∈ Z, x = kπ.
Lemme 6.
i ) cos x = 0 ⇐⇒ x ≡
Démonstration. On se contente de lire le résultat sur le cercle trigonométrique.
Théorème 7.
Soit x ∈ R. On a alors :
i ) cos2 x + sin2 x = 1,
ii ) |cos x| 6 1 et |sin x| 6 1,
iii ) cos( x + 2π ) = cos x et sin( x + 2π ) = sin x,
iv) cos( x + π ) = − cos x et sin( x + π ) = − sin x,
v) cos(− x) = cos x et sin(− x) = − sin x,
ã
Å
ã
Å
π
π
− x = sin x et sin
− x = cos x.
vi ) cos
2
2
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 8. Soit x ∈ R.
π
π
+ x et sin
+ x en fonction de cos x et sin x.
2
2
2. Démontrer ces relations à l’aide du théorème 7.
Å
ã
Å
ã
1. À l’aide d’un dessin, exprimer cos
Théorème/définition 9.
par :
i ) Si x ∈ R \
¶
π
2
©
+ kπ; k ∈ Z , on appelle « tangente de x » le nombre réel noté tan x défini
tan x =
Sur le dessin précédent, on a donc tan x = AT.
sin x
.
cos x
A1.3. FORMULES D’ADDITION
13
ii ) Si x ∈ R \ {kπ; k ∈ Z }, on appelle « cotangente de x » le nombre réel noté cotan x défini par :
cotan x =
cos x
.
sin x
Sur le dessin précédent, on a donc cotan x = BU.
î
î
Démonstration. On se contente de prouver tan x = AT dans le cas x ∈ 0, π2 . On raisonnerait de même dans les
autres cas, et pour prouver la relation cotan x = BU.
Théorème 10.
π
Soit x ∈ R tel que x 6≡ [ π ]. Alors :
2
i ) 1 + tan2 x =
1
cos2 x
ii ) tan( x + π ) = tan x
iii ) tan(− x) = − tan x.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 11.
Soit ( x, y) ∈
R2 .
®
On a l’équivalence suivante :
x2
+ y2
= 1 ⇐⇒ ∃θ ∈ R,
x = cos θ
y = sin θ
Démonstration. Voir les notes de cours.
A1.3 Formules d’addition
Théorème 12 (Formules d’addition).
Soit ( x, y) ∈ R2 . Alors :
i ) cos( x + y) = cos x cos y − sin x sin y,
ii ) cos( x − y) = cos x cos y + sin x sin y,
iii ) sin( x + y) = sin x cos y + cos x sin y,
iv) sin( x − y) = sin x cos y − cos x sin y.
De plus, pour toutes les valeurs de x et y pour lesquelles les quantités suivantes sont bien définies, on a :
tan x + tan y
v) tan( x + y) =
,
1 − tan x tan y
tan x − tan y
.
vi ) tan( x − y) =
1 + tan x tan y
Démonstration. On commence par prouver que les quatres premières formules sont équivalentes puis démontrer
les deux dernières à partir des précédentes : voir les notes de cours.
Il suffirait ensuite de démontrer une des quatre premières formules pour terminer la démonstration. Malheureusement, cela n’est pas possible à ce stade sans utiliser quelques résultats de géométrie que nous n’avons
pas encore revu. Voici deux démonstrations possibles : la première utilise le produit scalaire et la seconde un
calcul d’aires.
→
→
Rappel. Si −
u1 et −
u2 sont deux vecteurs non nuls de coordonnées cartésiennes respectives ( x1 , y1 ) et ( x2 , y2 ),
alors :
→ −
−
→
→
→, −
→ä
→ cos Ä−
u1 · −
u 2 = −
u1 · u
u
2
1 u 2 = x1 x2 + y1 y2 .
14
Trigonométrie
Démonstration.
Soient ( x, y) ∈ R2, et M et N les
du cercle trigonométrique
points
−−→
−−→
−→
−
→
−
→
tels que ı , OM ≡ x [2π ] et ı , ON ≡ y [2π ] . On a OM =
−→
−→ −−→
ON = 1 et ON, OM ≡ x − y [ 2π ], d’où :
−→ −−→
ON · OM = cos( x − y).
−−→ −→
Et comme les vecteurs OM et ON ont pour coordonnées respectives
(cos x, sin x) et (cos y, sin y), il vient :
−→ −−→
ON · OM = cos x cos y + sin x sin y.
Cela montre la formule d’addition ii ).
Démonstration.
Soient 0 6 y 6 x 6
π
2.
−−→
→
Soient M et N les points du cercle trigonométrique tels que −
ı , OM ≡
−→
→
x [2π ] et −
ı , ON ≡ y [2π ].
Soit I le milieu du segment [ MN ] et P le symétrique du point O par
rapport à I.
Considérons maintenant les points A et B, projetés du point P orthogonalement sur, respectivement, l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.
Ä cos x +cos y sin x +sin y ä
−→
−
→
I a pour coordonnées
, et comme OP = 2OI, les
,
2
2
coordonnées de P sont (cos x + cos y, sin x + sin y).
Le quadrilatère OMPN est alors un losange de côté 1. Son aire vaut alors :
AOMPN = sin( x − y).
On calcule alors les aires du rectangle OAPB et des triangles OAN, ANP, OBM et BMP :
AOAPB = (cos x + cos y) (sin x + sin y) = cos x sin x + cos x sin y + cos y sin x + cos y sin y
1
1
AOAN = (cos x + cos y) sin y = (cos x sin y + cos y sin y)
2
2
1
1
A ANP = (sin x + sin y) (cos x + cos y − cos y) = (sin x cos x + sin y cos x)
2
2
1
1
AOBM = (sin x + sin y) cos x = (sin x cos x + sin y cos x)
2
2
1
1
A BMP = (cos x + cos y) (sin x + sin y − sin x) = (cos x sin y + cos y sin y)
2
2
Par différence, on en déduit l’aire du losange OMPN :
AOMPN = cos y sin x − sin y cos x.
Cela montre la formule d’addition iv) lorsque 0 6 y 6 x 6
π
2.
À partir des formules d’addition, nous allons démontrer un certain nombre de formules de trigonométrie,
à commencer par les formules de duplication.
Théorème 13 (Formules de duplication).
Soit x ∈ R. On a :
i) cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x,
A1.4. FORMULES DE LINÉARISATION
15
ii) sin 2x = 2 sin x cos x.
ï ò
2 tan x
π
π π
.
et x 6≡ [π ], on a : tan 2x =
iii) Si de plus, x 6≡
4 2
2
1 − tan2 x
Démonstration. Voir les notes de cours.
Notation. Le symbole ∀ se lit « pour tout. »
Théorème 14.
√
Soient A et B deux réels non tous nuls (c’est-à-dire qu’ils ne sont pas tous les deux nuls). Si l’on pose r = A2 + B2 ,
alors il existe ϕ ∈ R tel que :
∀ x ∈ R, A cos x + B sin x = r cos( x − ϕ).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. En physique, r s’appelle l’amplitude et ϕ la phase. Ce résultat exprime le fait que la somme de
deux signaux sinusoïdaux de même période T est encore un signal sinusoïdal de période T, mais déphasé par
rapport aux signaux de départ.
Exercice 15. Utiliser le théorème précédent pour résoudre l’équation 1 + sin x − cos x = 0.
A1.4 Formules de linéarisation
Les formules de linéarisation permettent de transformer des produits de sinus et cosinus en sommes de
sinus et cosinus. Ces formules seront très utiles par la suite, notament pour calculer des intégrales. Elle seront
aussi utilisées en physique et en SI.
Théorème 16.
Soit x ∈ R. On a :
1 + cos 2x
,
2
1 − cos 2x
ii) sin2 x =
.
2
π
1 − cos 2x
iii) Si de plus, x 6≡ [ π ], on a : tan2 x =
.
2
1 + cos 2x
i) cos2 x =
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 17 (Formules de linéarisation).
Soit ( x, y) ∈ R2 . On a :
1
(cos( x + y) + cos( x − y)),
2
1
ii) sin x sin y = (cos( x − y) − cos( x + y)),
2
1
iii) sin x cos y = (sin( x + y) + sin( x − y)).
2
i) cos x cos y =
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Pour retrouver par exemple la formule i ) ci-dessus, on se posera la question suivante : « quelles
formules d’addition dois-je utiliser pour fabriquer cos x cos y ? »
Exercice 18. Calculer les intégrales
ˆ
π
0
2
sin x dx et
ˆ
0
π
2
cos 2x sin x dx.
16
Trigonométrie
A1.5 Formules de factorisation
Inversement, les formules de factorisation permettent de transformer des sommes de sinus et cosinus en
produits de sinus et cosinus. Ces formules seront utiles pour la résolution d’équations trigonométriques.
Théorème 19 (Formules de factorisation).
Soit ( a, b) ∈ R2 . On a :
a−b
a+b
cos
,
i) cos a + cos b = 2 cos
2
2
a+b
a−b
ii) cos a − cos b = −2 sin
sin
,
2
2
a−b
a+b
cos
,
iii) sin a + sin b = 2 sin
2
2
a−b
a+b
sin
.
iv) sin a − sin b = 2 cos
2
2
π
π
Si de plus, a 6≡ [ π ] et b 6≡ [π ], alors :
2
2
sin( a + b)
v) tan a + tan b =
,
cos a cos b
sin( a − b)
vi) tan a − tan b =
.
cos a cos b
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Plutôt que de mémoriser les formules de i ) à iv), on apprendra à les retrouver rapidement, en
raisonnant comme dans l’exercice ci-dessous.
Exercice 20. Résoudre sur R, puis sur l’intervalle [0, 2π ], l’équation cos x + cos 2x = 0.
Exercice 21. Soit α ∈ [0, π ]. À l’aide d’un dessin,ï résoudre
ò l’inéquation cos x 6 cos α d’inconnue x. De même,
π π
on résout les inéquations sin x 6 sin β pour β ∈ − ,
.
2 2
A1.6 Formules de changement de variable
Les formules de changement de variable seront utilisées pour le calcul d’intégrales.
Théorème 22 (Formules de changement de variable).
x
Soit x ∈ R tel que x 6≡ π [2π ]. Posons u = tan . Alors :
2
1 − u2
i) cos x =
,
1 + u2
2u
.
ii) sin x =
1 + u2
Démonstration. Voir les notes de cours.
A1.7. FORMULAIRE DE TRIGONOMÉTRIE
17
A1.7 Formulaire de Trigonométrie
Ces formules du formulaire sont valables pour tous réels x et y, exceptées celles mettant en jeu des tangentes,
où il faudra veiller à ce que tous les termes soient définis.
Formules du cercle trigonométrique
®
2
2
x + y = 1 ⇐⇒ ∃θ ∈ R,
x = cos θ
y = sin θ
1
cos2 x
cos2 x + sin2 x = 1
1 + tan2 x =
|cos x| 6 1
cos( x + 2π ) = cos x
cos( x + π ) = − cos x
ã
Å
π
− x = sin x
cos
2
cos(− x) = cos x
tan(− x) = − tan x
|sin x| 6 1
sin( x + 2π ) = sin x
sin( x + π ) = − sin x
Å
ã
π
sin
− x = cos x
2
sin(− x) = − sin x
tan( x + π ) = tan x
cos x = OH
sin x = OK
tan x = AT
Formules d’addition
cos( x + y) = cos x cos y − sin x sin y
sin( x + y) = sin x cos y + cos x sin y
tan x + tan y
tan( x + y) =
1 − tan x tan y
cos( x − y) = cos x cos y + sin x sin y
sin( x − y) = sin x cos y − cos x sin y
tan x − tan y
tan( x − y) =
1 + tan x tan y
Formules de duplication
cos 2x = cos2 x − sin2 x
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = 1 − 2 sin2 x
tan 2x =
2
cos 2x = 2 cos x − 1
2 tan x
1 − tan2 x
Formules de linéarisation
1 + cos 2x
2
1
−
cos
2x
sin2 x =
2
1
−
cos
2x
tan2 x =
1 + cos 2x
cos2 x =
1
(cos( x + y) + cos( x − y))
2
1
sin x sin y = (cos( x − y) − cos( x + y))
2
1
sin x cos y = (sin( x + y) + sin( x − y))
2
cos x cos y =
Formules de factorisation
a−b
a+b
cos
2
2
a+b
a−b
sin a + sin b = 2 sin
cos
2
2
sin( a + b)
tan a + tan b =
cos a cos b
cos a + cos b = 2 cos
a+b
a−b
sin
2
2
a+b
a−b
sin a − sin b = 2 cos
sin
2
2
sin( a − b)
tan a − tan b =
cos a cos b
cos a − cos b = −2 sin
18
Trigonométrie
Formules de changement de variable
Soit x ∈ R tel que
Å xã 6≡ π [2π ].
x
Posons u = tan
. Alors :
2
1 − u2
1 + u2
2u
sin x =
1 + u2
2u
tan x =
1 − u2
cos x =
Valeurs particulières :
x
0
cos x 1
sin x
0
tan x 0
π
6
π
4
√
√
3
2
1
2
√
3
3
2
2
π
3
π
2
1
2
0
√
√
1
√
2
2
3
2
1
3
Fonctions cosinus, sinus et tangente
Les fonctions cosinus, sinus et tangentes sont continues et dérivables sur leur ensemble de définition. Pour tout
réel x, on a :
ã
Å
ã
Å
π
π
= − sin x
sin′ x = sin x +
= cos x
cos′ x = cos x +
2
2
1
= 1 + tan2 x
tan′ x =
cos2 x
Chapitre
A2
Nombres entiers, suites usuelles
A2.1 Relation d’ordre, sous-ensembles de N et de R
A2.1.1 Majorants et maximum, minorants et minimum
Définition 23.
Un ensemble A de réels est dit « majoré » s’il existe un réel M supérieur ou égal à tous les éléments de A, c’est-à-dire si A
vérifie la formule suivante :
∃ M ∈ R, ∀ a ∈ A, a 6 M
Un tel nombre M est alors appelé un « majorant de A. »
Définition 24.
Un ensemble A de réels est dit « minoré » s’il existe un réel m inférieur ou égal à tous les éléments de A, c’est-à-dire si A
vérifie la formule suivante :
∃m ∈ R, ∀ a ∈ A, m 6 a
Un tel nombre m est alors appelé un « minorant de A. »
Exemples 25. — [0, 1[ est minoré par 0, et majoré par 1. Mais cet intervalle est également minoré par −1, et
majoré par 2. Il apparait ici clairement qu’il n’y a pas unicité du majorant et du minorant.
— R n’est ni majoré ni minoré, puisqu’il n’existe pas de réel qui soit plus grand (resp. plus petit) que tous
les autres.
— ]0, +∞[ est minoré (par exemple par 0) mais n’est pas majoré.
Définition 26.
Un ensemble de réels est dit « borné » s’il est à la fois majoré et minoré.
La définition du majorant (resp. minorant) d’un ensemble A n’impose pas à celui-ci d’appartenir à A :
lorsque l’on ajoute cette condition, on obtient le concept de maximum (resp. minimum).
Définition 27.
Soit A un ensemble de réels.
— un élément M ∈ A est appelé le « maximum (ou plus grand élément) de A » si ∀ a ∈ A, a 6 M.
— un élément m ∈ A est appelé le « minimum (ou plus petit élément) de A » si ∀ a ∈ A, m 6 a.
Le théorème suivant assure l’unicité du maximum et du minimum, lorsque ceux-ci existent.
Théorème 28.
Tout ensemble de réels A possède au plus un maximum et un minimum.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Notations.
• Lorsqu’un ensemble A possède un maximum, on note celui-ci max( A). S’il possède un minimum, celui-ci sera noté min( A).
• Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et A = { f ( x); x ∈ I }. Dans le cas où A admet un maximum
(resp. un minimum), celui-ci sera noté max f ( x) (resp. min f ( x)).
x∈ I
x∈ I
L’exercice suivant montre que les ensembles minorés de réels ne possèdent pas nécessairement de minimum.
Exercice 29. Montrer min([0, 1]) = 0, et que l’ensemble ]0, 1] ne possède pas de minimum.
De manière analogue, on peut démontrer que [0, 1[ est majoré mais ne possède pas de maximum.
20
Nombres entiers, suites usuelles
A2.1.2 Minimum et maximum d’ensembles d’entiers
Dans cette partie, on ne considère que des ensembles d’entiers, et on commence par admettre le résultat
suivant.
Théorème 30.
Tout ensemble non vide d’entiers possède un minimum.
Exemples 31. Le plus petit élément de N est 0, et le plus petit nombre impair est 1.
Par contre, il est évidemment faux que tout ensemble d’entiers possède un maximum. Un contre-exemple
est l’ensemble N lui-même, qui n’en possède pas puisqu’il n’est pas majoré. On a néanmoins le résultat suivant.
Théorème 32.
Tout ensemble non vide et majoré d’entiers possède un maximum.
Démonstration. Voir les notes de cours.
On peut alors donner le théorème permettant de raisonner par récurrence.
Théorème 33 (Raisonnement par récurrence).
Soit P(n) une proposition qui dépend d’un entier n, et n0 un entier. On suppose que :
•la proposition P(n0 ) est vraie
[Initialisation]
•la proposition ∀n > n0 , ( P(n) ⇒ P(n + 1)) est vraie
[Hérédité]
Alors, la proposition ∀n > n0 , P(n) est vraie.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. En pratique, n0 vaut le plus souvent 0 ou 1.
Il existe deux variantes du raisonnement par récurrence, qui doivent être connues.
Corolaire 34 (Récurrence forte).
Soit P(n) une proposition qui dépend d’un entier n. On suppose que :
• la proposition P(0) est vraie ;
• pour tout entier n, si les propositions P(0), P(1), . . . , P(n) sont vraies, alors la proposition P(n + 1) est vraie.
Alors, la proposition ∀n ∈ N, P(n) est vraie.
Démonstration. Résultat admis : on raisonne comme pour établir le théorème 33.
Exemple 35. On considère la suite (un ) définie par u0 > 0 et un+1 = u3n + u3n−1 + · · · + u31 + u30 + 1. Pour
démontrer ∀n ∈ N, un > 0, le plus naturel est de raisonner par récurrence forte.
Remarque. Le principe de récurrence forte est plus commode d’usage que le principe de récurrence classique,
puisqu’il offre une hypothèse de récurrence plus riche lors de l’héritage. En pratique, il est néanmoins inutile
dans la majorité des cas : on se contente le plus souvent de faire une récurrence simple.
Corolaire 36 (Récurrence d’ordre p).
Soit P(n) une proposition qui dépend d’un entier n, et p un entier strictement positif. On suppose que :
• les p propositions P(0), . . . , P( p − 1) sont vraies ;
• pour tout entier n > p, si les p propositions P(n − p), . . . et P(n − 1) sont vraies, alors la proposition P(n) est
vraie.
Alors, la proposition ∀n ∈ N, P(n) est vraie.
Démonstration. Résultat admis : on raisonne comme pour établir le théorème 33.
Remarque. En pratique, p vaut le plus souvent 2.
Exemple 37. On considère la suite (un ) définie par u0 > 0, u1 > 0 et un+2 = u3n+1 + u3n . Pour démontrer
∀n ∈ N, un > 0, le plus naturel est de raisonner par récurrence d’ordre 2.
Remarque. Les récurrences forte et d’ordre p euvent également s’appliquer en partant non pas de P(0) mais de
P(n0 ) avec n0 ∈ N.
A2.2. GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES
21
A2.2 Généralités sur les suites
A2.2.1 Définitions
Intuitivement une suite numérique est une séquence de nombres, rangés suivant un certain ordre qui sera
matérialisé par l’association d’un numéro à chacun d’eux.
On peut donner la définition générale suivante d’une suite d’objets mathématiques quelconques (pas forcément des nombres).
Définition 38.
Soit A un ensemble. Une suite d’éléments de A est une fonction U : N → A. L’ensemble des suites d’éléments de A est
noté AN .
Notation. Soit U : N → A une suite. Elle sera notée (un ), (un )n∈N ou (un )n>0 . En outre un désignera le n-ième
terme de celle-ci, c’est-à-dire l’élément U (n) de A, et sera appelé « le terme général de la suite . »
Remarques. — Dans la suite, nous ne considérerons que des suites définies sur N, c’est-à-dire des suites
de la forme (un )n∈N . Mais bien entendu les résultats donnés seront également valables pour des suites
définies sur n’importe quel ensemble d’entiers, comme par exemple des suites de la forme (un )n∈N ∗ ou
( u n ) n >3 .
— Lorsque A = R ou C, on dira que l’on a affaire à une suite numérique.
A2.2.2 Monotonie
Dans le reste de ce chapitre, on considèrera (sauf mention du contraire) des suites de réels.
Définition 39.
Une suite (un ) est dite « croissante » (resp. « strictement croissante »), si et seulement si
∀n ∈ N, un+1 − un > 0
(resp. ∀n ∈ N, un+1 − un > 0).
Remarque. Si on a un > 0 pour tout entier n, la croissance de la suite équivaut à :
u
∀n ∈ N, n+1 > 1.
un
Il est parfois bien plus commode d’utiliser ce critère.
Définition 40.
Une suite (un ) est dite « décroissante » (resp. « strictement décroissante »), si et seulement si
∀n ∈ N, un+1 − un 6 0
(resp. ∀n ∈ N, un+1 − un < 0).
Remarque. Si on a un > 0 pour tout entier n, la décroissance de la suite équivaut à :
∀n ∈ N,
u n +1
6 1.
un
Définition 41.
Une suite est dit « monotone » si et seulement si elle est croissante ou décroissante.
A2.2.3 Caractère borné
Une suite (un ) est dite « bornée » (resp. « majorée » ou « minorée ») si l’ensemble de ses termes l’est. En clair
cela donne les définitions suivantes.
Définition 42.
• Une suite (un ) est dite « minorée » s’il existe un réel m tel que ∀n ∈ N, un > m.
• Une suite (un ) est dite « majorée » s’il existe un réel M tel que ∀n ∈ N, un 6 M.
• Une suite (un ) est dite « bornée » si elle est à la fois majoré et minorée.
Exemple 43. La suite définie par un =
1
est minorée par 0 et majorée par 1. Elle est donc bornée.
n+1
On a enfin le résultat suivant.
Théorème 44.
Une suite (un ) est bornée si et seulement si la suite (|un |) est majorée.
Démonstration. Voir les notes de cours.
22
Nombres entiers, suites usuelles
A2.3 Suites récurrentes classiques
La manière la plus simple de définir une suite est de donner son terme général un en fonction de n; on dit
alors que la suite est définie explicitement.
Mais une suite peut également être définie par la donnée de ses premiers termes et d’une relation (valable
pour tout n assez grand) entre le terme général de la suite et les termes précédents, comme par exemple :
— ∀n ∈ N ∗ , un = un−1 + 1 et u0 = 0,
— ou ∀n ∈ N, un+2 = un+1 + un et u0 = u1 = 1.
Dans ce cas, on dit que l’on a affaire à une suite récurrente.
On verra en exercice qu’il existe encore une autre manière de définir une suite, de manière implicite cette
fois (on dira par exemple que un est le plus petit réel x tel que f n ( x) = 0, où f n est une fonction dépendant de
l’entier n).
A2.3.1 Suites arithmétiques
Définition 45.
Soit n0 un entier. On dit qu’une suite (un )n>n0 est une « suite arithmétique » s’il existe r ∈ C tel que
∀n > n0 , un+1 = un + r.
Le complexe r est appelé « la raison de (un )n>n0 . »
On voit directement qu’une suite de premier terme un0 est arithmétique s’il existe r ∈ C tel que ∀n >
n0 , un+1 − un = r; le complexe r est alors la raison de la suite.
Exemple 46. On considère une personne qui gagne r euros par mois. Au bout n mois, elle aura donc gagné une
somme un définie par u0 = 0 et un+1 = un + r. La suite (un )n∈N est donc arithmétique de raison r.
Théorème 47.
Soit une suite arithmétique (un )n>n0 de raison r. On a alors
∀n > n0 , un = un0 + (n − n0 )r.
Démonstration. Voir les notes de cours.
On en déduit le résultat suivant, grâce auquel on pourra parler de la suite arithmétique de raison r et de
premier terme un0 = x.
Corolaire 48.
Soit r ∈ C, n0 ∈ N et x ∈ C. Il existe une unique suite arithmétique (vn )n>n0 de raison r tel que vn0 = x.
Démonstration. Voir les notes de cours.
A2.3.2 Suites géométriques
Définition 49.
Soit n0 ∈ N. Une suite (un )n>n0 est dite « géométrique » s’il existe q ∈ C tel que
∀ n > n0 , u n +1 = q × u n .
Le complexe q est appelé « la raison de (un )n>n0 . »
On voit directement qu’une suite (un )n>n0 de termes non nuls est géométrique s’il existe q ∈ C tel que
u
∀n > n0 , n+1 = q; le complexe q est alors la raison de la suite.
un
Exemple 50. Considérons un milieu dans lequel le nombre de bactéries présentes double toutes les heures. Si à
l’instant 0 il y a u0 bactéries présentes, alors leur nombre au bout de n + 1 heures est donné par un+1 = 2un . La
suite (un )n∈N est donc géométrique de raison 2.
Théorème 51.
Soit n0 ∈ N, q ∈ C, et (un )n>n0 une suite géométrique de raison q et de premier terme un0 . On a alors
∀ n > n 0 , u n = q n − n0 u n0
23
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Démonstration. Voir les notes de cours.
On en déduit le résultat suivant, grâce auquel on pourra parler de la suite géométrique de raison q et de
premier terme un0 = x.
Corolaire 52.
Soit q ∈ C, n0 ∈ N et x ∈ C. Il existe une unique suite géométrique (un )n>n0 de raison q et de premier terme un0 = x.
Démonstration. Raisonnement analogue à la preuve du corolaire 48.
A2.3.3 Suites arithmetico-géométriques
Définition 53.
Soient a, b des nombres complexes et n0 ∈ N. On appelle suite arithmetico-géométrique toute suite (un )n>n0 vérifiant la
relation
∀n > n0 , un+1 = aun + b.
Remarque. Si a = 1, on a affaire à une suite arithmétique, et si b = 0, la suite est géométrique.
Exemple 54. Considérons un agriculteur qui dispose d’un troupeau de u0 têtes. Celui-ci croît naturellement de
α% par an, mais on suppose de plus que l’exploitant décide de vendre p bêtes à la fin de Åchaque année.
Alors
ã
α
le nombre un+1 de bêtes dont il dispose au bout de n + 1 années vérifie la relation un+1 = 1 +
un − p. La
100
suite (un )n∈N est donc arithmético-géométrique.
Pour exprimer le terme général un d’une suite arithmético-géométrique en fonction de l’entier n, on utilise la
méthode suivante (sauf si a = 1 ou b = 0 : dans ce cas on utilise les formules relatives aux suites arithmétiques
et géométriques).
Méthodologie. Expression du terme général d’une suite arithmético-géométrique.
Considérons une suite arithmético-géométrique (un ) de premier terme u0 vérifiant la relation de récurrence
un+1 = aun + b avec a 6= 1. Nous allons passer par une suite intermédiaire vn pour pouvoir exprimer un en
fonction de n et de u0 . Le principe de cette méthode se résume en une seule phrase : « cherchons un réel ℓ tel
que la suite vn = un − ℓ soit géométrique. »
Posons donc vn = un − ℓ. On peut alors écrire
vn+1 = un+1 − ℓ = aun + b − ℓ
= a(vn + ℓ) + b − ℓ = avn + ( a − 1)ℓ + b
Pour que cette suite soit géométrique, il faut et il suffit donc que l’on ait ( a − 1)ℓ + b = 0, c’est-à-dire ℓ =
b
1−a
puisque a 6= 1.
La suite (vn ) étant géométrique, on en déduit la relation vn = an v0 . L’égalité vn = un − ℓ donne ensuite
un = an u0 + ℓ(1 − an ), soit en remplaçant ℓ par sa valeur :
u n = an u0 + b
1 − an
.
1−a
Exercice 55. Donner en fonction de n le terme général de la suite définie par u0 = 1 et un+1 = 3un + 4.
A2.3.4 Suites récurrentes linéaires d’ordre deux à coefficients constants
Définition 56.
Soit n0 ∈ N. On appelle suite récurrente linéaire d’ordre deux à coefficients constants toute suite (un )n>n0 vérifiant une
relation de la forme
∀n > n0 , un+2 = aun+1 + bun
avec ( a, b) ∈ C2 .
24
Nombres entiers, suites usuelles
Exemple 57 (Suite de Fibonacci). Un éleveur dispose d’un couple de lapins nouveau-nés qu’il place dans un
enclos. On suppose que chaque couple de lapins donne naissance à un nouveau couple chaque mois, et que
chaque couple devient fécond après le premier mois. Alors le nombre Fn de couples de lapins présents dans
l’enclos à la fin du n-ième mois vérifie les relations suivantes : F0 = 0, F1 = 1 et Fn+2 = Fn+1 + Fn
Nous allons maintenant donner une méthode permettant d’exprimer le terme général un d’une suite récurrente linéaire d’ordre deux en fonction de n et des premiers termes.
Définition 58.
Soit (un ) une suite vérifiant une relation de la forme un+2 = aun+1 + bun . On appelle « équation caractéristique associée »
l’équation r2 = ar + b.
Théorème 59.
Soit ( a, b) ∈ R2 et (un ) une suite vérifiant la relation ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun .
• Si l’équation caractéristique r2 = ar + b admet deux racines réelles (resp. complexes conjuguées) distinctes r1 , r2 ,
alors il existe des réels (resp. des complexes) λ, µ tels que
∀n ∈ N, un = λr1n + µr2n .
• Si l’équation r2 = ar + b admet une unique racine réelle r0 6= 0, alors il existe des réels λ, µ tels que
∀n ∈ N, un = (λn + µ)r0n .
Dans les deux cas, les coefficients λ et µ peuvent être calculés en fonction des deux premiers termes de la suite.
Démonstration. Résultat admis (la preuve sera vue plus tard dans l’année).
Exemple 60. Si les deux premiers termes de la suite sont u0 et u1 , on calcule λ et µ en résolvant l’un des deux
systèmes d’équations suivants :
Cas de deux racines distinctes :
Remarques.
(
λ + µ = u0
λr1 + µr2 = u1
Cas d’une racine double :
(
µ = u0
( λ + µ ) r0 = u 1
— On dispose d’un résultat analogue dans le cas où a et b sont des complexes.
— Ce résultat est encore valable si la suite n’est définie qu’à partir du terme un0 , avec n0 > 0. Mais pour
calculer les coefficients λ et µ il faudra alors utiliser les valeurs des termes un0 et un0 +1 .
Exercice 61. Calculer le terme général de la suite de Fibonacci.
A2.4 Sommation des termes d’une suite
Définition 62.
Soit ( ak )k∈N une suite de nombres complexes. On appelle « suite des sommes des premiers termes de ( ak ) », la suite (Sn )
définie par
S0 = a 0
et
∀n ∈ N, Sn+1 = Sn + an+1 .
Le terme général Sn de cette suite est noté
n
X
ak , ce qui permet d’écrire :
k=0
0
X
k=0
ak = a0 et ∀n ∈ N,
De manière informelle on pourra écrire
n
X
k=0
n
+1
X
k=0
ak =
n
X
k=0
ak
!
+ a n +1 .
ak = a0 + a1 + · · · + an−1 + an , mais l’utilisation de points de
suspension est à proscrire lorsque l’on effectue une démonstration car elle peut induire en erreur.
Remarque. Dans l’expression
n
X
ak , la variable k (appelée l’indice de sommation) n’a aucun sens, de la même
k=0
manière que la variable x dans l’expression
changer la valeur de la somme.
ˆ
1
0
f ( x) dx. On peut donc changer le nom de cette variable sans
A2.4. SOMMATION DES TERMES D’UNE SUITE
25
Notation. Pour tout entier n, l’expression J0, nK désigne l’ensemble des entiers compris entre 0 et n.
On a encore la définition plus générale suivante.
Définition 63.
Soit p ∈ N, I = {i0 , . . . , i p } un ensemble fini d’entiers, et ( ak )k∈N une suite de nombres complexes. On définit alors la
quantité
X
p
X
ai comme étant la somme
i∈ I
Exemples 64.
a i k = a i0 + · · · + a i p .
k=0
— Cette définition permet de définir
n
X
ak , comme étant égale à
k=1
X
— On peut également définir la somme
X
ai .
i∈{1,2,...,n }
ak , qui est égale à la somme des m + 1 premiers termes
k∈{2p; p∈J0,mK}
d’indice pair de la suite ( an ), c’est-à-dire a0 + a2 + · · · + a2m . En pratique, on préférera la notation
plus compacte.
m
X
a2k ,
k=0
Remarque. Par convention, on pose pour tout suite ( ak ) :
—
n
X
ak = 0 si n < 0;
k=0
—
X
ai = 0, où ∅ désigne l’ensemble vide (c’est-à-dire l’ensemble ne contenant aucun élément).
i∈∅
Les propriétés algébriques simples de la somme sont les suivantes.
Théorème 65.
Soient ( an )n∈N et (bn )n∈N deux suites de nombres complexes.
i ) Relation de Chasles. Si I, J sont deux ensembles disjoints d’entiers (c’est-à-dire que I ∩ J = ∅), on a :
X
ai =
n+ p
X
ak =
n
X
X
ai .
i∈ J
n+ p
ak +
k=0
k=0
ai +
i∈ I
i∈ I ∪ J
En particulier, si (n, p) ∈ N2 , on a
X
X
ak .
k= n +1
ii ) Linéarité de la sommation.
∀(λ, µ) ∈ C2 ,
n
X
(λak + µbk ) = λ
k=0
ak + µ
k=0
iii ) Sommation d’inégalités.
î
n
X
ó
∀k ∈ J0, nK, ak 6 bk ⇒
n
X
k=0
ak 6
n
X
bk
k=0
n
X
bk
k=0
Démonstration. Le résultat i ) est admis, mais les suivants sont établis par récurrence sur n.
Remarque. Les relations suivantes sont fausses, et on se gardera de les écrire :
n
X
k=0
( a k bk ) =
n
X
k=0
ak
!
n
X
k=0
bk
!
n
X
ak
b
k=0 k
=
n
X
k=0
n
X
ak
bk
n
X
k=0
( a k bk ) = bk
n
X
k=0
!
ak .
k=0
La dernière égalité n’a pas de sens, puisque l’on ne peut pas faire apparaitre l’indice k avant le symbole Σ,
puisque c’est ce dernier qui lui donne un sens. Pour se convaincre que les deux autres sont fausses, il suffit de
les écrire pour n = 1.
On a encore le résultat suivant.
26
Nombres entiers, suites usuelles
Théorème 66 (Translation de l’indice).
Soient n, p des entiers et ( ak )k∈N une suite de nombres complexes. On a alors l’égalité suivante :
n+ p
X
ak =
n
X
a p+i .
i=0
k= p
Lorsque l’on effectue cette opération (en partant de la somme de droite), on dit que l’« on pose k = i + p ».
Démonstration. Résultat admis (il suffirait de raisonner par récurrence sur p).
Le théorème ci-dessus ne parle en fait que d’un changement de notation ; en effet, si l’on écrit ces deux
sommes avec des points de suspension, on voit qu’elle sont égales. On dispose en fait d’un résultat plus général,
qui indique que l’on peut sommer une suite de nombres complexes suivant n’importe quelle numérotation sans
que cela change le résultat. Il sera vu ultérieurement, mais on peut déjà donner le résultat suivant, qui indique
que l’on peut indifférement sommer les termes de la suite suivant les numéros croissants ou décroissants.
Théorème 67 (Inversion de l’ordre de sommation).
Soient n un entier et ( ak )k∈N une suite de nombres complexes. On a alors l’égalité suivante :
n
X
ak =
n
X
i=0
k=0
an− i .
Lorsque l’on effectue cette opération (en partant de la somme de droite), on dit que l’« on pose k = n − i ».
Démonstration. Résultat admis (il suffirait de raisonner par récurrence sur n).
Indiquons enfin comment calculer trois sommes, à partir desquelles on en calculera beaucoup d’autres.
Théorème 68 (Somme des n + 1 premiers entiers).
Pour tout entier n, on a :
n
X
k=1
k=
n
X
k=
k=0
n ( n + 1)
.
2
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 69. Déduire du résultat précédent la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique.
Théorème 70 (Sommes téléscopiques).
Soient n un entier et ( ak )k∈N une suite de nombres complexes. On a
n
X
k=0
( a k + 1 − a k ) = a n + 1 − a0 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 71 (Somme des n premiers termes d’une suite géométrique).
Soit x un complexe. Pour tout entier n > 1, on a
n
X
k=0
Démonstration. Voir les notes de cours.
xk =

n +1

 1−x
1−x

 n+1
si x 6= 1
.
sinon
Exercice 72. Déduire du résultat précédent la somme des n premiers termes d’une suite géométrique.
A2.5. PRODUIT DES TERMES D’UNE SUITE
27
A2.5 Produit des termes d’une suite
On utilise le symbole Π pour définir le produit des premiers termes d’une suite. La démarche est évidemment analogue à celle utilisée pour la somme.
Définition 73.
Soit ( ak )k∈N une suite de nombres complexes. On appelle « suite des produits des premiers termes de ( ak ) », la suite ( Pn )
définie par
P0 = a0 et ∀n ∈ N, Pn+1 = Pn × an+1 .
Le terme général Pn de cette suite est noté
n
Y
ak , ce qui permet d’écrire :
k=0
0
Y
k=0
ak = a0 et ∀n ∈ N,
De manière informelle on pourra écrire
n
Y
k=0
nY
+1
n
Y
ak =
ak
k=0
k=0
!
× a n +1 .
ak = a0 × a1 × · · · × an−1 × an , mais l’utilisation de points de
suspension est à proscrire lorsque l’on effectue une démonstration car elle peut induire en erreur.
Comme dans le cas de la somme, on peut aisément étendre cette définition.
Définition 74.
Soit p ∈ N, I = {i0 , . . . , i p } un ensemble fini d’entiers, et ( ak )k∈N une suite de nombres complexes. On définit alors la
quantité
Y
ai comme étant le produit
i∈ I
p
Y
k=0
a i k = a i0 × · · · × a i p .
Notation. Par convention, on pose pour tout suite ( ak ) :
—
n
Y
ak = 1 si n < 0;
k=0
—
Y
ai = 1, où ∅ désigne l’ensemble vide.
i∈∅
Les propriétés algébriques simples du produit sont les suivantes.
Théorème 75.
Soient ( an )n∈N et (bn )n∈N deux suites de nombres complexes.
i ) Relation de Chasles. Supposons que I et J sont deux ensembles disjoints d’entiers.
Y
ai =
i∈ I ∪ J
Y
i∈ I
!
ai ×
Ñ
é
Y
ii ) Produit d’inégalités.
î
ó
∀k ∈ J0, nK, 0 6 ak 6 bk ⇒
ai
.
i∈ J
n
Y
ak 6
k=0
n
Y
bk
k=0
Démonstration. Résultat admis (il suffirait de raisonner par récurrence).
On a encore le résultat suivant.
Théorème 76 (Translation de l’indice).
Soient n, p des entiers et ( ak )k∈N une suite de nombres complexes. On a alors l’égalité suivante :
n+ p
Y
i= p
ai =
n
Y
a p+k .
k=0
Démonstration. Résultat admis (il suffirait de raisonner par récurrence sur n).
On peut faire les mêmes remarques quand au changement d’indice que celles qui ont été faites relativement
au symbole Σ.
28
Nombres entiers, suites usuelles
A2.6 Les coefficients binomiaux et la formule du binôme de Newton
A2.6.1 Factorielle d’un entier
Définition 77.
Pour tout entier n, on appelle « factorielle n » et on note n! le nombre défini par :
n! =
n
Y
k.
k=1
Exemples 78. 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2 × 1 = 2, 3! = 3 × 2 × 1 = 6, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Théorème 79.
Soit n ∈ N. On a (n + 1)! = (n + 1) × n!.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 80. Vérifier que la suite définie par un =
4n (n!)2
est strictement croissante.
(2n)!
A2.6.2 Les coefficients binomiaux
Définition 81.
n
p
Ç å
Soient p 6 n des entiers. On appelle « p parmi n », et on note
n
p
Ç å
n
0
Ç å
Exemples 82. Si n > 2 on a
n
1
Ç å
= 1,
=
n
2
n!
.
p!(n − p)!
Ç å
= n et
la quantité définie par
=
n ( n − 1)
.
2
n
est égal au nombre de parties à p éléments d’un ensemble
p
à n éléments (appelées combinaisons de p éléments parmi n), c’est-à-dire au nombre de manière de prélever une
poignée de p boules dans une urne en contenant n.
Ç å
Remarque. On verra plus tard dans l’année que
n
p
Ç å
Remarque. Par convention, on pose parfois
= 0 si p > n.
Théorème 83 (Propriétés algébriques des coefficients binômiaux).
Soient p 6 n des entiers. On a :
n
p
Ç å
i)
=
n
+
p
Ç å
ii )
Ç
Ç
n
.
n−p
n
p+1
å
å
=
Ç
n+1
p+1
å
(formule de Pascal).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Méthode. Cette dernière formule permet de construire le triangle de Pascal, utile en pratique
pour calculer les
Ç å
n
premiers coefficients. Il s’agit du tableau dont la n-ième ligne contient les coefficients
pour k allant de 0 à
k
n.
La ligne numéro n est de longueur n + 1, Çelle
par le chiffre 1, et les nombres
å commence
Ç
å et Çse termine
å
n
n
n+1
intermédiaires sont obtenus grâce à la formule
+
=
.
p
p+1
p+1
Remarque. La symétrie qui apparait dans chacune des lignes du triangle de Pascal correspond à la formule i )
du théorème précédent.
29
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
p
n
0
1
0
1
1
1
+
2
3
4
···
p+1
p
1
n
p
Ç å
||
n
1
2
1
3
1
3
3
1
4
..
.
1
4
6
4
n
p+1
Ç
n+1
p+1
å
||
2
Ç
+
1
n+1
å
Figure A2.2 – Algorithme de construction du triangle
de Pascal
Figure A2.1 – Le triangle de Pascal
A2.6.3 La formule du binôme
Le premier intérêt des coefficients binomiaux est qu’ils permettent d’écrire la formule résultant du développement de ( a + b)n pour n ∈ N.
Théorème 84 (Formule du binôme de Newton).
Soient a, b des nombres complexes, et n un entier naturel. On a alors :
( a + b)n =
n
X
n
n k n−k X n n−i i
a b
=
a b.
k
i
Ç å
k=0
Ç å
i=0
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemples 85.
0
— En n = 0, on obtient ( a + b) =
0 Ç å
X
0
k
k=0
1
— En n = 1, on obtient ( a + b) =
1 Ç å
X
1
k
k=0
2
— En n = 2, on obtient ( a + b) =
2 Ç å
X
2
k
k=0
— En n = 3, on obtient
3
( a + b) =
3
X
k=0
3 k 3− k
a b
=
k
Ç å
Exercice 86. Calculer la somme
n
X
k=0
=
a b
=
Ç å
2 0 2
2 1 1
2 2 0
a b +
a b +
a b = b2 + 2ab + a2 .
0
1
2
Ç å
k 2− k
=
Ç å
Ç å
3 3 0
3 2 1
3 1 2
3 0 3
a b = b3 + 3ab2 + 3a2 b + a3 .
a b +
a b +
a b +
3
2
1
0
Ç å
n
.
k
Ç å
a b
a b
1 0 1
1 1 0
a b +
a b = a + b.
0
1
Ç å
k 1− k
0 0 0
a b = 1.
0
Ç å
k 0− k
Ç å
Ç å
Ç å
30
Nombres entiers, suites usuelles
Chapitre
A3
Fonctions usuelles
Formule de dérivation des composées
On rappelle le résultat suivant, qui sera démontré plus tard dans l’année.
Théorème 87.
Soient I et J deux intervalles non vides et non réduits à un point, ainsi que f : I → J et g : J → R deux fonctions
dérivables. Alors la fonction x 7→ g( f ( x)) est dérivable sur I, de sorte que :
d g ( f ( x))
= g′ ( f ( x)) × f ′ ( x).
dx
ce
Ä Dans
ä chapitre, on considère un plan affine euclidien P rapporté à un repère orthonormé direct R =
→
→
O, −
ı ,−
 . On rappelle ici les notions et résultats d’analyse vus au lycée ; ce sera l’occasion de développer les
différentes techniques d’étude des fonctions.
A3.1 Fonctions logarithme, exponentielle, hyperboliques et puissance
A3.1.1 La fonction exponentielle
On admet le résultat suivant.
Théorème 88.
L’équation différentielle y′ = y admet une unique solution définie sur R qui prend la valeur 1 en 0. Celle-ci est appelée
« fonction exponentielle » et est notée exp .
On déduit directement de la définition les principales propriétés de la fonction exponentielle.
Théorème 89 (Propriétés algébriques de l’exponentielle).
On a les résultats suivants.
i ) Pour tout réel x, on a exp(− x) =
1
.
exp( x )
ii ) Pour tous réels a, b on a exp( a + b) = exp( a) exp(b).
iii ) Pour tous réels a, b on a exp( a − b) =
exp( a)
.
exp( b )
n
iv) Pour tout réel a et tout entier n ∈ Z on a exp(na) = (exp( a)) .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Notations. — On note e le nombre exp(1), qui est égal à 2, 718 à 10−3 près.
— Pour tout x ∈ R, exp( x) sera noté ex (en s’inspirant de la formule exp(n) = (exp(1))n valable pour tous
les entiers relatifs n).
On a enfin le résultat suivant.
Théorème 91.
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I non vide et non réduit à un point. Alors la fonction x 7→ eu( x )
est dérivable sur I, de sorte que
d eu( x )
= u ′ ( x ) · eu( x ) .
dx
Démonstration. Il suffit d’utiliser la formule de dérivation des composées.
Exercice 92. Calculer la dérivée de la fonction définie sur R par f ( x) = exp( x cos x).
32
Fonctions usuelles
On a encore le résultat suivant, qui permet d’esquisser
la courbe représentative de l’exponentielle.
Théorème 90.
La fonction exponentielle est strictement croissante, et on a
lim exp( x) = +∞ et lim exp( x) = 0.
x,+ ∞
x,− ∞
Démonstration. Voir les notes de cours.
A3.1.2 La fonction logarithme
On démontre aisément que, pour tout réel y > 0, l’équation ex = y admet une unique solution x dans R :
l’existence provient du théorème des valeurs intermédiaires, et l’unicité de la stricte monotonie de l’exponentielle. On peut ainsi poser la définition suivante.
Définition 93.
On appelle « logarithme néperien, » et l’on note ln, la fonction qui à tout réel y > 0 associe l’unique réel x tel que ex = y.
La fonction ln est appelée « la fonction réciproque de
l’exponentielle », et par définition, on a pour tout x ∈ R
et y > 0 :
x = ln y ⇐⇒ y = ex .
Exemple 94. On a ln 1 = 0 et ln e = 1.
Théorème 95.
i ) Pour tout a > 0 on a exp (ln( a)) = a.
ii ) Pour tout a ∈ R on a ln (exp( a)) = a.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 96 (Propriétés algébriques du logarithme).
Soient a, b > 0. On a les propriétés suivantes :
i ) ln( ab) = ln a + ln b.
a
ii ) ln = ln a − ln b.
b
1
iii ) ln = − ln a.
a
iv) ln( an ) = n ln a pour tout n ∈ Z.
Démonstration. On se contente de démontrer le premier résultat, les autres se prouvant de manière similaire en
partant de la propriété analogue vérifiée par l’exponentielle.
Théorème 97.
La fonction logarithme est dérivable sur ]0, +∞[, de sorte que
d ln x
1
= .
dx
x
Démonstration. Voir les notes de cours.
33
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
On a encore le résultat suivant, qui permet d’esquisser la courbe représentative du logarithme.
Théorème 98.
La fonction logarithme est strictement croissante, et on a lim+ ln( x) = −∞ et lim ln( x) = +∞.
x,0
x,+ ∞
Démonstration. Voir les notes de cours.
On peut alors esquisser la courbe représentative du logarithme. On démontrera plus tard que celle-ci est le
symétrique de la courbe de l’exponentielle par rapport à la première bissectrice des axes.
On a enfin le résultat suivant.
Théorème 99.
Soit u une fonction définie, dérivable et à valeurs strictement positives sur un intervalle I de R. Alors la fonction x 7→
ln u( x) est dérivable sur I, de sorte que
d ln u( x)
u′ ( x)
=
.
dx
u( x)
Démonstration. Il suffit d’utiliser la formule de dérivation des composées.
A3.1.3 Les fonctions hyperboliques
Définition 100.
On appelle « cosinus hyperbolique » et « sinus hyperbolique », et l’on note (respectivement) ch et sh les fonctions définies
pour tout réel x par
e x − e− x
e x + e− x
sh( x) =
.
ch( x) =
2
2
Théorème 101.
On a les résultats suivants.
i ) La fonction ch est paire, et sh est impaire ;
ii ) Pour tout réel x on a ch2 x − sh2 x = 1;
iii ) Les fonctions ch et sh sont dérivables sur R, de sorte que ch′ = sh et sh′ = ch .
Démonstration. Voir les notes de cours.
On peut alors tracer les tableaux de variation de ch et sh, ce qui permet d’en déduire leur courbe représentative.
34
Fonctions usuelles
A3.1.4 Les fonctions puissances
On rappelle que si n ∈ N et x ∈ R, alors xn est défini par xn =
Si n est un entier négatif et x ∈ R ∗ , alors xn est défini par xn =
n
Y
k=1
x = |x × x ×{z· · · × x}.
Å ã− n
1
x
n fois
=
−n
Y
1
k=1
x
=
1 1
× ×···×
x {z
|x
− n fois
Définition 102.
Soit a ∈ R. Pour tout x > 0, on appelle « x puissance a » et l’on note x a la quantité définie par
1
.
x}
x a = ea ln x .
Exemples 103.
ravant.
— Dans le cas où n est entier, cette définition coïncide bien avec celle qui avait été vue aupa-
— On vérifie aisément que x1/2 =
√
x.
Notation. Pour tout n ∈ N ∗ et x > 0, on notera
√
n
x la quantité x1/n .
On dispose alors des règles de calcul suivantes.
Théorème 104.
Pour tous x, y > 0 et quels que soient les réels α, β, on a les résultats suivants.
xα
i ) ( xα ) β = xαβ
ii ) xα x β = xα+ β
iii ) β = xα− β
x
Ç åα
iv)
x
y
=
xα
yα
v) ln xα = α ln x
vi ) (ex )α = eαx
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 105.
Pour tout réel α, la fonction x 7→ xα est définie et dérivable sur ]0, +∞[, de sorte que
d xα
= αxα−1 .
dx
Si α 6= 0, la fonction x 7→ xα est donc strictement monotone (croissante si α > 0 et décroissante si α < 0).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 106.
Soit α un réel. On a les résultats suivants.
α
lim x =
x →+ ∞



 +∞
0


 1
si α > 0
si α < 0
si α = 0
α
lim x =
x →0+



 0
+∞


 1
si α > 0
si α < 0
si α = 0
35
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Démonstration. Voir les notes de cours pour le premier cas ; le second est laissé à titre d’exercice.
Théorème 107 (Comparaison des puissances d’un réel positif).
Soient α < β et x > 0. On a
i ) xα < x β si x > 1 ;
ii ) xα > x β si 0 < x < 1 ;
iii ) xα = x β si x = 1.
Démonstration. Voir les notes de cours.
On peut alors tracer sur un même graphique les courbes représentatives de fonctions x 7→ xα pour différentes valeurs de α.
Méthode. Lorsque l’on doit effectuer un calcul complexe avec une quantité de la forme uv , on commence par
revenir à la définition de la puissance, en écrivant uv = ev ln u .
Exercice 108. Calculer la dérivée de x 7→ x x .
On donne enfin la définition suivante, qui sera utilisée en physique-chimie.
Définition 109.
Soit a ∈]0, 1[∪]1, +∞[. On appelle « log en base a », et l’on note loga la fonction définie par ∀ x > 0, loga ( x) =
ln x
ln a .
Théorème 110.
Soit a ∈]0, 1[∪]1, +∞[, x ∈ R et y > 0. On a x = loga (y) ⇐⇒ y = ax .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Soit a ∈]0, 1[∪]1, +∞[. Le résultat précédent montre que loga est la fonction réciproque de x 7→ ax .
On vérifie en fait aisément les propriétés suivantes pour tout x ∈ R et y > 0 :
∀y > 0, alog a (y) = y
et
∀ x ∈ R, loga ( ax ) = x.
La fonction log10 est fréquemment utilisée en physique-chimie, par exemple pour le calcul du pH.
A3.1.5 Croissance comparée
Théorème 111.
On a les résultats suivants.
i ) Pour tous α, β dans R ∗+ , on a lim
x,+ ∞
eαx
= +∞.
xβ
(ln x) β
= 0.
x,+ ∞ x α
ii ) Pour tous α, β dans R ∗+ , on a lim
36
Fonctions usuelles
iii ) Pour tous α, β dans R ∗+ , on a lim+ xα (− ln x) β = 0.
x,0
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. On résume les points i ) et ii ) en disant qu’à l’infini, pour tout α > 0, ln x est négligeable devant xα ,
et que xα est négligeable devant ex .
Exercice 112. Calculer les limites de x 7→ x x aux bornes de son domaine de définition.
A3.2 Généralités sur les fonctions
La notion de fonction sera étudiée plus en détails dans un chapitre ultérieur, mais nous avons déjà besoin
de quelques concepts.
A3.2.1 Définitions
Définition 113.
Soient E et F des ensembles.
i ) On appelle « application de domaine E et d’ensemble d’arrivée F », ou « application de E dans F », tout procédé
permettant d’associer à tout élément x de E un unique élément y de F.
ii ) Étant donné x ∈ E, l’unique élément y de F associé à x par f sera noté f ( x). On dira que « y est l’image de x par
f. »
®
iii ) Une application f de E dans F se note f :
E −→ F
ou f : E → F
.
x 7−→ f ( x)
x 7→ f ( x)
iv) L’ensemble des applications de E dans F est noté F E .
v) On appelle « graphe de f » l’ensemble {( x, f ( x)); x ∈ E} .
vi ) Soit f une application définie sur une partie E de R, et à valeurs réelles. On appelle « courbe représentative de f »
l’ensemble des points du plan de coordonnées ( x, f ( x)) avec x ∈ E.
Exemple 114.
f : R → R
est une application.
x 7→ x2
Notations. Soient E et F deux ensembles.
i ) La notation f : E → F signifie que f est une application admettant E pour ensemble de définition, et F
pour ensemble d’arrivée (on a donc ∀ x ∈ E, f ( x) ∈ F).
ii ) La notation f : x 7→ x2 signifie que f est la fonction qui à un réel x associe le réel x2 . Si le domaine de
définition n’est pas précisé, on déterminera celui-ci en considérant l’ensembles des réels x pour lesquels
f ( x) a un sens. Ici, il s’agit évidemment de R.
Définition 115.
Soit f : E → F une fonction, et I ⊂ E. On appelle « l’image directe de I par f », et l’on note f ( I ), l’ensemble des images
des éléments de I par f . En d’autres termes, on pose :
f ( I ) = { f ( x) | x ∈ I } .
Exemples 116. On a exp(R ) = R ∗+ et exp(R + ) = [1, +∞[.
®
Exercice 117. Soit f :
R −→ R
.
x 7−→ x( x − 1)
1. Étudier rapidement la fonction f , puis tracer sa courbe représentative.
2. En déduire, sans aucun calcul, l’allure de la courbe représentative des fonctions suivantes :
i ) x 7→ f ( x)− 1
ii ) x 7→ f ( x − 1)
iii ) x 7→ 2 − f ( x)
iv) x 7→ f (2 − x)
v) x 7→ 2 f ( x )
vi ) x 7→ f (2x)
37
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
A3.2.2 Composition
Définition 118.
Soient trois ensembles E, F, G et deux applications f : E → F et g : F → G. On appelle « composée de f et de g », et on
note g ◦ f , l’application définie par :
®
E −→ G
g◦ f :
x 7−→ g( f ( x))
On a donc ∀ x ∈ E, ( g ◦ f )( x) = g( f ( x)) par définition de g ◦ f .
Remarque. On ne peut composer deux fonctions que si leurs ensembles de définition et d’arrivée sont compatibles. En effet, pour calculer ( g ◦ f )( x) on doit appliquer la fonction g à f ( x) : il faut donc que f ( x) soit dans
l’ensemble de définition de g.
Exemple 119. Si f : x 7→ x2 et g : x 7→ ln x, alors on a :
( f ◦ g)( x) = f ( g( x)) = f (ln x) = (ln x)2 et ( g ◦ f )( x) = g( f ( x)) = g( x2 ) = ln( x2 ) = 2 ln x.
On voit sur cet exemple que f ◦ g et g ◦ f ne sont pas les mêmes fonctions (il se peut d’ailleurs que l’une soit
définie et l’autre pas). On dit que la composition des fonctions n’est « pas commutative. »

 R \ {0, 1}
−→ R \ {0, 1}
.
1

x
7−→
1−x
1. Justifier que la fonction f est bien définie.
Exemple 120. Soit f :
2. Calculer f ◦ f puis f ◦ ( f ◦ f ) et ( f ◦ f ) ◦ f .
A3.2.3 Bijection, fonction réciproque
Notation. La suite de symbole ∃! se lit « il existe un unique. »
Définition 121.
Soient f : E → F une application, et I, J deux ensembles tels que I ⊂ E et J ⊂ F.
i ) On dit que « f réalise une bijection de I sur J » lorsque tout élément y de J admet un unique antécédent x dans I,
c’est-à-dire :
∀y ∈ J, ∃!x ∈ I, y = f ( x).
ii ) Lorsque I est l’ensemble de définition de f et J son ensemble d’arrivée, on dit plus simplement que « f est bijective »
ou « f est une bijection. »
Exemple 122. Seule la première des trois applications figurées ci-dessous est bijective.
®
Exemples 123.
1. La fonction exp :
®
R −→ R ∗+
est une bijection.
x 7−→ ex
R −→ R
n’est pas bijective, mais elle réalise une bijection de [0, +∞[ sur [0, +∞[, et
x 7−→ x2
aussi de ]−∞, 0] sur [0, +∞[.
2. La fonction f :
38
Fonctions usuelles
Définition 124.
Soit f : I → J une fonction bijective. On appelle « fonction réciproque de f », et on note f −1 , la fonction définie de J vers
I qui à un élément y de J associe son unique antécédent x dans I par la fonction f . On a donc l’équivalence suivante :
∀ x ∈ I, ∀y ∈ J, f ( x) = y ⇐⇒ x = f −1 (y).
Exemple 125.
®
i ) La bijection réciproque de f :
[0, +∞[ −→ [0, +∞[
est la fonction racine carrée.
x
7−→ x2
ii ) La bijection réciproque de exp est la fonction logarithme.
Théorème 126.
Soit f : I → J une fonction bijective. On a alors :
∀ x ∈ I, f −1 ◦ f ( x) = x
et
∀y ∈ J, f ◦ f −1 (y) = y.
On en déduit que f −1 est une bijection de J dans I.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 127.
Soient I, J deux intervalles de R, et f : I → J une bijection. Alors la courbe représentative de f −1 est le symétrique de
celle de f par rapport à la première bissectrice des axes.
Démonstration. Voir les notes de cours.
A3.3 Quelques rappels d’analyse
A3.3.1 Intervalles
Définition 128.
On appelle « intervalle de R » toute partie I de R telle que :
∀(α, β) ∈ I 2 , ∀ x ∈ R, α 6 x 6 β ⇒ x ∈ I.
Théorème 129.
Tout intervalle de R est d’un des types suivants, avec a < b des réels :
1) R
6) [ a, b]
2) [ a, +∞[
7) [ a, b[
3) ] a, +∞[
8) ] a, b]
4) ]−∞, b]
9) ] a, b[
5) ]−∞, b[
10) ∅
11) {a}
Démonstration. Résultat admis.
Définition 130.
Soit I un intervalle.
i ) On dit que « I est ouvert » s’il est du type 1, 3, 5, 9 ou 10 ;
ii ) On dit que « I est fermé » s’il est du type 1, 2, 4, 6, 10 ou 11 ;
iii ) On dit que « I est véritable » s’il contient au moins deux réels distincts.
A3.3.2 Fonctions paires, impaires, périodiques
Définition 131.
Soient I ⊂ R et f : I → R.
i ) Soit a ∈ R. On dit que « I est centré en a » si ∀ x ∈ R, a + x ∈ I ⇐⇒ a − x ∈ I.
ii ) Si I est centré en 0, et si ∀ x ∈ I, f (− x) = f ( x), alors on dit que « f est paire. »
iii ) Si I est centré en 0, et si ∀ x ∈ I, f (− x) = − f ( x), alors on dit que « f est impaire. »
Exemple 132. Soit a ∈ R et h > 0. Les intervalles [ a − h, a + h], ] a − h, a + h[, sont centrés en a, alors que R,
R \ {−1, 1} et [−2, −1] ∪ [1, 2] sont centrés en 0.
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
39
Théorème 133.
Soient I ⊂ R, f : I → R, et C sa courbe représentative.
i ) Si I est centré en a et si ∀h ∈ R, a + h ∈ I ⇒ f ( a + h) = f ( a − h), alors C est invariante par réflexion par
rapport à la droite d’équation x = a.
ii ) La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
iii ) Soit b ∈ R. Si I est centré en a et si ∀h ∈ R, a + h ∈ I ⇒ f ( a + h) − b = b − f ( a − h), alors C est invariante
par symétrie par rapport au point Ω( a, b).
iv) La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Définition 134.
Soit f : R → R.
i ) Soit T > 0. On dit que f est « périodique de période T » lorsque ∀ x ∈ R, f ( x + T ) = f ( x).
ii ) On dit que f est « périodique » lorsqu’il existe T > 0 tel que f soit périodique de période T.
iii ) Si l’ensemble des périodes de f admet un plus petit élément T, on dit que « la période » de f est T.
Exemples 135.
i ) Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π ;
ii ) La fonction tangente est périodique de période π ;
iii ) Les fonctions constantes sont périodiques, mais n’ont pas de plus petite période.
Théorème 136.
Soit f : R → R une fonction périodique de période T. On a les résultats suivants.
i ) ∀ x ∈ R, ∀k ∈ Z, f ( x + kT ) = f ( x).
−
→
ii ) La courbe représentative de f est invariante par translation de vecteur t ( T, 0).
Démonstration. Voir les notes de cours.
A3.3.3 Monotonie
Définition 137.
Soit I ⊂ R et f : I → R.
i ) On dit que f est « croissante » lorsque ∀( x, y) ∈ I 2 , x 6 y ⇒ f ( x) 6 f (y).
ii ) On dit que f est « décroissante » lorsque ∀( x, y) ∈ I 2 , x 6 y ⇒ f (y) 6 f ( x).
iii ) On dit que f est « monotone » lorsque f est croissante ou décroissante.
iv) On dit que f est « strictement croissante » lorsque ∀( x, y) ∈ I 2 , x < y ⇒ f ( x) < f (y).
v) On dit que f est « strictement décroissante » lorsque ∀( x, y) ∈ I 2 , x < y ⇒ f (y) < f ( x).
vi ) On dit que f est « strictement monotone » si f est strictement croissante ou strictement décroissante.
Exercice 138.
1. Montrer que f est à la fois croissante et décroissante si et seulement si f est constante.
2. Montrer f est croissante (resp. strictement croissante) si et seulement si − f est décroissante (resp. strictement décroissante).
Théorème 139.
i ) La composée de deux fonctions croissantes est croissante.
ii ) La composée de deux fonctions décroissantes est croissante.
iii ) La composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante est décroissante.
iv) La composée de deux fonctions strictement croissantes est strictement croissante.
v) La composée de deux fonctions strictement décroissantes est strictement croissante.
vi ) La composée d’une fonction strictement croissante et d’une fonction strictement décroissante est strictement décroissante.
Démonstration. Voir les notes de cours.
40
Fonctions usuelles
Définition 140.
Soient I ⊂ R, et f : I → R.
i ) Soit a ∈ I. On dit que f est « continue en a » lorsque
lim f ( x) = f ( a).
x→a
ii ) On dit que « f est continue sur I » lorsque f est continue en
a pour tout a ∈ I.
Remarque. Il a été dit en Terminale que les fonctions continues sont celles que l’on peut « tracer sans lever le stylo. »
Cette notion est informelle et ne peut donc pas être utilisée
dans une démonstration, mais il peut être utile de la garder
à l’esprit puisqu’elle permet d’appréhender la majorité des
exemples rencontrés au concours.
Exemple de fonction non continue en 0.
A3.3.4 Continuité
Théorème 141.
La somme, le produit ou la composée de deux fonctions continues est continue.
Démonstration. Ce résultat sera prouvé plus tard dans l’année.
Théorème 142 (Théorème de la bijection monotone).
Soit f : I → R une fonction continue et strictement monotone sur I. Alors f ( I ) est un intervalle, et f réalise une bijection
de I sur f ( I ), de sorte que son inverse f −1 est continue et strictement monotone sur f ( I ), de même monotonie que f .
Démonstration. Ce résultat sera prouvé plus tard dans l’année.
Exemple 143. La fonction exp réalise une bijection strictement croissante et continue de R sur R ∗+ , et son inverse
est la fonction ln, qui réalise elle une bijection strictement croissante et continue de R ∗+ sur R.
A3.3.5 Dérivabilité
Définition 144.
Soient I un intervalle véritable et f : I → R
f ( x ) − f ( a)
admet une limite finie
x−a
lorsque x tend vers a. Cette limite est alors appelée « la dérivée de f en a », et est notée f ′ ( a).
i ) Soit a ∈ I. On dit que f est « dérivable en a » lorsque le taux d’accroissement
ii ) On dit que « ®f est dérivable sur I » lorsque f est dérivable en a pour tout a ∈ I. On appelle alors « dérivée de f » la
I −→ R
fonction f ′ :
a 7−→ f ′ ( a).
Théorème 145.
Soient I un intervalle véritable et f : I → R une fonction dérivable en a. Alors f ′ ( a) est le coefficient directeur de la
tangente à la courbe représentative de f au point de coordonnées ( a, f ( a)). Cette tangente admet donc pour équation :
y = f ′ ( a)( x − a) + f ( a).
Démonstration. Ce résultat sera prouvé en deuxième année.
Théorème 146.
Toute fonction dérivable est continue.
Démonstration. Ce résultat sera prouvé plus tard dans l’année.
Théorème 147.
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle véritable I, et λ ∈ R. On a alors les résultats suivants.
i ) u + v est dérivable sur I, et (u + v)′ = u′ + v′ .
ii ) λu est dérivable sur I, et (λu)′ = λu′ .
41
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
iii ) uv est dérivable sur I, et (uv)′ = u′ v + uv′
iv) Pour tout n ∈ N, un est dérivable, et (un )′ = nu′ un−1
1 ′
− v′
1
= 2 .
v) Si v ne s’annule pas sur I, alors est dérivable, et :
v
v
v
Å ã′
u
u
u′ v − uv′
v) Si v ne s’annule pas sur I, alors est dérivable, et :
.
=
v
v
v2
Å ã
Démonstration. Ce résultat sera prouvé plus tard dans l’année.
Théorème 148.
Soient I et J deux intervalles véritables, f : I → J et g : J → R deux fonctions dérivables. Alors g ◦ f est dérivable sur I
et :
( g ◦ f ) ′ = ( g′ ◦ f ) × f ′
En d’autres termes, on a pour tout x ∈ I : ( g ◦ f )′ ( x) = ( g′ ◦ f ( x)) × f ′ ( x) = g′ ( f ( x)) × f ′ ( x).
Démonstration. Ce résultat sera prouvé plus tard dans l’année.
On a enfin le résultat suivant.
Théorème 149.
Soit I un intervalle véritable, et f : I → R une fonction dérivable et strictement monotone sur I. Si f ′ ne s’annule pas sur
I, alors f −1 est également dérivable, de sorte que pour tout y ∈ f ( I ) :
Ä
ä′
f −1 ( y) =
f′
1
.
◦ f −1 ( y)
Démonstration. Ce résultat sera prouvé plus tard dans l’année.
A3.3.6 Primitives
Soit I un intervalle véritable.
Définition 150.
Soit f : I → R. On dit qu’une fonction dérivable F : I → R est une « primitive de f sur I » si F ′ = f .
Théorème 151.
i ) Les primitives de la fonction nulle sur I sont les fonctions constantes.
ii ) Si F1 , F2 sont des primitives d’une même fonction f sur I, alors F1 − F2 est une fonction constante sur I.
iii ) Soient f une fonction continue sur I, a ∈ I et b ∈ R. Alors il existe une unique primitive F de f sur I telle que
F ( a) = b.
Démonstration. Ce résultat sera prouvé plus tard dans l’année.
A3.3.7 Asymptotes
Soit I un intervalle véritable.
Définition 152.
Soient x0 , a, b des réels, f : I → R et C f sa courbe représentative.
i ) On dit que la droite d’équation x = x0 est « asymptote verticale à C f » si lim+ f ( x) = ±∞ ou lim− f ( x) = ±∞.
x → x0
x → x0
ii ) On dit que la droite d’équation y = b est « asymptote horizontale à C f en +∞ (resp. −∞) » si lim f ( x) = b (resp.
lim f ( x) = b).
x →+ ∞
x →− ∞
iii ) On dit que la droite d’équation y = ax + b est « asymptote oblique à C f en +∞ (resp. −∞) » si lim f ( x) − ( ax +
b) = 0 (resp. lim f ( x) − ( ax + b) = 0).
x →+ ∞
x →− ∞
Théorème 153.
Soient a, b des réels, f : I → R et C f sa courbe représentative. Les assertions suivantes sont équivalentes.
i ) La droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à C f en +∞ (resp. −∞) ;
42
Fonctions usuelles
ii )
f ( x)
f ( x)
= a et lim ( f ( x) − ax) = b (resp. lim
= a et lim ( f ( x) − ax) = b).
x →+ ∞
x →− ∞ x
x →− ∞
x →+ ∞ x
lim
Démonstration. Voir les notes de cours.
2x3 + x − 4
admet une asymptote oblique en +∞ et −∞, dont on
2x2 + x − 4
déterminera une équation. Cette fonction admet-elle d’autres asymptotes ?
Exercice 154. Montrer que la fonction x 7→
A3.4 Les fonctions trigonométriques et leurs réciproques
A3.4.1 La fonction cosinus
On admet le résultat suivant.
Théorème 155.
La fonction cosinus est dérivable, et sa dérivée est donnée par
(cos)′ = − sin .
On obtient alors le graphe ci-contre en considérant
par ailleurs que la fonction cosinus est paire et 2πpériodique (voir les notes de cours).
La fonction cos ne réalise pas une bijection : pour tout réel y ∈ [−1, 1] l’équation y = cos x admet une
infinité de solutions (le cosinus est périodique). Néanmoins, le cosinus est strictement décroissant sur [0, π ], ce
qui permettra de l’inverser sous réserve de le restreindre à [0, π ].
Définition 156.
Soit f : E → F une application, et A ⊂ E. On appelle alors « restriction de f à A », et l’on note f | A l’application
f|A :
A
x
→
7→
F
f ( x)
Théorème 157.
La fonction cos|[0;π ] réalise une bijection strictement décroissante de [0; π ] sur [−1, 1].
Démonstration. Voir les notes de cours.
Définition 158.
On appelle « arccosinus », et on note Arccos, l’inverse de la fonction cos|[0;π ] .
On a donc
∀y ∈ [−1, 1], cos (Arccos y) = y
et
∀ x ∈ [0, π ], Arccos (cos x) = x.
En d’autres termes, si y ∈ [−1, 1], Arccos(y) est l’unique x ∈ [0, π ] tel que cos x = y.
Théorème 159.
On a les résultats suivants.
43
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
i ) La fonction Arccos réalise une bijection continue et strictement décroissante de [−1, 1] sur [0, π ].
ii ) La fonction Arccos est dérivable sur ] − 1, 1[, de sorte que :
∀ x ∈] − 1, 1[, Arccos′ ( x) = − √
1
1 − x2
Démonstration. Voir les notes de cours.
On obtient alors le graphe de Arccos en réalisant la symétrie par rapport à la première bissectrice des axes
du graphe de cos|[0;π ] .
Exercice 160. Calculer Arccos cos 4π
puis, plus généralement, Arccos (cos x) si x ∈]π, 2π ].
3
Ä
ä
A3.4.2 La fonction sinus
On admet le résultat suivant.
Théorème 161.
La fonction sinus est dérivable, et sa dérivée est donnée par
(sin)′ = cos .
On obtient alors le graphe ci-contre en considérant
par ailleurs que la fonction sinus est impaire et 2πpériodique.
Nous allons maintenant effectuer le même travail qu’avec le cosinus : restreindre le sinus à un intervalle où
il est strictement monotone pour pouvoir l’inverser.
Théorème 162.
ó
î
La fonction sin|[− π ; π ] réalise une bijection strictement croissante de − π2 ; π2 sur [−1, 1].
2 2
Démonstration. Raisonnement analogue à la preuve du théorème 157.
Définition 163.
On appelle « arcsinus », et on note Arcsin, l’inverse de la fonction sin|[− π ; π ] .
2 2
On a donc
π π
∀x ∈ − ;
, Arcsin (sin x) = x.
2 2
ï
∀y ∈ [−1, 1], sin (Arcsin y) = y
et
î
ó
ò
En d’autres termes, si y ∈ [−1, 1], Arcsin(y) est l’unique x ∈ − π2 ; π2 tel que sin x = y.
44
Fonctions usuelles
Exercice 164. Calculer Arcsin (1) puis Arcsin
1
2
Ä ä
.
Théorème 165.
On a les résultats suivants.
î
ó
i ) La fonction Arcsin réalise une bijection continue et strictement croissante de [−1, 1] sur − π2 ; π2 .
ii ) La fonction Arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[, de sorte que :
∀ x ∈] − 1, 1[, Arcsin′ ( x) = √
1
1 − x2
Démonstration. Voir les notes de cours.
On obtient alors le graphe de Arcsin en réalisant la symétrie par rapport à la première bissectrice des axes
du graphe de sin|[− π ; π ] .
2 2
A3.4.3 La fonction tangente
Théorème 166.
ß
™
π
La fonction tangente est définie sur D = x ∈ R; ∀k ∈ Z, x 6= + kπ . Sur D , la fonction tangente est dérivable,
2
1
impaire et π-périodique, et sa dérivée est donnée par (tan)′ = cos
=
1 + tan2 .
2
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 167.
î
ó
La fonction tan| π π réalise une bijection strictement croissante de − π2 ; π2 sur R.
]− 2 ; 2 [
Démonstration. Raisonnement analogue à la preuve du théorème 157.
Définition 168.
On appelle « arctangente », et on note Arctan, l’inverse de la fonction tan|
]− π2 ; π2 [
.
A3.5. DÉRIVATION DES FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES
45
On a donc
π π
, Arctan (tan x) = x.
∀x ∈ − ;
2 2
ò
∀y ∈ R, tan (Arctan y) = y
et
ó
ï
î
En d’autres termes, si y ∈ R, Arctan(y) est l’unique x ∈ − π2 ; π2 tel que tan x = y.
Théorème 169.
On a les résultats suivants.
ó
î
i ) La fonction Arctan réalise une bijection continue et strictement croissante de R sur − π2 ; π2 .
ii ) La fonction Arctan est dérivable, de sorte que :
∀ x ∈ R, Arctan′ ( x) =
iii )
lim Arctan( x) =
x →+ ∞
π
2
1
.
1 + x2
et lim Arctan( x) = − π2 .
x →− ∞
Démonstration. Voir les notes de cours.
A3.5 Dérivation des fonctions à valeurs complexes
Définition 170.
On appelle « fonction à valeurs complexes » toute fonction f : I → C, où I est inclus dans R, telle qu’il existe deux
fonctions a : I → R et b : I → R telles que
∀ x ∈ I, f ( x) = a( x) + ib( x).
La notion de dérivabilité s’étend naturellement aux fonctions à valeurs complexes, étant entendu que le
complexe i est considéré constant lorsque l’on dérive.
Définition 171.
Soit I un intervalle véritable, a : I → R et b : I → R deux fonctions dérivables. Alors la fonction définie par f ( x) =
a( x) + ib( x) est dite « dérivable sur I », et par définition sa dérivée est f ′ : x 7→ a′ ( x) + ib′ ( x).
Exemple 172. La fonction défine par f (θ ) = cos θ + i sin θ est dérivable, de sorte que f ′ (θ ) = i f (θ ).
Le résultat suivant sera fréquemment utilisé en physique.
Définition 173.
Pour tout réel θ, on pose : eiθ = cos θ + i sin θ. Plus généralement, si z = x + iy avec ( x, y) ∈ R2 , on pose : ez = ex eiy =
ex (cos y + i sin y) .
Théorème 174.
Soit I un intervalle véritable, et ϕ : I → C une fonction à valeurs complexes dérivable. Alors la fonction définie par
x 7→ e ϕ( x ) est dérivable, de sorte que
d e ϕ( x )
= ϕ ′ ( x )e ϕ( x ) .
dx
Démonstration. Voir les notes de cours.
46
Fonctions usuelles
A3.6 Bilan : dérivées des fonctions usuelles
Donnons enfin le tableau récapitulatif suivant.
Fonction
Dérivée
Dom. de dérivabilité
exp
exp
R
ln
x 7→
x 7→ xα
x 7→
√
x
1
x
]0, +∞[
x 7→ αxα−1
x 7→
]0, +∞[
1
√
2 x
]0, +∞[
ch : x 7→
e x +e−x
2
sh
R
sh : x 7→
e x −e−x
2
ch
R
cos
− sin
R
sin
cos
tan
Arccos
Arcsin
Arctan
1
cos2
=
R
1 + tan2
x 7→ − √
x 7→
x 7→
1
1− x 2
ß
π
x ∈ R; ∀k ∈ Z, x 6= + kπ
2
] − 1, 1[
√ 1
1− x 2
]−1, 1[
1
1+ x 2
R
™
Chapitre
A4
Nombres complexes
A4.1 Forme algébrique d’un nombre complexe
Définition 175.
i ) Un nombre complexe z est la donnée d’un couple ( x, y) de nombres réels.
ii ) Les réels x et y sont appelés respectivement la « partie réelle » et la « partie imaginaire » de z. On note x =
Re(z) et y = I m(z).
iii ) Le nombre complexe correspondant au couple (0, 1) sera noté i. Le nombre complexe z correspondant au couple de
réels ( x, y) sera noté z = x + iy.
iv) L’ensemble des nombres complexes est noté C. On a donc C = x + iy | ( x, y) ∈ R2 .
¶
©
Remarque. En physique le nombre complexe i est noté j afin d’éviter toute confusion avec l’intensité.
Définition 176.
Soit z ∈ C.
i ) z est dit « réel » si sa partie imaginaire est nulle.
ii ) z est dit « imaginaire pur » si sa partie réelle est nulle.
Un nombre réel x s’identifie naturellement avec le nombre complexe x + 0i : on pose donc x + 0i = x. De
cette identification résulte la relation R ⊂ C, où la définition du symbole ⊂ est rappelée ci-dessous.
Notation. Soient A, B deux ensembles. Si tout élément de A appartient à B, alors on dit que « A est inclus dans
B », ce qui est noté A ⊂ B.
De même, les nombres complexes imaginaires purs sont de la forme z = iy, avec y ∈ R. On notera iR
l’ensemble des nombres complexes imaginaires purs. On peut maintenant définir une addition et une multiplication entre nombres complexes de telle sorte que i2 = −1 et que les régles de calculs sur les réels soient encore
valables sur les complexes.
Définition 177.
Soient z = x + iy et z′ = x′ + iy′ deux nombres complexes, avec ( x, y, x′ , y′ ) ∈ R4 . L’addition et la multiplication des
nombres complexes sont définies par les égalités suivantes :
z + z′ = ( x + iy) + ( x′ + iy′ ) = ( x + x′ ) + i (y + y′ )
zz′ = ( x + iy) × ( x′ + iy′ ) = ( xx′ − yy′ ) + i ( xy′ + yx′ )
Bien entendu, on ne cherchera pas à retenir les formules ci-dessus. En se rappelant simplement de la relation
i2 = −1, on peut retrouver les formules ci-dessus en utilisant les règles de distributivité (x(y + z) = xy + xz) et
de commutativité (x + y = y + x) valables sur les réels.
Remarque. Attention, il n’existe aucune relation d’ordre sur l’ensemble des nombres complexes qui étende la
relation d’ordre des nombres réels et qui soit compatible avec l’addition. Ainsi écrire z 6 z′ , z > 0 ou bien i 6 2i
n’a aucun sens si z et z′ sont des nombres complexes !
48
Nombres complexes
A4.2 Affixe d’un point ou d’un vecteur du plan
−
→
→
→
Soit P un plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct R = (O, −
ı ,−
 ). On note P
l’ensemble des vecteurs de P.
Définition 178.
Soit ( x, y) ∈ R2 .
→
i ) On appelle « affixe du vecteur −
u » de coordonnées ( x, y) le
−
→
nombre complexe z u = x + iy.
ii ) On appelle « affixe du point M » de coordonnées ( x, y) le
nombre complexe z M = x + iy.
Remarque.
−−→
−−→ .
i ) Comme le vecteur OM a pour coordonnées ( x, y), on a l’égalité z M = zOM
ii ) Les coordonnées d’un point ou d’un vecteur dépendent du repère R considéré, il en est donc de même
des affixes.
Remarque. La définition précédente permet de définir les applications :
®
® −
→
P −→ C
P −→ C
f :
.
et g : −
→
M 7−→ z M
→
u 7−→ z−
u
L’application f est bijective : pour tout nombre complexe z, il existe un unique point M tel que f ( M ) = z, c’està-dire tel que z M = z. Nous noterons par la suite M (z) le point M du plan d’affixe z. De même, l’application
→
→
g est bijective : pour tout nombre complexe z, il existe un unique vecteur −
u tel que g(−
u ) = z, c’est-à-dire tel
−
→
que z u = z.
Théorème 179.
Soit M un point du plan. Alors :
i ) L’affixe de M est réel si et seulement si M est sur l’axe des abscisses. Ainsi, on dit que l’axe des abscisses est « l’axe
réel. »
ii ) L’affixe de M est imaginaire pur si et seulement si M est sur l’axe des ordonnées. Ainsi, on dit que l’axe des ordonnées
est « l’axe imaginaire pur. »
Démonstration. Facile.
Théorème 180.
→
→
Soient −
u et −
v deux vecteurs du plan, A et B deux points du plan et λ ∈ R. Alors :
→
→
→
→
i ) z−
v ou en d’autres termes : l’affixe d’une somme de vecteurs est la somme des affixes des vecteurs ;
u + z−
u +−
v = z−
→
→
ii ) zλ−
u ;
u = λz−
→ = zB − z A ;
iii ) z−
AB
iv) Le milieu I du segment [ AB] a pour affixe : z I =
z A + zB
.
2
Démonstration. Voir les notes de cours.
A4.3 Conjugué d’un nombre complexe
Définition 181.
Soit z = x + iy un nombre complexe, avec ( x, y) ∈ R2 . On appelle « conjugué de z », et on note z, le nombre complexe
défini par z = x − iy.
Théorème 183.
Soient z et z′ deux nombres complexes. Alors :
i) z = z
ii ) z + z′ = z + z′
iii ) zz′ = zz′
v) ∀n ∈ Z, zn = zn
vi )
Si de plus, z 6= 0, alors :
1
z
Å ã
iv)
=
1
z
Ç ′å
z
z
=
z′
z
A4.4. MODULE D’UN NOMBRE COMPLEXE
49
Théorème 182 (Interprétation géométrique du conjugué).
Soient z un nombre complexe et M le point du plan d’affixe
z.
Alors, le point M ′ , image du point M par la symétrie orthogonale par rapport à l’axe réel a pour affixe z.
Démonstration. Voir le dessin ci-contre ; la preuve formelle sera faite en fin de chapitre.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 184.
Soit z un nombre complexe. Alors :
i ) Re ( z ) =
z+z
2
ii ) I m(z) =
z−z
2i
iii ) z ∈ R ⇐⇒ z = z
iv) z ∈ iR ⇐⇒ z = −z
Démonstration. Voir les notes de cours.
A4.4 Module d’un nombre complexe
Définition 185.
Soit z = x + iy un nombre complexe avec ( x, y) ∈ R2 . On appelle « module de z » le nombre réel positif noté | z| et défini
par :
»
| z | = x 2 + y2 .
Remarque. Si x est un nombre réel, alors le calcul du module de x donne :
| x| = | x + 0i| =
p
x2
+ 02
=
√
®
x2
=
− x si x < 0
.
x si x > 0
Cela prouve que le module de x est égal à la valeur absolue de x lorsque x est un nombre réel. C’est pour cette
raison que les fonctions module et valeur absolue possèdent la même notation.
Théorème 186 (Interprétation géométrique du module).
→
Soient −
u un vecteur du plan et A, B deux points du plan. On a alors les résultats suivants.
→
→| ;
i ) −
u = | z−
u
−→
ii ) AB = AB = |zB − z A | ;
iii ) OA = | z A |.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Définition 187.
Soient Ω un point du plan d’affixe ω et r > 0. Alors :
i ) on appelle « cercle de centre Ω et de rayon r » l’ensemble des points M (z) tels que | z − ω | = r ;
ii ) on appelle « disque fermé de centre Ω et de rayon r » l’ensemble des points M (z) tels que |z − ω | 6 r ;
iii ) on appelle « disque ouvert centre Ω et de rayon r » l’ensemble des points M (z) tels que | z − ω | < r.
Théorème 188.
Soit z = x + iy un nombre complexe avec ( x, y) ∈ R2 . Alors :
i ) zz = x2 + y2 = | z|2 ;
ii ) | z| = 0 si et seulement si z = 0.
Démonstration. Voir les notes de cours.
50
Nombres complexes
Méthode (Mise sous forme algébrique d’un quotient de deux nombres complexes.). Soient z1 et z2 deux
z1
. Pour mettre le nombre complexe Z sous forme algébrique,
nombres complexes avec z2 6= 0. Soit Z =
z2
on multiplie le numérateur et le dénominateur par z2 . On a alors :
Z=
z1
z z
z z
= 1 2 = 1 22 .
z2
z2 z2
| z2 |
Comme |z2 |2 est un nombre réel, on obtient Re( Z ) =
Re ( z1 z2 )
et
| z2 | 2
I m( Z ) =
I m( z1 z2 )
.
| z2 |2
Exercice 189. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe Z =
Théorème 190.
Soient z, z′ deux nombres complexes. Alors :
Si de plus, z 6= 0, alors :
1
1
;
iv) =
z
| z|
n
n
v) ∀n ∈ Z, | z | = | z| ;
Démonstration. Voir les notes de cours.
z′ |z′ |
vi ) =
.
z
| z|
Théorème 191.
Soient z, z′ deux nombres complexes. Alors :
i ) Inégalité triangulaire : | z + z′ | 6 |z| + |z′ |.
ii ) Cas d’égalité : | z + z′ | = | z| + | z′ | si, et seulement si, ∃λ ∈ R + , z′ = λz ou z = λz′ .
iii ) || z| − | z′ || 6 | z + z′ | 6 | z| + | z′ | .
Démonstration. Voir les notes de cours.
iii ) zz′ = | z| z′ .
ii ) |z| = |z| ;
i ) |Re z| 6 | z| et |I m z| 6 |z| ;
1+i
.
2 − 3i
A4.5. EXPONENTIELLE IMAGINAIRE
51
Remarques.
i ) Le résultat ci-dessus est aussi fréquemment utile dans le cas où z, z′ sont réels.
ii ) Soient M, M ′ , S les points du plan d’affixe respective z, z′ , z + z′ . Le théorème 180 assure que l’on a
−→ −−→ −−→
OS = OM + OM ′ , ce qui permet d’interpréter l’inégalité triangulaire comme exprimant que le plus
court trajet entre deux points du plan est la ligne
droite les reliant :
OS 6 OM + OM ′ ⇔ |z + z′ | 6 |z| + |z′ |.
A4.5 Exponentielle imaginaire
Dans cette section, on considère la fonction définie sur R par ψ(θ ) = cos θ + i sin θ.
Théorème 192.
Pour tous réels θ et θ ′ , on a ψ(θ + θ ′ ) = ψ(θ )ψ(θ ′ ).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Cette propriété motive la définition suivante (le chapitre A3 présente des motivations supplémentaires).
Définition 193.
Pour tout réel θ, on pose :
eiθ = cos θ + i sin θ.
′
′
Avec cette notation, le théorème 192 donne eiθ eiθ = ei(θ +θ ) pour tous réels θ et θ ′ . Par convention, la quantité
ei(−θ ) sera notée e−iθ .
Théorème 194.
Soient θ, θ ′ deux réels, et z ∈ C.
i ) eiθ = 1;
ii ) eiθ = e−iθ =
1
;
eiθ
eiθ
i( θ − θ ′ ) ;
′ = e
iθ
e
′
iv) eiθ = eiθ ⇐⇒ θ ≡ θ ′ [2π ] ;
iii )
v) | z| = 1 ⇐⇒ ∃θ ∈ R, z = eiθ .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Des points ii ) et v) on déduit que si z est un complexe de module 1, alors z = 1z . La réciproque est
triviale.
Théorème 195 (Formules d’Euler).
Pour tout θ ∈ R, on a :
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
et
sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemple 196. Soient θ et θ ′ deux réels. Alors :
iθ
iθ ′
iθ
iθ ′
e +e
e −e
Ç
=
θ +θ ′
ei 2
Ç
=
θ +θ ′
i 2
e
θ −θ ′
ei 2
θ −θ ′
i 2
e
θ − θ ′ i θ +θ ′
e 2
2
å
θ −θ ′
θ − θ ′ i θ +θ ′
−i 2
−e
= 2i sin
e 2
2
θ −θ ′
+ e− i 2
å
= 2 cos
En considérant les parties réelles et imaginaires des deux membres de ces égalités, on retrouve les formules
trigonométriques de factorisation.
52
Nombres complexes
Théorème 197 (Formule de Moivre).
Pour tout n ∈ Z et tout θ ∈ R, on a :
ce qui équivaut à
Ä
eiθ
än
= einθ ,
(cos θ + i sin θ ) n = cos nθ + i sin nθ.
Démonstration. Voir les notes de cours.
π
Exemple 198. Soit k ∈ Z. Alors eikπ = (−1)k et ei( 2 +kπ ) = (−1)k i.
On utilise les formules d’Euler et de Moivre pour linéariser une expression trigonométrique, c’est à dire
transformer des produits de sinus et cosinus en somme de sinus et cosinus.
Méthode (Linéarisation d’une expression trigonométrique.). Soient ( p, q) ∈ N2 et x ∈ R. Pour linéariser l’expression cos p x sinq x, on peut procéder comme suit.
1. On commence par utiliser les formules d’Euler :
Ç
p
q
cos x sin x =
eix + e−ix
2
åp
åp Ç
eix − e−ix
2i
åq
.
åq
eix + e−ix
eix − e−ix
et
à l’aide de la formule du binôme de
2
2i
Newton, puis on développe le produit de deux facteurs ainsi obtenu.
Ç
Ç
2. On développe ensuite les expressions
3. Enfin, il suffit de remarquer que la somme obtenue fait apparaître des couples de termes conjugués : on
peut alors employer à nouveau la formule d’Euler mais dans l’autre sens pour ne faire apparaitre que des
cosinus et des sinus.
Exercice 199. Linéariser cos4 x.
Méthode (Calcul des lignes trigonométriques des multiples d’un angle connu.). La formule de Moivre permet,
étant donné un nombre réel θ et un entier n, d’exprimer sin nθ et cos nθ en fontion des puissances de cos θ et
sin θ. Il suffit pour cela de considérer l’égalité
cos nθ + i sin nθ = (cos θ + i sin θ )n ,
puis de développer à l’aide du binôme de Newton le second membre, ce qui donne
cos nθ + i sin nθ =
n
X
k=0
n
cosn−k θ (i sin θ )k
k
Ç å
en identifiant les parties réelles et imaginaires de part et d’autre de cette égalité on a
cos nθ = Re
n
X
n
cosn−k θ (i sin θ )k
k
Ç å
k=0
!
et sin nθ = I m
n
X
n
cosn−k θ (i sin θ )k
k
Ç å
k=0
!
Considérant que i k est réel si k est pair, et qu’il est imaginaire pur sinon, on en déduit :
cos nθ =
n
X
k=0
k pair
n
X
n
cosn−k θ (i sin θ )k et sin nθ =
k
Ç å
k=0
k impair
n
cosn−k θ (i sin θ )k
k
Ç å
Exercice 200. Exprimer cos 3θ en fonction de cos θ.
A4.6 L’ensemble des nombres complexes de module 1
Définition 201.
On note U l’ensembles des nombres complexes de module 1, c’est-à-dire l’ensemble des affixes des points du cercle trigonométrique. On a donc :
U = { z ∈ C | | z | = 1} .
A4.7. FORME TRIGONOMÉTRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE
53
Théorème 202.
Soit z ∈ C. Alors :
i ) z ∈ U ⇐⇒ ∃θ ∈ R, z = eiθ
ii ) U = eiθ | θ ∈ R
¶
©
Démonstration. Résulte du théorème 194.
Théorème 203.
On a les résultats suivants.
™
ß
1
∗
;
i ) U = z ∈ C z =
z
ii ) U ∩ R = {−1, 1} ;
iii ) U ∩ iR = {−i, i } ;
iv) U est stable par multiplication : ∀(z, z′ ) ∈ U2 , zz′ ∈ U ;
1
v) U est stable par passage à l’inverse : ∀z ∈ U, ∈ U ;
z
vi ) U est stable par la conjugaison complexe : ∀z ∈ U, z ∈ U.
Démonstration. Voir les notes de cours.
A4.7 Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Théorème/définition 204.
Soit z ∈ C ∗ et r = |z| . Alors :
i ) il existe θ ∈ R tel que z = reiθ ;
′
ii ) si z = r′ eiθ avec r′ > 0 et θ ′ ∈ R, alors r = r′ et θ ≡ θ ′ [2π ].
On dit que reiθ est l’écriture de z « sous forme trigonométrique », et que θ est « un argument » de z. On note :
arg z ≡ θ [2π ] .
On appelle encore « argument principal de z » l’unique argument de z appartenant à l’intervalle ]−π, π ].
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 205.
Soit z = x + iy = reiθ , avec ( x, y) ∈ R2 , r > 0 et θ ∈ R. Alors :
i ) x = r cos θ et y = r sin θ ;
»
y
x
ii ) r = x2 + y2 , cos θ = et sin θ = .
r
r
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 206 (Interprétation géométrique de l’argument).
Soit z ∈ C ∗ et M le point du plan d’affixe z. Alors :
−−→
→
arg z ≡ −
ı , OM [2π ] .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Soit M un point du plan. Pour le repérer, on peut utiliser
ses coordonnées cartésiennes. Une autre façon de faire est de
considérer la distance du point M au point O et l’angle formé
−−→
→
par les vecteurs −
ı et OM. Ce sont les coordonnées polaires
du point M. Soit z l’affixe du point M. Si z = x + iy = reiθ ,
avec ( x, y, r, θ ) ∈ R4 et r > 0, alors les coordonnées cartésiennes de M sont ( x, y) et on dit que (r, θ ) est « un couple de
coordonnées polaires pour M. »
54
Nombres complexes
√
Exercice 207. Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes 1 + i et 1 + i 3.
Théorème 208.
Soient (z, z′ ) ∈ C ∗2 et n ∈ Z. On a les résultats suivants.
ii ) arg (zn ) ≡ n arg z [2π ]
Å ã
z
iv) arg ′ ≡ arg z − arg z′ [2π ]
z
π
vi ) z ∈ iR ∗ ⇐⇒ arg z ≡ [ π ]
2
i ) arg(zz′ ) ≡ arg z + arg z′ [2π ]
Å ã
1
≡ − arg z [2π ]
iii ) arg (z) ≡ arg
z
v) z ∈ R ∗ ⇐⇒ arg z ≡ 0 [ π ]
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 209.
→
→
Soient −
u ,−
v deux vecteurs non nuls et A, B, C, D quatre points du plan tels que A 6= B et C 6= D. Alors :
i)
ii )
Ä−
→ −
→ä
u, v
Ç
→
→
≡ arg z−
u ≡ arg
v − arg z−
z D − zC
AB, CD ≡ arg
[2π ].
zB − z A
−→ −→
→
z−
v
→
z−
u
å
[2π ],
ã
Å
Démonstration. Voir les notes de cours.
Corolaire 210.
Soient A, B, C, D quatre points du plan tels que A 6= B et C 6= D. Alors :
z D − zC
i ) Les droites ( AB) et (CD ) sont parallèles si, et seulement si,
∈ R∗.
zB − z A
z D − zC
∈ iR ∗ .
ii ) Les droites ( AB) et (CD ) sont perpendiculaires si, et seulement si,
zB − z A
Démonstration. Voir les notes de cours.
Pour finir cette section, on donne encore deux exercices classiques, qu’il faudra savoir refaire.
Exercice 211. Soit t ∈ R. Écrire sous forme trigonométrique 1 + eit et 1 − eit .
Soient θ et φ des réels. On cherche à calculer la forme
trigonométrique de la somme eiθ + eiφ .
−→
−−→ −−→
D’après le dessin ci-contre, où OP = OM + OM ′ , il
θ +φ
semble que l’argument de eiθ + eiφ est 2 .
θ +φ
La méthode consiste donc à mettre ei 2 en facteur dans
l’expression eiθ + eiφ , puis à vérifier que le second facteur est réel (il s’agira en fait du module, mais au signe
près). Cela donne les calculs ci-dessous.
Méthode (Forme trigonométrique de la somme de deux complexes de module 1.).
eiθ + eiφ = ei
Si cos
θ −φ
2
θ +φ
2
Å
ei
θ −φ
2
+ ei
−θ +φ
2
ã
= ei
θ +φ
2
Å
ei
θ −φ
2
+ ei
θ −φ
2
ã
Å
= 2 cos
θ − φ i θ +φ
e 2
2
ã
> 0, on a là la forme trigonométrique recherchée. Sinon, il faut encore écrire :
θ−φ
θ − φ i θ +φ
2 cos
e 2 = −2 cos
2
2
Å
ã
Å
Å
ãã
iπ i
e e
θ +φ
2
Cette expression est la forme trigonométrique recherchée si cos
θ−φ
= −2 cos
2
Å
θ −φ
2
Å
< 0.
ãã
ei(
θ +φ
2 +π )
.
A4.8. L’EXPONENTIELLE COMPLEXE
55
Exercice 212. Soient n ∈ N et t ∈ R.
1. Calculer
n
X
eikt .
k=0
2. En déduire les valeurs de
n
X
n
X
cos(kt) et de
k=0
sin(kt)
k=0
A4.8 L’exponentielle complexe
Définition 213.
Soit z = x + iy avec ( x, y) ∈ R2 . L’« exponentielle » de z, notée ez , est le nombre complexe défini par :
ez = ex eiy = ex (cos y + i sin y) .
Théorème 214.
Soient z et z′ deux nombres complexes et n ∈ Z.
ii ) | ez | = eRe(z)
i ) ez = ez
ez
1
′
vi ) z′ = ez−z
v) z = e− z
e
e
Démonstration. Voir les notes de cours.
iii ) arg (ez ) ≡ I m(z) [2π ]
′
iv) ez ez = ez+z
′
vii ) (ez )n = enz .
Théorème 215.
′
Soient z, z′ deux nombres complexes. On a : ez = ez ⇐⇒ z − z′ ∈ 2iπZ ⇐⇒ ∃k ∈ Z, z = z′ + 2ikπ.
Démonstration. Voir les notes de cours.
A4.9 Transformations du plan
Une transformation du plan est une application T qui à tout point M du plan associe un point T ( M ) :
®
T:
P −→ P
.
M 7−→ T ( M )
À toute fonction f : C → C, on peut associer une transformation du plan notée f˜, qui est définie comme
l’application qui à un point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z′ = f (z) (le point M ′ sera souvent noté
f˜( M )), soit :
®
P
−→ P
˜f :
.
M (z) 7−→ M ′ ( f (z))
Nous allons ici définir quelques transformations du plan et déterminer l’application de C dans C associée.
A4.9.1 Translations
Définition 216.
−
→
→
→
Soit −
u ∈ P. On appelle « translation de vecteur −
u » la transformation du plan qui à un point M associe l’unique point
−−→
−
→
−
′
′
′
M tel que MM = u . On note alors M = M + →
u.
Théorème 217.
®
Soit b ∈ C. La transformation du plan associée à f :
Démonstration. Voir les notes de cours.
C −→ C
→
est la translation de vecteur −
u d’affixe b.
z 7−→ z + b
A4.9.2 Réflexions
Remarque. Dans le plan, on appelle réflexion toute symétrie par rapport à une droite.
Théorème 219.
®
La transformation du plan associée à f :
Démonstration. Voir les notes de cours.
C −→ C
est la réflexion par rapport à l’axe des abscisses.
z 7−→ z
56
Nombres complexes
Définition 218.
Soit ∆ une droite du plan P. On appelle « réflexion par rapport à ∆ » la transformation du
plan qui à un point M du plan associe l’unique point M ′ tel que :
i ) M ′ = M si M ∈ ∆.
/ ∆.
ii ) ∆ est la médiatrice du segment [ MM ′ ] si M ∈
A4.9.3 Homothéties
Définition 220.
Soit k ∈ R et Ω ∈ P. On appelle « homothétie de centre Ω et de
rapport k » la transformation du plan qui à un point M associe
−−→
−−→
l’unique point M ′ tel que ΩM ′ = kΩM.
Remarque. Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par | k| . Si |k| > 1 on parle d’agrandissement, et si
|k| < 1 on parle de réduction.
Homothétie de centre Ω et de rapport
1
2.
Théorème 221.
Soient k ∈ R, ω ∈ C et Ω le point du plan d’affixe ω. Alors :
®
i ) La transformation du plan associée à f :
®
ii ) La transformation du plan associée à f :
C −→ C
est l’homothétie de centre O et de rapport k.
z 7−→ kz
C −→ C
est l’homothétie de centre Ω et de rapport k.
z 7−→ k(z − ω ) + ω
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. On vérifie aisément que si k 6= 1, l’équation f (z) = z admet ω pour unique solution, ce qui exprime
le fait que Ω est le seul point fixe de f˜ (c’est-à-dire le seul point M vérifiant f˜( M ) = M).
A4.9.4 Rotations
Définition 222.
Soit θ ∈ R et Ω ∈ P. On appelle « rotation de centre Ω et
d’angle θ » la transformation du plan qui fixe Ω et qui à un
point
M 6= Ω associe l’unique point M ′ tel que ΩM ′ = ΩM et
−−→ −−→
ΩM, ΩM ′ ≡ θ [2π ].
Théorème 223.
Soient θ ∈ R, ω ∈ C et Ω le point du plan d’affixe ω. Alors :
®
i ) La transformation du plan associée à f :
®
ii ) La transformation du plan associée à f :
Démonstration. Voir les notes de cours.
Rotation de centre Ω d’angle θ.
C −→ C
est la rotation de centre O et d’angle θ.
z 7−→ eiθ z
C −→ C
est la rotation de centre Ω d’angle θ.
z 7−→ eiθ (z − ω ) + ω
Chapitre
A5
Equations différentielles linéaires à
coefficients constants
On appelle équation différentielle toute relation liant une fonction inconnue à (certaines de) ses dérivées. Le but
de ce chapitre est de présenter une famille d’équations différentielles simples et d’usage courant en Physique,
puis d’expliquer comment résoudre celles-ci.
Dans ce chapitre, la lettre I désignera un intervalle véritable, et le symbole K désignera l’un des deux
ensembles R ou C (les résultats portant sur K seront donc vrais dans ces deux ensembles).
A5.1 Équations d’ordre 1
A5.1.1 Définition
Définition 224.
• On appelle « équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants » toute relation
entre une fonction y dérivable sur I et sa dérivée y′ de la forme
( E) : ∀ x ∈ I, by′ ( x) + cy( x) = f ( x),
où b, c sont des complexes 1 , et f une fonction définie sur I.
• Une fonction y vérifiant cette relation sera appelée « une solution de ( E) sur I »
• On appelle « équation homogène associée à ( E) » l’équation ∀ x ∈ I, by′ ( x) + cy( x) = 0.
Notation. L’équation différentielle ∀ x ∈ I, by′ ( x) + cy( x) = f ( x) sera notée by′ ( x) + cy( x) = f ( x), sans préciser
l’intervalle I dans lequel se trouve la variable x, ou encore by′ + cy = f ( x).
Exemple 225. L’équation différentielle ( E) : y′ − y = 0 admet la fonction exponentielle comme solution. Et il
clair est que toute fonction de la forme y : x 7→ λex est solution de cette équation, quel que soit λ ∈ C. Mais
est-ce que toute solution de ( E) est de cette forme ? On verra dans la suite que c’est bien le cas.
Remarque. Considérons un mobile se déplaçant au cours du temps, dont la position est donnée par une fonction
t 7→ y(t) ; la vitesse du mobile à l’instant t est alors y′ (t). Le fait que y vérifie une équation différentielle du
premier ordre exprime le fait qu’à chaque instant, il existe une relation entre la vitesse et la position du mobile.
Plus précisémment : si je connais la position du mobile alors je peux connaitre sa vitesse, et inversemment. Il
s’agit d’une situation très courante en Physique.
A5.1.2 Résolution
Cas des équations homogènes
Définition 226.
On dit qu’une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est « homogène » si son second
membre est nul.
Théorème 227.
Soit α ∈ K. L’ensemble des solutions définies sur I et à valeurs dans K de l’équation différentielle ( E) : y′ = αy est
l’ensemble des fonctions de la forme y : x 7→ λeαx , où λ ∈ K. En d’autres termes, si S0 (K ) désigne l’ensemble des
solutions de ( E) à valeurs dans K, on a
S0 (K ) = { x 7→ λeαx ; λ ∈ K }.
On peut également dire que « x 7→ λeαx est la solution générale de ( E) », sans référence à la valeur de λ.
1. Le plus souvent on prendra des réels.
58
Equations différentielles linéaires à coefficients constants
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemple 228. L’ensemble des solutions de l’équation différentielle ( E) : y′ − y = 0 est donc l’ensemble des
fonctions de la forme y : x 7→ λex , ce qui répond à la question posée précédemment.
Méthode. Pour résoudre une équation différentielle homogène by′ ( x) + cy( x) = 0, on procède comme suit :
1. si b = 0 et c 6= 0 il est clair que l’unique solution est la fonction nulle, et si b = c = 0 il est clair que toute
fonction est solution ;
2. sinon, on écrit l’équation sous la forme y′ = − bc y, et on applique le résultat précédent : l’ensemble des
c
solutions est donc { x 7→ λe− b x ; λ ∈ K }.
Cas général
Structure de l’ensemble des solutions et méthode de résolution
Le résultat suivant indique que pour trouver toutes les solutions d’une équation différentielle d’ordre un,
il suffit d’en déterminer une seule solution particulière ainsi que toutes les solutions de l’équation homogène
associée.
Théorème 229 (Résolution des équations non homogènes).
Supposons connaître une solution particulière y1 d’une équation différentielle de la forme by′ + cy = f ( x). Alors toute
solution y de cette équation s’écrit
y = y1 + y h ,
où yh est une des solutions de l’équation homogène associée by′ + cy = 0.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Les abréviations suivantes permettent de retenir le résultat ci-dessus : SGE=SGEH+1SPE.
Méthode. Pour résoudre une équation différentielle d’ordre un à coefficients constants, il suffit de :
1. déterminer la solution générale de l’équation homogène associée ;
2. déterminer une solution particulière de l’équation ;
3. faire la somme des deux pour obtenir la solution générale de l’équation.
Recherche d’une solution particulière
Pour terminer il nous reste à expliquer comment déterminer une solution particulière d’une équation linéaire du premier ordre à coefficients constants. On se contentera pour le moment de traiter un cas particulier
trivial (les théorèmes 245 et 247 permettent d’obtenir une solution particulière dans d’autre cas).
Théorème 230.
Soient (b, c, α) ∈ K3 tels que c 6= 0. Alors une solution particulière de l’équation différentielle by′ ( x) + cy( x) = α est la
α
fonction constante définie par y1 : x 7→ .
c
Démonstration. Il suffit d’injecter y1 dans l’équation : on voit alors aisément que celle-ci est vérifiée.
A5.1.3 Régime transitoire, régime établi (ou permanent)
Considérons l’équation différentielle y′ + y = 2; sa solution générale est x 7→ 2 + λe− x . La figure ci-contre
donne la courbe représentative de la solution y1 : x 7→
2 − 2e− x sur l’intervalle R + . Cette courbe admet la
droite d’équation y = 2 comme asymptote.
On dit que la partie de la courbe qui semble confondu
avec l’asymptote sur le dessin correspond au régime établi (ou permanent) ; la partie de la courbe située à gauche
de celle-ci correspond elle au régime transitoire.
59
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
En Physique, on appelle régime transitoire le régime d’évolution d’un système en voie d’atteindre un état
stable, ce dernier étant appelé régime établi ou permanent. On voit sur l’exemple ci-dessus que le régime transitoire correspond à la solution générale de l’équation homogène, et le régime établi correspond à la solution
particulière (c’est là un résultat général, à retenir pour le cours de Physique).
Le graphe ci-dessus correspond par exemple à celui donnant la valeur de la tension au cours du temps dans
un circuit RC (circuit électrique muni d’un générateur, d’une résistance et d’un condensateur), le générateur
étant mis en service à l’instant initial. La présence d’un régime transitoire correspond au temps nécessaire à la
charge du condensateur ; en pratique, les physiciens considèrent que sur un tel circuit le régime transitoire dure
le temps nécessaire à ce que la tension atteigne 99% de sa valeur finale.
A5.1.4 Existence et unicité de la solution à conditions intiales fixées
Théorème 231.
On considère une équation différentielle de la forme ( E) : y′ + cy = f ( x) à résoudre sur I, ainsi que x0 ∈ I et y0 ∈ K.
Alors l’équation ( E) possède une unique solution y sur I qui vérifie y( x0 ) = y0 .
Démonstration. Voir les notes de cours : on démontre l’unicité, en admettant que toute équation de ce type
admet au moins une solution (ce résultat sera prouvé plus tard dans l’année).
A5.2 Équations d’ordre 2
A5.2.1 Définition
Définition 232.
• On appelle « équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants » toute relation
entre une fonction y deux fois dérivables sur I et ses dérivées y′ , y′′ de la forme
( E) : ∀ x ∈ I, ay′′ ( x) + by′ ( x) + cy( x) = f ( x),
où a, b, c sont des complexes 2 , et f une fonction définie sur I.
• Toute fonction y vérifiant cette relation sera appelée « une solution de ( E) sur I. » Pour simplifier, une telle équation
sera notée ay′′ + by′ + cy = f ou ay′′ + by′ + cy = f ( x).
• On appelle « équation homogène associée à ( E) » l’équation ay′′ ( x) + by′ ( x) + cy( x) = 0, et « équation caractéristique associée » l’équation ar2 + br + c = 0.
Exemple 233. L’équation différentielle ( E) : y′′ = −y admet comme solution les fonctions cosinus et sinus. Plus
généralement, toute fonction de la forme y : x 7→ λ cos x + µ sin x est solution de ( E), si (λ, µ) ∈ K2 . On verra
dans la suite que toute solution de ( E) est de cette forme.
A5.2.2 Résolution
Définition 234.
On dit qu’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est « homogène » si son second membre
est nul.
Définition 235.
Soient f , g deux fonctions définies sur I et à valeurs dans K. Toute fonction de la forme x 7→ λ f ( x) + µg( x), où
(λ, µ) ∈ K2 , est appelée une « combinaison linéaire de f et de g. »
Cas des équations homogènes
Dans cette section il nous faut distinguer deux cas, suivant que l’on cherche l’ensemble des solutions à
valeurs complexes ou réelles.
Théorème 236 (Résolution des équations homogènes dans C).
Soient a, b, c des complexes, ay′′ + by′ + cy = 0 une équation différentielle homogène et ar2 + br + c = 0 l’équation
caractéristique associée. On appelle S0 (C ) l’ensemble de ses solutions qui sont à valeurs dans C. On a alors les résultats
suivants.
2. Le plus souvent on prendra des réels.
60
Equations différentielles linéaires à coefficients constants
i ) Si l’équation caractéristique possède deux racines distinctes r1 et r2 , alors S0 (C ) est l’ensemble des fonctions de la
forme y : x 7→ λer1 x + µer2 x avec (λ, µ) ∈ C2 .
ii ) Si l’équation caractéristique possède une racine double r, alors S0 (C ) est l’ensemble des fonctions de la forme
y : x 7→ (λ + µx)erx avec (λ, µ) ∈ C2 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarques. — On dira aussi que y : x 7→ λer1 x + µer2 x (ou y : x 7→ (λ + µx)erx le cas échéant) est « la solution
générale de l’équation différentielle. »
— Cet énoncé sous-entend que nous sommes capables de calculer les racines d’un trinôme du second degré
à coefficients complexes. . . nous verrons dans le chapitre A6 qu’il suffit de procéder comme dans le cas
des trinômes à coefficients réels, en calculant le discriminant.
La notion de fonction à valeurs dans C ne sera pas souvent utilisée dans ce cours, si bien qu’en pratique on
utilise le plus souvent le résultat suivant, dans lequel on ne s’intéresse qu’aux solutions à valeurs réelles des
équations à coefficients réels.
Théorème 237 (Résolution des équations homogènes dans R).
Soient a, b, c des réels, ay′′ + by′ + cy = 0 une équation diférentielle homogène et ar2 + br + c = 0 l’équation caractéristique associée. On appelle S0 (R ) l’ensemble de ses solutions à valeurs réelles. On a alors les résultats suivants.
i ) Si l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes r1 et r2 , alors S0 (R ) est l’ensemble des fonctions
de la forme y : x 7→ λer1 x + µer2 x avec (λ, µ) ∈ R2 .
ii ) Si l’équation caractéristique possède deux racines complexes conjuguées distinctes r1 = α + iβ et r2 = α − iβ, alors
S0 (R ) est l’ensemble des fonctions de la forme y : x 7→ eαx (λ cos βx + µ sin βx) avec (λ, µ) ∈ R2 . Dans ce cas,
les solutions sont également les fonctions de la forme y : x 7→ Keαx cos( βx + ϕ), avec K, ϕ réels.
iii ) Si l’équation caractéristique possède une racine double r, alors S0 (R ) est l’ensemble des fonctions de la forme
y : x 7→ (λ + µx)erx avec (λ, µ) ∈ R2 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Lorsque l’on vous demandera de « résoudre une équation différentielle », il s’agira de déterminer
toutes ses solutions à valeurs réelles.
Exercice 238. Résoudre les équations différentielles y′′ + y′ − 2y = 0 et y′′ + y′ + y = 0.
Allure des solutions d’une équation homogène à valeurs réelles : interprétation physique
On considère une équation différentielle homogène d’ordre deux à coefficients réels de la forme ay′′ +
by′ + cy = 0, et on appelle ∆ le discriminant de son équation caractéristique. On s’intéresse aux solutions de
cette équation définies sur R + , et on considère qu’elles décrivent l’évolution au cours du temps d’un système
physique.
Suivant la valeur de ∆ on distingue trois types de solutions, chacune possédant un comportement typique.
Nous pouvons esquisser grossièrement ces comportements, chacun correspondant à un régime transitoire bien
précis (rappelons que la solution générale de l’équation homogène correspond au régime transitoire, et que la
solution particulière correspond au régime permanent).
•Si ∆ < 0, on parle de régime pseudo-périodique. Dans ce cas, la courbe a l’allure d’une « sinusoïde » amortie
ou au contraire en expansion. Dans le premier cas le régime transitoire semble s’effacer au profit d’un régime
établi, alors que dans le second cas il décrit une « explosion » qui ne mène à aucun régime permanent.
•Si ∆ > 0, on parle de régime apériodique. Ce cas correspond à une situation où le régime transitoire disparaît
trop rapidement pour que l’on observe des oscillations amorties ou en expansion.
61
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Figure A5.1 – Graphe de x 7→ e− x cos( x)
Figure A5.3 – Graphe de x 7→ −e− x + 3e− x
Figure A5.2 – Graphe de x 7→ ex sin x
Figure A5.4 – Graphe de x 7→ ex + 3e−2x
•Si ∆ = 0, parle de régime critique. Ce cas est analogue au précédent ; la seule différence réside dans la vitesse
de divergence ou de convergence (et donc dans la durée du régime transitoire).
Figure A5.5 – Graphe de x 7→ xex
Figure A5.6 – Graphe de x 7→ (− x + 2)e− x
Cas général
Structure de l’ensemble des solutions et méthode de résolution
Le résultat suivant indique que pour trouver toutes les solutions d’une équation différentielle linéaire d’ordre
deux à coefficients constants, il suffit d’en déterminer une seule solution particulière ainsi que toutes les solutions
de l’équation homogène associée.
Théorème 239 (Résolution des équations non homogènes).
Supposons connaître une solution particulière y1 d’une équation différentielle de la forme ay′′ + by′ + cy = f . Alors toute
solution y de cette équation s’écrit
y = y1 + y h ,
où yh est une des solutions de l’équation homogène associée ay′′ + by′ + cy = 0.
62
Equations différentielles linéaires à coefficients constants
Démonstration. Voir les notes de cours.
Méthode. Pour résoudre une équation différentielle du second ordre à coefficients constants, il suffit de :
1. déterminer la solution générale de l’équation homogène associée en utilisant l’équation caractéristique ;
2. déterminer une solution particulière de l’équation ;
3. faire la somme des deux pour obtenir la solution générale de l’équation.
Recherche d’une solution particulière dans le cas exponentielle/polynôme
On a d’abord besoin de poser la définition suivante.
Définition 240.
On appelle « polynôme à coefficients complexes, » toute fonction P : C → C définie par
P ( z ) = a n z n + a n − 1 z n − 1 + · · · + a1 z + a0
où a0 , . . . , an sont des complexes et n un entier. Le plus grand entier p tel que a p 6= 0, s’il existe, est appelé le « degré de
P. »
Exemples 241. La fonction P : z 7→ z2 + 2z + 1 est un polynôme de degré 2. L’expression Q( x) = αx3 + 2x − 1
définie un polynôme de degré 3 si α 6= 0, et de degré 1 sinon.
Remarque. Les polynômes de degré 0 sont les constantes non nulles.
Le résultat suivant sera démontré plus tard dans l’année.
Théorème 242 (Unicité des coefficients d’un polynôme).
Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coefficients.
Définition 243.
Soit T : x 7→ ax2 + bx + c un polynôme de degré inférieur à deux, ainsi que r un nombre complexe. On appelle « multiplicité de r en tant que racine de T » le nombre entier m(r) défini par :
• m(r) = 0 si r n’est pas racine de T.
• m(r) = 1 si r est racine simple de T.
• m(r) = 2 si r est racine double de T.
Exemples 244. On considère les polynômes définis par P( x) = x2 − 2x + 1 = ( x − 1)2 et Q( x) = x( x − 2) =
x2 − 2x pour tout x ∈ C. On a :
— la multiplicité de 1 en tant que racine de P est 2 ; la multiplicité de 1 en tant que racine de Q est 0;
— la multiplicité de 0 en tant que racine de P est 0 ; la multiplicité de 1 en tant que racine de Q est 1.
On admet enfin le résultat suivant, qui permet de traiter la grande majorité des cas que vous rencontrerez.
Théorème 245 (Solution particulière dans le cas exponentielle/polynôme).
Soient a, b, c, z des complexes, et P un polynôme. L’équation différentielle ay′′ + by′ + cy = ezx P( x) admet une solution
particulière de la forme
y1 ( x) = ezx xm(z) Q( x),
où Q est un polynôme de même degré que P, et où m(z) est la multiplicité de z en tant que racine de l’équation caractéristique.
Démonstration. Résultat admis.
Remarque. Ce résultat peut également être utilisé dans le cas des équations du premier ordre : il suffit en effet
de prendre a = 0.
Exemple 246. Résoudre l’équation différentielle y′′ − 2y′ + y = ex .
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
63
Recherche d’une solution particulière dans le cas d’un second membre cos ωx ou sin ωx
Théorème 247.
Soient a, b, c des complexes, et ω un réel. Les équations différentielles ay′′ ( x) + by′ ( x) + cy( x) = cos ωx et ay′′ ( x) +
by′ ( x) + cy( x) = sin ωx admettent une solution particulière de la forme :
i ) x 7→ λ cos ωx + µ sin ωx, avec λ, µ des complexes, si iω n’est pas racine de l’équation caractéristique ;
ii ) x 7→ x(λ cos ωx + µ sin ωx), avec λ, µ des complexes, si iω est racine de l’équation caractéristique.
Démonstration. Résultat admis : il suffit d’injecter les solutions proposées dans l’équation.
Extension : le principe de superposition
Citons le résultat suivant, qui permet de déterminer une solution particulière dans un plus grand nombre
de cas.
Théorème 248.
Soient deux fonctions f 1 , f 2 définies sur I, ainsi que a, b, c, λ1 , λ2 des éléments de K. Si y1 (resp. y2 ) est une solution de
l’équation différentielle ay′′ + by′ + cy = f 1 (resp. ay′′ + by′ + cy = f2 ), alors λ1 y1 + λ2 y2 est une solution de l’équation
différentielle ay′′ + by′ + cy = λ1 f 1 + λ2 f 2 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemple 249. Résoudre l’équation différentielle y′′ − 2y′ + y = ex + x2 + x.
Remarque. En pratique, le théorème 247 est inutile, puisque pour détermier une solution particulière d’une
équation de la forme ay′′ ( x) + by′ ( x) + cy( x) = cos ωx, il suffit d’utiliser les formules d’Euler et le théorème de
superposition.
A5.2.3 Unicité de la solution à conditions initiales fixées
On a enfin le résultat suivant.
Théorème 250.
On considère une équation différentielle de la forme ( E) : ay′′ + by′ + cy = f ( x), à résoudre sur I, x0 ∈ I et (y0 , v0 ) ∈ K2 .
Il existe alors une unique solution y de ( E) telle que y( x0 ) = y0 et y′ ( x0 ) = v0 .
Démonstration. Il suffit de raisonner comme cela a été fait dans la preuve du théorème 231.
Exercice 251. Déterminer l’unique solution y de y′′ + y′ − 2y = 0 telle que y(0) = 1 et y′ (0) = 0.
A5.2.4 Régime libre, régime forcé
Lorsque l’on applique à un circuit RC une tension sinusoïdale de pulsation ω (i.e. la tension délivrée par le
générateur est donnée par u(t) = A cos ωt), on peut démontrer que la tension uc aux bornes du condensateur
vérifie une équation différentielle de la forme αu′c + βuc = A cos ωt.
Dans cette situation, le théorème 247 indique que la solution particulière (correspondant au régime établi)
contiendra les quantités cos ωt et sin ωt. On en déduit que la réponse d’un système régi par une équation
différentielle à une excitation sinusoïdale est sinusoïdale, de même pulsation que l’excitation 3 . C’est là un
résultat qui sera fréquemment utilisé en Physique. Dans une telle situation, le régime établi est souvent appelé
régime forcé. Par opposition, on appelle régime libre le régime obtenu lorsque l’excitation est interrompue (dans
notre exemple, c’est le cas lorsque l’on coupe le générateur).
3. La transformation λ cos ωx + µ sin ωx = K cos(ωx + ϕ) montre que la réponse est déphasée par rapport à l’excitation
64
Equations différentielles linéaires à coefficients constants
Chapitre
A6
Racines de l’unité
A6.1 Fonctions polynomiales
Dans cette section, la lettre K désignera indifféremment l’ensemble R ou C.
Définition 252.
Soit n ∈ N.
i ) On appelle « fonction polynomiale à coefficients dans K de degré n » toute fonction P définie sur K de la forme :
P : z 7→
n
X
k=0
a k z k = a n z n + a n − 1 z n − 1 + · · · + a1 z + a0 ,
avec ( a0 , . . . , an ) ∈ K n+1 et an 6= 0. Par convention, la fonction nulle est polynomiale de degré −∞.
ii ) Soit P une fonction polynomiale à cœfficients dans K et α ∈ K. On dit que α est une « racine » de P si P(α) = 0.
Le résultat suivant sera démontré dans un chapitre ultérieur.
Théorème 253.
Soit P une fonction polynomiale de degré n > 0 à cœfficients dans K et α ∈ K. Si α est une racine de P, alors il existe une
fonction polynomiale Q de degré n − 1 à cœfficients dans K telle que :
∀z ∈ K, P(z) = (z − α) Q(z).
Le résultat suivant peut être vu comme une application du théorème précédent.
Théorème 254.
Soient n ∈ N ∗ et (z, a, b) ∈ C3 . On a alors les résultats suivants.
i ) z n − 1 = ( z − 1)
nX
−1
k=0
zk
ii ) an − bn = ( a − b)
nX
−1
a k b n − 1− k
k=0
Démonstration. Voir les notes de cours.
Les équations polynomiales de la forme ax2 + bx + c = 0, avec ( a, b, c) ∈ R3 et a 6= 0, ont été étudiées en
Terminale. Ces équations ont en général deux solutions complexes, ou bien une seule solution réelle (mais dite
« de multiplicité 2 ») lorsque le discriminant s’annule. Plus généralement, nous démontrerons ultérieurement
que les fonctions polynomiales de degré n possèdent au plus n racines. En fait, elles en possèdent exactement
n, si on les compte avec leur multiplicité. On peut traduire ce résultat comme suit : toute fonction polynomiale
à cœfficients complexes de degré n peut se factoriser en un produit de n fonctions polynomiales de degré 1.
Pour le moment, nous allons nous intéresser à deux types d’équations polynomiales :
i ) L’équation zn = 1, et plus généralement les équations de la forme zn = a, avec a ∈ C.
ii ) Les équations polynomiales du second degré az2 + bz + c = 0, avec cette fois ( a, b, c) ∈ C3 .
A6.2 Racines n-ièmes d’un complexe non nul
A6.2.1 Racines de l’unité
Dans cette section, on considère un entier naturel non nul n.
66
Racines de l’unité
Définition 255.
On appelle « racine n-ième de l’unité » toute solution dans C de l’équation zn = 1. On note alors U n l’ensemble des
racines n-ièmes de l’unité :
U n = { z ∈ C | z n = 1} .
Exemple 256. On a :
i ) U 1 = { 1}
ii ) U2 = {1, −1}
iii ) U4 = {1, i, −1, −i}
Théorème 257.
On a les résultats suivants :
i ) U n ⊂ U,
ii ) U n est stable par multiplication : ∀(z, z′ ) ∈ U2n , zz′ ∈ U n ,
1
iii ) U n est stable par passage à l’inverse : ∀z ∈ U n , ∈ U n ,
z
iv) U n est stable par conjugaison : ∀z ∈ U n , z ∈ U n .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 258.
L’équation xn = 1 admet 1 pour unique solution dans R + .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 259.
Soit z ∈ C. On a alors :
i ) z ∈ U n ⇐⇒ ∃k ∈ Z, z = e
2ikπ
n
ß
ii ) U n =
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemple 260. Posons j =
2iπ
e 3
e
√
−1 + i 3
=
. On alors les résultats suivants :
2
i ) j2 = j − 1 = j
ii ) U3 = {1, j, j2 }
2ikπ n k
™
∈Z .
iii ) 1 + j + j2 = 0.
Nous avons besoin de la division euclidienne pour démontrer le résultat qui suit.
Théorème 261 (Division euclidienne).
Soit ( a, b) ∈ Z2 tels que b 6= 0. Alors il existe un unique couple (q, r) ∈ Z2 tel que :
i ) a = bq + r,
ii ) 0 6 r < |b|.
On dit alors que q est le « quotient » et r le « reste de la division euclidienne de a par b. »
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. En Python, a//b renvoie le quotient dans la division euclidienne de a par b, et a%b le reste.
Théorème 262.
On a les résultats suivants :
ß
i) Un =
e
2ikπ n k
™
∈ J0, n − 1K .
ii ) U n contient exactement n éléments.
iii ) Posons ω = e
2iπ
n .
On peut alors écrire U n =
Démonstration. Voir les notes de cours.
n
o
ω k k ∈ J0, n − 1K .
Le résultat suivant montre que si n > 1, la somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle.
Théorème 263.
Soit n ∈
N∗
et posons ω =
2iπ
e n .
On a alors :
X
ζ ∈U n
ζ=
n
−1
X
k=0
®
k
ω =
0 si n 6= 1
1 si n = 1
67
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 264.
Pour n > 3, les points dont l’affixe est dans U n sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique.
Démonstration. Voir les notes de cours.
U3
U4
U5
U6
Polygones associés aux racines n-ièmes de l’unité pour n ∈ J3, 6K.
A6.2.2 Cas général
Définition 265.
Soient a ∈ C et n ∈ N ∗ . On dit que z est une racine n-ième de a si zn = a.
Théorème 266.
Soit a ∈ C ∗ .
i ) Si b est une racine n-ième quelconque de a, alors l’ensemble des racines n-ièmes de a est :
n
{z ∈ C ∗ | zn = a} = {bζ | ζ ∈ U n } = be
2ikπ
n
o
| k ∈ J0, n − 1K .
ii ) a admet exactement n racines n-ièmes.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 267. Déterminer les racines cubiques de −8i.
Théorème 268.
Soit a ∈ C ∗ . Si n > 3, alors les points dont l’affixe est solution de l’équation zn = a sont les sommets d’un polygone
régulier centré en O.
Démonstration. Raisonnement analogue à la preuve »
du théorème 264, en considérant à la place du cercle trigonométrique le cercle centré en l’origine et de rayon n | a| .
A6.3 Équations du second degré dans C
Dans cette section, nous allons nous intéresser à la résolution des équations polynomiales du second degré
à cœfficients complexes. Nous allons, tout d’abord, avoir besoin de calculer les « racines carrées » d’un nombre
complexe.
Définition 269.
Soit a ∈ C. Une solution de l’équation z2 = a est appelé « une racine carré » de a.
On déduit directement du théorème 266 que tout complexe a 6= 0 admet deux racines carrées, et que si b est
une racine carrée de a, alors l’autre racine carrée de a est −b.
√
Remarque. La notation a n’a aucun sens si a n’est pas dans R + .
Méthode (Calcul des racines carrées d’un nombre complexe.). Soit a ∈ C ∗ .
68
Racines de l’unité
i ) Si a est sous forme trigonométrique : a = reiθ , avec r > 0 et θ ∈ R. Alors, ses deux racines carrées sont :
z1 =
√
re
θ
i2
et z2 =
√
θ
i +π
re 2
Ä
ä
= − z1 .
ii ) Si a est sous forme algébrique : a = α + iβ, avec (α, β) ∈ R2 , on trouve ses deux racines carrées z =
±( x + iy), avec ( x, y) ∈ R2 en résolvant le système suivant :
(
+ iy)2
(x
= α + iβ
2
| x + iy| = |α + iβ|
⇐⇒
 2
2

 x −y = α
2xy = β »
x 2 + y2 = α 2 + β 2


Exemple 270. Cherchons les racines carrées du complexe a = 3 + 4i, d’abord sour forme trigonométrique, puis
sous forme algébrique.
Théorème 271 (Mise sous forme canonique d’un trinôme du second degré).
Soient ( a, b, c) ∈ C3 avec a 6= 0 et ( E) l’équation az2 + bz + c = 0. On note δ et −δ les deux racines carrées du
discriminant ∆ = b2 − 4ac, et on pose
−b − δ
−b + δ
et z2 =
.
z1 =
2a
2a
Pour tout z ∈ C, on a
az2 + bz + c = a(z − z1 )(z − z2 ).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Corolaire 272.
Soient ( a, b, c) ∈ C3 avec a 6= 0 et ( E) l’équation az2 + bz + c = 0. On note δ et −δ les deux racines carrées du
discriminant ∆ = b2 − 4ac. On a alors les résultats suivants.
i ) Si ∆ 6= 0, l’équation ( E) possède exactement deux solutions (ou racines) :
z1 =
−b − δ
−b + δ
et z2 =
.
2a
2a
−b
. On dit alors que ( E) a une racine double.
2a
Dans le cas particulier où les coefficients a, b et c sont réels, ∆ est alors lui aussi réel. Et on a alors :
iv) Si ∆ > 0, alors ±δ ∈ R et les deux racines de ( E) sont distinctes et réelles.
ii ) Si ∆ = 0, ( E) possède une unique solution : z1 = z2 =
v) Si ∆ = 0, la racine double de ( E) est réelle.
√
vi ) Si ∆ < 0, alors δ = ±i −∆, et les deux racines de ( E) sont distinctes et conjuguées.
Démonstration. Résulte trivialement du résultat précédent.
Exemple 273. Soit ( E) l’équation dans C : (1 + i )z2 − 3iz − 2 + i = 0. Le discriminant ∆ de ( E) est :
∆ = −9 − 4(1 + i )(−2 + i ) = 3 + 4i = (2 + i )2 .
De l’exemple 270 on déduit que les solutions de ( E) sont les complexes :
z1 =
3i + 2 + i
1 + 2i
3+i
3i − (2 + i )
−1 + i
=
=
et z2 =
=
= i.
2( 1 + i )
1+i
2
2( 1 + i )
1+i
On a enfin le résultat suivant.
Théorème 274 (Relations coefficients-racines).
Soient trois complexes a, b et c tels que a 6= 0. Quels que soient les complexes α, β on a
î
2
ó
∀z ∈ C, az + bz + c = a(z − α)(z − β) ⇔
(
α + β = − ba
α · β = ac
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Si l’on connait la somme S et le produit P de deux complexes, il suffit donc de résoudre l’équation
z2 − Sz + P = 0 pour calculer ceux-ci (pour le prouver il suffit de prendre a = 1 dans l’énoncé précédent).
Chapitre
A7
Calcul intégral
Ce chapitre rappelle les résultats fondamentaux sur l’intégrale, et en présente les principales techniques de
calcul. La lettre I désignera un intervalle véritable de R.
A7.1 Quelques résultats sur les primitives et l’intégration
A7.1.1 Notion de primitive
Définition 275.
Soit I un intervalle véritable et f : I → R une fonction. On appelle « primitive de f sur I » toute fonction dérivable
F : I → R telle que
∀ x ∈ U, F ′ ( x) = f ( x)
Exemple 276. La fonction F = tan est une primitive de f : x 7→
avec k ∈ Z. On dira que F est une primitive de f sur
+
∞ ò
[
k=− ∞
ó
sur tout intervalle de la forme − π2 + kπ, π2 + kπ
π
π
π
+ kπ, + kπ = R \ (2p + 1) , p ∈ Z .
2
2
2
ï
−
1
cos2 x
ß
™
On admet le résultat suivant.
Théorème 277.
Toute fonction continue sur I admet (au moins) une primitive.
Théorème 278.
Soit f : I → R une fonction admettant une primitive G sur I. Alors une fonction F : I → R est une primitive de f sur I
si et seulement si
∃C ∈ R, ∀ x ∈ I, F ( x) = G ( x) + C.
Démonstration. Voir les notes de cours.
En d’autres termes, une fonction admet soit aucune soit une infinité de primitives, et dans le second cas
elles sont toutes obtenues par ajout d’une constante à une primitive donnée.
Corolaire 279.
Soit f : I → R une fonction continue. Soient encore x0 ∈ I et y0 ∈ R. Alors f possède une unique primitive F : I → R
qui vérifie F ( x0 ) = y0 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemple 280. La fonction ln est l’unique primitive sur R ∗+ de x 7→
1
x
qui s’annule en 1.
Remarque. Les deux résultats précédents sont faux si f est définie sur une réunion d’intervalles disjoints.
Exercice 281. Montrer que la fonction x 7→ ln | x| est une primitive de f : x 7→
primitives de f sur R ∗ qui s’annulent en 1.
1
x
sur R ∗ , puis donner deux
î
70
Calcul intégral
A7.1.2 Intégrale d’une fonction sur un segment
Dans la suite de ce chapitre, les lettres a, b désigneront des réels tels que a < b.
Notation. Pour toute fonction F définie sur [ a, b], la quantité F (b) − F ( a) sera notée [ F (t)]ba .
On peut définir l’intégrale d’une fonction grâce à la notion de primitive.
Définition 282.
Soit f : [ a, b] → R une fonction continue sur [ a, b], et F une primitive de f sur cet intervalle. On appelle « intégrale de f
´b
sur [ a, b], » et l’on note a f ( x) dx, la quantité définie par
ˆ
Et on pose encore
ˆ
a
b
b
a
f ( x) dx = F (b) − F ( a).
f ( x) dx = F ( a) − F (b).
On vérifie que cette définition est cohérente en ce sens qu’elle ne dépend pas de la primitive F choisie,
puisque deux primitives de f sur [ a, b] sont égales à une constante près.
´b
Remarque. Dans l’expression a f ( x) dx, la variable x n’a pas de sens en soi (on dit que c’est une variable muette) :
elle est uniquement employée pour obtenir une notation simple et pratique. On pourra donc remplacer la lettre
x par n’importe quelle autre lettre qui n’est pas utilisée par ailleurs.
Théorème 283.
Soient a et b deux éléments de I et f : I → R une fonction continue.
Alors :
ˆ b
f (t) dt mesure, en unités d’aire,
i ) Si a < b, le réel A =
a
l’aire algébrique du domaine délimité par la courbe représentative de f , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a
et x = b.
ii ) Si a = b, alors A = 0.
ˆ b
ˆ
iii ) Si a > b, alors
f (t) dt = −
a
a
b
f (t) dt.
Démonstration. Voir les notes de cours (on admet i )).
Théorème 284.
Soit f une fonction continue sur [ a, b] et c ∈ [ a, b]. Alors la fonction F : [ a, b] → R définie par F ( x) =
l’unique primitive de f sur [ a, b] qui s’annule en c.
ˆ
x
c
f (t) dt est
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Ce résultat permet d’utiliser les techniques de calcul intégral (notamment intégration par parties et
changement de variable, voir les sections suivantes) pour la recherche de primitives.
Exercice 285. Donner une primitive de la fonction tangente.
Théorème 286.
Soit J un intervalle véritable. On considère deux fonctions u, v dérivables sur J et à valeurs dans I, ainsi qu’une fonction
f continue sur I. Alors la fonction ϕ : J → R définie par
ϕ( x) =
ˆ
v( x )
u( x )
f (t) dt
est dérivable sur J, de sorte que ϕ′ ( x) = v′ ( x) × f v( x) − u′ ( x) × f u( x) .
Ä
Démonstration. Voir les notes de cours.
ä
Ä
ä
A7.2. L’INTÉGRATION PAR PARTIES
71
On en déduit le résultat suivant qui prouve que l’intégrale d’une fonction T-périodique sur un intervalle
d’amplitude T est égale à son intégrale sur [0, T ].
Théorème 287.
Soit f continue sur R et périodique de période T > 0. Pour tout réel a on a
ˆ
a+ T
a
f ( x) dx =
ˆ
0
T
f ( x) dx.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 288 (Propriétés de l’intégrale).
Soient f , g : [ a, b] → R deux fonctions continues. On a les résultats suivants.
ˆ a
ˆ b
f (t) dt.
f (t) dt = −
i ) Antisymétrie. On a
b
a
ii ) Relation de Chasles. Pour tout c ∈ [ a, b] on a
iii ) Linéarité. Pour tout (λ, µ) ∈
R2
on a
ˆ
b
Ä
a
ï
b
a
f (t) dt =
ˆ
c
f (t) dt +
a
ä
λ f (t) + µg(t) dt = λ
ˆ
ò
iv) Positivité. On a ∀ x ∈ [ a, b], f ( x) > 0
ï
ˆ
⇒
b
a
ˆ
b
a
ˆ
b
c
f (t) dt + µ
f (t) dt > 0. Et encore :
ò
∀ x ∈ [a, b], f ( x) = 0 .
ï
ò
v) Croissance. On a ∀ x ∈ [ a, b], f ( x) > g( x)
⇒
ˆ
b
a
f (t) dt.
f (t) dt >
ˆ
b
a
ˆ
b
a
g(t) dt.
∀ x ∈ [a, b], f ( x) > 0
´b
a f ( x ) dx = 0
´
⇒
g(t) dt.
ˆ
ˆ b
b
| f (t)| dt.
f (t) dt 6
vi ) Inégalité de la valeur absolue. On a a
a
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. La propriété v ci-dessus démontre que l’on peut intégrer les inégalités (à condition de ne pas oublier
les constantes d’intégration !) : si F (resp. G) est une primitive de f (resp. g) on a
ï
ò
∀ x ∈ [a, b], f ( x) 6 g( x)
ï
⇒
ò
∀ x ∈ [a, b], F ( x) − F ( a) 6 G ( x) − G ( a) .
On rappelle par contre que l’on ne peut pas en général dériver les inégalités :
∀ x ∈ [a, b], f ( x) 6 g( x) n’implique pas ∀ x ∈ [a, b], f ′ ( x) 6 g′ ( x)
Remarque. Les propriétés iv, v, vi ci-dessus sont fausses dans le cas où a > b. Mais grâce la propriété i on
montre aisément qu’elles restent vraies si on retourne l’inégalité de la conclusion.
ˆ n +1
n
X
dx
1
1
1
∗
6
6 . En déduire lim
.
Exercice 289. Montrer que pour tout n ∈ N on a
n,+ ∞
n+1
x
n
k
n
k=1
A7.2 L’intégration par parties
Définition 290.
Soit f : I → R. Si f est dérivable sur I et que f ′ est continue sur I, alors on dira que « f est de classe C 1 sur I, » ou plus
simplement que « f est C 1 sur I, » ce qui sera noté f ∈ C 1 ( I ).
Théorème 291.
Soient u, v : [ a, b] → R deux fonctions de classe C 1 sur [ a, b]. On a alors
ˆ
b
a
u′ (t)v(t) dt = u(t)v(t)
Démonstration. Voir les notes de cours.
î
ób
a
−
ˆ
b
a
u(t)v′ (t) dt.
72
Calcul intégral
Remarque. Lorsque l’on utilisera une intégration par parties, on n’oubliera pas de vérifier que les fonctions u, v
sont C 1 sur l’intervalle considéré, et on fera apparaître cette hypothèse sur sa copie.
Exercice 292.
i ) Calculer
ˆ
0
π
x cos(2x) dx puis
ˆ
1
0
xex dx.
ii ) Donner une primitive de x 7→ ln x.
Remarque. En raisonnant comme dans le point ii ) de l’exercice ci-dessus, on peut calculer les primitives des
fonctions Arccos, Arcsin, Arctan .
Méthode. Si ( In ) est une suite d’intégrales, une intégration par parties permet souvent de déterminer une
relation entre In et In+1 , dont on peut déduire une expression de In en fonction de n.
A7.3 Changement de variable
A7.3.1 Le théorème
Théorème 293 (Changement de variable).
Soient α, β des réels tels que α < β. On se donne une fonction continue f : [ a, b] → R, et ϕ : [α, β] → [ a, b] une fonction
de classe C 1 sur [α, β]. Alors
ˆ ϕ( β)
ˆ β
f (t) dt
f ( ϕ( x)) ϕ′ ( x) dx =
α
ϕ(α)
Démonstration. Voir les notes de cours.
L’important avec ce résultat n’est pas tant de connaitre l’énoncé que de savoir l’appliquer (il faut bien
entendu se rappeler que la fonction ϕ doit être de classe C 1 ).
Exercice 294. Calculer
ˆ
1
0
ex
dx en posant u = ex , puis directement.
e2x + 1
Exercice 295. Donner une primitive de x 7→
sin x
sur R en posant u = cos x.
1 + cos2 x
On déduit du théorème de changement de variable le résultat suivant.
Théorème 296.
Soit a > 0 et f : [− a, a] → R une fonction continue. On a alors les résultats suivants.
ˆ a
ˆ a
f (t) dt.
f (t) dt = 2
i ) Si f est paire, alors
−a
ii ) Si f est impaire, alors
ˆ
0
a
−a
f (t) dt = 0.
Démonstration. Voir les notes de cours.
A7.3.2 Quand effectuer un changement de variable, et surtout lequel ?
Dans cette section, nous allons présenter des cas typiques dans lesquels il faut effectuer un changement de
variable.
Définition 297.
On appelle « fonction polynomiale à deux variables » toute fonction définie par P( x, y) =
n X
m
X
ai,j xi y j , où n, m sont des
i=0 j=0
entiers et les ai,j des réels. On appelle « fonction rationnelle à deux variables » tout quotient de fonctions polynomiales à
deux variables.
Exemples 298.
• R : ( x, y) 7→
• P : ( x, y) 7→ 2x2 + xy3 − y + 1 est une fonction polynomiale à deux variables.
x + y3
est une fonction rationelle à deux variables.
xy + 1
73
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Calcul de
ˆ
R(ex ) dx où R est une fraction rationelle à une seule variable
On pose t = ex , ce qui permet de se ramener à une fraction rationnelle en t. Si cette dernière ne s’intègre
pas aisément, on utilise la méthode détaillée dans la section 264.
Exemple 299. Voir l’exercice 294.
Calcul de
ˆ
R(x,
»
1 − x2 ) dx où R est une fraction rationelle à deux variables
√
√
On pose x = cos t (ou x = sin t). On obtient alors 1 − x2 = |sin t| (ou 1 − x2 = |cos t| , et on supprime les valeurs
absolues en fonction des bornes de l’intégrale. On obtient ainsi une fraction rationnelle R2 (cos t, sin t), que l’on
intègre suivant l’une des deux méthodes ci-dessous.
Exemple 300. Voir l’exemple 303.
Calcul de
ˆ
P(sin x, cos x) dx où P est un polynôme à deux variables
En utilisant la linéarité de l’intégrale, on commence par se ramener à une intégrale de la forme
On étudie alors la parité de p et q.
´
cos p x sinq x dx.
— Si p ou q est impair, on effectue un changement de variable. Plus précisemment, si p est impair on peut
poser t = sin x, et si q est impair on peut poser t = cos x.
— Si p et q sont pairs, on linéarise le produit cos p x sinq x à l’aide des formules d’Euler.
ˆ π
ˆ π/2
3
2
cos2 ( x) dx.
sin ( x) cos ( x) dx et
Exemple 301. Calculer
0
0
Calcul de
ˆ
R(sin x, cos x) dx où R est une fraction rationelle à deux variables
Le plus souvent, on effectue un changement de variable du type t = cos x, t = sin x ou t = tan x, en suivant
les règles de Bioche (hors-programmes) :
— si f ( x) dx est invariant lorsque l’on change x en − x, on pose t = cos x;
— si f ( x) dx est invariant lorsque l’on change x en π − x, on pose t = sin x;
— si f ( x) dx est invariant lorsque l’on change x en π + x, on pose t = tan x;
— si f ( x) dx est invariant par les trois transformations précédentes, on pose t = cos(2x).
Les règles ci-dessus incitent donc à remplacer t par une fonction de x qui est invariante par la même transformation que f ( x) dx.
Si f ( x) dx n’est invariant par aucune des transformations ci-dessus, on pose t = tan x2 , d’où :
cos x =
d
dx
sin x =
2
2t
1 + t2
dx =
2dt
.
1 + t2
2
= 1+2t d’où dt = 1+2t dx.
L’inconvénient avec ce changement de variable est d’une part qu’il faut se placer sur un intervalle où x 7→
tan 2x est bien définie, et d’autre part qu’il fait apparaître des fractions rationnelles complexes.
En effet, on a
Ä
tan x2 =
ä
1
2
1 − t2
1 + t2
1 + tan2
Ä
x
2
ä
Exemple 302. Voir l’exercice 295.
ˆ 1
x
√
dx.
Exemple 303. Calculer
1 − x2 + 1
0
En raisonnant comme ci-dessus, on peut calculer certaines intégrales en posant x = sh(t) ou x = ch(t).
ˆ 1
1
√
Exemple 304. Calculer
dx.
1 + x2
0
74
Calcul intégral
A7.4 Quelques méthodes à connaitre
Calcul de
ˆ
ax
P(x)e dx,
ˆ
P(x)cos (ax) dx,
ˆ
P(x)sin (ax) dx où P est un polynôme
Il suffit d’effectuer des intégrations par parties successives, en dérivant à chaque fois le polynôme, jusqu’à
ce que celui-ci ne devienne un terme constant.
ˆ 1
Exemple 305. Calculer
( x2 + x + 1)e− x dx.
0
Calcul de
ˆ
P(x)cos (ax)e
bx
dx et
ˆ
P(x)sin (ax)ebx dx où P est un polynôme
L’intégrale s’étend naturellement aux fonctions à valeurs complexes.
Définition 306.
Soit f : [ a, b] → C telle qu’il existe deux fonctions α, β continues sur [ a, b] telles que
ˆ
On définit alors
b
a
f (t) dt en posant
ˆ
b
a
∀ x ∈ [a, b], f ( x) = α( x) + iβ( x).
ˆ b
ˆ b
β(t) dt.
α(t) dt + i
f (t) dt =
a
a
On peut alors donner le résultat suivant, particulièrement utile en électricité.
Théorème 307.
Pour tout λ ∈
C∗
on a
ˆ
b
a
eλt
e dt =
λ
ñ
ôb
λt
.
a
Démonstration. Résulte du fait que la dérivée de x 7→ eλx est x 7→ λeλx pour tout λ ∈ C ∗ .
ˆ
ˆ
bx
Pour calculer une intégrale de la forme P( x) cos( ax)e dx ou P( x) sin( ax)ebx dx, il suffit d’utiliser l’une
des égalités suivantes :
ˆ
β
Lj
bx
β
P( x) sin( ax)e dx = Im
α
å
P( x)e
iax bx
e dx
ou
α
ˆ
β
bx
Lj
β
P( x) cos( ax)e dx = Re
α
å
P( x)e
iax bx
e dx .
α
Il suffit alors d’utiliser la méthode précédente pour calculer l’intégrale ainsi obtenue, et il n’y a plus ensuite
qu’à en extraire les parties réelles et imaginaires.
Remarque. On pourrait également utiliser les formules d’Euler.
ˆ π
cos( x)ex dx.
Exemple 308. Calculer
0
Calcul de
ˆ
ax + b
dx
x2 + px + q
Pour intégrer une fraction rationnelle de la forme
x2 + px + q
ax + b
,
x2 + px + q
on commence par calculer les racines du polynôme
puis on utilise éventuellement le résultat suivant (admis).
Théorème 309.
Soient a, b, p, q des réels. On note ∆ le discriminant du polynôme du second degré x2 + px + q.
i ) Si ∆ > 0, le polynôme possède deux racines distinctes c et d, et il existe alors deux réels α, β tels que
∀ x ∈ R \ {c, d},
x2
ax + b
α
β
ax + b
=
=
+
+ px + q
( x − c)( x − d)
x−c x−d
ii ) Si ∆ = 0, le polynôme possède une racine double c, et il existe alors deux réels α, β tels que
∀ x ∈ R \ { c },
ax + b
α
β
ax + b
=
=
+
x2 + px + q
( x − c )2
( x − c )2 x − c
A7.4. QUELQUES MÉTHODES À CONNAITRE
75
Ce résultat permet de calculer une primitive de toute fonction de la forme x 7→
ax + b
.
x2 + px + q
1er cas. Si le polynôme x2 + px + q admet deux racines réelles distinctes c et d, on peut alors écrire x2 + px +
q = ( x − c)( x − d), et on calcule les deux réels α et β tels que
ax + b
α
β
=
+
x2 + px + q
x−c x−d
en réduisant les fractions du second membre au même dénominateur puis en identifiant les coefficients. Ensuite,
la linéarité de l’intégrale permet d’écrire
ˆ
ax + b
dx =
x2 + px + q
α
dx +
x−c
ˆ
β
dx
x−d
ˆ
ce qui donne le résultat car on sait calculer le second membre (on obtient des logarithmes).
1/2
2x + 1
dx en employant la méthode ci-dessus, puis directement en donnant « à
+x−2
0
l’œil » une primitive de cette fonction.
Exemple 310. Calculer
ˆ
x2
2ième cas. Si le polynôme x2 + px + q admet une racine double c, on a x2 + px + q = ( x − c)2 . On calcule alors les
deux réels α et β tels que
α
β
ax + b
=
+
2
x + px + q
x − c ( x − c )2
puis en identifiant les coefficients. Ensuite, la linéarité de l’intégrale permet d’écrire
ˆ
ax + b
dx =
x2 + px + q
ˆ
α
dx +
x−c
β
dx
( x − c )2
ˆ
ce qui donne le résultat puisque que l’on sait intégrer les fonctions du second membre.
Exemple 311. Calculer
1/2
ˆ
x2
0
2x + 1
dx.
− 2x + 1
3ième cas. Si le polynôme x2 + px + q n’admet aucune racine réelle, on fait alors apparaître au numérateur la
dérivée du dénominateur, en cherchant deux réels α, β tels que
ˆ
ax + b
dx = α
2
x + px + q
2x + p
dx + β
2
x + px + q
ˆ
La première intégrale se calcule en observant que
2x + p
x2 + px + q
ˆ
x2
1
dx.
+ px + q
est la dérivée de ln| x2 + px + q|. Pour calculer la
seconde, on met le polynôme x2 + px + q sous forme canonique :
ˆ
1
dx =
2
x + px + q
ˆ
1
Ä
x+
ä
p 2
2
+q−
p2
4
dx =
ˆ
1
Ä
x+
ä
p 2
2
+
Åq
p2
q−
p2
4
ã2 dx
p
puisque le discrimiant du dénominateur est strictement négatif
(on a donc q − 4 > 0). On pose alors u = x + 2 ,
ˆ
du
ce qui permet de se ramener à une intégrale de la forme
Åq
ã2 , que l’on peut calculer en utilisant
p2
2
u +
q− 4
la formule
d
dx
Ä
1
a
Arctan
Exemple 312. Calculer
x
a
Ä ää
ˆ
0
1
=
1
.
x 2 + a2
−3x + 2
dx.
x2 − x + 1
76
Calcul intégral
A7.5 Primitives usuelles
Chacune des lignes du tableau ci-dessous se lit comme suit : la fonction f admet (sur son intervalle de
définition) F pour primitive, éventuellement sous la condition cond.
f ( x)
F ( x)
cond
ezx
u′ ( x)
u( x)
1 zx
ze
z ∈ C∗
ln |u( x)|
xα
1
x α +1
α+1
α 6 = −1
αu′ uα−1
uα
α 6= 0
u′
√
√
2 u
ax
ln a
ax
cos ax
sin ax
1
= 1 + tan2 x
cos2 x
1
= 1 + cotan2 x
sin2 x
1
2
a + x2
1
√
1 − x2
1
−√
1 − x2
u
1
a
sin ax
− 1a cos ax
a > 0, a 6= 1
a 6= 0
a 6= 0
tan x
cotan x
x
1
Arctan
a
a
Arcsin x
Arccos x
a 6= 0
Chapitre
A8
Arithmétique
A8.1 Divisibilité
Théorème 313 (Division euclidienne).
Soit ( a, b) ∈ Z2 tels que b 6= 0. Alors il existe un unique couple (q, r) ∈ Z2 tel que :
i ) a = bq + r,
ii ) 0 6 r < |b|.
On dit alors que q est le « quotient » et r le « reste de la division euclidienne de a par b. »
Démonstration. Voir le chapitre sur les racines de l’unité.
Remarque. En Python, a//b renvoie le quotient dans la division euclidienne de a par b, et a%b le reste.
Définition 314.
Soit ( a, b) ∈ N2 . On dit que « a divise b », que « b est un multiple de a », ou que « a est un diviseur de b », et on note a|b,
s’il existe un entier k ∈ N tel que b = ka. En d’autres termes :
a|b ⇐⇒ ∃k ∈ N, b = ka.
Notation. La négation de la relation de divisibilité sera notée ∤.
Exemples 315.
i ) 2 divise n ∈ N si et seulement si n est pair ;
ii ) ∀n ∈ N, n|0 et ∀n ∈ N, 1|n.
Théorème 316.
Soit ( a, b) ∈ N2 avec a 6= 0. Alors a|b si et seulement si le reste de la division euclidienne de b par a est nul.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. On a : a|b ⇐⇒ ∃k ∈ N, b = ka ⇐⇒ b ≡ 0 [ a] .
Théorème 317.
Quels que soient les entiers a, b, c on a :
i ) a| a
ii ) ( a|b et b| a) ⇒ a = b
iii ) ( a|b et b|c) ⇒ a|c.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Ce résutat montre que la relation de divisibilité est une relation d’ordre sur N. Cette relation est
partielle, puisque 3 ∤ 2 et 2 ∤ 3. Enfin, on peut remarquer que 0 est le plus grand élément de cette relation
d’ordre et que 1 est le plus petit, puisque pour tout n ∈ N on a 1|n et n|0.
Théorème 318.
Soient a, b, c des entiers tels que b − c est un entier. Alors
( a|b et a|c) ⇒ a|(b − c).
Démonstration. Voir les notes de cours.
78
Arithmétique
A8.2 Nombres premiers
Définition 319.
Un « nombre premier » est un entier p > 2 qui n’est divisible que par 1 et par p.
Théorème 320.
Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Méthode (Le crible d’Eratosthène.). Pour déterminer tous les nombres premiers compris entre 2 et N, on peut
procéder comme suit. On commence par écrire les nombres de 2 à N, et on éliminera ensuite pas à pas ceux qui
ne sont pas premiers en procédant comme suit :
— 2 est un nombre premier. Par contre, tous les multiples stricts de 2 n’en sont pas. On élimine donc tous
les nombres pairs différents de 2.
— 3 est un nombre premier. De, même on élimine tous les multiples de 3 différents de 3.
— 4 n’est pas premier (et a donc déjà été éliminé), mais 5 est premier. On barre donc tous les multiples de 5
différents de 5.
On continue ainsi jusqu’à avoir épuisé tous les nombres, en considérant à chaque étape le plus petit nombre
qui n’a pas été éliminé ou séléctionné ; c’est nécessairement un nombre premier, et on élimine ensuite tous ses
multiples stricts.
Lemme 321 (Lemme de Gauss).
Soit p un nombre premier et ( a, b) ∈ N2 . Si p| ab, alors p| a ou p|b.
Démonstration. Résultat admis.
Théorème 322 (Décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers).
Soit n ∈ N ∗ . Alors n s’écrit de manière unique n = p1α1 p2α2 · · · pαk k avec k ∈ N, p1 < p2 < · · · < pk des nombres
premiers et ∀i ∈ J1, kK, αi ∈ N ∗ .
Démonstration. Résultat admis.
A8.3 PGCD, PPCM
Définition 323.
Soit ( a, b) ∈ N2 .
i ) Le « plus grand commun diviseur de a et b » est le nombre entier noté PGCD( a, b), et défini par :
PGCD( a, b) = max{n ∈ N; n| a et n|b}.
ii ) On dit que a, b sont « premiers entre eux » si PGCD( a, b) = 1.
iii ) Le « plus petit commun multiple de a et b » est le nombre entier noté PPCM( a, b), défini par :
PPCM( a, b) = min{n ∈ N; a|n et b|n}.
Théorème
324.
√
2 est irrationnel.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Lemme 325.
Soit ( a, b) ∈ N2 , avec b 6= 0 et r le reste de la division euclidienne de a par b. Alors :
PGCD( a, b) = PGCD(b, r).
Démonstration. Voir les notes de cours.
A8.3. PGCD, PPCM
79
Méthode (L’algorithme d’Euclide.). L’algorithme d’Euclide est un algorithme permettant de calculer le PGCD
de deux nombres entiers a et b. On définit pour cela une suite d’entiers (un )n∈N telle que u0 = a, u1 = b, et
pour tout entier n ∈ N ∗ , un+1 est le reste de la division euclidienne de un−1 par un si un 6= 0 et un+1 = 0 dans
le cas contraire. On peut alors montrer que (un )n∈N est une suite stationnaire.
En effet, pour tout n ∈ N ∗ , si un 6= 0, alors un+1 < un . Cela montre que (un ) stationne à 0 à partir d’un
rang N. Soit d = u N −1 , la dernière valeur non nulle de cette suite. On montre alors que d est le PGCD de a et
b par récurrence : en utilisant le lemme précédent, on obtient PGCD(un−1 , un ) = PGCD(un , un+1 ). En prenant
n = N − 1, il vient PGCD( a, b) = PGCD(d, 0) = d.
Exemple 326. On a PGCD(154, 30) = 2.
80
Arithmétique
Chapitre
A9
Sommes doubles
A9.1 Sommation sur un carré
Dans cette section, on considère deux entiers n, p et une famille de nombres complexes ( ai,j )16i6n indéxés
par deux entiers. On peut imaginer que les ai,j sont les cœfficients d’une matrice de taille n × p.
16 j6 p
colonne n°j
ligne n°i →
↓
a1,1
a2,1
..
.
a1,2
a2,2
..
.
···
···
..
.
a1,j
a2,j
..
.
···
···
..
.
a1,p
a2,p
..
.
ai,1
..
.
ai,2
..
.
···
..
.
ai,j
..
.
···
..
.
ai,p
..
.
an,1
an,2
···
an,j
···
an,p
On cherche à calculer la somme des termes présents dans ce tableau, appelée « somme double ». Puisque
l’on peut sommer ces termes dans n’importe quel ordre, on a deux possibilités qui donnent le même résultat :
— calculer d’abord la somme des termes sur chacune des lignes, puis faire le total. Formellement, on évalue
dans ce cas la quantité
Ü
ê
p
n
X
X
;
ai,j
j=1
i=1
| {z }
somme des termes
de la ligne n°i
— calculer d’abord la somme des termes sur chacune des colonnes, puis faire le total. Formellement, on
évalue dans ce cas la quantité
ê
Ü
p
n
X
X
j=1
.
ai,j
i=1
| {z }
somme des termes
de la colonne n°j
On pose alors la définition suivante.
Théorème/définition 327 (Théorème de Fubini, 1ière version).
Soient (n, p) ∈ N2 et ( ai,j )16i6n une famille de nombres complexes. On a alors l’égalité suivante :
16 j6 p
X
déf
ai,j =
16i6n
16 j6 p
Notation. Cette somme peut aussi être notée
n
X
i=1
Ñ
p
X
é
ai,j
=
j=1
X
( i,j)∈J1,nK×J1,pK
p
n
X
X
j=1
ai,j .
i=1
!
ai,j .
82
Sommes doubles
Méthode. Pour calculer une somme double
X
ai,j , on choisit d’abord un ordre : commencer soit par les lignes,
16i6n
16 j6 p
soit par les colonnes. Si on a par exemple choisi de commencer
par les lignes, on calcule dans un premier temps
é
Ñ
la somme si =
p
X
ai,j , et ensuite la somme
j=1
n
X
si =
i=1
n
X
i=1
p
X
ai,j .
j=1
Théorème 328.
Soient (n, p) ∈ N2 et (αi )16i6n et ( β j )16 j6 p deux familles de nombres complexes. On a alors :
X
αi β j =
16i6n
16 j6 p
n
X
αi
i=1
!Ñ p
X
é
βj
j=1
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 329. Calculer
X
(i + j)i.
16i,j6n
Plus généralement, on a le résultat suivant.
Théorème/définition 330 (Théorème de Fubini, 2ème version).
Soient I et J deux ensembles finis et ( ai,j )(i,j)∈ I × J une famille de nombres complexes. Alors :
X
déf
ai,j =
( i,j)∈ I × J
XX
XX
ai,j =
ai,j .
j∈ J i∈ I
i∈ I j∈ J
On dit aussi qu’on intervertit les symboles de sommation lorsqu’on utilise un théorème de Fubini. Cette intervertion n’est pas toujours aussi simple à effectuer dans le cas où les bornes de la deuxième somme dépendent
de l’indice de la première somme. C’est ce qu’on va maintenant voir dans un cas particulier.
A9.2 Sommation sur un triangle
Imaginons maintenant que p = n et que l’on a amputé le tableau précédent de sa moitié inférieure gauche,
de sorte qu’il corresponde à une matrice triangulaire supérieure, comme suit :
colonne j
↓
a1,1 · · · · · · · · ·
..
.
ligne i →
ai,i · · ·
..
.
a1,j
..
.
· · · a1,n
..
.
ai,j
..
.
···
a j,j
..
.
ai,n
..
.
..
.
..
.
an,n
Formellement, cela revient à considérer une famille ( ai,j ) de nombre complexes indexée par l’ensemble
©
(i, j) ∈ N2 | 1 6 i 6 j 6 n . Pour calculer la somme des termes présents dans ce tableau, on a les mêmes
possibilités que dans le cas précédent :
¶
— calculer d’abord la somme des termes sur chacune des lignes (en remarquant que la ligne n°i possède
n − (i − 1) termes : ai,i , . . . , ai,n ), puis faire le total. Dans ce cas, on évalue :
ê
Ü
n
X
i=1
n
X
ai,j
;
j= i
| {z }
somme des termes
de la ligne n°i
A9.3. SOMMATION PAR PAQUETS
83
— calculer d’abord la somme des termes sur chacune des colonnes (en remarquant que la colonne n°j possède
j termes : a1,j , . . . , a j,j ), puis faire le total. On évalue donc dans ce cas :
ê
Ü
j
n
X
X
.
ai,j
i=1
j=1
| {z }
somme des termes
de la colonne n°j
Théorème/définition 331 (Théorème de Fubini, 3ième version).
Soient n ∈ N et ( ai,j )16i6 j6n une famille de nombres complexes. On a alors l’égalité suivante :
déf
X
ai,j =
X
16i6 j6n
ai,j =
i=1 j= i
16i6 j6n
Exercice 332. Calculer
n X
n
X
j
n X
X
ai,j .
j=1 i=1
i
.
j
Indiquons enfin le résultat suivant.
Théorème/définition 333 (Théorème de Fubini, 4ième version).
Soient n ∈ N et ( ai,j )16i< j6n , une famille de nombres complexes. On a alors l’égalité suivante :
X
déf
ai,j =
n
−1
X
n
X
ai,j =
i=1 j= i+1
16i< j6n
j−1
n X
X
ai,j .
j=2 i=1
A9.3 Sommation par paquets
Le résultat suivant est fréquemment utile, notamment en probabilités.
Théorème 334.
Ñ
Soit E ⊂ C et I des ensembles finis, ainsi qu’une partition ( Ei )i∈ I de E. Alors
I = J1, nK, on peut écrire
X
x∈E
x=
X
x ∈ E1
x+···+
X
x.
X
x =
x∈E
X
i∈ I
x ∈ En
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemple 335. Pour toute famille (uk )k∈J0,nK de complexes, on a
n
X
k=0
uk =
n
X
uk +
k=0
k pair
n
X
uk .
k=0
k impair
é
X
x ∈ Ei
x
. Par exemple, si
84
Sommes doubles
Deuxième partie
Analyse
Chapitre
B1
Limites de suites
Dans ce chapitre, on considère des suites de nombres réels (excepté dans la dernière section).
B1.1 Borne inférieure et borne supérieure d’un ensemble de réels
B1.1.1
Borne inférieure
Nous avons vu que l’ensemble ]0, 1] ne possède pas de minimum ; en particulier, 0 n’est pas le minimum de
cet ensemble car il ne lui appartient pas. Néanmoins le réel 0 possède une propriété particulière par rapport à
cet ensemble : c’est le plus grand de ses minorants. L’ensemble des minorants de ]0, 1] est en effet ] − ∞, 0], et
son maximum est 0.
On appelle « borne inférieure d’un ensemble A » le plus grand élément de l’ensemble des minorants de A.
Formellement cela donne la définition suivante.
Définition 336.
Soit A ⊂ R. On appelle borne inférieur de A, et l’on note inf( A), tout réel α vérifiant :
(
∀ x ∈ A, α 6 x
[α est un minorant de A]
∀ε > 0, ∃ x ∈ A, α + ε > x [Aucun réel strictement supérieur à α ne minore A]
Exemple 337. Soit I un intervalle de la forme ] a, b[ ou ] a, b]. Alors inf( I ) = a.
Théorème 338.
Soit A un ensemble de réels admettant un minimum β. Alors β = inf( A).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemple 339. a est le minimum de tout intervalle de la forme [ a, b[ (resp. [ a, b]), c’est donc également la borne
inférieure de cet ensemble.
On a vu qu’il existait des ensembles minorés de réels ne possédant pas de minimum, comme par exemple
]0, 1]. Par ailleurs, il existe des ensembles ne possèdant pas de borne inférieure : c’est par exemple le cas de R
lui-même, ou de l’ensemble vide. Mais on a l’axiome suivant.
Théorème 340 (Axiome de la borne inférieure).
Tout ensemble non vide et minoré de réels admet une unique borne inférieure.
Dire que ce résultat est un axiome signifie qu’il ne se démontre pas : on admet en fait qu’il est vrai avant
même de chercher à construire l’ensemble des réels (ici c’est l’existence qui doit être admise, l’unicité se démontrerait aisément).
B1.1.2
Borne supérieure
La notion de borne supérieure d’un ensemble A est duale de la précédente : il s’agit du plus petit élément
de l’ensemble des majorants de A.
Définition 341.
Soit A ⊂ R. On appelle borne supérieur de A, et l’on note sup( A), tout réel α vérifiant :
(
∀ x ∈ A, α > x
∀ε > 0, ∃ x ∈ A, α − ε < x
[α est un majorant de A]
[Aucun réel strictement inférieur à α ne majore A]
88
Limites de suites
Exemples 342. Soient a, b qui sont soit des réels, de sorte que a 6 b, avec éventuellement a = −∞.
• sup(] a, b[) = sup([ a, b[) = b, et cet ensemble ne possède pas de maximum.
• sup(] a, b]) = max(] a, b]) = b. Et de même si on considère [ a, b].
Il existe des ensembles ne possèdant pas de borne supérieure (par exemple R et ∅), mais on a l’axiome
suivant.
Théorème 343 (Axiome de la borne supérieure).
Tout ensemble non vide et majoré de réels admet une unique borne supérieure.
Remarque. On utilise parfois la convention suivante : si A ⊂ R n’est pas majoré (resp. minoré), alors on pose
sup( A) = +∞ (resp. inf( A) = −∞).
B1.2 Notion de limite d’une suite
B1.2.1
Définitions
La notion de limite d’une suite n’avait été donnée que de manière intuitive en Terminale : nous allons
maintenant la présenter formellement. Cela permettra de traiter des exemples trop subtils pour pouvoir être
étudiés à partir d’une simple définition intuitive. Nous démontrerons ensuite les résultats vus en Terminale à
partir de cette définition.
Suites possédant une limite infinie
On commence par définir ce que c’est que de tendre vers +∞ pour une suite. La difficulté est que le symbole
+∞ ne représente pas un nombre réel à part entière : on dira qu’une suite tend vers +∞ si, quelle que soit la
borne A > 0 que l’on nous donne, nous pouvons déterminer un rang (ou palier) n0 à partir duquel tous les
termes de la suite sont supérieurs à A. Une suite tendra donc vers +∞ si et seulement si ses termes finissent
par rester au-dessus de n’importe quel réel A. Formellement, cela donne la définition suivante.
Définition 344.
On dit qu’une suite (un ) « tend vers l’infini », ce que l’on notera lim un = +∞, si elle vérifie :
n,+ ∞
∀ A > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0 , un > A.
Exercice 345. Montrer que la suite définie pour tout n par un =
√
n tend vers l’infini.
De manière analogue, on pose la définition suivante.
Définition 346.
On dit qu’une suite (un ) « tend vers moins l’infini, » ce que l’on notera lim un = −∞, si elle vérifie :
n,+ ∞
∀ A < 0, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0 , un 6 A
Suites possédant une limite finie ou convergentes
Se pose maintenant la question de définir la convergence d’une suite (un ) vers un réel ℓ. Il serait erroné de
dire que (un ) converge vers un réel ℓ donné si et seulement si ∃n0 ∈ N, ∀n > n0 , un = ℓ.
1
Considérons par exemple la suite (un ) définie par un = n+
1 . Il est clair que cette suite converge vers 0, mais
pourtant aucun de ses termes n’est nul, elle ne vérifie donc pas le critère ci-dessus. La non compréhension de
cette subtilité peut mener à des absurdités.
L’idée consiste à considérer une suite (un ) qui tend vers ℓ comme une suite d’approximations de ℓ. Pour
que ces approximations soient utilisables en pratique on souhaite, étant donné une erreur ε > 0 donnée, être
capable de définir un rang (ou palier) n0 à partir duquel tous les termes de la suite sont des approximations de
ℓ à moins de ε près.
Autrement dit, une suite converge vers un réel ℓ si et seulement si quelle que soit la marge d’erreur ε > 0,
ses termes finissent par rester une approximation de ℓ à moins de ε près. Formellement, cela donne la définition
suivante.
89
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Définition 347.
Soit (un ) une suite et ℓ ∈ R. On dit que « (un ) converge vers ℓ, » ce que l’on note lim un = ℓ, si elle vérifie
n,+ ∞
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0 , |un − ℓ| 6 ε.
Remarque. Dans chacune des définitions précédentes, si on change les inégalités larges en inégalités strictes,
on obtient une définition équivalente. Par contre, le réel ε doit être pris strictement positif.
Exercice 348. Montrer que la suite définie par un =
1
n +1
tend vers 0.
Définition 349.
Soit (un ) une suite. S’il existe un réel ℓ tel que lim un = ℓ, on dit que (un ) est « convergente ».
n,+ ∞
Exemple 350. Toute suite constante est donc convergente. De même, toute suite constante à partir d’un certain
rang (on parle de suite stationnaire) converge.
Définition 351.
Si une suite ne converge pas, alors on dit qu’elle « diverge. »
Remarque. Il y a deux types de suite divergentes : celles qui tendent vers une limite infinie, et celles qui n’ont
pas de limite. C’est par exemple le cas de la suite définie par un = (−1)n : elle prend alternativement les valeurs
1 et −1, et donc ne converge pas (on démontrera cela formellement plus tard).
Théorème 352 (Unicité de la limite).
Toute suite possède au plus une limite.
Démonstration. Voir les notes de cours.
B1.2.2
Premiers résultats
Théorème 353.
Soit (un ) et (vn ) deux suites telles que
• lim un = +∞,
n,+ ∞
• un 6 vn pour tout entier n supérieur à un entier n1 donné.
Alors on a lim vn = +∞.
n,+ ∞
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 354. Montrer lim
n,+ ∞
n
X
k2 = +∞.
k=1
Théorème 355.
Soit ℓ ∈ R. Pour toute suite (un ), on a
lim un = ℓ ⇐⇒ lim |un − ℓ| = 0
n,+ ∞
n,+ ∞
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 356.
Soit (un ) une suite convergeant vers un réel ℓ > 0. On a alors : ∃n0 ∈ N, ∀n > n0 , un > 0. En d’autres termes, toute
suite convergente vers un réel ℓ > 0 est strictement positive à partir d’un certain rang.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 357 (Prolongement des inégalités).
Soient a, b des réels, et (un ) une suite convergente telle qu’il existe n0 ∈ N vérifiant :
∀n > n0 , a < un < b.
Alors
a 6 lim un 6 b.
n,+ ∞
90
Limites de suites
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Le résultat ci-dessus est encore vrai sous l’hypothèse a 6 un 6 b (la preuve restant la même).
Lemme 358 (Lemme des gendarmes).
Soient (un ), (vn ) et (wn ) trois suites, et ℓ ∈ R. On suppose que :
• vn 6 un 6 wn pour tout entier n supérieur à un entier n0 donné.
• lim vn = lim wn = ℓ.
n,+ ∞
n,+ ∞
Alors la suite (un ) converge, et plus précisemment lim un = ℓ.
n,+ ∞
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Le résultat est encore vrai si ℓ = ±∞, et résulte alors du théorème 353
2
Exercice 359. Calculer la limite de la suite définie par récurrence par la relation un+1 =
e− un
.
n+1
On peut déduire du lemme des gendarmes le résultat suivant.
Corolaire 360.
Soient (un ) et (vn ) deux suites, ℓ un nombre réel et n0 un entier. Alors
lim vn = 0
n,+ ∞
∀n > n0 , |un − ℓ| 6 vn
)
⇒ lim un = ℓ
n,+ ∞
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 361.
Soient (un ) une suite bornée, et (vn ) telle que lim vn = 0. On a alors lim un · vn = 0.
n,+ ∞
n,+ ∞
Démonstration. Voir les notes de cours.
On a enfin le résultat suivant.
Théorème 362.
Toute suite convergente est bornée.
Démonstration. Voir les notes de cours.
B1.2.3
Opérations élémentaires sur les limites
Produit par un réel
Théorème 363.
Soit (un ) une suite convergeant vers un réel ℓ, et λ un réel. Alors λun converge vers λℓ.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Plus généralement, le tableau suivant donne la limite de λun dans tous les cas.
lim un
n,+ ∞
λ
lim λun
n,+ ∞
ℓ
±∞
±∞
λ ∈ R λ = 0 λ 6= 0
λℓ
0
∞
Ce tableau n’est pas complet, puisqu’aucun signe n’apparaît devant le symbole ∞ à la dernière ligne : ce
signe est fonction des signes des deux autres quantités de la même colonne, et s’obtient en utilisant le tableau
de signes habituel.
91
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Limite d’une somme de deux suites
Théorème 364.
Soit (un ) et (vn ) deux suites convergeant respectivement vers des réels ℓ et ℓ′ . Alors lim (un + vn ) = ℓ + ℓ′ .
n,+ ∞
Démonstration. Voir les notes de cours.
Plus généralement, le tableau suivant donne la limite de un + vn en fonction de celles de un et vn .
lim un
ℓ
∞ +∞ −∞ +∞
lim vn
ℓ′
ℓ′
n,+ ∞
n,+ ∞
lim un + vn
n,+ ∞
+∞ −∞ −∞
?
ℓ + ℓ′ ∞ + ∞ − ∞
Le symbole ? indique qu’on ne peut conclure avec les seules hypothèses faites sur (un ) et (vn ).
Remarque. Il faut se garder de toute généralisation des résultats précédents. Il est par exemple erroné de penser
que si l’on a deux suites (un ) et (vn ) telles que lim (un − vn ) = 0, alors lim un = lim vn . Cela n’est vrai que si
n,+ ∞
n,+ ∞
n,+ ∞
ces deux suites possèdent une limite : un contre-exemple est donné par un = vn = (−1)n .
Limite de la puissance d’une suite
Théorème 365.
Soit α ∈ R et (un ) une suite à termes strictement positifs convergeant vers ℓ > 0. Alors lim uαn = ℓα .
n,+ ∞
Démonstration. Résultat admis pour le moment (il se déduira aisément de la continuité de x 7→ xα ).
Remarque. Si α > 0, ce résultat reste vrai si (un ) ou ℓ s’annule.
Plus généralement, le tableau suivant donne la limite de uαn en fonction de celle de un .
lim un
ℓ>0
n,+ ∞
ℓ>0
+∞
+∞
±∞
α∈R α>0 α>0 α<0 α=0
α
lim uα
n,+ ∞ n
ℓα
ℓα
0
+∞
1
Limite d’un produit de deux suites
Théorème 366.
Soit (un ) et (vn ) deux suites convergeant respectivement vers des réels ℓ et ℓ′ . Alors lim (un · vn ) = ℓ · ℓ′ .
n,+ ∞
Démonstration. Voir les notes de cours.
Plus généralement, le tableau suivant donne la limite de un · vn en fonction de celles de un et vn .
lim un
ℓ
ℓ 6= 0
lim vn
ℓ′
±∞
lim un · vn
ℓ · ℓ′
∞
n,+ ∞
n,+ ∞
n,+ ∞
0
±∞
±∞ ±∞
?
∞
Limite d’un quotient de deux suites
Théorème 367.
Soit (un ) et (vn ) deux suites convergeant respectivement vers des réels ℓ et ℓ′ . Supposons de plus que la suite (vn ) ne
ℓ
un
converge vers ′ .
s’annule pas et que ℓ′ 6= 0. Alors
vn
ℓ
Démonstration. Voir les notes de cours.
Plus généralement, le tableau suivant donne la limite de
un
en fonction de celles de un et vn .
vn
92
Limites de suites
lim un
ℓ 6= 0
ℓ
n,+ ∞
ℓ′ 6= 0 0+ ou 0−
lim vn
un
lim
n,+ ∞ vn
n,+ ∞
ℓ
ℓ′
∞
Exercice 368. Montrer que la suite définie par un =
B1.2.4
0
ℓ
0
∞ ∞
?
0
∞
?
n + (−1)n
est convergente.
n − (−1)n
Comparaison asymptotique
Intuitivement, il est clair que n tend vers l’infini « moins vite » que n2 . En fait, on a la relation
lim
n
n,+ ∞ n2
= lim
1
n,+ ∞ n
= 0.
On dira qu’« au voisinage de l’infini, n est négligeable devant n2 , » ce que l’on notera n = o(n2 ).
Définition 369.
un
Soient (un ), (vn ) deux suites telles que (vn ) est non nulle à partir d’un certain rang 1 . Si lim
= 0, on dit que « (un )
n,+ ∞ vn
est négligeable devant (vn ) au voisinage de +∞», ce que l’on note un = o(vn ).
Exemple 370. Par croissance comparée, on a n = o(en ) au voisinage de l’infini.
De même, il est clair que n et n + 1 tendent vers l’infini « à la même vitesse. » En fait, on a
lim
n,+ ∞ n
n
1
= lim
+ 1 n,+∞ 1 +
1
n
= 1.
Définition 371.
un
= 1, on dit que « (un )
Soient (un ), (vn ) deux suites telles que (vn ) est non nulle à partir d’un certain rang. Si lim
n,+ ∞ vn
est équivalente à (vn ) au voisinage de +∞ », ce que l’on note un ∼ vn .
Remarque. Les notations un = o(vn ) et un ∼ vn ont encore un sens si (un ) (resp. (vn )) a une limite finie, voire
pas de limite.
1
1
1
1
=o
, ce qui traduit le fait que 2 tend plus vite vers 0 que si n → +∞.
2
n
n
n
n
Å ã
Exemple 372. On a
Exercice 373. Montrer
n
X
k=0
k! ∼ n!.
Remarque. Pour le moment, les symboles ∼ et o sont uniquement des notations, et on se gardera d’effectuer
des calculs avec eux.
B1.3 Méthodes élémentaires de calcul de limites
Lever une indétermination consiste à calculer effectivement une limite se présentant de prime abord comme
une forme indéterminée. Les méthodes présentées ici sont à connaitre.
1. Calcul de lim n1/n (indéterminée de la forme ∞0 ). Lorsqu’une forme indéterminée apparait dans une exn,+ ∞
pression contenant une puissance, on revient à la définition de celle-ci : ab = eb ln a . Dans le cas présent cela
donne :
Å
ã
ln n
n1/n = exp
−→ e0 = 1,
n,+ ∞
n
ln n
= 0.
n
On raisonne de même pour lever les indéterminations de la forme 1∞ , ∞0 ou 00 .
puisque par croissance comparée on a lim
n,+ ∞
1. c’est-à-dire qu’il existe un entier n0 tel que ∀n > n0 , vn 6= 0, ce qui permet de former le quotient
un
pour n > n0 .
vn
B1.4. QUELQUES CRITÈRES DE CONVERGENCE
93
2. Calcul de lim 2n4 − n (indéterminée de la forme ∞ − ∞). Dans ce cas, on met le terme dominant en facteur :
n,+ ∞
on a en effet pour tout n > 0
Å
1
,
3
n
{z }
2n4 − n = n4 2 −
|
et comme U (n) −→ 2, on en déduit que 2n4 − n −→ +∞.
nx,+ ∞
n,+ ∞
ã
U (n)
3n4 − 2n2 + 1
(indéterminée de la forme ∞
∞ ).
n,+ ∞ n5 − 2n4 + n
On met le terme dominant en facteur, au numérateur et au dénominateur, d’où pour tout n > 0 :
3. Calcul de lim
1
2
n4 3 − n22 + n14
3n4 − 2n2 + 1
1 3 − n2 + n4
Ä
ä = ×
,
=
n5 − 2n4 + n
n
1 − n2 + n14
n5 1 − n2 + n14
Ä
et comme U (n) −→ 3, on en déduit que
n,+ ∞
ä
3n4 − 2n2 + 1
−→ 0.
n5 − 2n4 + n n,+∞
|
{z
U (n)
}
√
√
2n4 − 5n n + n1/4
∞−∞
(indéterminée
multiple
4. Calcul de lim √
∞ ).
2
√
2
n,+ ∞
1
3
n + n + √n
On raisonne comme dans le cas précédent en mettant le terme dominant en facteur au numérateur et au
dénominateur : la présence de puissances non entières ne change rien dans ce cas.
q
√ q
»
√
n4 2 − n25√n + n3 n13/4
2 − n25√n + n3 n13/4
√
2n4 − 5n n + n1/4
= Ä
−→ 2
√
2 = √ 2 Ä
ä
ä
2
2
√
2
n,+ ∞
2
2
1
1 2
n + 3 n + √1n
+ n√1 n
1 + n1/21−1/3 + n√
1 + n1/6
n
n
»
5. Calcul de lim
n,+ ∞
√
n+1−
√
n. Dans le cas particulier où on a affaire à une indétermination formée par la
différence de deux racines, on multiplie en « haut et en bas » par la quantité conjuguée, qui est la somme de ces
deux mêmes racines : on fait alors apparaître une identité remarquable qui lève l’indétermination.
ä2
Ä√
√ 2
√
√
Ä√
√
n+1 − n
√
√ ä
n+1 + n
1
n+1 − n =
n+1 − n × √
=√
√ = √
√
√ −→ 0
n+1 + n
n+1 + n
n + 1 + n n,+∞
B1.4 Quelques critères de convergence
B1.4.1
Le théorème de la limite monotone : une condition suffisante de convergence
Nous allons démontrons le résultat suivant, vu en Terminale : toute suite croissante (resp. décroissante)
possède une limite, qui est finie si et seulement si la suite est majorée (resp. minorée).
Théorème 374 (Théorème de la limite monotone).
Soit (un ) une suite croissante. Alors :
i ) si la suite est majorée, elle possède une limite finie ℓ ;
ii ) sinon, elle tend vers +∞.
Et dans le cas où lim un = ℓ, on a ∀n ∈ N, un 6 ℓ.
n,+ ∞
Toute suite monotone possède donc une limite, finie ou infinie.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 375 (Théorème de la limite monotone, bis).
Soit (un ) une suite décroissante. Alors :
i ) si la suite est minorée elle possède une limite finie ℓ ;
ii ) sinon, elle tend vers −∞.
Et dans le cas où lim un = ℓ, on a ∀n ∈ N, un > ℓ.
n,+ ∞
Démonstration. On considère la suite (vn ) définie par vn = −un . Celle-ci est décroissante, et sera minorée si et
seulement si (un ) est majorée. Le résultat se déduit alors du théorème précédent.
94
Limites de suites
B1.4.2
Le cas des suites adjacentes
Définition 376.
On dit que deux suites ( an ) et (bn ) sont adjacentes, si
• l’une de ces deux suites est croissante et l’autre est décroissante ;
• lim (bn − an ) = 0.
n,+ ∞
Théorème 377.
Soient ( an ) et (bn ) deux suites adjacentes. Alors elles convergent toutes les deux et ont même limite.
Démonstration. Voir les notes de cours.
On a enfin le résultat suivant, qui établit que toute suite décroissante d’intervalles fermés dont l’amplitude
tend vers 0 converge vers un intervalle réduit à un point.
Théorème 378 (Théorème des segments emboités).
Soient deux suites ( an ) et (bn ) telles que :
i ) ∀n ∈ N, an 6 bn ;
ii ) ∀n ∈ N, [ an+1 , bn+1 ] ⊂ [ an , bn ];
iii ) lim (bn − an ) = 0.
n,+ ∞
Alors il existe un unique réel ℓ tel que
\
n ∈N
[an , bn ] = {ℓ}.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Application aux valeurs décimales approchées d’un nombre réel
Définition 379.
Étant donné un réel x, on appelle « partie entière de x », et
l’on note ⌊ x⌋ le plus grand entier relatif n tel que n 6 x.
En d’autres termes, la partie entière est définie par les relations suivantes :
⌊ x⌋ ∈ Z
⌊ x⌋ 6 x < ⌊ x⌋ + 1.
et
Remarque. La fonction partie entière est parfois notée
E.
Exemple 380. On a ⌊4, 135⌋ = 4 et ⌊−3, 2⌋ = −4.
Définition 381.
Figure B1.1 – La courbe représentative
de la fonction partie entière
⌊10n a⌋
⌊10n a⌋ + 1
et
v
=
; un est appelé « l’approximation décimale de a
n
10n
10n
près, » et vn « l’approximation décimale de a par excès à 10−n près. »
Soit a ∈ R. Pour tout n ∈ N on pose un =
par défaut à 10−n
Pour a =
Exemple 382.
10
3 ,
on a : u0
u1
u2
u3
..
.
=3
= 3, 3
= 3, 33
= 3, 333
v0
v1
v2
v3
..
.
=4
= 3, 4
= 3, 34
= 3, 334
On a enfin le résultat suivant, qui justifie le nom donné à ces suites.
Théorème 383.
On reprend les notations de l’énoncé précédent. On a alors les résultats suivants.
i ) Pour tout entier n, 10n un ∈ Z et 10n vn ∈ Z.
95
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
ii ) Pour tout entier n, un 6 a < vn .
iii ) (un ) et (vn ) tendent vers a.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. On retiendra notamment que tout nombre réel est limite d’une suite de rationnels.
Exercice 384. Écrire un programme Python qui prend en entrée un entier n et un réel x, puis renvoie une valeur
approchée de x à 10−n près.
Définition 385.
Soit A ⊂ R. On note A le complémentaire de A dans R.
Définition 386.
On appelle « nombre irrationnel » tout nombre réel x qui ne s’écrit pas sous la forme x =
p
q
avec p, q des entiers relatifs.
En d’autres termes, l’ensemble des irrationnels est égal à Q.
√
Exemple 387. On peut démontrer que 2, e et π sont des irrationnels (résultats admis).
Théorème 388.
Soit I un intervalle véritable de R. Alors I ∩ Q et I ∩ Q sont non vides.
Démonstration. Voir les notes de cours.
B1.4.3
Une condition suffisante à l’inexistence d’une limite
Définition 389.
Étant
donnée
une suite (un )n∈N , on appelle « suite extraite de (un ) » ou « sous-suite de (un ) » toute suite de la forme
ä
Ä
u ϕ(n) n∈N où ϕ : N → N est une fonction strictement croissante.
Une sous-suite d’une suite (un ) est donc une suite obtenue en ne conservant que certains des termes de
(un ), extraits dans l’ordre.
Exemples 390. Etant donnée une suite (un )n∈N , on appelle « suite extraite paire (ou sous-suite paire) » la suite
(u2n )n∈N , et « suite extraite impaire (ou sous-suite impaire) » la suite (u2n+1 )n∈N .
Les deux résultats suivants seront admis.
Théorème 391.
Si une suite (un ) possède une limite, alors toute suite extraite de (un ) possède la même limite.
Théorème 392.
Soit (un ) une suite, et ℓ qui est soit un réel soit égal à ±∞. On a alors
un → ℓ ⇐⇒
n,+ ∞


u2n → ℓ
n,+ ∞

u2n+1 → ℓ
n,+ ∞
On en déduit une condition suffisante d’inexistence d’une limite : si (u2n ) et (u2n+1 ) ne tendent pas vers une
même limite, alors la suite (un ) ne posséde pas de limite.
Exercice 393. Montrer que la suite ((−1)n )n∈N ne converge pas.
B1.5 Suites récurrentes définies par une fonction
B1.5.1
Problèmes de définition
√
un − 1. Cette définition
Considérons la définition suivante : soit (un ) telle
que
u
=
2
et
u
=
0
n
+
1
√ est illicite,
√
puisque l’on a u0 = 2, u1 = 1, u2 = 0 et u3 = −1 ! Analysons le problème. Soit f : x 7→ x − 1 définie
sur I =]1, +∞[. Étant donné un réel u0 , on cherche à former la suite u0 , f (u0 ), f ◦ f (u0 ), f ◦ f ◦ f (u0 ), . . . mais
celle-ci finira nécessairement par atteindre un réel qui n’est pas dans le domaine de définition de f (ici on a
∀ x ∈ I, f ( x) < x et f ( I ) = [0, +∞[). La manière la plus simple d’éviter ce problème est d’imposer que la
fonction f : A → B utilisée vérifie f ( A) ⊂ A, autrement dit de choisir une fonction f : A → A. On a ainsi le
théorème suivant.
96
Limites de suites
Théorème 394.
Soient un ensemble A, une fonction f : A → A et u0 ∈ A. Alors il existe une unique suite (un ) de premier terme u0 telle
que ∀n ∈ N, un+1 = f (un ).
Démonstration. Voir les notes de cours.
(
u0 = 0
Exemple 395. On peut définir une suite en posant
√
u n +1 = u n + 1
√
x + 1 est définie sur R + et à valeurs dans [1, +∞[⊂ R + .
puisque la fonction définie par f ( x) =
Remarques.
• Les suites récurrentes définies par une fonction f permettent modéliser l’évolution temporelle
de phénomènes naturels, mesurés à intervalles réguliers. L’entier n représente alors le temps, et le terme
d’indice un est la mesure à l’instant n. La fonction f permet ainsi de passer d’un instant à un autre, et
représente donc la dynamique du phénomène.
(
u0 = 1
est bien définie par récurrence, mais elle ne rentre pas dans le
√
u n +1 = n + u n
cadre du théorème précédent, puisque la relation entre un+1 et un dépend de n, et n’est pas donnée par
une fonction f fixée. Il s’agit néanmoins d’une définition licite et univoque.
• La suite définie par
B1.5.2
Suites récurrentes définies par une fonction continue
Théorème 396.
Soit I un intervalle fermé et f : I → I une fonction continue sur I. Soit alors (un ) la suite définie par
u n +1 = f ( u n )
et
u0 ∈ I.
Si (un ) converge vers une limite finie ℓ, alors ℓ ∈ I et cette limite est un point fixe de f , c’est-à-dire que f (ℓ) = ℓ.
Démonstration. Résultat admis (voir le chapitre sur les fonctions continues).
Exemple 397. Si l’équation f ( x) = x n’admet aucune solution sur I, on déduit du résultat précédent que la suite
(un ) ne peut pas converger.
B1.5.3
Suites récurrentes définies par une fonction monotone
Exercice 398. Étudier graphiquement les suites définies par (u0 , v0 ) ∈ R2+ , un+1 =
√
un et vn+1 = v2n .
Exercice 399. Étudier graphiquement la suite définie par vn+1 = cos vn et v0 = 0.
Théorème 400.
Soit I un intervalle, une fonction f : I → I et (un ) la suite définie par
u n +1 = f ( u n )
et
u0 ∈ I.
On a alors les deux résultats suivants.
• Si f est croissante, alors (un ) est monotone. Pour déterminer la monotonie de la suite, on étudie dans ce cas le signe
de u1 − u0 : s’il est positif (un ) est croissante, et s’il est négatif (un ) est décroissante.
• Si f est décroissante, alors les deux sous-suites (u2n ) et (u2n+1 ) sont toutes les deux monotones, l’une étant croissante et l’autre décroissante. Pour déterminer la monotonie de ces deux sous-suites, on étudie le signe de u2 − u0 ou
de u3 − u1 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Grâce au théorème de convergence monotone, on peut affirmer que :
• dans le premier cas ci-dessus, la suite (un ) admet une limite finie ou infinie ;
• dans le second cas ci-dessus, chacune des deux suites (u2n ) et (u2n+1 ) admet une limite finie ou infinie.
Et dans le cas ou ces deux sous-suites possèdent la même limite ℓ, la suite (un ) admet elle aussi ℓ pour
limite.
Exercice 401. Reprendre la suite (vn ) de l’exercice 398 en effectuant cette fois l’étude formelle du problème.
B1.6. EXTENSION AUX SUITES À VALEURS COMPLEXES
97
B1.6 Extension aux suites à valeurs complexes
Définition 402.
Soit z = (zn ) une suite de complexes.
• On note z et on appelle « suite conjuguée de z » la suite de terme général zn .
• On note Re (z) et on appelle « partie réelle de z » la suite de terme général Re (zn ).
• On note I m (z) et on appelle « partie imaginaire de z » la suite de terme général I m (zn ).
On commence par remarquer que, dans le cas des suites complexes, les notions de monotonie, de majorant
ou de minorant n’ont plus de sens (car il n’y a pas de relation d’ordre naturelle dans C). Par contre le caractère
borné a toujours un sens, puisque l’on peut le définir à partir du module.
Définition 403.
Une suite (zn ) de complexes est dite bornée s’il existe M ∈ R + tel que ∀n ∈ N, |zn | 6 M.
Exemple 404. La suite de terme général ein est bornée.
De même, la notion de convergence a un sens dans le cas des suites complexes : pour la définir on peut se
ramener à une suite de réels en utilisant le module.
Définition 405.
Soit (zn ) une suite de complexes et ℓ ∈ C. On dit que « (zn ) converge vers ℓ » si l’on a lim | zn − ℓ| = 0.
n,+ ∞
Exercice 406. Montrer que la suite définie par zn =
in +1
n+i
converge.
Remarques.
• On peut par exemple établir l’unicité de la limite d’une suite de complexes, mais toutes les
formules de la partie B1.2.2 qui font intervenir des inégalités ne seront plus vraies dans C.
• Il n’existe pas de notion de « limite infinie » dans le cas des suites complexes. Certes, on peut considérer
les suites (zn ) telles que |zn | −→ +∞, mais cette propriété recouvre un grand nombre de cas distincts
n,+ ∞
(la suite peut s’éloigner de l’origine en se déplaçant le long d’une droite, d’une spirale, ou de n’importe
quelle courbe).
En raisonnant comme dans le cas réel, on peut établir le résultat suivant.
Théorème 407.
Toute suite convergente de complexes est bornée.
Démonstration. Résultat admis.
On peut enfin donner le résultat suivant.
Théorème 408.
Soit (zn ) une suite de complexes et ℓ ∈ C. Les propriétés suivantes sont équivalentes.
i ) lim zn = ℓ;
n,+ ∞
ii ) lim Re(zn ) = Re(ℓ) et lim I m(zn ) = I m(ℓ);
n,+ ∞
n,+ ∞
De plus, si ℓ 6= 0 et ∀n ∈ N, zn 6= 0, lim |zn | = |ℓ| et lim arg(zn ) ≡ arg(ℓ) [2π ], alors lim zn = ℓ.
n,+ ∞
n,+ ∞
n,+ ∞
Pour étudier une suite z = (zn ) de complexes, il suffit donc d’étudier les suites Re(z) et I m(z), ou les suites
|z| et arg(z).
Démonstration. Résultat admis.
Exemple 409. On a lim e
n,+ ∞
2iπ
n
= 1.
98
Limites de suites
Chapitre
B2
Limites de fonctions et continuité
Dans ce chapitre, la lettre I désignera un intervalle véritable de R, c’est-à-dire un intervalle de R non vide
et non réduit à un point. Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre seront, sauf mention contraire, à
valeurs réelles.
B2.1 Limites : définitions et exemples
B2.1.1
Généralités
Notion de voisinage
Définition 410.
Soit J un intervalle dont les bornes sont des réels a et b, avec a 6 b. La quantité b − a est alors appelée « l’amplitude de
J. »
On donne la définition suivante, qui n’est pas canonique, mais permettra de simplifier les résultats énoncés
dans la suite.
Définition 411.
On appelle « point-limite » tout objet de l’une des formes suivantes : +∞, −∞, x0 , x0+ ou x0− , pour x0 ∈ R.
Définition 412.
Pour tout réel x0 , on pose les définitions suivantes :
• tout intervalle de la forme ] x0 − δ, x0 + δ[ avec δ > 0 est appelé « un voisinage de x0 ; »
• tout intervalle de la forme ] x0 , x0 + δ[ avec δ > 0 est appelé « un voisinage de x0+ ; »
• tout intervalle de la forme ] x0 − δ, x0 [ avec δ > 0 est appelé « un voisinage de x0− ; »
• tout intervalle de la forme ] B, +∞[ avec B > 0 est appelé « un voisinage de +∞ ; »
• tout intervalle de la forme ] − ∞, B[ avec B < 0 est appelé « un voisinage de −∞. »
L’ensemble des voisinages d’un point-limite α est noté V (α).
Remarque. Tout voisinage d’un point-limite est un intervalle ouvert et véritable, car on a pris δ > 0.
Définition 413.
Soit α un point-limite et P( x) une propriété dépendant d’un réel x. On dit que « P( x) est vraie au voisinage de α » s’il
existe un voisinage V de α tel que P( x) soit vraie pour tout x ∈ V.
Exemples 414.
• Dire que f : R → R est non nulle au voisinage de +∞ c’est dire que l’on a
∃ B ∈ R, ∀ x ∈] B, +∞[, f ( x) 6= 0.
• Soit x0 un réel. Dire que f : I → R est définie au voisinage de x0 c’est dire que l’on a
∃δ > 0, ] x0 − δ, x0 + δ[⊂ I.
100
Limites de fonctions et continuité
Fonctions majorées, minorées
Définition 415.
Soit f : I → R. On dit que f est minorée, majorée ou bornée lorsque l’ensemble f ( I ) l’est lui-même. En d’autres termes,
on a :
• f est minorée si et seulement si il existe un réel m tel que ∀ x ∈ I, m 6 f ( x);
• f est majorée si et seulement si il existe un réel M tel que ∀ x ∈ I, f ( x) 6 M;
• f est bornée si et seulement si il existe des réels m, M tels que ∀ x ∈ I, m 6 f ( x) 6 M.
Définition 416.
Si f : I → R est majorée, on note sup( f ) ou sup( f ( x)) le réel défini par sup{ f ( x); x ∈ I } = sup( f ( I )).
I
x∈ I
De même, si f : I → R est minorée, on note inf( f ) ou inf ( f ( x)) le réel défini par inf{ f ( x); x ∈ I } = inf( f ( I )).
I
x∈ I
Remarque. La borné supérieure d’une fonction n’est pas forcément atteinte. Lorsque c’est le cas, c’est-à-dire
lorsqu’il existe x0 ∈ I tel que sup( f ( x)) = f ( x0 ), alors la borne supérieure sera appelée le « maximum de f » et
x∈ I
sera notée max( f ( x)) (de même, si la borne inférieure est atteinte elle est appelée le minimum de la fonction).
x∈ I
B2.1.2
Définition des limites à l’aide de la notion de voisinage
Nous donnons ci-dessous la définition générale de la notion de limite. Celle-ci n’étant pas au programme
officiel, on se contentera en pratique d’utiliser les définitions données « au cas par cas » dans les sections
suivantes.
Définition 417.
Soit f : I → R et α, β deux points-limites tels que α est soit un élément de I soit l’une des bornes de I. On dit alors que
« f tend vers β en α », ce qui sera noté lim f ( x) = β, si l’on a
x →α
∀V ∈ V ( β), ∃W ∈ V (α), ∀ x ∈ I, ( x ∈ W ⇒ f ( x) ∈ V ) .
Lorsque f possède une limite finie au voisinage de α, on dit que « f converge en α ». Dans le cas contraire, on dit que « f
diverge en α. »
Remarque. Il existe deux types de fonctions divergentes en un point-limite : celles qui ne possèdent pas de
limite (comme x 7→ cos x en +∞, voir l’exemple 429), et celles qui possèdent une limite infinie.
B2.1.3
Limite en un réel x0
Définition 418.
Soient f : I → R une fonction, x0 un réel qui est soit dans I soit l’une des bornes de I, et β un point-limite. On dit que
« f tend vers β en x0 », ce qui sera noté lim f ( x) = β, si l’on est dans l’un des cas suivants :
x → x0
• β = +∞ et
∀ A > 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ I, (| x − x0 | < δ ⇒ f ( x) > A) .
• β = −∞ et
• β ∈ R et
∀ A < 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ I, (| x − x0 | < δ ⇒ f ( x) < A) .
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ I, (| x − x0 | < δ ⇒ | f ( x) − β| < ε) .
Remarque. En observant que l’on a | x − x0 | < δ ⇐⇒ x ∈] x0 − δ, x0 + δ[, on peut démontrer que cette définition
est bien équivalente à celle qui avait été donnée en termes de voisinage.
Exercice 419. Soit x0 ∈ R. Montrer que lim 2x = 2x0 .
x → x0
101
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
B2.1.4
Limites à gauche et à droite d’un réel x0
Définition 420.
Soient f : I → R une fonction, x0 un réel qui est soit dans I soit égal à la borne inférieure de I, et β un point-limite. On
dit que « f tend vers β en x0+ », ou que « f tend vers β par valeurs supérieures en x0 », ce qui sera noté lim+ f ( x) = β ou
x → x0
lim f ( x) = β, si l’on est dans l’un des cas suivants :
>
x → x0
• β = +∞ et
∀ A > 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ I, (0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x) > A) .
• β = −∞ et
∀ A < 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ I, (0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x) < A) .
• β ∈ R et
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ I, (0 < x − x0 < δ ⇒ | f ( x) − β| < ε) .
Définition 421.
Soient f : I → R, x0 un réel qui est soit dans I soit égal à la borne supérieure de I, et β un point-limite. On dit que « f tend
vers β en x0− », ou que « f tend vers β par valeurs inférieures en x0 », ce qui sera noté lim− f ( x) = β ou lim f ( x) = β,
x → x0
si l’on est dans l’un des cas suivants :
<
x → x0
• β = +∞ et
∀ A > 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ I, (−δ < x − x0 < 0 ⇒ f ( x) > A) .
• β = −∞ et
∀ A < 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ I, (−δ < x − x0 < 0 ⇒ f ( x) < A) .
• β ∈ R et
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ I, (−δ < x − x0 < 0 ⇒ | f ( x) − β| < ε) .
On a le résultat suivant.
Théorème 422.
Soient x0 ∈ R, f une fonction définie sur un voisinage de x0 , et β un point-limite. On a alors :
lim f ( x) = β ⇒
x → x0
Démonstration. Voir les notes de cours.



 lim− f ( x ) = β
x → x0


 lim+ f ( x ) = β
x → x0
Remarque. On peut voir sur un dessin que la réciproque de ce théorème n’est pas vraie en général, mais on
dispose d’un cas particulier de celle-ci : le théorème 455.
1
1
1
= −∞ et lim+ = +∞, ce qui permet de déduire du théorème ci-dessus que x 7→
x
x
x →0 x
ne possède pas de limite en 0.
Exemple 423. On a lim−
x →0
B2.1.5
Limite en +∞ ou −∞
Définition 424.
Soient I un intervalle de R dont la borne supérieure est +∞, une fonction f : I → R, et β un point-limite. On dit que « f
tend vers β en +∞ », ce qui sera noté lim f ( x) = β, si l’on est dans l’un des cas suivants :
• β = +∞ et
x →+ ∞
∀ A > 0, ∃ B > 0, ∀ x ∈ I, ( x > B ⇒ f ( x) > A) .
• β = −∞ et
• β ∈ R et
∀ A < 0, ∃ B > 0, ∀ x ∈ I, ( x > B ⇒ f ( x) < A) .
∀ε > 0, ∃ B > 0, ∀ x ∈ I, ( x > B ⇒ | f ( x) − β| < ε) .
102
Limites de fonctions et continuité
1
x →+ ∞ x
Exercice 425. Montrer lim x2 = +∞ et lim
x →+ ∞
= 0.
Définition 426.
Soient I un intervalle de R dont la borne inférieure est −∞, une fonction f : I → R, et β un point-limite. On dit que « f
tend vers β en −∞ », ce qui sera noté lim f ( x) = β, si l’on est dans l’un des cas suivants :
x →− ∞
• β = +∞ et
∀ A > 0, ∃ B < 0, ∀ x ∈ I, ( x < B ⇒ f ( x) > A) .
• β = −∞ et
∀ A < 0, ∃ B < 0, ∀ x ∈ I, ( x < B ⇒ f ( x) < A) .
• β ∈ R et
∀ε > 0, ∃ B < 0, ∀ x ∈ I, ( x < B ⇒ | f ( x) − β| < ε) .
B2.2 Premiers résultats sur les limites
B2.2.1
Quelques résultats sur la notion de limite
Résultats fondamentaux
Théorème 427 (Unicité de la limite).
Soient α, β, β′ trois points-limites, et f : I → R où α est soit un élément de I soit l’une des bornes de I. Alors

lim f ( x) = β 
x →α
lim f ( x) = β′ 
x →α
⇒ β = β′
Démonstration. Résultat admis (la preuve est analogue à celle de l’unicité de la limite d’une suite).
Théorème 428 (Caractérisation séquentielle de la limite).
Soient f : I → R une fonction, α, β deux points-limites tels que α est soit un élément de I, soit l’une des bornes de I.
Alors lim f ( x) = β si et seulement si pour toute suite (un )n∈N d’éléments de I tendant vers α, on a lim f (un ) = β.
x →α
n,+ ∞
Démonstration. Voir les notes de cours (la condition suffisante est admise).
Exercice 429. Montrer que la fonction x 7→ cos x ne possède pas de limite en +∞.
Théorème 430 (Composition des limites).
Soient J un intervalle véritable de R, deux fonctions f : I → J et g : J → R, ainsi que trois points-limites α, β, γ tels que
α ∈ I (ou est éventuellement l’une de ses bornes) et β ∈ J (ou est éventuellement l’une de ses bornes). Alors

lim f ( x) = β 
x →α
g ◦ f ( x) = γ
lim g( x) = γ  ⇒ xlim
→α
x→ β
Démonstration. Voir les notes de cours (on fait la preuve dans le cas où α, β, γ sont des réels).
Exemple 431. Démontrer que lim x x = 1.
x →0
Exercice 432. Soit α ∈ R. Montrer les résultats suivants.
x
lim α =
x,+ ∞



 +∞



1
0
si α > 1
si α = 1
si 0 < α < 1
Exercice 433. Retrouver la valeur de lim Arctan( x).
x →+ ∞
α
lim x =
x,+ ∞



 +∞



1
0
si α > 0
si α = 0
si α < 0
103
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Interaction entre la limite et l’ordre sur les réels
Théorème 434.
Soient f : I → R, α un point-limite tels que α est soit un élément de I soit l’une des bornes de I, et ℓ un réel tels que
lim f ( x) = ℓ. Alors f est bornée au voisinage de α.
x →α
Démonstration. Voir les notes de cours (on fait la preuve dans le cas α = +∞).
Exercice 435. Montrer que si une fonction possède une limite finie ℓ 6= 0 en un point-limite α, alors f est non
nulle au voisinage de α (faire un raisonnement analogue à celui vu dans le cas de suites).
Théorème 436 (Prolongement des inégalités).
Soient f : I → R, α un point-limite tels que α est soit un élément de I soit l’une des bornes de I, et a, b des réels. On
suppose que f possède une limite finie en α et que
∀ x ∈ I, a < f ( x) < b.
On a alors
a 6 lim f ( x) 6 b.
x →α
Démonstration. Résultat admis (preuve analogue à celle effectuée dans le cas des suites).
Théorème 437.
Soient f , g : I → R, et α un point-limite tels que α est soit un élément de I soit l’une des bornes de I. Supposons en outre
que
i ) ∀ x ∈ I, f ( x) > g( x) ;
ii ) lim g( x) = +∞.
x →α
Alors lim f ( x) = +∞.
x →α
Démonstration. Résultat admis (preuve analogue à celle effectuée dans le cas des suites).
Exemple 438. On a ex > 1 + x si x > 0, d’où lim ex = +∞.
x →+ ∞
Lemme 439 (Lemme des gendarmes).
Soient f , g, h : I → R, α un point-limite tels que α est soit un élément de I soit l’une des bornes de I, et ℓ un réel. On
suppose encore :
• ∀ x ∈ I, g( x) 6 f ( x) 6 h( x);
• lim g( x) = lim h( x) = ℓ.
x →α
x →α
Alors ( f possède une limite lorsque x tend vers α et) lim f ( x) = ℓ.
x →α
Démonstration. Résultat admis (preuve analogue à celle effectuée dans le cas des suites).
Exercice 440. Montrer lim
x →+ ∞
x
sin x
= 0 et lim x ln x = 0.
x,
+
∞
x
e
Remarque. Le résultat reste vrai si ℓ = ±∞.
Théorème 441.
Soient f , g : I → R, α un point-limite tels que α est soit un élément de I soit l’une des bornes de I. On suppose encore :
• il existe ℓ ∈ R tel que ∀ x ∈ I, | f ( x) − ℓ| 6 g( x);
• lim g( x) = 0.
x →α
Alors lim f ( x) = ℓ.
x →α
Démonstration. Résultat admis (preuve analogue à celle effectuée dans le cas des suites).
1
x
Å ã
Exercice 442. Montrer que lim x cos
x →0
= 0.
Théorème 443.
Soient f , g : I → R, α un point-limite tels que α est soit un élément de I soit l’une des bornes de I. On suppose encore :
104
Limites de fonctions et continuité
• f est bornée ;
• lim g( x) = 0.
x →α
Alors lim f ( x) · g( x) = 0.
x →α
Démonstration. Voir les notes de cours.
ecos ( x )
= 0.
x →+ ∞
x
Exercice 444. Montrer que lim
B2.2.2
Opérations élémentaires sur les limites
Les résultats de cette section seront admis (les démonstrations sont analogues à celles vues dans le cas des
suites).
Produit par un réel
Théorème 445.
Soient f : I → R, α un point-limite tels que α est soit un élément de I soit l’une des bornes de I, et ℓ un réel tels que
lim f ( x) = ℓ. Pour tout réel λ on a alors lim λ f ( x) = λℓ.
x →α
x →α
Limite d’une somme de deux fonctions
Théorème 446.
Soient f , g : I → R, α un point-limite tels que α est soit un élément de I, soit l’une des bornes de I, et ℓ, ℓ′ deux réels tels
que lim f ( x) = ℓ et lim g( x) = ℓ′ . On a alors lim ( f ( x) + g( x)) = ℓ + ℓ′ .
x →α
x →α
x →α
Remarque. Il est erroné de penser que si l’on a par exemple lim ( f ( x) − g( x)) = 0, alors lim f ( x) = lim g( x).
x →α
x →α
x →α
Cela n’est vrai que si ces deux fonctions possèdent une limite : un contre-exemple est donné par f ( x) = g( x) =
cos x.
Limite de la puissance d’une fonction
Théorème 447.
Soient f : I → R une fonction à valeurs strictement positives, α un point-limite tels que α est soit un élément de I soit
l’une des bornes de I, et ℓ > 0 tels que lim f ( x) = ℓ. Soit encore a > 0. Alors on a lim f ( x) a = ℓa .
x →α
x →α
Remarque. On peut démontrer ce théorème en utilisant la continuité de la fonction x 7→ x a sur son domaine de
définition, voir la section B2.4.
Limite d’un produit de deux fonctions
Théorème 448.
Soient f : I → R, α un point-limite tels que α est soit un élément de I soit l’une des bornes de I, et ℓ, ℓ′ des réels tels que
lim f ( x) = ℓ et lim g( x) = ℓ′ . On a alors lim ( f ( x) × g( x)) = ℓ × ℓ′ .
x →α
x →α
x →α
Limite d’un quotient de deux fonctions
Théorème 449.
Soient f : I → R, α un point-limite tels que α est soit un élément de I soit l’une des bornes de I, et ℓ, ℓ′ deux réels et f , g
deux fonctions définies sur un voisinage de α telles que lim f ( x) = ℓ et lim g( x) = ℓ′ . Si g ne s’annule pas au voisinage
ℓ
f ( x)
= ′.
de α, et si ℓ′ 6= 0, alors on a lim
x →α g( x )
ℓ
x →α
x →α
B2.3. LE THÉORÈME DE LA LIMITE MONOTONE
105
Changement de variable
On donne encore le théorème suivant, qui n’est que le cas particulier d’un énoncé plus général.
Théorème 450 (Changement de variable).
Soient f : I → R, α un point-limite tels que α est soit un élément de I soit l’une des bornes de I. On a alors les résultats
suivants.
i ) Si α = 0+ , on a pour tout point-limite β :
1
u
= β,
1
u
= β.
Å ã
lim+ f ( x) = β ⇐⇒
x →0
lim f
u →+ ∞
ii ) Si α = 0− , on a pour tout point-limite β :
Å ã
lim− f ( x) = β ⇐⇒
x →0
lim f
u →− ∞
iii ) Si α = x0 ∈ R, on a pour tout point-limite β :
lim f ( x) = β ⇐⇒ lim f ( x0 + h) = β.
x → x0
h →0
Démonstration. On se contente de prouver i ), les points ii ) et iii ) se démontrant de manière analogue.
Remarque. Il faut prendre le temps de bien comprendre les énoncés ci-dessus : chacun d’eux trois indique que
si l’une des deux fonctions considérées possède une limite, alors l’autre en possède également une, et alors ces
deux limites sont égales.
Exemple 451. Montrer que lim+ x ln x = 0.
x →0
B2.3 Le théorème de la limite monotone
Les théorèmes suivants sont l’expression fonctionnelle du théorème de la limite monotone vu dans le cadre
des suites.
Théorème 452 (Théorème de la limite monotone, version fonctionnelle).
Soient a, b qui sont soit des réels soit égaux à ±∞, de sorte que a < b, et f :] a, b[→ R une fonction. Si la fonction f est
croissante sur ] a, b[, alors elle admet une limite, finie ou infinie, en a et en b. Plus précisement, on a :
i)
• si f n’est pas majorée sur ] a, b[, alors lim− f ( x) = +∞.
x →b
• si f est majorée sur ] a, b[, alors f possède une limite finie en b− .
ii )
• si f n’est pas minorée sur ] a, b[, alors lim+ f ( x) = −∞.
x→a
• si f est minorée sur ] a, b[, alors f possède une limite finie en a+ .
Démonstration. Résultat admis (preuve analogue à celle effectuée dans le cas des suites).
Théorème 453 (Théorème de la limite monotone, version fonctionnelle, bis).
Soient a, b qui sont soit des réels soit égaux à ±∞, de sorte que a < b, et f :] a, b[→ R une fonction. Si la fonction f est
décroissante sur ] a, b[, alors elle admet une limite, finie ou infinie, en a et en b. Plus précisement, on a :
i)
• si f n’est pas majorée sur ] a, b[, alors lim+ f ( x) = +∞;
x→a
• si f est majorée sur ] a, b[, alors f possède une limite finie en a+ .
ii )
• si f n’est pas minorée sur ] a, b[, alors lim− f ( x) = −∞;
x →b
• si f est minorée sur ] a, b[, alors f possède une limite finie en b− .
Démonstration. Résultat admis (preuve analogue à celle effectuée dans le cas des suites).
106
Limites de fonctions et continuité
B2.4 Continuité et dérivabilité en un point
B2.4.1
Continuité en un point
Définition 454.
Soient f : I → R et x0 ∈ I. On dit que :
• « f est continue en x0 » si lim f ( x) = f ( x0 ).
x → x0
• f est « continue à droite » (resp. à gauche) de x0 si lim+ f ( x) = f ( x0 ) (resp. lim− f ( x) = f ( x0 )).
x → x0
x → x0
Le résultat suivant montre qu’une fonction est continue en un point si et seulement si elle est continue à
gauche et à droite en ce point.
Théorème 455.
Soient f : I → R une fonction et x0 ∈ I. On a alors :
lim f ( x) = f ( x0 ) ⇐⇒
x → x0
Démonstration. Voir les notes de cours.


f ( x ) = f ( x0 )

xlim
→x−
0


 lim+ f ( x ) = f ( x0 )
x → x0
Remarque. On peut définir la « limite lorsque x tend vers x0 par valeurs différentes de x0 », ce qui se note
lim f ( x). Le raisonnement ci-dessus montre alors que l’on a :
x → x0
6=
lim f ( x) = f ( x0 ) ⇐⇒ lim f ( x) = f ( x0 ).
x → x0
x → x0
6=
Exemple 456. La fonction définie par f ( x) =
(
x
1
si x > 0
si x < 0
Exercice 457. Montrer que la fonction définie par f ( x) =
(
n’est pas continue en 0.
x ln x
0
si x > 0
sinon
est continue en 0.
Définition 458.
Soient f : I → R. On dit que « f est continue sur I » si elle est continue en chacun des réels x0 ∈ I.
Remarque. Il a été dit en Terminale que les fonctions continues sont celles que l’on peut « tracer sans lever le
stylo. » Cette notion est informelle et ne peut donc pas être utilisée dans une démonstration, mais il peut être
utile de la garder à l’esprit puisqu’elle permet d’appréhender la majorité des exemples rencontrés au concours.
Exercice 459. Montrer que la fonction de l’exercice précédent est continue sur R.
Remarque. L’exemple 456 montre que si f est continue sur [ a, b] d’une part et sur ]b, c] d’autre part, alors elle
n’est pas forcément continue sur [ a, c].
Méthode (Continuité d’un recollement de fonctions continues). Soit une fonction f qui est définie par un recollement en x0 de deux fonctions g et h, c’est-à-dire
f ( x) =
(
g( x )
h( x )
si x > x0
si x < x0
Si g est continue sur ] x0 , +∞[ et h sur ] − ∞, x0 [, on en déduit que f l’est en tout point x 6= x0 . Pour déterminer
si f est continue en x0 il suffit, en vertu du théorème précédent, de vérifier si
lim f ( x) = lim+ f ( x) = f ( x0 )
x → x0−
x → x0
x → x0
x → x0
⇐⇒ lim− h( x) = lim+ g( x) = g( x0 )
107
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Théorème 460 (Théorème d’inversion des limites).
Soient I, J deux intervalles véritables de R et f : I → J une fonction bijective, strictement monotone et continue. Soit
encore α (resp. β) un point-limite, qui est un élément ou l’une des bornes de I (resp. J). On a :
lim f ( x) = β ⇐⇒ lim f −1 ( x) = α
x →α
x→ β
Démonstration. Voir les notes de cours.
Le résultat suivant, énoncé dans le chapitre sur les limites des suites, peut enfin être établie.
Exercice 461. Soient I un intervalle véritable fermé, et f : I → I une fonction continue. On suppose que la suite
(un ) définie par un+1 = f (un ) et u0 ∈ I converge vers un réel ℓ. Alors on a f (ℓ) = ℓ.
B2.4.2
Dérivabilité en un point
Définition 462 (Taux d’accroissement).
Soient f : I → R une fonction et x0 ∈ I. On appelle « taux d’accroissement de f en x0 », et l’on note ∆ f ,x0 la fonction
définie pour tout x ∈ I \ { x0 } par :
f ( x ) − f ( x0 )
.
∆ f ,x0 ( x) =
x − x0
Définition 463.
Soient f : I → R une fonction et x0 ∈ I.
• On dit que « f est dérivable en x0 » si son taux d’accroissement admet une limite finie en x0 ; on note alors f ′ ( x0 )
cette limite.
• On dit que « f est dérivable à droite » (resp. à gauche) de x0 si son taux d’accroissement admet une limite finie en
x0+ (resp. x0− ).
Exemple 464. La fonction f : x 7→ x2 est dérivable en tout réel x0 , de sorte que f ′ ( x0 ) = 2x0 .
Théorème 465.
Soient f : I → R une fonction et x0 ∈ I. On a alors
f est dérivable en x0 ⇐⇒

 f est dérivable à gauche et à droite en x0
∆ f ,x0 ( x) = lim+ ∆ f ,x0 ( x)
 et xlim
→ x0−
x → x0
Démonstration. Voir les notes de cours.
Rappelons le résultat suivant.
Théorème/définition 466.
Soit f : I → R une fonction dérivable en a. On appelle « tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a »
la droite passant par le point de coordonnées ( a, f ( a)) et de coefficient directeur f ′ ( a). Cette tangente admet donc pour
équation :
y = f ′ ( a)( x − a) + f ( a).
Exemple 467. La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0. Graphiquement, cela correspond au fait que
sa courbe représentative présente un point anguleux en x = 0, et qu’on ne peut donc pas définir de tangente en
ce point.
Exercice 468. La fonction définie par f ( x) =
(
x
x2
si x > 0
si x < 0
est-elle continue en 0 ? Dérivable ?
Méthode (Dérivabilité d’un recollement de fonctions dérivables). Soit une fonction f qui est définie par un
recollement en x0 de deux fonctions g et h, c’est-à-dire
f ( x) =
(
g( x )
h( x )
si x > x0
si x < x0
Si d’une part g est dérivable sur ] x0 , +∞[, et d’autre part h l’est sur ] − ∞, x0 [, on en déduit que f est dérivable
en tout x 6= x0 .
Pour déterminer si f est dérivable en x0 , il suffit de vérifier si les limites lim+ ∆ f ,x0 ( x) et lim− ∆ f ,x0 ( x) (c’està-dire lim+ ∆g,x0 ( x) et lim− ∆h,x0 ( x)) sont finies et égales, ou pas.
x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
108
Limites de fonctions et continuité
Définition 469.
Soit f : I → R. On dit que « f est dérivable sur I », si elle est dérivable en chacun des réels x0 ∈ I. On peut alors définir
une fonction notée f ′ , appelée « dérivée de f », en posant
f′ :
I →
x0 →
R
lim ∆ f ,x0 ( x)
x → x0
Théorème 470.
Soient f : I → R, et x0 ∈ I. Si f dérivable en x0 , alors f est continue en x0 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Corolaire 471.
Toute fonction dérivable est continue.
Démonstration. Il suffit d’utiliser le résultat précédent, en chaque réel x0 de l’intervalle de définition de la
fonction considérée.
B2.5 Interprétation du taux d’accroissement comme une approximation affine
Le résultat suivant montre qu’au voisinage de x0 , la distance entre la courbe représentative C f de f et la
tangente au point M ( x0 , f ( x0 )) (d’équation y = f ′ ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )) tend vers 0 : cette tangente peut donc
être interprétée comme une approximation de C f au voisinage de x0 .
Théorème 472.
Soient x0 ∈ I et f : I → R une fonction dérivable en x0 . Il existe alors une fonction ε : I → R telle que

∀ x ∈ I, f ( x ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )ε( x )
 lim ε( x ) = 0
x → x0
Démonstration. Voir les notes de cours.
Le théorème suivant s’avère être un outil très puissant pour lever des indéterminations : il s’agit d’un
prémisse de la théorie des développements limités, que nous étudierons plus tard dans l’année.
Corolaire 473 (Développement limité à l’ordre 1 des fonctions usuelles en 0).
Soit f : I → R une fonction dérivable en 0. Il existe alors une fonction ε : I → R telle que

∀ x ∈ I, f ( x ) = f (0) + f ′ (0) x + xε( x )
 lim ε( x ) = 0
x →0
On en déduit, pour tout x appartenant au domaine de définition des fonctions considérées ci-dessous :
ex = 1 + x + xε 2 ( x)
cos( x) = 1 + xε 3 ( x)
1
1
sin( x) = x + xε 4 ( x)
= 1 − x + xε 5 ( x)
= 1 + x + xε 6 ( x)
1
+
x
1
−
x
√
1 + x = 1 + 21 x + xε 7 ( x) (1 + x)α = 1 + αx + xε 8 ( x) où α est un réel fixé
ln(1 + x) = x + xε 1 ( x)
où chacun des symboles ε n apparaissant ici désigne une fonction telle que lim ε n ( x) = 0.
x →0
Démonstration. Il suffit d’appliquer le théorème 472 en x0 = 0 à chacune des fonctions f considérées.
sin x
ex − 1
et lim
.
x →0 x
x →0
x
Exercice 474. Calculer lim
Remarque. Utiliser un développement limité à l’ordre 1 pour calculer une limite revient à faire apparaître un
taux d’accroissement.
Exercice 475. Calculer lim+ √
x →0
sin x3
x3 + 1 − 1
.
Å
Exercice 476. Soit a > 0. Montrer que lim 1 +
n,+ ∞
a
n
ãn
= ea .
B2.6. FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES
109
B2.6 Fonctions à valeurs complexes
On rappelle la définition suivante.
Définition 477.
On appelle « fonction à valeurs complexes » toute fonction f : J → C, où J est une partie de R, telle qu’il existe deux
fonctions a : J → R et b : J → R telles que
∀ x ∈ J, f ( x) = a( x) + ib( x).
La notion de limite s’étend naturellement aux fonctions à valeurs complexes.
Définition 478.
Soient α un point-limite qui est dans I ou est l’une des bornes de I, f : I → C et ℓ ∈ C. On dit que « f tend vers ℓ en α »,
ce qui sera noté lim f ( x) = ℓ, si on a lim Re( f ( x)) = Re(ℓ) et lim I m( f ( x)) = I m(ℓ).
x →α
x →α
x →α
Remarque. On peut démontrer que f : I → C tend vers ℓ en x0 si et seulement si
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ I, (| x − x0 | < δ ⇒ | f ( x) − ℓ| < ε) ,
étant entendu que | x − x0 | est une valeur absolue et | f ( x) − ℓ| est un module.
Tous les résultats énoncés dans les parties précédentes n’ont pas nécessairement un sens dans le cas des
fonctions f : I → C, pour la simple raison qu’il n’existe pas d’ordre naturel sur C : c’est par exemple le cas du
théorème de la limite monotone, puisque la notion de fonction monotone à valeurs dans C n’est pas définie.
On peut par exemple noter que tous les théorèmes énoncés dans la section B2.2.2 sont encore valables pour les
fonctions à valeurs dans C.
Définition 479.
Soient x0 ∈ I, a : I → R, b : I → R et f la fonction définie par f ( x) = a( x) + ib( x). On dit que :
• f est « continue en x0 » si a et b sont continues en x0 ;
• f est « dérivable en x0 » si a et b sont dérivables en x0 , et par définition on a alors f ′ ( x0 ) = a′ ( x0 )+ ib′ ( x0 ).
Théorème 480.
Soient x0 ∈ I et f : I → C. Alors f est continue en x0 si et seulement si lim f ( x) = f ( x0 ).
x → x0
Démonstration. Facile.
B2.7 Étude des fonctions continues
B2.7.1
Propriétés élémentaires
Opérations sur les fonctions continues
Théorème 481 (Stabilité de la continuité pour les opérations usuelles).
Soient f : I → R et g : I → R deux fonctions continues. On a alors les résultats suivants.
• x 7→ λ f ( x) + µg( x) est continue sur I pour tout (λ, µ) ∈ R2 .
• x 7→ f ( x) g( x) est continue sur I.
• si g ne s’annule pas sur I, alors x 7→
f (x)
g( x )
est continue sur I.
Démonstration. Résultat admis (il suffit d’utiliser les résultats de la section B2.2.2).
Théorème 482 (Stabilité par composition).
Soient J un intervalle véritable de R, ainsi que deux fonctions g : I → J et f : J → R, respectivement continues sur I et
J. Alors la fonction f ◦ g est continue sur I.
Démonstration. Il suffit d’utiliser le théorème de composition des limites.
110
Limites de fonctions et continuité
Continuité des fonctions usuelles
Théorème 483.
Les fonctions suivantes sont continues sur leur domaine de définition, comme indiqué.
x 7→ ax + b sur R, pour tout ( a, b) ∈ R2 x 7→ xn sur R, pour tout n ∈ N
x 7→
1
∗
x sur R
ex sur R
x 7→ | x|, sur R
x 7→ ln x sur R ∗+
x 7→ cos x sur R
x 7→
x 7→ xα sur R ∗+ , pour tout α ∈ R
√
x 7→ x sur R + ¶
©
x 7→ tan x sur R \ π2 + kπ; k ∈ Z
x 7→ sin x sur R
Démonstration. Résultat admis (dans la plupart des cas il suffit d’invoquer soit les résultats précédents, soit de
prouver la dérivabilité de la fonction considérée).
Exemples 484.
• La fonction f définie sur R par f ( x) = xex − x2 + 1 est continue, en tant que combinaison
linéaire et produit de fonctions continues sur cet ensemble.
• Toute fonction polynômiale est continue sur R en tant que combinaison linéaire de fonctions continues.
√
√ x est continue en tant que quotient de
• Puisque x 7→ x ne s’annule pas sur R ∗+ , la fonction x 7→ ln
x
fonctions continues sur cet ensemble.
• La fonction f définie sur R ∗+ par f ( x) = x
continues.
√
x
est continue, en tant que composée et produit de fonctions
Prolongement par continuité
Théorème 485 (Prolongement d’une fonction continue).
Soient b ∈ I, et f : I \ {b} → R une fonction continue en tout réel x ∈ I \ {b}. On suppose qu’il existe y ∈ R tel que
lim f ( x) = lim+ f ( x) = y.
x →b−
x →b
Alors, la fonction définie par
f˜( x) =
(
f ( x)
y
si x 6= b
si x = b
est continue sur I. On dit que f˜ est un « prolongement par continuité » de f sur I.
Démonstration. Voir les notes de cours.
1
x
Å ã
Exemple 486. La fonction définie par f ( x) = x cos
Exercice 487. Montrer que f : x 7→
B2.7.2
se prolonge par continuité sur R.
ln(1 + x)
√
se prolonge en une fonction continue sur [0, +∞[.
x
Propriétés fondamentales
Le théorème des valeurs intermédiaires
Le résultat suivant montre qu’une fonction continue qui change de signe est contrainte de s’annuler. Lors de
l’étude des variations d’une fonction f de classe C 1 , on en déduit que f ′ est de signe constant sur les intervalles
où elle ne s’annule pas, et donc que f est strictement monotone sur ceux-ci.
Théorème 488 (Théorème des valeurs intermédiaires, 1ière version).
Soient f : I → R une fonction continue, et a 6 b deux réels de I. Si f ( a) f (b) 6 0, alors il existe c ∈ [ a, b] tel que
f (c) = 0.
Démonstration. Voir les notes de cours.
111
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Exemple 489. Considérons une fonction polynomiale de la forme f ( x) = x3 + ax2 + bx + c. Puisque lim f ( x) =
x →+ ∞
+∞, on en déduit que f est à valeurs positives pour x supérieur à un réel A donné. De même, comme
lim f ( x) = −∞, il vient que f est à valeurs négatives pour x inférieur à un réel A′ donné. On déduit du
x →− ∞
théorème des valeurs intermédiaires (appliqué à f sur [ A′ , A]) que f s’annule en au moins un réel x ∈ [ A′ , A].
On a ainsi démontré que toute fonction polynomiale de degré 3 possède une racine réelle (ce résultat se généralise à tous les polynômes de degré impair).
Exercice 490. Montrer que toute fonction f : [0, 1] → [0, 1] continue possède un point fixe.
Théorème 491 (Théorème des valeurs intermédiaires, 2nde version).
Soit f : I → R une fonction continue, et a 6 b deux réels de I. Alors pour tout y compris entre f ( a) et f (b), il existe
c ∈ [ a, b] tel que f (c) = y.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Corolaire 492.
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Démonstration. Résulte du théorème des valeurs intermédiaires et du lemme suivant.
Lemme 493.
Soit J ⊂ R. Alors J est un intervalle si et seulement si
∀( x1 , x2 ) ∈ J 2 , ∀y ∈ R, ( x1 6 y 6 x2 ⇒ y ∈ J ) .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 494 (Théorème de la bijection monotone).
Soit f : I → R une fonction strictement monotone et continue. Alors f réalise une bijection de I sur f ( I ), sa bijection
réciproque f −1 : f ( I ) → I est continue sur f ( I ), et elle est de même monotonie que f .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Existence du minimum et du maximum d’une fonction continue sur un intervalle fermé
Définition 495.
On appelle « segment de R » tout intervalle de la forme [ a, b], avec a 6 b des réels.
Le résultat suivant indique que toute fonction continue sur un segment y possède une valeur maximale et
une valeur minimale, ou autrement dit que « toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses
bornes ».
Théorème 496.
Soient a 6 b des réels, et f : [ a, b] → R une fonction continue. Il existe alors (α, β) ∈ [ a, b]2 tels que
∀ x ∈ [a, b], f (α) 6 f ( x) 6 f ( β).
Démonstration. Résultat admis.
Remarques. — On peut encore reformuler la conclusion du théorème ci-dessus de la manière suivante : il
existe deux réels α, β dans [ a, b] tels que f (α) = inf f ( x) et f ( β) = sup f ( x).
x ∈[ a,b ]
x ∈[ a,b ]
— Ce résultat n’est plus vrai si l’on considère une fonction continue sur un intervalle quelconque. Prenons
par exemple la fonction définie par f ( x) = x sur l’intervalle ]0, 1]. On a inf f ( x) = 0, et pourtant f ne
prend jamais la valeur 0.
x ∈]0,1]
Corolaire 497.
Soient a 6 b des réels, et f continue sur [ a, b]. Il existe alors (α, β) ∈ [ a, b]2 tels que f ([ a, b]) = [ f (α), f ( β)] .
Bien entendu, si f est croissante on a α = a et β = b (le contraire si f est décroissante). Mais dans le cas
général, on ne peut déterminer α et β.
Démonstration. Voir les notes de cours.
112
Limites de fonctions et continuité
Remarque. Nous venons de démontrer que l’image d’un segment par une fonction continue est un segment, et
on peut déduire du théorème des valeurs intermédiaires que l’image d’un intervalle par une fonction continue
est un intervalle, mais gardez-vous de toute extension hâtive de ce résultat. Il est par exemple erroné de penser
que l’image d’un intervalle ouvert par une fonction continue est encore un intervalle
Un contre exemple
ó
ó ouvert.
1
est donné par la fonction définie par f ( x) = x(1 − x) sur ]0, 1[ : on a f (]0, 1[) = 0, 4 . De même, l’image par
une fonction continue d’un intervalle de la forme [ a, b[ n’est pas nécessairement de la forme [c, d[ (il suffit par
exemple de considérer une fonction strictement décroissante sur cet intervalle).
Chapitre
B3
Dérivation des fonctions d’une variable réelle
Dans ce chapitre, les lettres I et J désigneront des intervalles véritables de R et, sauf mention du contraire,
toutes les fonctions considérées seront à valeurs réelles.
B3.1 Dérivée d’une fonction en un point
B3.1.1
Rappels
Les notions suivantes ont été vues dans le chapitre sur les limites de fonctions. On se reportera donc à
celui-ci pour les démonstrations des résultats énoncés dans cette section.
Définition 498 (Taux d’accroissement).
Soient f : I → R une fonction et x0 ∈ I. On appelle « taux d’accroissement de f en x0 », et l’on note ∆ f ,x0 , la fonction
définie pour tout x ∈ I \ { x0 } par :
f ( x ) − f ( x0 )
.
∆ f ,x0 ( x) =
x − x0
Définition 499.
Soient f : I → R une fonction et x0 ∈ I.
• On dit que « f est dérivable en x0 » si son taux d’accroissement admet une limite finie en x0 ; on note alors f ′ ( x0 )
cette limite.
• On dit que « f est dérivable à droite » (resp. à gauche) de x0 si son taux d’accroissement admet une limite finie en
x0+ (resp. x0− ).
Remarque. En posant x = x0 + h dans la formule définissant le taux d’accroissement, on obtient la caractérisaf ( x0 + h ) − f ( x0 )
existe et est finie, et sa
tion suivante : « f est dérivable en x0 si et seulement si la limite lim
h
h →0
valeur est alors f ′ ( x0 ). »
Théorème 500.
Soient f : I → R une fonction et x0 ∈ I. On a alors
f est dérivable en x0 ⇐⇒

 f est dérivable à gauche et à droite en x0
 et lim− ∆ f ,x0 ( x ) = lim+ ∆ f ,x0 ( x )
x → x0
x → x0
Théorème 501.
Soient x0 ∈ R, et f une fonction définie sur un voisinage V de x0 . Alors
f dérivable en x0 ⇒ f continue en x0
Théorème/définition 502.
Soit f : I → R une fonction dérivable en a. On appelle « tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a »
la droite passant par le point de coordonnées ( a, f ( a)) et de coefficient directeur f ′ ( a). Cette tangente admet donc pour
équation :
y = f ′ ( a)( x − a) + f ( a).
Théorème 503 (Développement limité à l’ordre 1).
Soient f : I → R et x0 ∈ I. Si f est dérivable en x0 , alors on a f ( x0 + h) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 )h + hε(h), avec ε telle que
lim ε(h) = 0.
h →0
114
Dérivation des fonctions d’une variable réelle
B3.1.2
Formules de dérivation
Théorème 504.
Soit x0 ∈ I et f , g : I → R deux fonctions dérivables en x0 . On a les résultats suivants.
i ) f + g est dérivable en x0 de sorte que ( f + g)′ ( x0 ) = f ′ ( x0 ) + g′ ( x0 ).
ii ) f g est dérivable en x0 de sorte que ( f g)′ ( x0 ) = f ′ ( x0 ) g( x0 ) + f ( x0 ) g′ ( x0 ).
1
iii ) Si g( x0 ) 6= 0, alors est dérivable en x0 de sorte que
g
f
iv) Si g( x0 ) 6= 0, alors est dérivable en x0 et on a
g
Ç å′
1
g
Ç å′
f
g
− g ′ ( x0 )
.
g ( x0 ) 2
( x0 ) =
( x0 ) =
f ′ ( x0 ) g ( x0 ) − f ( x0 ) g ′ ( x0 )
.
g ( x0 ) 2
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 505.
Soient f : I → J et g : J → R deux fonctions et x0 ∈ I. On suppose f dérivable en x0 et g dérivable en f ( x0 ). Alors g ◦ f
est dérivable en x0 , et on a :
( g ◦ f )′ ( x0 ) = g′ ( f ( x0 )) × f ′ ( x0 ).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 506.
Soient f : I → J une fonction et bijective, x0 ∈ I et y0 = f ( x0 ) ∈ J. On suppose de plus que f est dérivable en x0 . Si
f ′ ( x0 ) 6= 0, alors f −1 est dérivable en y0 , de sorte que
Ä
ä′
f − 1 ( y0 ) =
1
f ′ ( f −1 ( y
0 ))
.
Démonstration. Voir les notes de cours.
B3.2 Dérivées successives d’une fonction
Définition 507.
Soient f : I → R une fonction. On dit que « f est dérivable sur I » si elle est dérivable en chacun des réels x0 ∈ I. On
peut alors définir une fonction notée f ′ , appelée « dérivée de f », en posant
f′ :
B3.2.1
I →
x0 →
R
lim ∆ f ,x0 ( x)
x → x0
Définitions
Définition 508.
Soit f : I → R.
• On dit que « f est de classe C 0 sur I » lorsque f est continue sur I.
• On dit que « f est de classe C 1 sur I » lorsque f est dérivable sur I et f ′ est continue sur I.
• On dit que « f est de classe C 2 sur I » lorsque f est dérivable sur I et f ′ est de classe C 1 sur I.
• Soit n ∈ N ∗ . On dit que « f est de classe C n sur I » lorsque f est dérivable sur I et f ′ est de classe C n−1 sur I.
• On dit que « f est de classe C ∞ sur I » lorsque f est de classe C n , pour tout n ∈ N.
Remarque. Il existe des fonctions dérivables en tout point et qui ne sont pas de classe C 1 .
Exemple 509. La fonction définie par f ( x) =
B.2).
Notations. Soit n ∈ N.



x2 sin
0
1
x
si x 6= 0
si x = 0
est dérivable mais pas C 1 en 0 (voir le TD
• On note C 0 ( I, R ) ou C ( I, R ) l’ensemble des fonctions continues sur I.
115
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
• On note C n ( I, R ) l’ensemble des fonctions de classe C n sur I.
• On note C ∞ ( I, R ) l’ensemble des fonctions de classe C ∞ sur I.
• Soit f ∈ C n ( I, R ) . On peut alors définir des fonctions f0 , f 1 , . . . , f n sur I telles que f 0 = f et ∀k ∈
J0, n − 1K, f k+1 = ( f k )′ . La fonction f k est notée f (k) , elle est appelée la « dérivée k-ème de f . » Par
convention, on a donc f (0) = f .
Remarque. On a la chaîne d’inclusions suivante :
C ∞ ( I, R ) ⊂ · · · ⊂ C n+1 ( I, R ) ⊂ C n ( I, R ) ⊂ · · · ⊂ C 1 ( I, R ) ⊂ C ( I, R ) ⊂ R I
De plus, on a par définition C ∞ ( I, R ) =
\
n ∈N
C n ( I, R ) .
Exercice 510. Soient p ∈ Z et f : x 7→ x p . Montrer que f est de classe C ∞ sur R si p > 0, ou sur R ∗ si p < 0, et
calculer les dérivées successives de f .
Théorème 511.
Soient n ∈ N, f , g : I → R deux fonctions de classe C n et (λ, µ) ∈ R2 . Alors λ f + µg est de classe C n , de sorte que
(λ f + µg)(n) = λ f (n) + µg(n) .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 512.
Soient f , g : I → R deux fonctions de classe C ∞ et (λ, µ) ∈ R2 . Alors λ f + µg est de classe C ∞ .
Démonstration. Voir les notes de cours.
B3.2.2
Produit, inverse et quotient de fonctions de classe C n ( I, R )
Théorème 513 (Formule de Leibniz).
Soient n ∈ N, et f , g : I → R deux fonctions de classe C n . Alors f × g est de classe C n , de sorte que
( f × g)
(n)
=
n
X
k=0
n ( k)
f × g( n − k) .
k
Ç å
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. La formule ci-dessus peut sembler, dans son écriture, proche de celle du binôme de Newton. Mais
d’une part elle ne fait pas apparaître des puissances mais des dérivées, et d’autre part son sens est très différent,
puisqu’elle permet de calculer la dérivée n-ième d’un produit (et non de développer la puissance n-ième d’une
somme).
Théorème 514.
Soit n ∈ N, et f , g : I → R deux fonctions de classe C n . Si g ne s’annule pas sur I, alors
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 515.
Soient f , g : I → R deux fonctions de classe C ∞ . Alors :
i ) f g est de classe C ∞ ;
ii ) Si g ne s’annule pas sur I, alors
1
f
et sont de classe C ∞ .
g
g
Démonstration. Voir les notes de cours.
1
f
et sont de classe C n .
g
g
116
B3.2.3
Dérivation des fonctions d’une variable réelle
Composée, réciproque de fonctions de classe C n ( I, R )
Théorème 516.
Soient n ∈ N, et f : I → J et g : J → R deux fonctions de classe C n . Alors g ◦ f est de classe C n sur I.
Démonstration. Résultat admis (raisonnement analogue à la preuve du théorème 514).
Théorème 517.
Soient f : I → J et g : J → R deux fonctions de classe C ∞ . Alors g ◦ f est de classe C ∞ sur I.
Démonstration. Résultat admis (raisonnement analogue à la preuve du théorème 515).
Théorème 518.
Soient n ∈ N ∗ , et f : I → J une fonction bijective de classe C n . Si f ′ ne s’annule pas, alors f −1 est de classe C n sur J.
Démonstration. Résultat admis (raisonnement analogue à la preuve du théorème 514).
Théorème 519.
Soit f : I → J une fonction bijective de classe C ∞ . Si f ′ ne s’annule pas, alors f −1 est de classe C ∞ sur J.
Démonstration. Résultat admis (raisonnement analogue à la preuve du théorème 515).
B3.2.4
Exemples
Exemples 520. Les fonctions usuelles étudiées jusqu’à présent sont toutes de classe C ∞ , sauf éventuellement au
bord de leur ensemble de définition :
— Les fonctions polynomiales sont de classe C ∞ sur leur ensemble de définition.
— Les fonctions rationnelles sont de classe C ∞ sur leur ensemble de définition.
— Les fonctions logarithmes de base a > 0 sont de classe C ∞ sur leur ensemble de définition.
— Les fonctions exponentielles de base a > 0 sont de classe C ∞ sur leur ensemble de définition.
— Les fonctions puissances sont de classe C ∞ sur ]0, +∞[.
— Les fonctions sin, cos, tan et Arctan sont de classe C ∞ sur leur ensemble de définition.
— Les fonctions Arcsin, Arccos sont de classe C ∞ sur ]−1, 1[.
— Les fonctions sh et ch sont de classe C ∞ sur leur ensemble de définition.
Méthode. Dans la plupart des cas, pour justifier qu’une fonction f donnée explicitement est de classe C ∞ , il
suffit de la décomposer comme une somme, un produit, un quotient et/ou une composée de fonctions de
classe C ∞ .
Exemple 521. La fonction f définie sur [0, 1] par f ( x) =
»
x(1 − x) est de classe C ∞ sur ]0, 1[.
Exercice 522. Soit y une fonction définie et deux fois dérivable sur R, solution de l’équation différentielle :
y′′ + ex y′ − x3 y = Arctan x. Montrer que y est de classe C ∞ .
B3.3 Propriétés globales des fonctions dérivables
B3.3.1
Extrema locaux d’une fonction
Définition 523.
Soit f : I → R une fonction et x0 ∈ I. On dit que :
i ) f admet un « minimum local » en x0 si ∃δ > 0, ∀ x ∈ I ∩ ] x0 − δ, x0 + δ[ , f ( x) > f ( x0 ).
ii ) f admet un « maximum local » en x0 si ∃δ > 0, ∀ x ∈ I ∩ ] x0 − δ, x0 + δ[ , f ( x) 6 f ( x0 ).
iii ) f admet un « extremum local » en x0 si f admet un maximum local ou un minimum local en x0 .
Remarque. Le nom extremum admet deux pluriels : « extrema » et « extremums. »
Théorème 524.
Soit f : I → R une fonction dérivable sur I et x0 ∈ I. On a alors les résultats suivants.
i ) Si f est croissante sur I, alors ∀ x ∈ I, f ′ ( x) > 0.
117
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
ii ) Si f est décroissante sur I, alors ∀ x ∈ I, f ′ ( x) 6 0.
iii ) Si x0 n’est pas l’une des bornes de I, et si f admet un extremum local en x0 , alors f ′ ( x0 ) = 0.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarques.
• Ce théorème ne concerne que les fonctions à valeurs réelles.
• La réciproque de l’assertion iii ) est fausse : la fonction définie sur R par x 7→ x3 fournit un contre-exemple
en 0.
B3.3.2
Théorème de Rolle et applications
Dans cette section, les lettres a et b désigneront deux réels tels que a < b.
Théorème 525 (Théorème de Rolle).
Soit f : [ a, b] → R une fonction telle que :
i ) f est continue sur [ a, b] ;
ii ) f est dérivable sur ] a, b[ ;
iii ) f ( a) = f (b).
Alors il existe c ∈ ] a, b[ tel que f ′ (c) = 0.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Figure B3.1 – Le théorème de Rolle
Figure B3.2 – Le théorème des accroissements finis
Théorème 526 (Égalité des accroissements finis).
Soit f : [ a, b] → R une fonction. On suppose que :
i ) f est continue sur [ a, b] ;
ii ) f est dérivable sur ] a, b[ ;
Alors il existe c ∈ ] a, b[ tel que f (b) − f ( a) = f ′ (c) × (b − a).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Il n’existe pas de méthode simple et générale permettant de calculer la valeur de c.
Théorème 527 (Inégalité des accroissements finis).
Soit f : [ a, b] → R une fonction et m, M deux réels. On suppose que :
i ) f est continue sur [ a, b] ;
ii ) f est dérivable sur ] a, b[ ;
iii ) ∀ x ∈ ] a, b[ , m 6 f ′ ( x) 6 M.
Alors on a :
m ( b − a ) 6 f ( b ) − f ( a ) 6 M ( b − a ).
118
Dérivation des fonctions d’une variable réelle
Démonstration. Se déduit trivialement de l’égalité des accroissements finis.
Définition 528.
Soit f : I → R telle qu’il existe k ∈ R + tel que | f ( x1 ) − f ( x2 )| 6 k| x1 − x2 | pour tout ( x1 , x2 ) ∈ I 2 . On dit alors que
« f est k-lipschitzienne. » Dans le cas où l’on a de plus f : I → I et k ∈]0, 1[, on dit que f est « contractante. »
Théorème 529.
Soit k > 0. Toute fonction k-lipschitzienne est continue.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 530. Soit f : I → R dérivable. Montrer que f est k-lipschitzienne si et seulement si ∀ x ∈ I, | f ′ ( x)| 6 k.
Le résultat suivant est hors-programme, mais sa démonstration s’adapte à de nombreux exercices.
Théorème 531.
Soient k ∈]0, 1[ et f : [ a, b] → [ a, b] une fonction k-lipschitzienne. On définit une suite (un ) en posant u0 ∈ [ a, b] et
un+1 = f (un ). On a alors les résultats suivants.
i ) f possède un unique point fixe ℓ ;
ii ) (un ) converge vers ℓ.
Démonstration. Voir les notes de cours.
B3.3.3
Variations d’une fonction et signe de sa dérivée
Théorème 532.
Soit f : I → R une fonction dérivable. On a alors les résultats suivants.
i ) f est croissante sur I si, et seulement si ∀ x ∈ I, f ′ ( x) > 0.
ii ) f est décroissante sur I si, et seulement si ∀ x ∈ I, f ′ ( x) 6 0.
iii ) f est constante sur I si, et seulement si ∀ x ∈ I, f ′ ( x) = 0.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. En raisonnant de même, on montre que si ∀ x ∈ I, f ′ ( x) > 0 (resp. ∀ x ∈ I, f ′ ( x) < 0), alors f est
strictement croissante (resp. décroissante) sur I.
Théorème 533.
Soit f : I → R une fonction dérivable. Alors les énoncés suivants sont équivalents.
i ) f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur I.
ii ) ∀ x ∈ I, f ′ ( x) > 0 (resp. ∀ x ∈ I, f ′ ( x) 6 0) et il n’existe aucun intervalle véritable inclus dans I sur lequel f ′ est
identiquement nulle.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. On en déduit que si f ′ est strictement positive alors f strictement croissante, même si f ′ s’annule
en un nombre fini de points. C’est par exemple le cas de la fonction x 7→ x3 sur R.
B3.3.4
Une brève extension aux fonctions à valeurs complexes
Exercice 534. En considérant la fonction f : t 7→ eit sur [0, 2π ], montrer que le théorème de Rolle ne s’étend pas
aux fonctions à valeurs complexes.
De même, l’égalité des accroissements finis n’est plus vraie dans le cas des fonctions à valeurs complexes.
On a par contre un avatar de l’inégalité des accroissements finis.
Théorème 535 (Inégalité des accroissements finis).
Soit f : [ a, b] → C une fonction et M un réel. On suppose que :
i ) f est continue sur [ a, b] ;
ii ) f est dérivable sur ] a, b[ ;
iii ) ∀ x ∈ ] a, b[ , | f ′ ( x)| 6 M.
119
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Alors on a : | f (b) − f ( a)| 6 M |b − a|.
Démonstration. Résultat admis.
Remarque. Dans cet énoncé, | f (b) − f ( a)| désigne un module et |b − a| une valeur absolue.
Rappelons enfin que la notion de monotonie n’a pas de sens pour les fonctions à valeurs complexes, mais
on conserve néanmoins le résultat suivant.
Théorème 536.
Soit f : [ a, b] → C une fonction dérivable. Alors f est constante sur [ a, b] si et seulement si f ′ est nulle sur [ a, b].
Démonstration. La condition nécessaire est triviale, et la condition suffisante découle du théorème 535.
B3.3.5
Théorème de la limite de la dérivée
Le résutat suivant indique que, sous certaines conditions, la connaissance de lim f ′ ( x) permet de déterminer
x → x0
f ( x ) − f ( x0 )
la valeur de lim
.
x → x0
x − x0
Théorème 537 (Théorème de la limite de la dérivée).
Soient f : I → R une fonction, x0 ∈ I et ℓ2 qui est soit un réel soit égal à ±∞. On suppose que :
i ) f est continue sur I.
ii ) f est dérivable sur I \ { x0 }.
iii ) lim f ′ ( x) = ℓ2 .
x → x0
x 6 = x0
On a alors :
j) Si ℓ2 ∈ R, alors f est dérivable en x0 de sorte que f ′ ( x0 ) = ℓ2 .
jj) Si ℓ2 = ±∞, alors f n’est pas dérivable en x0 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
On en déduit le résultat suivant, fréquemment utile.
Théorème 538 (Théorème de prolongement C 1 ).
Soient x0 ∈ I, f : I \ { x0 } → R une fonction et ℓ1 , ℓ2 des réels. On suppose que :
i ) f est de classe C 1 sur I \ { x0 } ;
ii ) lim f ( x) = ℓ1 .
x → x0
x 6 = x0
iii ) lim f ′ ( x) = ℓ2 .
x → x0
x 6 = x0
Alors f se prolonge en une fonction C 1 sur I, et plus précisément :
j) f se prolonge par continuité en x0 en une fonction f˜ ;
jj) f˜ est de classe C 1 sur I ;
jjj) f˜( x0 ) = ℓ1 et f˜′ ( x0 ) = ℓ2 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 539. Montrer que la fonction définie par f ( x) =
fonction de classe
C1,
et que celle définie par g( x) =
(
x2
x
(
x2
x3
si x > 0
si x < 0
si x > 0
si x < 0
est prolongeable sur R en une
ne l’est pas.
Remarque. On peut être tenté d’utiliser les arguments suivants pour démontrer le théorème 538 : la condition
ii ) permet de prolonger f en une fonction f 1 continue en x0 , et la condition iii ) permet de prolonger f ′ en une
fonction f 2 continue en x0 . Ces affirmations sont bien exactes, mais elles ne démontrent pas le résultat : puisque
rien n’assure que f 1′ = f2 , on ne sait pas si f 1 est C 1 . Et ce raisonnement n’est pas pertinent ; une fois que f a été
prolongée en une fonction f 1 continue en x0 , il est plus judicieux d’étudier le caractère C 1 du prolongement f1 .
120
Dérivation des fonctions d’une variable réelle
B3.4 Quelques formules de Taylor
Les lettres a et b désigneront dans cette section deux réels tels que a < b. Nous allons énoncer les formules
de Taylor, qui généralisent le théorème des accroissement finis aux fonctions plusieurs fois dérivables. Elles
permettent d’écrire toute fonction f de classe C n+1 sur [ a, b] sous la forme d’une somme d’un polynôme de
degré n et d’un reste :
f ( b) = f ( a) +
f ′′ ( a)
f ( n) ( a)
f ′ ( a)
( b − a) +
( b − a )2 + · · · +
( b − a) n + R n .
1!
2!
n!
Dans les théorèmes qui suivent, on établit certaines propriétés de ce reste.
Théorème 540 (Formule de Taylor avec reste intégral).
Soient n ∈ N, f : I → R et x0 ∈ I. Si f est de classe C n+1 sur I, alors pour tout x ∈ I :
f ( x) =
n
X
f ( k ) ( x0 )
k=0
k!
k
( x − x0 ) +
ˆ
x
x0
f ( n + 1) ( t )
( x − t)n dt
n!
Et si on considère une fonction f : [ a, b] → R de classe C n+1 on a :
f (b) =
n
X
f ( k) ( a)
k=0
k!
k
( b − a) +
ˆ
b
a
f ( n + 1) ( t )
(b − t)n dt
n!
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 541. Écrire la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre n pour la fonction exponentielle sur
l’intervalle [0, x].
Le résultat suivant majore l’erreur commise lors de l’approximation de f (b) par le polynôme de Taylor de f
en a.
Théorème 542 (Inégalité de Taylor-Lagrange).
Soient n ∈ N et f : [ a, b] → R une fonction de classe C n+1 . On a :
n
( k) ( a)
X
( b − a ) n +1
f
( n + 1)
k f (b) −
(
b
−
a
)
sup
f
(
x
)
6
.
k!
(
n
+
1
)
!
x ∈[ a,b ]
k=0
Démonstration. Voir les notes de cours.
Chapitre
B4
Équations différentielles
Dans ce chapitre, on considère un intervalle véritable I de R, et K désignera soit R soit C.
B4.1 Définitions
Définition 543.
On appelle « équation différentielle linéaire d’ordre un » toute expression de la forme
( E) αy′ + βy = γ,
où α, β, γ sont des fonctions continues définies sur I et à valeurs dans K, et où y est une fonction inconnue.
— Dans le cas où la fonction γ est nulle, on dit que l’équation est « homogène. »
— Dans le cas où la fonction α est constante et vaut 1, l’équation est dite « normalisée » ou « résolue en y′ . »
— Soit J ⊂ I un intervalle véritable. On dit qu’une fonction y « est solution de ( E) sur J » si y est dérivable sur J et à
valeurs dans K, de sorte que ∀ x ∈ J, α( x)y′ ( x) + β( x)y( x) = γ( x).
— « Résoudre » ou « intégrer » une telle équation différentielle, c’est déterminer l’ensemble S J des solutions sur l’intervalle J, pour tout intervalle véritable J ⊂ I.
Remarque. Si y est une solution de l’équation normalisée y′ + βy = γ sur J ⊂ I, alors y est nécessairement C 1
sur J, puisque y′ = − βy + γ est continue par produit et somme de fonctions continues.
Exemple 544. Soit a ∈ K. Les solutions y : R → K de l’équation différentielle homogène y′ = ay sont les
fonctions de la forme y( x) = λeax , où λ est un scalaire quelconque. On dit alors par abus de langage que « la
solution générale de y′ = ay est y : x 7→ λeax . »
Notation. Par abus de notation, toute équation différentielle de la forme αy′ + βy = γ sera notée α( x)y′ + β( x)y =
γ( x), pour marquer le fait que α, β, γ sont a priori des fonctions et non des constantes.
B4.2 Cas des équations normalisées homogènes
B4.2.1
Structure de l’ensemble des solutions
Théorème 545.
Soit a : I → K une fonction continue, et S0 ( I ) l’ensemble des solutions de y′ + a( x)y = 0 sur I. Alors S0 ( I ) est stable
par combinaison linéaire.
Démonstration. Voir les notes de cours.
B4.2.2
Résolution
Théorème 546.
Soit a : I → K une fonction continue. La solution générale de y′ + a( x)y = 0 est y : x 7→ λe− A( x ) où λ ∈ K, et où A est
une primitive de a sur I.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemple 547. Résoudre sur I = [−1, 1] l’équation différentielle y′ + 2x(1 − x2 )3/2 y = 0.
122
Équations différentielles
Remarque. On choisira la fonction x 7→ A( x) la plus simple possible. En pratique on commence par calculer
une primitive quelconque de x 7→ a( x) (en calculant une intégrale), puis on choisit pour A la primitive obtenue
en supprimant tous les termes constants présents dans celle calculée précédemment, étant entendu que « la
primitive d’une fonction est définie à une constante près. »
B4.3 Cas des équations normalisées non homogènes
B4.3.1
Structure de l’ensemble des solutions
On a le résultat suivant, qui donne une méthode de résolution pour n’importe quelle équation différentielle
linéaire résolue ( E) : la solution générale de ( E) est somme de la solution générale de l’équation homogène
associée ( E0 ) et d’une solution particulière de ( E).
Théorème 548.
Soient a, b : I → K deux fonctions continues, et y1 une solution particulière sur I de l’équation ( E) : y′ + a( x)y = b( x).
Alors les solutions y de ( E) sur I sont les fonctions y : I → K de la forme y = y0 + y1 , où y0 est une des solutions de
l’équation homogène associée ( E0 ) : y′ + a( x)y = 0.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Ce théorème peut être retenue sous la forme suivante : ygén,E = ygén,E0 + ypart,E .
Pour pouvoir employer le théorème précédent, il reste à connaitre une méthode permettant de déterminer
une solution particulière d’une équation différentielle non homogène.
B4.3.2
Recherche d’une solution particulière d’une équation non homogène
Méthode de variation de la constante
Il ne faut pas tant connaître par cœur l’énoncé suivant que savoir l’appliquer.
Théorème 549.
Soient a, b : I → K des fonctions continues. Alors l’équation différentielle y′ + a( x)y = b( x) admet sur I une solution
particulière de la forme y1 : x 7→ λ( x)e− A( x ) , où A est une primitive de a (et où λ est une primitive de x 7→ b( x)e A( x ) ).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Méthode. Pour obtenir une solution particulière sur I de y′ + a( x)y = b( x), on recherchera celle-ci sous la
forme y1 ( x) = λ( x)e− A( x ) , où λ est une fonction dérivable sur I ; il suffira alors d’injecter y1 dans l’équation
pour déterminer une fonction λ convenant.
Exercice 550. Résoudre sur R ∗+ l’équation différentielle y′ +
x
1
.
y=
√ √ 2
x2 + 1
(1 + x ) x + 1
Quelques solutions particulières à connaître dans le cas d’une équation à coefficients constants
On rappelle le résultat suivant.
Théorème 551.
Soient ( a, b, α) ∈ K3 , ω ∈ R, et P un polynôme à coefficients dans K.
i ) Si a 6= 0, l’équation y′ + ay = b admet une solution particulière constante, définie par y1 ( x) = ba .
ii ) L’équation y′ + ay = P( x)eαx admet une solution particulière définie par
• y1 ( x) = Q( x)eαx si α 6= − a, où Q est un polynôme de même degré que P ;
• y1 ( x) = xQ( x)eαx si α = − a, où Q est un polynôme de même degré que P.
iii ) Les équations y′ + ay = P( x) cos ωx et y′ + ay = P( x) sin ωx admettent une solution particulière définie par
y1 ( x) = Q( x) cos ωx + R( x) sin ωx, où Q, R sont des polynômes de degré inférieur ou égal à celui de P.
Démonstration. Résultat admis.
Remarque. Ce résultat a déjà été vu sous une forme plus générale, dans le cadre des équations différentielles
d’ordre deux à coefficients constants.
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
123
Exercice 552. Résoudre sur R l’équation différentielle y′ + 2y = x3 + x − 1.
On donne enfin le théorème suivant, qui permet d’étendre le résultat précédent.
Théorème 553 (Principe de superposition).
Soient a, b1 , b2 : I → K des fonctions continues, et λ ∈ K. Soient encore y1 (resp. y2 ) une solution de l’équation
différentielle y′ + a( x)y = b1 ( x) (resp. y′ + a( x)y = b2 ( x)). On a alors les résultats suivants.
i ) λy1 est une solution de l’équation différentielle y′ + a( x)y = λb1 ( x).
ii ) y1 + y2 est une solution de l’équation différentielle y′ + a( x)y = b1 ( x) + b2 ( x).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 554. Résoudre sur R l’équation différentielle y′ + 2y = x3 + x − 1 + (2x + 1)e−2x .
B4.3.3
Plan d’étude
Pour résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre un, on peut procéder comme suit.
1. Résolution de l’équation homogène. On obtient la solution générale yh : x 7→ λe− A( x ) .
2. Recherche d’une solution particulière y1 de l’équation non homogène. S’il n’en existe pas d’évidente, on utilise
la méthode de variation de la constante pour chercher une solution particulière de la forme y1 : x 7→
λ( x ) e− A( x ) .
3. Conclusion. On écrit que la solution générale de l’équation considérée est yh + y1 .
B4.3.4
Existence et unicité de la solution à conditions intiales fixées
Théorème 555.
Soient a, b : I → K deux fonctions continues, et ( x0 , y0 ) ∈ I × K. Alors l’équation y′ + a( x)y = b( x) possède une
unique solution y sur I qui vérifie y( x0 ) = y0 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 556. Déterminer l’unique solution y de y′ + xy = x qui vérifie y(0) = 2.
Définition 557.
Étant donnée une équation différentielle ( E), on appelle « courbe intégrale associée à ( E) » toute courbe représentative
d’une solution de ( E).
Exemple 558. Le théorème précédent montre que l’ensemble des courbes intégrales d’une équation différentielle
forme une partition de I × K. Dans le cas où K = I = R, on obtient ainsi une partition du plan R2 : en d’autres
termes, il passe en chaque point du plan une courbe intégrale et une seule. Le graphique à gauche ci-dessous
donne le tracé des courbes représentatives des solutions y de y′ + xy = x vérifiant y(0) = k, pour k ∈ J−10, 10K.
La tangente de la courbe intégrale de y′ + xy = x qui passe par le point M de coordonnées ( x, y) a pour
coefficient directeur x − xy. Si on trace en chaque point du plan le vecteur de coordonnées (1, x − xy), on
obtient le « champ de vecteurs » représenté sur le graphe à droite ci-dessus.
124
Équations différentielles
B4.4 Cas général : principe de recollement des solutions
Considérons une équation différentielle ( E) : α( x)y′ + β( x)y = γ( x), à résoudre sur un intervalle I =] a, b[.
Dans le cas où α ne s’annule pas, il suffit pour résoudre celle-ci de diviser l’équation par α( x), puis de résoudre
( E′ ) : y′ + αβ((xx)) y = γα((xx)) en utilisant les méthodes précédentes. Mais dans le cas où par exemple α s’annule en
un unique réel x0 ∈] a, b[, il faut procéder différemment : on commence par résoudre ( E′ ) sur ] a, x0 [ et sur ] x0 , b[,
puis on essaye de recoller les deux solutions générales ainsi obtenues de façon à obtenir une solution sur ] a, b[
de ( E). Considérons pour commencer l’exemple suivant.
Exercice 559. Résoudre sur R l’équation xy′ − 21 y = x, en étudiant celle-ci sur R ∗+ puis sur R ∗− .
Méthode (Principe de la méthode.). Considérons une équation différentielle ( E) : α( x)y′ + β( x)y = γ( x),
à résoudre sur un intervalle I =] a, b[ où α s’annule en un unique réel x0 ∈] a, b[. Soit alors ( E′ ) l’équation
β( x )
y′ + α( x ) y = γα((xx)) ; on appelle y1,λ la solution générale de ( E′ ) sur ] a, x0 [ (qui dépend donc d’un paramètre λ), et
y2,µ la solution générale de ( E′ ) sur ] x0 , b[ (qui dépend d’un paramètre µ).
• Analyse : soit y une solution de ( E) sur I; il existe alors deux scalaires λ, µ tels que
(⋆) y( x) =
(
y1,λ ( x) si x ∈] a, x0 [
y2,µ ( x) si x ∈] x0 , b[
Et toujours parce que y est solution de ( E) on a :
i ) y est continue et dérivable en x0 ;
ii ) y vérifie ( E) en x0 .
• Synthèse : réciproquement, on démontre aisément que toute fonction y définie par (⋆) et vérifiant i ) et ii )
est une solution de ( E) sur I.
Pour résoudre ( E) sur I il suffit donc de résoudre ( E′ ) sur ] a, x0 [ et ] x0 , b[ (c’est-à-dire déterminer y1,λ et y2,µ ),
puis de déterminer les valeurs de λ, µ pour lesquelles i ) et ii ) sont vérifiées.
B4.5 La méthode d’Euler
Le calcul explicite des solutions d’une équation différentielle n’est pas toujours aisé, et il existe un grand
nombre de cas que l’on ne sait pas traiter. On dispose néanmoins de méthodes numériques qui permettent d’obtenir une valeur approchée de la solution, ce qui est suffisant dans le cadre des sciences expérimentales. La plus
simple d’entre elles est la méthode d’Euler.
Cadre. Considérons une fonction f : R2 → R, et I un intervalle de R. On cherche à déterminer les fonctions
y : I → R qui vérifient l’équation différentielle
∀t ∈ I, y′ (t) = f (y(t), t).
On admet que, si la fonction f est de classe C 1 , alors quels que soient y0 ∈ R, t0 ∈ I, cette équation possède une
unique solution y qui vérifie y(t0 ) = y0 .
Principe de la méthode : approximation du graphe de la solution par une ligne polygonale. Le principe de la
méthode d’Euler est le suivant. Soit y la solution de l’équation différentielle considérée. On commence par se
donner des réels t0 < · · · < tn dans I, et on cherche une valeur approchée yi de chacun des réels y(ti ). En reliant
par des segments de droite les points de coordonnées (ti , yi ) on obtient alors une approximation du graphe de
f.
En général, plutôt que de se donner des points t0 , . . . , tn , on choisit une subdivision régulière de I.
Définition 560.
Soit I = [ a, b] un intervalle de R. On appelle « subdivision régulière de [ a, b] » la suite t0 , . . . , tn où n > 1 et
∀i ∈ J0, nK, ti = a + i
et donc en particulier on a a = t0 et b = tn . Le réel h =
b− a
n
b−a
,
n
est alors appelé le « pas de la subdivision. »
B4.5. LA MÉTHODE D’EULER
125
b−a
d’un intervalle [ a, b] est donc le découpage de celui-ci en n intervalles
n
[ti , ti+1 ], chacun d’eux étant de longueur égale à h.
Une subdivision de pas h =
Approximation d’une dérivée. On rappelle que si y désigne une fonction dérivable sur un intervalle I, on peut
écrire quels que soient les réels ti , ti+1 dans I :
y( t i+1 ) = y( t i ) + ( t i+1 − t i ) y′ ( t i ) + ( t i+1 − t i ) ε ( t i+1 − t i )
Soit encore y(ti+1 ) = y(ti ) + hy′ (ti ) + hε(h) en posant h = ti+1 − ti . Donc si h est « suffisament petit », c’est-àdire si ti et ti+1 sont suffisament proches, y(ti ) + hy′ (ti ) est une valeur approchée de y(ti+1 ). Ce résultat est à la
base de la méthode d’Euler.
Implémentation de la méthode d’Euler. Considérons une équation différentielle y′ (t) = f (y(t), t), à résoudre
sur un intervalle [ a, b] avec la condition initiale y( a) = α. On commence par se donner une subdivsion t0 , . . . , tn
a
de [ a, b] de pas h = b−
n « suffisament petit, » et on définit alors notre suite d’approximation y0 , . . . , yn en posant
y0 = α
et
∀i ∈ J1, nK, yi+1 = yi + h f (yi , ti ).
On a ainsi défini par récurrence une suite y0 , . . . , yn qui est une approximation de la suite y(t0 ), . . . , y(tn ), où y
désigne la solution de l’équation considérée. En effet, y vérifie la relation
y(ti+1 ) = y(ti ) + h f (y(ti ), ti ) + hε(h),
puisque l’on a y′ (ti ) = f (y(ti ), ti ) pour tout entier i ∈ J1, nK.
126
Équations différentielles
Exemple 561. Soit y′ =
cos x
à résoudre sur l’intervalle [0, 10] muni de la condition initiale y(0) = 1.
1 + y2
2 .5
2 .0
Le graphique ci-contre fait apparaitre la courbe représentative de la solution, ainsi que les courbes obtenues en appliquant la méthode d’Euler, avec les différents pas suivants :
1
1
5
, h = 10
et h = 100
. On observe bien
h = 2, h = 1, h = 10
la convergence de la ligne polygonale vers la courbe représentative de la solution.
1 .5
1 .0
h= 2
h= 1
h = 0 .5
h = 0 .1
h = 0 .0 1
0 .5
0 .0
0
2
4
6
8
10
Remarque. Intuitivement, il est clair que plus le pas h est petit, plus l’approximation de la solution est précise :
on peut démontrer que « la méthode converge » lorsque h tend vers 0. En pratique, l’implémentation de la
méthode pose d’autre difficultées, des erreurs d’arrondis pouvant apparaître à chaque étape : en diminuant la
valeur de h on augmente le nombre d’étapes lors de l’exécution de l’algorithme, et ainsi le nombre d’erreurs
commises, ce qui peut faire diverger la méthode. En pratique, on est donc amené au cas par cas à trouver le
« pas moyen » qui fournira le meilleur résultat.
Chapitre
B5
Comparaisons locales
Le but de ce chapitre est de formaliser la notion de « terme dominant au voisinage d’un point-limite. » On
introduit pour ce faire les notations de Landau, qui permettent de simplifier le calcul des limites, et on établit
des règles de calcul élémentaire sur celles-ci.
B5.1 Prépondérance (ou négligeabilité) et domination
B5.1.1
Notion de prépondérance
Cas des suites
Définition 562.
Soient (un ) et (vn ) deux suites de complexes. On dit que « (un ) est négligeable devant (vn ) au voisinage de +∞ » ou que
« (vn ) est prépondérante devant (un ) au voisinage de +∞ », et l’on note un = o(vn ), lorsqu’il existe une suite (ε n ) et un
entier n0 tels que
∀ n > n0 , u n = ε n vn
et
lim ε n = 0.
n,+ ∞
En pratique, on a rarement recours à cette définition : on utilise le plus souvent la caractérisation suivante,
valable dans le cas où (vn ) ne s’annule pas au voisinage de +∞.
Théorème 563.
Soient (un ) et (vn ) deux suites de complexes telles que (vn ) ne s’annule pas au voisinage de +∞. On a alors un = o(vn )
si et seulement si lim uvnn = 0.
n,+ ∞
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Intuitivement, cette notion permet de comparer les vitesses de divergence, et de convergence vers
0, de deux suites.
• Supposons lim un = lim vn = ±∞. Dans ce cas, la relation un =o(vn ) signifie que (un ) tend « strictement
n,+ ∞
n,+ ∞
moins vite vers l’infini » que (vn ). On a par exemple n=o(n2 ).
• Supposons lim un = lim vn = 0. Dans ce cas, la relation un =o(vn ) signifie que (un ) tend « strictement
n,+ ∞
n,+ ∞
plus vite vers 0 » que (vn ). On a par exemple
1
=o
n2
1
n
Ä ä
.
Cas des fonctions
Définition 564.
Soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage V d’un point-limite α. On dit que « f est négligeable devant g au
voisinage de α » ou que « g est prépondérante devant f au voisinage de α », et l’on note f = o( g) ou f ( x) = o( g( x)), s’il
α
α
existe un voisinage W de α et une fonction ε : W → C tels que
∀ x ∈ W, f ( x) = ε( x) g( x)
et
lim ε( x) = 0.
x →α
En pratique, on a rarement recours à cette définition : on utilise le plus souvent la caractérisation suivante,
valable dans le cas où g ne s’annule pas au voisinage de α sauf éventuellement en α.
128
Comparaisons locales
Théorème 565.
Soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage V d’un point-limite α. On suppose que g ne s’annule pas sur V. On
a alors
f ( x)
= 0.
f = o( g) ⇐⇒ lim
α
x →α g( x )
Par ailleurs si α ∈ V, l’équivalence est encore vraie dans le cas où f (α) = g(α) = 0.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Notation. Lorsque cela ne prêtera pas à confusion, on écrira f = o( g) en lieu et place de f = o( g).
α
Exemple 566. Dire que f = o(1) au voisinage d’un point-limite α, c’est dire que f tend vers 0 en α. On a la
même conclusion sous l’hypothèse f = o(c) où c 6= 0. Par contre, la relation f = o(0) équivaut à f est nulle au
voisinage de α.
Exercice 567. Montrer que ( x2 + 1) = o(ex −1 ) au voisinage de +∞. Qu’en est-il au voisinage de 0 ?
Le théorème suivant exprime en termes de « o » des résultats bien connus.
Théorème 568.
Soient r, s des réels.
i ) On a
r < s ⇒ xr = o ( x s )
+∞
et
r < s ⇒ x s = o ( xr ).
0
En d’autres termes, « les grandes puissances l’emportent au voisinage de +∞, et les petites au voisinage de 0. »
ii ) Si r > 0, on a
xr = o ( e x ),
+∞
ln x = o( xr )
+∞
et
ln x = o(erx )
+∞
En d’autres termes, « au voisinage de +∞, l’exponentielle l’emporte sur les puissances qui l’emportent sur le logarithme. »
Démonstration. Voir les notes de cours.
Méthode. Soient α un point-limite, f , g deux fonctions définies sur un voisinage de α où g ne s’annule pas (la
méthode
est encore vraie dans le cas où f (α) = g(α) = 0). Pour comparer f et g au voisinage de α, on calcule
f (x) lim g( x ) :
x →α
f (x)
x →α g( x )
— si lim
= 0 alors on a f = o( g) ;
f (x) — si lim g( x ) = +∞ alors on a g = o( f ) ;
x →α
— sinon, aucune des deux fonctions n’est négligeable devant l’autre.
Le premier intérêt de cette notion réside dans la convention suivante.
Notation. Soient f , g deux fonctions telles que f = o( g). La quantité g + f peut alors être notée g + o( g) au
α
voisinage de α : on signifie ainsi que c’est g qui déterminera la limite considérée (g est le terme dominant) en
« cachant la fonction f dans le o. » Cette notation correspond à la technique de mise en facteur du terme dominant,
et a pour avantage de simplifier les quantités manipulées. On peut ainsi renoter tous les développements limités
à l’ordre 1 connus, en remplaçant « xε( x) » par o( x). Cela donne au voisinage de 0 les développements suivants :
ex = 1 + x + o( x)
cos( x) = 1 + o( x)
1
1
= 1 − x + o( x)
= 1 + x + o( x)
sin( x) = x + o( x)
1+x
1−x
√
1 + x = 1 + 21 x + o( x) (1 + x)α = 1 + αx + o( x) où α ∈ R
ln(1 + x) = x + o( x)
129
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
B5.1.2
Notion de domination
Cas des suites
Définition 569.
Soient (un ) et (vn ) deux suites de complexes. On dit que « (un ) est dominée par (vn ) au voisinage de +∞ », et l’on note
un = O(vn ), lorsqu’il existe une suite (bn ) et un entier n0 tels que
∀ n > n 0 , u n = bn v n
et
(bn ) est bornée.
Théorème 570.
Soient (un ) et (vnÄ) deux
ä suites de complexes telles que (vn ) ne s’annule pas au voisinage de +∞. On a alors un = O(vn )
un
si et seulement si vn est bornée.
Démonstration. On raisonne comme pour le théorème 563.
Exemples 571. Au voisinage de +∞ on a n2 + n = O(n3 ), n2 + n = O(n2 ) et n2 = O n2 + n .
Ä
ä
Remarque. Cette notion permet comme o de comparer les vitesses de divergence (ou de convergence vers 0) de
deux suites, mais avec moins de précision.
• Supposons lim un = lim vn = ±∞. Dans ce cas, la relation un =O(vn ) signifie que (un ) tend « moins vite
n,+ ∞
n,+ ∞
(ou à la même vitesse) vers l’infini » que (vn ).
• Supposons lim un = lim vn = 0. Dans ce cas, la relation un =O(vn ) signifie que (un ) tend « plus vite (ou
n,+ ∞
n,+ ∞
à la même vitesse) vers 0 » que (vn ).
Cas des fonctions
Définition 572.
Soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage V d’un point-limite α. On dit que « f est dominée par g au voisinage
de α », et l’on note f = O( g) ou f ( x) = O( g( x)), s’il existe un voisinage W de α et une fonction b : W → C tels que
α
α
∀ x ∈ W, f ( x) = b( x) g( x)
et
b est bornée sur W.
Théorème 573.
Soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage V d’un point-limite α. On suppose que g ne s’annule pas sur V. On
a alors
f
f = O( g) ⇐⇒
est bornée au voisinage de α.
α
g
Par ailleurs si α ∈ V, l’équivalence est encore vraie dans le cas où f (α) = g(α) = 0.
Démonstration. Analogue à la preuve du théorème 565.
Notation. Lorsque cela ne prêtera pas à confusion, on écrira f = O( g) au lieu de f = O( g).
α
Exemple 574. Dire que f = O(1) au voisinage d’un point-limite α, c’est dire que f est bornée au voisinage de
α. On a la même conclusion sous l’hypothèse f = O(c), où c 6= 0.
Théorème 575.
Soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage d’un point-limite α. On a alors :
f = o ( g) ⇒ f = O ( g).
Démonstration. Résulte du fait que toute fonction admettant une limite finie en α est bornée sur un voisinage
de α.
130
B5.1.3
Comparaisons locales
Propriétés élémentaires de o et O
Le résultat suivant énonce les propriétés élémentaires de la relation o ; on admettra que la relation O vérifie
les mêmes propriétés. Ces résultats sont établis dans le cadre des fonctions, mais on admettra qu’ils sont encore
valables dans le cas des suites.
Théorème 576.
Soient f , g, h, k des fonctions définies au voisinage d’un point limite α. On a les résultats suivants.
i ) Transitivité. f = o( g), g = o(h) ⇒ f = o(h).
ii ) Somme. f = o( g), h = o( g) ⇒ f + h = o( g).
iii ) Produit avec un scalaire. Soit λ un complexe. Alors f = o( g) ⇒ λ f = o( g).
iv) Produit avec une fonction 1. f = o( g) ⇒ f h = o( gh).
v) Produit avec une fonction 2. f = o( g), h = o(k) ⇒ f h = o( gk).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Le résultat ii ) ci-dessus peut être exprimé par la relation o( f ) + o( f ) = o( f ). Mais il faut prendre
garde aux absurdités qui peuvent apparaître si l’on a mal compris cette notation : on notera par exemple que
l’on n’a pas o( f ) − o( f ) = 0 a priori, mais o( f ) − o( f ) = o( f ) ! De même, les autres résultats peuvent s’exprimer
comme suit :
i ) Transitivité. o(o(h)) = o(h).
ii ) Somme. o( g) + o( g) = o( g).
iii ) Produit avec un scalaire. Soit λ un complexe. Alors λ × o( g) = o( g).
iv) Produit avec une fonction 1. h × o( g) = o( gh).
v) Produit avec une fonction 2. o( g) × o(k) = o( g × k).
Exercice 577. En utilisant la notation o, calculer la limite en +∞ de
ex + ln x − 3x3 + cos x
.
e−2x + e2x − 3x1/2 − 1 + x3 ln x
Exercice 578. Que dire de la proposition f = o( g), h = o( g) ⇒ f h = o( g)?
B5.2 Équivalence
B5.2.1
Définition et caractérisation
Cas des suites
Définition 579.
Soient (un ) et (vn ) deux suites de complexes. On dit que « (un ) est équivalente à (vn ) au voisinage de +∞ », et l’on note
un ∼ vn , lorsqu’il existe une suite (in ) et un entier n0 tels que
∀ n > n0 , u n = in vn
et
lim in = 1.
n,+ ∞
Théorème 580.
Soient (un ) et (vn ) deux suites de complexes telles que (vn ) ne s’annule pas au voisinage de +∞. On a alors un ∼ vn si
et seulement si lim uvnn = 1.
n,+ ∞
Démonstration. Analogue à la preuve du théorème 563.
Exemple 581. On a
n
X
k=1
k∼
n2
.
2
131
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Cas des fonctions
Définition 582.
Soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage V d’un point-limite α. On dit que « f est équivalente à g au voisinage
de α », et l’on note f ∼ g ou f ( x) ∼ g( x), lorsqu’il existe un voisinage W de α et une fonction i : W → C tels que
α
α
∀ x ∈ W, f ( x) = i( x) g( x)
lim i ( x) = 1.
et
x →α
Notation. Lorsque cela ne prêtera pas à confusion, on écrira f ∼ g en lieu et place de f ∼ g.
α
En pratique, on a rarement recours à cette définition : on utilise le plus souvent la caractérisation suivante,
valable dans le cas où g ne s’annule pas au voisinage de α.
Théorème 583.
Soient f et g deux fonctions définies au voisinage d’un point-limite α. On suppose que g ne s’annule pas sur V. On a alors
f ∼ g ⇐⇒ lim
x →α
α
f ( x)
= 1.
g( x )
Par ailleurs si α ∈ V, l’équivalence est encore vraie dans le cas où f (α) = g(α) = 0.
Démonstration. Analogue à la preuve du théorème 565.
Ä ä √
√
Exemples 584. On a x + ln x ∼ x et x sin 1x + x ∼ x
0
+∞
Exercice 585. Montrer que sin x ∼ x au voisinage de 0. Qu’en est-il au voisinage de +∞ ?
Remarque. Supposons lim f ( x) = lim g( x) = ±∞ (resp. = 0). Dans ce cas, la formule f ∼ g, signifie intuitivex →α
x →α
α
ment que f tend « à la même vitesse vers l’infini (resp. 0) » que g.
La notion d’équivalent permet également de caractériser les fonctions tendant vers une même limite finie
non nulle.
Théorème 586.
Soient α un point-limite, f et g deux fonctions définies au voisinage de celui-ci. On a les résultats suivants.
i ) Si f ∼ g, alors f a une limite en α si et seulement si g en possède une, et dans ce cas lim f ( x) = lim g( x). En
α
x →α
x →α
d’autres termes
f ( x) ∼ g( x) ⇒ lim g( x) = β ⇔ lim f ( x) = β
x →α
α
x →α
ii ) Réciproquement, si f et g ont une même limite finie et non nulle en α, on a f ∼ g. En d’autres termes
α
lim g( x) = lim f ( x) ∈ R ∗ ⇒ f ∼ g
x →α
x →α
α
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemples 587. On déduit du résultat précédent que si c 6= 0, on a f ∼ c ⇐⇒ lim f ( x) = c.
α
x →α
Remarque. Attention aux généralisations hâtives du point ii ) : si lim f ( x) = lim g( x) = ±∞, on n’a pas forcéx →α
x →α
ment f ∼ g ! C’est justement l’intéret de la relation ∼ : elle sert d’abord à comparer les vitesses de divergence
α
(ou de convergence vers 0).
Exercice 588. Montrer que si f ∼ g, alors f et g ont le même signe au voisinage de α.
α
Le théorème suivant assure que toute fonction possédant un développement limité à l’ordre 1 en 0 est
équivalente au premier terme non nul de celui-ci.
Théorème 589.
Soit f une fonction définie sur un voisinage V de 0. On suppose qu’il existe deux réels a, b tels que
f ( x) = a + bx + o( x).
On a les résultats suivants.
132
Comparaisons locales
i ) Si a 6= 0, alors f ( x) ∼ a ;
0
ii ) Si a = 0 et b 6= 0, alors f ( x) ∼ bx.
0
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemple 590. On a sin x ∼ x et ln(1 + x) ∼ x au voisinage de 0.
Le résultat suivant permet enfin de relier les symboles ∼ et o, et exprime le rapport entre les notions
d’équivalent et de terme dominant.
Théorème 591.
Soient α un point-limite, f et g deux fonctions définies au voisinage de celui-ci. On a alors :
f ∼ g ⇐⇒ f − g = o( g).
Démonstration. Voir les notes de cours.
B5.2.2
Ce qui est vrai (et ce qui ne l’est pas)
On admet que les résultats suivants sont encore vrais dans le cas des suites.
Théorème 592.
Soient f , g, h, k des fonctions définies au voisinage d’un point limite α.
i ) Réflexivité. f ∼ f .
ii ) Symétrie. f ∼ g ⇒ g ∼ f .
iii ) Transitivité. f ∼ g, g ∼ h ⇒ f ∼ h.
iv) Stabilité par produit avec un scalaire. Soit λ 6= 0 un complexe. Alors f ∼ g ⇒ λ f ∼ λg.
v) Stabilité par produit. f ∼ g, h ∼ k ⇒ f h ∼ gk.
vi ) Stabilité par exponentiation finie. Soit r > 0 et f , g à valeurs positives. Alors f ∼ g ⇒ f r ∼ gr .
1
1
vii ) Inversion. Si f et g ne s’annulent pas, alors f ∼ g ⇒ ∼ .
f
g
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Les points i, ii, iii prouvent que ∼ est une relation d’équivalence.
Théorème 593.
Soient f , g, h, des fonctions définies au voisinage d’un point limite α.
i ) f = g + o( g) ⇒ f ∼ g.
ii ) f = o( g), g ∼ h ⇒ f = o(h).
iii ) f = o( g), f ∼ h ⇒ h = o( g).
Démonstration. Voir les notes de cours.
1 − e2x
au voisinage de 0.
1 − e x2
Remarque. Il existe un certain nombre d’erreurs classiques sur les équivalents, auxquelles il faut prendre garde.
i) On ne peut pas sommer les équivalents :
Exercice 594. Déterminer un équivalent de
f ∼ g n’implique pas f + h ∼ g + h.
α
On a par exemple
suivant :
− x3
+
x2
∼
+∞
− x3
α
+ x, et pourtant on n’a pas x2 ∼ x ! Un autre contre-exemple est le
+∞
f ∼ g n’implique pas f − g ∼ 0
α
α
En effet, en revenant à la définition de ∼, on voit que si une fonction est équivalente à 0 au voisinage d’un
point-limite a, alors c’est que cette fonction est identiquement nulle sur un voisinage de a.
ii) On ne peut pas élever une équivalence à une puissance dépendant de x :
f ( x) ∼ g( x) n’implique pas f ( x)h( x ) ∼ g( x)h( x ) .
α
α
On a par exemple 21/x ∼ 1, et pourtant 21/x
Ä
+∞
äx
∼ 1x est inexact.
+∞
Méthode. Étant donné les difficultés liées aux règles de calcul sur les équivalents, le plus commode pour
déterminer un équivalent d’une fonction est d’en chercher d’abord un développement limité.
B5.3. CHANGEMENT DE VARIABLE ET COMPOSITION
133
B5.3 Changement de variable et composition
Théorème 595 (Changement de variable).
Soient α, β deux points-limites, et deux fonctions f , g définies au voisinage de β. Soit encore u une fonction définie au
voisinage de α telle que lim u(t) = β. On a alors les résultats suivants.
t→α
i ) f ( x) = o( g( x)) ⇒ f (u(t)) = o ( g (u(t))) ;
α
β
ii ) f ( x) = O( g( x)) ⇒ f (u(t)) = O ( g (u(t))) ;
α
β
iii ) f ( x) ∼ g( x) ⇒ f (u(t)) ∼ g (u(t)) .
α
β
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. On utilise notamment les cas particuliers suivants de ce résultat :
1
x
Å ã
f ( y)
=
y→+ ∞
o( g(y)) ⇐⇒ f
et
x →0
1
x
Å ã
f ( y)
∼
y→+ ∞
g(y) ⇐⇒ f
1
x
Å Å ãã
=+ o g
,
1
.
x
Å ã
∼+ g
x →0
En pratique, on applique le plus souvent les changements de variable aux développements limités, avant
d’en extraire l’équivalent recherché, comme le montre l’exemple ci-dessous.
Exemple 596. Déterminer un équivalent en 0 de ln(1 + Arctan x).
Méthode. Pour déterminer l’équivalent d’une fonction en un réel α 6= 0, on utilise le plus souvent l’instanciation
suivante du théorème de changement de variable :
f ( x ) ∼ g( x ) ⇔ f ( α + h) ∼ g( α + h).
x →α
h →0
Exercice 597. Donner un équivalent de ln x en 1.
Remarque. Le théorème de changement de variable peut être interprété comme exprimant une composition « à
droite » des équivalents. Néanmoins le résultat analogue « à gauche » est faux :
f ∼ g n’implique pas h ◦ f ∼ h ◦ g.
On a par exemple x2 + x ∼ x2 , mais par contre on n’a pas ex
+∞
2 +x
2
∼ ex . De même, f = o( g) n’implique pas h ◦
+∞
f = o (h ◦ g) : il suffit pour s’en rendre compte de prendre pour h une fonction constante non nulle.
134
Comparaisons locales
Troisième partie
Algèbre
Chapitre
C1
Logique, ensembles, relations
Les fondements de la logique ont été posés au cours de l’antiquité par les philosophes et mathématiciens
grecques, qui la considéraient comme « l’art du raisonnement ». Nous nous intéressons ici à la logique dite
mathématique, qui prit son essor au début du XXème siècle, et dont le but est de conceptualiser puis d’étudier
grâce à l’outil mathématique des notions intuitives comme celle de « vérité » ou de « démonstration ». Le but
de ce chapitre est de présenter formellement les notions élémentaires de la logique. On ne rencontre pas au
concours de problème portant spécifiquement sur cette partie du programme, mais les concepts et méthodes
de démonstration rencontrés ici sont courants en algèbre.
C1.1
Propositions, vérité et valeurs booléennes
On commence par se donner un nombre quelconque de symboles représentant chacun un objet mathématique. On distingue parmi eux :
— des symboles de relation (par exemple = pour l’égalité, < pour l’ordre ou ∈ pour l’appartenance),
— des symboles de fonction (comme ln ou +),
— des constantes (comme N, π ou 0).
Il ne pèse aucune restriction sur l’ensemble des symboles utilisés. Rien n’empèche donc de définir de nouveaux symboles à chaque instant, en posant par exemple « soit n le plus petit entier tel que... » ou « soit f la
fonction telle que... ». L’essentiel est que les notations employées ne prêtent pas à confusion : on évitera par
exemple d’appeler x une fonction et f un nombre réel...
Définition 598.
On appelle « proposition, » « assertion » ou « formule » toute phrase ou expression mathématique, écrite à l’aide de différents
symboles. Elle est soit vraie soit fausse, ces deux cas s’excluant l’un l’autre (c’est-à-dire qu’aucune proposition n’est à la
fois vraie et fausse).
Exemples 599. Les expressions x > 0 et 0 ∈ N sont des propositions. L’expression −1 = 0 est également une
proposition, bien qu’elle soit fausse.
Remarque. Toutes les expressions ne sont pas pour autant considérées comme des propositions. Par exemple,
l’expression N + R > 0 est exclue, de même que 3(+ =. En effet, on convient que l’addition ne s’applique
qu’aux nombres complexes, et pas aux ensembles. Il faudrait donc adjoindre un domaine de définition à chaque
fonction et à chaque relation, et convenir que les propositions sont les expressions où fonctions et relations ne
sont appliquées qu’à des éléments de leur domaine.
Définition 600.
Soit F une formule. On appelle « valeur de vérité de F » ou « valeur booléenne de F » l’entier v( F ) défini par :
i ) si F est vraie, alors on pose v( F ) = 1;
ii ) si F est fausse, alors on pose v( F ) = 0.
Les définitions suivantes expliquent comment construire des propositions à partir des symboles que l’on
s’est donné. On utilise pour cela des connecteurs et des quantificateurs.
C1.1.1 Les connecteurs logiques
Définition 601.
Étant donnée deux propositions A et B, on peut en construire d’autres en employant les conjonctions de coordination « et »
et « ou », de la manière suivante :
138
Logique, ensembles, relations
i ) « A et B » est une proposition ; elle est vraie si, et seulement si A, B sont toutes les deux vraies.
ii ) « A ou B » est une proposition ; elle est vraie si, et seulement si l’une au moins des propositions A, B est vraie.
Exemples 602. La proposition 2 > 1 et 0 = 1 est fausse, alors que 2 > 1 ou 0 = 1 est vraie.
Les deux tableaux ci-dessous sont les tables de vérités des opérateurs et et ou : il s’agit de tableaux donnant
respectivement la valeur booléenne de A et B et A ou B en fonction des valeurs booléennes de A et de B.
B
1
0
1
1
0
0
0
0
A
B
1
0
1
1
1
0
1
0
A
Figure C1.1 –
Table de vérité de l’opérateur et
Figure C1.2 –
Table de vérité de l’opérateur ou
Notation. Dans le cas particulier des équations et inéquations, on emploiera le symbole { au lieu de et. C’est(
E1
d’inconnue x » signifie :« trouvez tous les x vérifiant les
à-dire que la phrase « résolvez les équations
E2
équations E1 et E2 . »
Définition 603.
Soient A et B deux propositions. L’expression A ⇒ B est alors une proposition, qui peut être lue « A implique B », ou « Si
A, alors B ». Elle est vraie si, et seulement si, on est dans l’un des deux cas suivants :
i ) A et B sont toutes les deux vraies.
ii ) A est fausse 1 .
On retiendra que la proposition A ⇒ B signifie que si A est vraie, alors B l’est aussi. Elle exprime ainsi que
B est une conséquence logique de A.
Remarque. Cette notion diffère de la relation cause/conséquence habituelle : la règle ii ) ci-dessus implique par
exemple que « 0 = 1 ⇒ les poules ont des dents » est vrai. En effet, la formule 0 = 1 étant fausse, la proposition
0 = 1 ⇒ B est vraie pour toute formule B. . . Cela peut sembler surprenant, mais il est naturel de dire que si l’on
prend une chose fausse comme étant vraie, alors on pourra tout démontrer (le vrai aussi bien que le faux).
Méthode. — Pour démontrer que A ⇒ B est vraie il suffit de supposer A vraie, et de démontrer qu’alors B
est vraie (il n’y a rien à démontrer si A est fausse, B pouvant alors indifférement être vraie ou fausse).
— Pour démontrer que A ⇒ B est fausse, il suffit de démontrer que A est vraie et que B est fausse.
B
1
0
1
1
0
0
1
1
A
Figure C1.3 – Table de vérité de l’opérateur ⇒
Définition 604.
Soient A et B deux propositions. On note « A ⇔ B » la proposition ( A ⇒ B) et ( B ⇒ A). Elle peut se lire :
— A équivaut à B.
— A si, et seulement si, B (en abrégé : A ssi B).
1. Il est naturel de penser que le faux implique le vrai, puisqu’en partant d’une hypothèse fausse on peut démontrer des résultats
vrais ; par contre le vrai n’implique pas le faux, puisqu’en partant d’une hypothèse vraie on ne peut pas démontrer quelque chose de
faux.
139
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
— Pour que A soit vraie, il faut et il suffit que B soit vraie.
— Pour que B soit vraie, il faut et il suffit que A soit vraie.
Dans la proposition A ⇔ B, la formule A ⇒ B est appelée condition nécessaire, et la formule B ⇒ A est appelée
condition suffisante.
Méthode. — Pour démontrer que A ⇔ B est vraie, il suffit de démontrer les deux implications A ⇒ B et
B ⇒ A.
— Pour démontrer que A ⇔ B est fausse, il suffit de démontrer que l’une au moins des implications ci-dessus
est fausse.
B
1
0
1
1
0
0
0
1
A
Figure C1.4 – Table de vérité de l’opérateur ⇐⇒
Remarque. Attention au vocabulaire utilisé dans les copies. Par exemple, la phrase « Pour résoudre l’équation
x2 + 6x + 5 = 0, il faut calculer son discriminant » est incorrecte, alors que « Pour résoudre l’équation il suffit de
calculer son discriminant » (ou « on peut ») est correcte : d’autres méthodes peuvent en effet mener au résultat.
C1.1.2 Les quantificateurs
On se donne maintenant des symboles appelés variables qui ne représentent aucun objet mathématique
particulier, chacune étant une lettre : x, y, z, n, p, q . . . On s’intéresse à des propositions A( x) qui dépendent (ou
"parlent") d’une variable x, voire à des propositions A( x1 , . . . , x p ), qui dépendent de plusieurs variables. Par
exemple 0 6 x ou x + 3 = y.
Définition 605.
Soit A( x) une proposition dépendant d’une variable x. Soit X un ensemble. On construit les deux propositions suivantes :
i ) ∀ x ∈ X, A( x) ; elle est vraie si, et seulement si, pour tout élément x de l’ensemble X, la proposition A( x) est vraie.
ii ) ∃ x ∈ X, A( x) ; elle est vraie si, et seulement si, il existe au moins un élément x de l’ensemble X pour lequel A( x)
est vraie.
Exemples 606.
1
n > 1 est fausse.
x2 = −1 est fausse,
— ∀n ∈ N ⋆ ,
— ∃ x ∈ R,
— ∀ x ∈ R, x2 > 0 est vraie.
mais ∃ x ∈ C, x2 = −1 est vraie.
Méthode. — Pour démontrer l’assertion ∀ x ∈ X, A( x), on commence par prendre un élément quelconque
de X (ce que l’on rédige en écrivant par « Soit x ∈ X ») et l’on démontre que A( x) est vraie. Dire que x est
un élément quelconque de X c’est dire que x est un élément générique, en ce sens qu’il ne possède aucune
propriété particulière (autrement dit : rien ne le distingue des autres éléments de X).
— Pour démontrer l’assertion ∃ x ∈ X, A( x), on peut soit utiliser un théorème d’existence du cours (par
exemple le théorème des valeurs intermédiaires), soit construire un certain x0 ∈ X qui est tel que A( x0 )
est vraie.
Il est donc beaucoup plus facile de démontrer ∃ x ∈ X, A( x) que ∀ x ∈ X, A( x), ce qui est logique : la
première proposition est nettement moins forte que la seconde.
Méthode. — Pour démontrer que l’assertion ∀ x ∈ X, A( x) est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple,
c’est-à-dire un x0 ∈ X tel que A( x0 ) est fausse.
— Pour démontrer que l’assertion ∃ x ∈ X, A( x) est fausse, il suffit de démontrer que pour tous les éléments
x de X, A( x) est fausse.
Exemples 607.
1. Montrons que la proposition ∀ x ∈ R, ( x = 1 ⇔ x2 = 1) est fausse.
140
Logique, ensembles, relations
⇒ : Soit x ∈ R. On a bien x = 1 ⇒ x2 = 1, puisque si x = 1 est vraie, alors on a x2 = 12 = 1.
⇐ : Soit x ∈ R. L’implication x2 = 1 ⇒ x = 1 n’est pas toujours vraie : en effet, si x = −1, x2 = 1 est
vraie alors que x = 1 est fausse.
2. Montrons que la proposition ∀ x ∈ R, ([ x = 1 ou x = −1] ⇔ x2 = 1) est vraie.
⇒ : Soit x ∈ R. L’implication ( x = 1 ou x = −1) ⇒ x2 = 1 est visiblement vraie, puisque 12 = 1 et
(−1)2 = 1.
⇐ : Soit x ∈ R. Supposons x2 = 1, alors x2 − 1 = 0, et donc ( x − 1)( x + 1) = 0, ce qui implique x + 1 = 0
ou x − 1 = 0, soit ( x = 1 ou x = −1).
Remarque. On peut intervertir (ou permuter) deux quantificateurs de même nature. Par exemple, la formule
∀ x ∈ X, ∀y ∈ Y, A( x, y) est équivalente à ∀y ∈ Y, ∀ x ∈ X, A( x, y). Mais attention, on ne peut pas, en général,
intervertir un ∀ avec un ∃, comme le prouve l’exemple ci-dessous.
Exemple 608. La proposition ∀ x > 0, ∃y ∈ R, x = y2 est vraie, elle signifie que tout réel positif est un carré. Par
contre, la proposition ∃y ∈ R, ∀ x > 0, x = y2 est fausse : elle signifie qu’il existe un nombre y2 égal à tout réel
positif !
Exercice 609. Est-ce que les énoncés suivants sont vrais pour toutes les fonctions f et g définies sur R ?
i ) ∀ x ∈ R, ( f ( x) g( x) = 0 ⇒ f ( x) = 0 ou g( x) = 0)
ii ) (∀ x ∈ R, f ( x) g( x) = 0) ⇒ (∀ x ∈ R, f ( x) = 0 ou ∀ x ∈ R, g( x) = 0)
iii ) ∃ x ∈ R, ( f ( x) g( x) = 0 ⇒ f ( x) = 0 ou g( x) = 0)
iv) (∃ x ∈ R, f ( x) g( x) = 0) ⇒ (∃ x ∈ R, f ( x) = 0 ou ∃ x ∈ R, g( x) = 0)
Remarque. Il est de coutume de ne pas mélanger langue française et langage mathématique, et plus précisémment : les symboles ∀ et ∃ ne peuvent pas être utilisés comme des abréviations. On évitera donc d’écrire des
choses commes On a ainsi démontré ∀ x la formule considérée ou Il est clair que ∃ x tel que f ( x) = 0.
Définition 610.
Soit A( x) une proposition dépendant d’une variable x. On construit une nouvelle proposition notée ∃! x ∈ X, A( x) qui
est vraie si, et seulement si, il existe un unique élément x dans l’ensemble X tel que A( x) est vraie.
Exemples 611. ∃!x > 0, x2 = 4 est vraie, alors que ∃!x ∈ R, x2 = 4 est fausse.
C1.2
Négation d’une proposition
Définition 612.
Soit R une relation. On appelle négation de R et l’on note R la relation qui est fausse lorsque R est vraie, et vraie lorsque
R est fausse.
Exemples 613. La négation de = est la relation 6= ; la négation de < est la relation >.
Définition 614.
Soit une proposition A. L’expression non( A) est alors une proposition, appelée « négation de A ». Elle est vraie si et
seulement si A est fausse.
Le résultat suivant montre qu’il est possible de raisonner par l’absurde pour démontrer des propositions.
Intuitivement, il exprime le fait que toute proposition est soit vraie, soit fausse (il n’y a pas de troisième
possibilité).
Théorème 615 (Axiome du tiers-exclu).
Pour qu’une proposition A soit vraie, il faut et il suffit que non( A) soit fausse ou absurde (c’est-à-dire qu’elle ait pour
conséquence logique une proposition fausse).
Ce résultat ne se démontre pas : il a en fait été implicitement admis lorsque nous avons posé la définition
598. On dit d’un tel résultat, postulé a priori, qu’il s’agit d’un axiome.
Exercice 616. Montrez en raisonnant par l’absurde que la formule ∃ x > 0, ∀y > 0, x 6 y est fausse (ce qui
prouve que R ∗+ ne possède pas de minimum).
C1.3. ENSEMBLES ET RELATION D’APPARTENANCE
141
Corolaire 617 (Raisonnement par contraposition).
Soient A et B deux propositions. Alors A ⇒ B est vraie si et seulement si non( B) ⇒ non( A) est vraie. La proposition
non( B) ⇒ non( A) sera appelée la « contraposée » de A ⇒ B.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemples 618.
i ) La contraposée de « si j’ai faim, alors je mange » est « si je ne mange pas, alors c’est que je
n’ai pas faim ».
ii ) La contraposée de x = 0 ⇒ f ( x) = 0 est f ( x) 6= 0 ⇒ x 6= 0
Exercice 619. Montrer que pour tout entier n, si n2 est pair alors n est pair.
Le théorème suivant indique comment « calculer » la négation d’une proposition A, c’est-à-dire trouver une
formule simple qui est équivalente à non( A).
Exemple 620. La formule ∃ x ∈ R, x > 0 signifie qu’il existe au moins un nombre réel positif. Sa négation
non(∃ x ∈ R, x > 0) signifie donc qu’aucun nombre réel n’est positif, et équivaut donc à ∀ x ∈ R, x < 0.
Théorème 621.
Soient A, B des propositions, et R une relation qui s’applique à p arguments x1 , . . . , x p . Pour calculer la négation d’une
proposition A, il suffit d’utiliser les équivalences suivantes :
i ) non( A et B) ⇐⇒ [ non( A) ou non( B)] ;
ii ) non( A ou B) ⇐⇒ [ non( A) et non( B)] ;
iii ) non( A ⇒ B) ⇐⇒ [ A et non( B)] ;
iv) non (∀ x ∈ X, A( x)) ⇐⇒ ∃ x ∈ X, non( A( x)) ;
v) non (∃ x ∈ X, A( x)) ⇐⇒ ∀ x ∈ X, non( A( x)) ;
vi ) non( R( x1 , . . . , x p )) ⇐⇒ R( x1 , . . . , x p ).
vii ) non(non( A)) ⇐⇒ A.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Les règles i ) et ii ) sont appelées les « lois de De Morgan. »
Exemples 622. — L’assertion [ x 6= 0 et y 6= 0] exprime que les réels x et y sont différents de 0. sa négation est
équivalente à [ x = 0 ou y = 0].
— L’assertion [ x = 1 ⇒ f ( x) = 0] exprime que la fonction f s’annule en 1. Sa négation est alors équivalente
à [ x = 1 et f ( x) 6= 0], qui exprime que f ne s’annule pas en 1.
— La proposition ∃ x ∈ N, ∀y ∈ N, x 6 y exprime que N possède un minimum. Sa négation signifie que N
ne possède pas de plus petit élément, et est équivalente à ∀ x ∈ N, ∃y ∈ N, x > y.
Exercice 623. Montrer que si x et y sont des réels tels que x + y > 1, alors x >
C1.3
1
1
ou y > .
2
2
Ensembles et relation d’appartenance
La théorie des ensembles peut être vue comme la théorie mathématique la plus simple, néanmoins c’est aussi
la plus puissante puisqu’à partir d’elle, c’est-à-dire à partir des axiomes qui la constituent, on peut reconstruire
l’ensemble des mathématiques. La notion d’ensemble est la première pierre de la construction mathématique.
On peut en donner la définition abstraite suivante, qui ne sera jamais utilisée par la suite.
Définition 624.
On appelle ensemble toute collection d’objets mathématiques.
Exemples 625. N, R, C, [0, 1] sont des ensembles.
Remarque. On n’a pas besoin de savoir ce qu’est un ensemble : il suffit de se donner des « objets » sur lesquels
on peut appliquer les règles de construction données dans ce chapitre pour pouvoir développer toutes les
mathématiques. Celles-ci se présentent donc a priori comme une théorie formelle, faite d’une collection de règles,
sans que l’on sache véritablement quels sont les objets que l’on décrit (savoir si c’est là la réalité mathématique
est une question philosophique).
142
Logique, ensembles, relations
Définition 626.
Soit ∈ la relation définie de la manière suivante : pour tout ensemble A et tout un objet mathématique x, la relation x ∈ A
est vraie si et seulement si x fait partie de la collection A. De même, on notera ∈
/ la négation de la relation ∈ (c’est-à-dire
la relation notée ∈ dans la partie précédente).
Exemples 627. Les propositions suivantes sont vraies : 0 ∈ Q, −1 ∈
/ N, π ∈ R.
Notation. Dans cette partie, et uniquement dans celle-ci, on s’autorisera à écrire des propositions de la forme
∀ x F ( x), sans référence à l’ensemble auquel appartient x.
Définition 628.
Soient A, B deux ensembles. On dit que « A est inclus dans B », que « A est une partie de B » ou que « A est un
sous-ensemble de B », si tous les éléments de A appartiennent à B. Cette relation sera notée A ⊂ B. On a donc :
A ⊂ B ⇐⇒ ∀ x ( x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Exemples 629. On a N ⊂ Z, ou encore [0, 1] ⊂ R et enfin A ⊂ A pour tout ensemble A.
Théorème 630 (Axiome de l’égalité).
On dit que deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si ils possèdent les mêmes éléments. On notera alors A = B
cette relation. En d’autres termes, on pose
A = B ⇐⇒ ( A ⊂ B et B ⊂ A)
Remarque. Puisque nous n’avons pas défini clairement ce qu’est un ensemble, ni ce qu’est l’égalité de deux
ensembles, on ne peut démontrer la proposition ci-dessus : c’est un axiome.
Méthode. Pour montrer que deux ensembles A et B sont égaux, il suffit de montrer la double-inclusion A ⊂
B et B ⊂ A.
Définition 631.
On appelle ensemble vide, et l’on note ∅ l’unique ensemble qui ne contient aucun élément.
Remarque. Tout ensemble X contient l’ensemble vide : comme celui-ci ne contient aucun élément, la proposition
∀ x( x ∈ ∅ ⇒ x ∈ X ) est vraie puisque son hypothèse est toujours fausse.
Définition 632 (Représentation des ensembles finis.).
Soit n ∈ N et X un ensemble ne contenant qu’un nombre fini d’éléments distincts x1 , . . . , xn . On pourra alors noter X
par l’expression suivante : { x1 , . . . , xn }.
Exemples 633.
— L’ensemble des nombres entiers inférieurs ou égaux à n peut être noté {1, . . . , n}.
— {{a, b}, {c}} est un ensemble à deux éléments : {a, b} et {c} (un ensemble peut donc contenir d’autres
ensembles. . . en pratique on ne rencontre pas ce type d’exemple aux concours).
Remarque. L’axiome de l’égalité implique {a, b} = {b, a}. Cet ensemble est appelé la paire {a, b}, dans laquelle
il n’y a pas de notion d’ordre entre a et b. Plus généralement, l’axiome de l’égalité permet d’énoncer la règle
suivante : lorsque l’on représente un ensemble fini par la séquence de ses éléments écrits entre deux accolades, on est libre
de ranger ceux-ci dans n’importe quel ordre.
Définition 634.
On appelle « famille d’ensembles indexée par un ensemble I », et on note ( Ei )i∈ I , la donnée pour tout i ∈ I d’un ensemble
Ei . Si I est un ensemble fini, on dit que la famille est finie.
Exemples 635. ([ x, x + 1]) x ∈R et ([n, +∞[)n∈Z sont des familles d’ensembles.
Remarque. Une famille d’ensembles indexée par I est en fait une application de I vers E. Les éléments d’une
famille ne sont donc pas ordonnés a priori, et une famille peut contenir plusieurs fois un même élément.
C1.4. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES ENSEMBLES
C1.4
143
Opérations élémentaires sur les ensembles
C1.4.1 Produit cartésien
Définition 636.
Soient A et B deux ensembles. On appelle produit cartésien de A et de B, et on note A × B l’ensemble dont les éléments
sont les couples de la forme ( a, b), avec a ∈ A et b ∈ B.
Exemple 637. R × R est l’ensemble des couples de réels. Il est également noté R2 .
Exercice 638. Déterminer l’ensemble {a, b} × {c, d, e}.
Remarque. Contrairement au cas des paires, il existe une notion d’ordre dans les couples : on considère que les
couples ( a, b) et (b, a) sont deux objets différents, alors que les ensembles (ou paires) {a, b} et {b, a} sont égaux.
Notation. Soit A un ensemble. On note An l’ensemble |A × A ×
. . . × A}.
{z
n fois
C1.4.2 Définition d’un ensemble par compréhension, à partir d’une formule
Définition 639.
Soit A un ensemble, et F (y) une formule dépendant d’une variable y. On peut définir l’ensemble des éléments x de A pour
lesquels la proposition F ( x) est vraie, qui sera noté { x ∈ A; F ( x)}.
Exemples 640.
— {n ∈ N; ∃k ∈ N, n = 2k + 1} est l’ensemble des nombres impairs.
— L’ensemble des réels annulant une fonction f est noté { x ∈ R; f ( x) = 0}.
Remarque. Par exemple, l’écriture {∀ x ∈ A; F ( x)}. est incorrecte.
C1.4.3 Union et intersection
Définition 641.
Soient deux ensembles A et B. On appelle « réunion de A et B, » et l’on note A ∪ B l’ensemble des éléments qui sont dans
A ou dans B. En d’autres termes, on pose :
∀ x ( x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ A ou x ∈ B) .
Exemples 642.
— {a, b} ∪ {c, d} = {a, b, c, d} ;
— {a, b} ∪ {a, c} = {a, b, c} (ne pas écrire a deux fois dans l’ensemble de droite) ;
— N ∪ R = R (puisque N ⊂ R, ajouter les éléments de N à ceux de R ne change rien).
Définition 643.
Soient deux ensembles A et B. On appelle « intersection de A et B, » et l’on note A ∩ B l’ensemble des éléments qui sont
à la fois dans A et dans B. En d’autres termes on pose :
∀ x ( x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A et x ∈ B) .
Exemples 644.
— {a, b} ∩ {c, d} = ∅ ;
— {a, b} ∩ {a, c} = {a} ;
— N ∩ R = N (comme N ⊂ R, les éléments qui sont dans N et R à la fois sont ceux de N).
î
óä
ó
√ î Ä
Exercice 645. Déterminez l’ensemble −∞, 3 ∩ [−1, 1] ∪ 0, 23 .
Définition 646.
Deux ensembles A et B sont dit « disjoints » si A ∩ B = ∅.
Théorème 647.
Soient A, B deux ensembles. On a
A ⊂ A ∪ B et A ∩ B ⊂ A.
Démonstration. Voir les notes de cours (on commence par faire un dessin).
144
Logique, ensembles, relations
On appelle « distributivité de la multiplication par rapport à l’addition » la propriété :
∀( x, y, z) ∈ R3 , x × (y + z) = ( x × y) + ( x × z).
De manière analogue, l’intersection est distributive par rapport à la réunion, et inversement.
Théorème 648.
Soient A, B, C trois ensembles. On a
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
et
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )
Démonstration. Voir les notes de cours (on commence par faire un dessin).
On peut alors réaliser l’union ou l’intersection d’un nombre quelconque (éventuellement infini) d’ensembles.
Définition 649.
Soit I un ensemble d’entiers et soit ( Ai )i∈ I une famille d’ensembles.
• On appelle « réunion des Ai , » et on note
S
i∈ I
Ai , l’ensemble dont les éléments sont ceux qui appartiennent à au moins
un des ensembles de ( Ai ). En d’autres termes, on pose :
∀x x ∈
• On appelle « intersection des Ai , » et on note
T
i∈ I
[
i∈ I
!
Ai ⇐⇒ ∃i ∈ I, x ∈ Ai .
Ai , l’ensemble dont les éléments sont ceux qui appartiennent à tous
les ensembles de ( Ai ). En d’autres termes, on pose :
∀x x ∈
\
i∈ I
!
Ai ⇐⇒ ∀i ∈ I, x ∈ Ai .
La définition suivante sera souvent utilisée en probabilités.
Définition 650.
Soit E un ensemble, I un ensemble d’entiers et ( Ei )i∈ I une famille de parties non vides de E. ( Ei )i∈ I est appelée « une
partition de E » lorsqu’elle vérifie :
i)
[
Ei = E ;
i∈ I
ii ) quels que soient les entiers i 6= j dans I, on a Ei ∩ Ej = ∅.
Exemple 651. L’ensemble des étudiants de la classe se partitionne entre ceux qui connaissent cette définition et
ceux qui ne la connaissent pas.
C1.4.4 Complémentaire d’un ensemble dans un autre
Définition 652.
Soit X un ensemble et A une partie de celui-ci. On appelle « complémentaire de A dans X, » et on note A, ou X \ A, ou
X − A, ou Ac ou encore ∁X A l’ensemble des éléments de X qui ne sont pas dans A. En d’autres termes, on pose
X \ A = { x ∈ X; x ∈
/ A} .
Exemples 653.
— A \ A = ∅.
— R \]0, 1[=] − ∞, 0] ∪ [1, +∞[.
— N \ {n ∈ N; ∃k ∈ N, n = 2k + 1} = {n ∈ N; ∃k ∈ N, n = 2k}.
Théorème 654.
Soit E un ensemble et A ⊂ E. On a A = A.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 655 (Lois de De Morgan).
Soit E un ensemble et A, B deux parties de E. On a
A∪B = A∩B
et
A ∩ B = A ∪ B.
145
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Ces lois sont analogues aux règles de calcul de la négation des connecteurs et et ou.
Théorème 656.
Soit E un ensemble et A1 , . . . , An des parties de E. On a
n
[
Ai =
i=1
n
\
Ai et
i=1
n
\
Ai =
i=1
n
[
Ai .
i=1
Démonstration. Il suffit de procéder par récurrence en utilisant les lois de De Morgan.
C1.4.5 Ensemble des parties d’un ensemble
Définition 657.
Soit E un ensemble. On appelle « ensemble des parties de E, » et on note P ( E) l’ensemble dont les éléments sont tous les
ensembles inclus dans E. En d’autres termes on pose :
∀ A ( A ∈ P ( E) ⇐⇒ A ⊂ E) .
Exemples 658. — L’ensemble des parties d’un ensemble E contient toujours l’ensemble vide ainsi que l’ensemble E lui-même, car on a ∅ ⊂ E et E ⊂ E.
— P (N ) est l’ensemble des ensembles d’entiers. Il contient par exemple {8}, J0, 10K, ou l’ensemble des
entiers pairs.
— Prenons E = {a, b}. Alors P ( E) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} .
Remarque. Lors du calcul de l’ensemble des parties d’un ensemble, afin de n’oublier aucune partie, on recherche celles-ci par cardinal croissant : d’abord la partie de cardinal 0 (l’ensemble vide), puis celles de cardinal
1 (les singletons), puis celles de cardinal 2 (les paires), etc...
L’existence du produit cartésien, de l’union, de l’intersection, de l’ensemble des parties d’ensembles, ainsi
que la construction d’un ensemble à partir d’une formule et l’axiome de l’égalité, constituent les axiomes
élémentaires de la théorie des ensembles.
C1.5
Notion de relation binaire
C1.5.1 Définitions
Une relation binaire R sur un ensemble E correspond intuitivement à une propriété, que les couples ( x, y) ∈
E2 sont susceptibles d’avoir ou non. Formellement, cela donne la défintion suivante.
Définition 659.
Soit E un ensemble.
i ) Une « relation binaire » R sur E est la donnée d’une partie XR ⊂ E × E.
ii ) On dit que x est en relation avec y, et on note xRy lorsque ( x, y) ∈ XR ; soit : xRy ⇐⇒ ( x, y) ∈ XR .
Exemples 660. Nous avons déjà rencontré de nombreuses relations binaires :
i ) La relation d’égalité sur l’ensemble des nombres complexes ;
ii ) La relation d’ordre 6 sur R ;
iii ) La relation de congruence modulo α ∈ R sur R ;
iv) La relation d’inclusion sur P ( E).
Remarque. Il est possible de définir des relations entre n > 3 éléments d’un même ensemble, ou encore d’ensembles différents, mais ce type de relation est hors programme.
La définition suivante donne les principales propriétés que peut avoir une relation binaire.
Définition 661.
Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E. On dit que :
i ) R est réflexive si ∀ x ∈ E, xRx ;
ii ) R est symétrique si ∀( x, y) ∈ E2 , xRy ⇒ yRx ;
iii ) R est antisymétrique si ∀( x, y) ∈ E2 , (( xRy et yRx) ⇒ x = y) ;
iv) R est transitive si ∀( x, y, z) ∈ E3 , (( xRy et yRz) ⇒ xRz).
146
Logique, ensembles, relations
C1.5.2 Relations d’équivalence, classes d’équivalence
Définition 662.
Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E. On dit que R est une « relation d’équivalence » si elle est réflexive,
symétrique et transitive.
Exemples 663. Les relations d’égalité et de congruence sont des relations d’équivalences.
Définition 664.
Soient E un ensemble, R une relation d’équivalence sur E et x ∈ E. On appelle « classe d’équivalence » de x pour la
relation R, et on note Cx ou [ x], l’ensemble des éléments de E qui sont en relation avec x :
Cx = {y ∈ E | xRy} .
Exemple 665. Pour la relation de congruence modulo 2 sur Z, on a C0 = {2k | k ∈ Z } et C1 = {2k + 1 | k ∈ Z }.
Théorème 666.
Soient E un ensemble, R une relation d’équivalence sur E et ( x, y) ∈ E2 .
i ) Si xRy, alors Cx = Cy .
ii )Si non ( xRy), alors Cx ∩ Cy = ∅.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Une relation d’équivalence permet donc de définir une partition d’un ensemble, en réunissant dans
une même partie tous les éléments qui sont équivalents entre eux. Par exemple, on peut définir une relation sur
l’ensemble des étudiants de la classe en disant que deux élèves sont en relation si ils ont les yeux de la même
couleur. Cette relation est une relation d’équivalence. La classe d’équivalence d’un étudiant est alors l’ensemble
des étudiants de la classe qui ont les yeux de la même couleur que lui. Les classes d’équivalences ainsi définies
partitionnent alors l’ensemble des étudiants de la classes en sous-ensembles constitués de personnes ayant les
yeux de la même couleur.
C1.5.3 Relations d’ordre
Définition 667.
Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E.
i ) On dit que R est une « relation d’ordre » si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
ii ) Une relation d’ordre R est dite « totale » si ∀( x, y) ∈ E2 , ( xRy ou yRx). Elle est dite « partielle »dans le cas
contraire.
Exemples 668.
i ) La relation 6 est une relation d’ordre totale sur R.
ii ) La relation ⊂ est une relation d’ordre partielle sur P ( E).
Chapitre
C2
Applications
Dans ce chapitre, les lettres E, F et G désigneront des ensembles.
C2.1
Définitions
Intuitivement, une application de E dans F est un procédé permettant d’associer à tout élément x de E un
unique élément y de F. Formellement, on a la définition suivante.
Définition 669. i ) On appelle « application » tout triplet d’ensembles f = ( E, F, Γ), tel que Γ est une partie de E × F
qui vérifie :
∀ x ∈ E, ∃!y ∈ F, ( x, y) ∈ Γ.
ii ) Si ( x, y) ∈ Γ, on dit alors que y est « l’image » de x par f et on note y = f ( x). On dit aussi que x est un
« antécédent » de y par f .
®
iii ) La fonction f se note f :
E −→ F
ou f : E → F
.
x 7−→ f ( x)
x 7→ f ( x)
iv) L’ensemble des applications de E dans F est noté F E .
Remarque. Soit f : E → F et x ∈ E. L’image de x par f est donc unique, mais un élément y ∈ F peut avoir
plusieurs (ou aucun) antécédents. Cela se matérialise aisément sur un dessin.
Figure C2.1 – Ce dessin représente une application
Figure C2.2 – Ce dessin ne représente pas une application
Exemple 670. Soit f : R → R l’application définie par f ( x) = x2 . L’image de 2 par f est 4, et les antécédents de
4 par f sont 2 et −2. Par contre −4 ne possède pas d’antécédent par f .
Définition 671.
On appelle « identité de E, » et on note IdE l’application IdE : E → E définie par ∀ x ∈ E, IdE ( x) = x
Définition 672.
On appelle « involution de E » toute application f : E → E telle que f ◦ f = IdE .
®
Exemples 673. f :
R −→ R
,g:
x 7−→ − x
®
C −→ C
, et toute symétrie dans le plan sont des involutions.
z 7−→ z
148
Applications
Définition 674.
On appelle « point fixe de f » tout élément x ∈ E que f ( x) = x.
Définition 675.
Soit A ⊂ E. L’application définie par ∀ x ∈ E, 1 A ( x) =
(
1
0
si x ∈ A
sinon
est appelée « fonction caractéristique de A »
ou « indicatrice de A. »
Définition 676.
On considère deux applications®f : E → F et g : G → E. On appelle alors « composée de f et de g », et l’on note f ◦ g,
G −→ F
l’application définie par f ◦ g :
.
x 7−→ f ( g( x))
Théorème 677 (Associativité de la composition).
Soient f : E → F, g : F → G et h : G → H. Alors :
h ◦ ( g ◦ f ) = ( h ◦ g) ◦ f .
Démonstration. Trivial.
Définition 678 (Restriction).
®
Soit f : E → F, et A ⊂ E. L’application f | A :
A −→ F
est appelée « restriction de f à A. »
x 7−→ f ( x)
Définition 679 (Prolongement).
Soit f : E → F. Soit encore E′ un ensemble tel que E ⊂ E′ . Alors toute application f˜ : E′ → F telle que ∀ x ∈ E, f˜( x) =
f ( x) est appelée « un prolongement de f à E′ ».
®
Exemple 680. Les fonctions x 7→ | x| et x 7→ x sont deux prolongements à R de f :
C2.2
R + −→ R
.
x 7−→ x
Image directe et réciproque d’un ensemble
Définition 681 (Image directe d’un ensemble).
Soit f : E → F, et A ⊂ E. On appelle « image (directe) de A par f », et l’on note f ( A) l’ensemble des images des éléments
de A, c’est-à-dire
f ( A) = {y ∈ F; ∃ a ∈ A, y = f ( a)} = { f ( a); a ∈ A}.
Exemples 682.
• Soit f : x 7→ | x|. On a alors f (R ) = R + .
• On a ch(R ) = ch(R + ) = ch(R − ) = [1, +∞[.
Définition 683.
Soit f : E → F. On appelle « image de f » l’ensemble f ( E).
Théorème 684.
Soit f : E → F et A, B deux sous-ensembles de E. On a alors A ⊂ B ⇒ f ( A) ⊂ f ( B).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Définition 685.
Soit f : E → F, et A ⊂ E. On dit que « A est stable par f » si l’on a f ( A) ⊂ A.
Exemple 686. Les ensembles R + et R sont stables pour la fonction valeur absolue, mais R − ne l’est pas.
Définition 687 (Image réciproque d’un ensemble).
−1
Soit f une application de E vers F, et B ⊂ F. On appelle « image réciproque de B par f », et l’on note f ( B) l’ensemble
des antécédents des éléments de B, c’est-à-dire
−1
f ( B) = { x ∈ E; f ( x) ∈ B}.
−1
ó
î
√ î ó√
Exemple 688. Soit f : x 7→ x2 . On a alors f (]2; +∞[) = −∞, − 2 ∪
2, +∞ .
C2.3. FONCTIONS INJECTIVES, SURJECTIVES ET BIJECTIVES
149
Remarque. La notation la plus courante pour l’image réciproque d’une partie est en fait f −1 ( B) et non pas
−1
f ( B), il faut donc vous attendre à rencontrer celle-ci en exercice. Néanmoins, on utilise une autre notation
−1
dans ce chapitre afin d’insister sur le fait que l’image réciproque f ( B) est définie dans tous les cas, et qu’elle
n’a a priori aucun rapport avec une éventuelle bijectivité de f : dans la définition précédente, on n’a d’ailleurs
−1
−1
pas dit que f était une fonction, on a simplement noté f ( B) un ensemble !
C2.3
Fonctions injectives, surjectives et bijectives
C2.3.1 Injections
Définition 689.
Soit f : E → F. On dit que f est « injective » si
∀( x, x′ ) ∈ E2 , f ( x) = f ( x′ ) ⇒ x = x′ ,
ce qui (par contraposition) équivaut à
∀( x, x′ ) ∈ E2 , x 6= x′ ⇒ f ( x) 6= f ( x′ ).
En d’autres termes, f : E → F est injective si tout élément y ∈ F possède au plus un antécédent.
Exercice 690. Des deux applications figurées ci-dessous, laquelle (ou lesquelles) est (sont) injective(s) ?
Exemples 691.
• f : x 7→ x + 1 défini une application injective sur R.
• g : x 7→ x2 défini une application qui n’est pas injective sur R, mais par contre elle l’est sur R + (et d’autre
part sur R − ) : l’injectivité est donc une notion relative qui dépend du domaine considéré.
Théorème 692.
Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle I de R. Alors f est injective.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 693.
Soient deux applications f : E → F et g : G → E. On a alors le résultat suivant.
f injective
g injective
´
⇒ f ◦ g injective
En d’autres termes, la composée de deux injections est encore une injection.
Démonstration. Voir les notes de cours.
150
Applications
C2.3.2 Surjections
Définition 694.
Soit f : E → F. On dit que f est « surjective » si
∀y ∈ F, ∃ x ∈ E, y = f ( x).
En d’autres termes, f : E → F est surjective si tout élément y ∈ F possède au moins un antécédent.
Remarque. Si f : E → F, alors la formule ∀ x ∈ E, ∃y ∈ F, y = f ( x) est trivialement vraie : elle traduit
simplement la relation f : E → F, et n’a donc aucun rapport avec la notion de surjectivité.
Exercice 695. Des deux applications ci-dessous, laquelle (ou lesquelles) est (sont) surjective(s) ?
Exemples 696.
x2
• f : x 7→ x + 1 est surjective en tant qu’application de R dans R.
• g : x 7→
n’est pas surjective en tant qu’application de R dans R, mais par contre elle l’est en tant
qu’application de R dans R + : la surjectivité est donc une notion relative qui dépend de l’espace d’arrivé
considéré.
Théorème 697.
Soit f : E → F. Alors f est surjective en tant qu’application de E dans f ( E).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 698.
Soient deux applications f : E → F et g : G → E. On a alors le résultat suivant.
f surjective
g surjective
´
⇒ f ◦ g surjective
En d’autres termes, la composée de deux surjections est encore une surjection.
Démonstration. Voir les notes de cours.
C2.3.3 Bijections
Définition 699.
Soit f : E → F une application. On dit que f est « bijective » si elle est à la fois injective et surjective, c’est-à-dire si
∀y ∈ F, ∃!x ∈ E, y = f ( x).
On dira dans ce cas que f « réalise une bijection de E sur F. » En d’autres termes, f : E → F est bijective si chaque élément
y ∈ F possède exactement un antécédent.
Exercice 700. Des applications figurées ci-dessous, laquelle (ou lesquelles) est (sont) bijective(s) ?
Définition 701.
Soient f : E → F, A ⊂ E et B ⊂ F. On dit que f « réalise une bijection de A sur B » si :
i ) ∀ x ∈ A, f ( x) ∈ B (en d’autres termes, on a f | A : A → B),
ii ) ∀y ∈ B, ∃!x ∈ A, y = f ( x).
151
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
L’application ci-contre n’est pas une bijection, mais réalise une bijection de A sur B.
®
Exemples 703.
• IdR :
®
R −→ R
est une bijection, et réalise une bijection de R + sur R + .
x 7−→ x
R −→ R
n’est pas bijective, mais réalise une bijection de R + sur R + , et réalise
x 7−→ x2
une bijection de R − sur R + .
Exemple 702.
Théorème 704.
Soit f : E → F une application injective. Alors f réalise une bijection de E sur f ( E).
• L’application f :
Démonstration. Résulte directement du théorème 697.
Théorème 705.
Soient deux applications f : E → F et g : G → E. On a alors le résultat suivant.
f bijective
g bijective
´
⇒ f ◦ g bijective
En d’autres termes, la composée de deux bijections est encore une bijection.
Démonstration. Résulte directement des théorèmes 693 et 698.
Exercice 706. Montrer que l’application φ :
réalise une bijection.
R2
→
R2
( x, y) 7→ ( x + y, x − y)
C2.3.4 Applications inversibles
Définition 707.
Soit f : E → F. On dit que f est « inversible » si et seulement si il existe une application f −1 : F → E telle que
(
∀ x ∈ E, f −1 ( f ( x)) = x
Ä
ä
∀y ∈ F, f f −1 (y) = y
⇐⇒
(
f −1 ◦ f = IdE
f ◦ f −1 = Id F
f −1 est alors appelé « l’inverse » ou la « réciproque » de f .
Remarque. Soit f : E → F, et B ⊂ F. Attention à ne pas confondre l’inverse f −1 d’une application, qui n’est pas
−1
toujours défini, avec les notations f ( B) ou f −1 ( B) qui désignent l’image réciproque de l’ensemble B (qui est
elle toujours définie).
Théorème 708 (Unicité si existence de l’inverse).
Soit f : E → F. Alors f possède au plus un inverse.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Le résultat suivant démontre que les applications opèrant des transformations réversibles sont les bijections.
152
Applications
Théorème 709.
Soit f : E → F. Alors f est inversible si et seulement si elle est bijective. Et dans ce cas, f −1 est elle-même bijective.
Démonstration. Voir les notes de cours.
ó
î
Exemple 710. La fonction x 7→ tan x réalise une bijection de − π2 , π2 sur R, et sa réciproque est la fonction
ó
î
x 7→ Arctan x, qui réalise une bijection de R sur − π2 , π2 .
Exercice 711. Déterminer l’inverse de la fonction φ définie à l’exercice 706.
Appendice : notion de cardinal
La manière la plus rapide de vérifier si deux « sacs de billes » ont le même nombre d’éléments est de retirer
une par une et simultanément toutes les billes de chaque sac : à chaque instant on retire une bille du premier
sac avec la main gauche, et une bille du second avec la main droite. Lorsque l’un des deux sacs est vide, il n’y
a plus qu’à regarder si le second l’est ou pas.
On raisonne de même avec deux ensembles, pour savoir s’ils ont le même nombre d’éléments ; on trace une
application entre les éléments de l’un et ceux de l’autre : si on épuise les deux ensembles en même temps, c’est
qu’ils avaient bien le même nombre d’éléments.
Ces considérations nous incitent à poser la définition suivante.
Définition 712.
Soient E et F deux ensembles. On dit qu’ « ils ont le même cardinal » s’il existe une bijection de E vers F.
Exemples 713.
• Les ensembles N et N ∗ ont le même cardinal puisque l’application
Φ:
N
n
→
7→
N∗
n+1
est clairement bijective.
• Il y a autant de nombres pairs que de nombres entiers. En effet, l’application
Ψ:
est clairement bijective.
N
n
→
7→
2N
2n
Chapitre
C3
Systèmes linéaires
Dans tout ce chapitre, la lettre K désigne l’un des deux ensembles R ou C.
C3.1
Notion de matrice et exemples
Définition 714.
Soient n, p > 1 des entiers. On appelle « matrice à n lignes, p colonnes et à coefficients dans K » toute application de
J1, nK × J1, pK dans K.
Une matrice A : J1, nK × J1, pK → K est notée par un tableau rectangulaire d’éléments de K possédant n lignes
(i, j)
7→ ai,j
et p colonnes :

A = ( ai,j )
16i6n
16j6 p
a1,1
a
 2,1
 .
 .
 .
=

 ai,1
 .
 .
 .
a1,2
a2,2
..
.
ai,2
..
.

· · · a1,j · · · a1,p
· · · a2,j · · · a2,p 

.. 
..

. 
.

· · · ai,j · · · ai,p 

..
.. 

.
. 
an,1 an,2 · · · an,j · · · an,p
Lorsque l’on emploiera la notation ci-dessus, on dira que « A est la matrice de terme général ai,j . »
Notations.
— Une matrice à n lignes, p colonnes est aussi appelée une « matrice de taille n × p. »
— L’ensemble des matrices de taille n × p à coefficients dans K est noté Mn,p (K ).
— Une matrices de taille n × n est appelée une « matrice carrée de taille n » ou une « matrice carrée d’ordre
n. »
— L’ensemble Mn,n (K ) des matrices carrées d’ordre n est noté Mn (K ).
— Soit A ∈ Mn,p (K ). Le coefficient de A situé à l’intersection de la i-ième ligne et de la j-ième colonne
sera appelé le « coefficient d’indice (i, j) de A », et sera noté [ A]i,j . L’important est de retenir que, par
convention, le premier indice correspond au numéro de la ligne, et le second à celui de la colonne.
Ç
Exemple 715. Voilà une matrice carrée d’ordre 2 à coefficients dans R : A =
1 2
. On a ici [ A]1,1 = 1,
3 4
å
[ A]1,2 = 2, [ A]2,1 = 3 et [ A]2,2 = 4.
Exercice 716. Ecrire la matrice 3 × 3 de terme général i + j.
Remarque. Dans le cas n = p = 1, on a affaire à des tableaux contenant un unique élément de K. Il est alors
naturel d’identifier l’ensemble M1,1 (K ) à K lui-même, ce qui revient à effacer les parenthèses des matrices de
taille 1 × 1.
Définition 717.
Soit M ∈ Mn,p (K ). Le couple (n, p) est alors appelé « la dimension » de la matrice M.
154
Systèmes linéaires
Définition 718.
Une matrice à une ligne et p colonnes est appelée un « vecteur ligne de taille p ». On représente une telle matrice M comme
suit, en omettant le premier indice de chaque coefficient :
Ä
ä
M = m1 m2 · · · m p .
Une matrice à n ligne et une colonnes est appelée un « vecteur colonne de taille n ». On représente une telle matrice M
comme suit, en omettant le second indice de chaque coefficient :
à
M=
m1
m2
..
.
í
.
mn
Remarque. On a coutume d’identifier l’ensemble Mn,1 (K ) des matrices colonnes de taille n avec K n . On évitera
par contre de faire cette identification avec l’ensemble des matrices lignes.
Définition 719.
Soient n, p des entiers non nuls.
• La matrice M ∈ Mn,p (K ) dont tous les coefficients sont nuls est appelée « matrice nulle de taille n × p, » et notée
On,p .
Ü
ê
0 ... 0
..
..
On,p =
.
.
0 ... 0
• Toute matrice A ∈ Mn (K ) vérifiant la formule ∀(i, j) ∈ J1, nK2 , i 6= j ⇒ ai,j = 0 est appelée « matrice diagonale. » Elle est notée Diag( a1,1 , . . . , an,n ).
Ä
â
Diag( a1,1 , . . . , an,n ) =
a1,1
0
0
..
.
a2,2
0
...
ä
...
..
.
..
.
0
..
.
ì
0
an,n
Il s’agit des matrices dont les seuls coefficients non nuls sont situés sur la diagonale du tableau.
• On appelle « matrice identité d’ordre n, » et on note In , la matrice diagonale M ∈ Mn (K ) dont tous les termes
diagonaux sont égaux à 1.
â
ì
1 0 ... 0
. . ..
. .
0 1
In =
.. . . . .
. 0
.
.
0 ... 0 1
• On appelle « matrice scalaire » toute matrice diagonale dont tous les termes diagonaux sont égaux entre eux. Lorsque
cette valeur est λ, cette matrice sera notée Sλ,n , ou plus simplement Sλ lorsque cela ne prêtera pas à confusion.
â
Sλ =
... 0
.
..
. ..
0 λ
.. . . . .
.
. 0
.
0 ... 0 λ
λ
0
ì
C3.2. NOTION DE SYSTÈME LINÉAIRE
155
• Toute matrice A ∈ Mn (K ) vérifiant la formule ∀(i, j) ∈ J1, nK2 , i > j ⇒ ai,j = 0 est appelée « matrice triangulaire supérieure. »
ì
â
a1,1 a1,2 . . . a1,n
..
.
.
0 a2,2 . .
..
..
.
.
0
. . . 0 an,n
Ä
• Toute matrice A ∈ Mn (K ) vérifiant la formule
laire inférieure. »

a1,1

 a2,1

 ..
 .

 .
 .
 .
an,1
ä
∀(i, j) ∈ J1, nK2, i < j ⇒ ai,j = 0 est appelée « matrice trianguÄ
0
a2,2
0
0
..
.
...
...
..
...
.
ä
0
0
..
.









0 
an,n−1 an,n
• Soit (i, j) ∈ J1, nK × J1, pK. La matrice M ∈ Mn,p (K ) dont tous les coefficients sont nuls, excepté le coefficient
d’indices (i, j) qui vaut 1, est notée Ei,j .


0 ··· ··· 0 ··· 0
.
.. 
..
 ..
.
.



.. 
..

 ..

.
.
Ei,j =  .

0 · · · · · · 1 · · · 0 


.
.. 
..

.
.
.
.
0 ··· ··· 0 ··· 0
C3.2
Notion de système linéaire
Définition 720.
Soient n, p > 1 deux entiers.
i ) On appelle « équation linéaire à p inconnues x1 , . . . , x p et à coefficients dans K » toute équation de la forme :
a1 x1 + · · · + a p x p = b,
avec a1 , . . . , a p , b des éléments de K.
ii ) On appelle « système linéaire de n équations à p inconnues x1 , . . . , x p et à coefficients dans K, » ou plus simplement
« système de taille n × p à coefficients dans K, » tout ensemble de n équations linéaires d’inconnues x1 , . . . , x p à
coefficients dans K. Un système linéaire (S) peut donc se représenter de la manière suivante :
(S)


a1,1 x1




a

2,1 x1






ai,1 x1










+ · · · + a1,j x j + · · · + a1,p x p = b1
+ · · · + a2,j x j + · · · + a2,p x p = b2
..
.
+···+
ai,j x j
..
.
+···+
ai,p x p = bi
an,1 x1 + · · · + an,j x j + · · · + an,p x p = bn
iii ) Le vecteur (b1 , . . . , bn ) est appelé le « second membre » de (S). Lorsque ce vecteur est nul, on dit que (S) est un
système linéaire « homogène. » Dans le cas général, on appelle « système homogène associé » à (S), et on note (S0 ),
le système de mêmes cœfficients que (S) mais dont le second membre est nul.
156
Systèmes linéaires
iv) On appelle solution de (S) dans K tout vecteur (u1 , . . . , u p ) ∈ K p qui vérifie toutes les équations de (S). L’ensemble
des solutions de (S) est donc une partie de K p .
v) Un système linéaire est dit « compatible » s’il admet au moins une solution. Dans le cas contraire, on dit qu’il est
« incompatible. »
Remarque. Tout système linéaire homogène est compatible car le vecteur (0, . . . , 0) est solution de ce système.
Notation. Étant donné un système linéaire de taille n × p, on a coutume de noter Li la i-ième équation de
celui-ci, pour 1 6 i 6 n.
Lorsqu’on résout un système linéaire, le nom des inconnues n’a pas d’importance. En fait, on peut s’en
passer : lorsqu’on enlève les inconnues, il ne reste plus qu’une matrice rectangulaire (contenant les coefficients
du systèmes), et une matrice colonne (contenant les seconds membres de l’équation).
Définition 721.
Soient n, p > 1 deux entiers et S un système linéaire de taille n × p à cœfficients dans K :
(S) :

a1,1 x1
















ai,1 x1
+ · · · + a1,j x j + · · · + a1,p x p = b1
..
.
+···+
ai,j x j
..
.
+···+
ai,p x p = bi
an,1 x1 + · · · + an,j x j + · · · + an,p x p = bn
i ) La matrice associée au système (S) est la matrice A de taille n × p constituée des cœfficients du système (S) :
A = ( ai,j )16i6n .
16 j6 p
ii ) Une matrice augmentée est un couple formé d’une une matrice A de taille n × p et d’un vecteur colonne B de taille
n. On le note ( A| B).
iii ) La matrice augmentée ( A| B) associée au système (S) est le couple où A est la matrice associée au système S et B
est le vecteur colonne constitué des second membres du système (S) :
Ü
( A| B) =
®
Exemple 722. Le système (S)
· · · a1,p
..
.
b1
..
.
an,1 · · · an,p
bn
a1,1
..
.
A=
Le système (S)
.
x+y =0
correspond à la matrice A suivante :
x + 2y = 0
Ç
®
ê
1 1
.
1 2
å
x+y = 3
correspond à la matrice augmentée ( A| B) suivante :
x + 2y = −1
Ç
( A| B) =
1 1 3
.
1 2 −1
å
Remarque.
i ) La correspondance entre matrices et systèmes linéaires dépend de l’ordre dans lequel on
considère les inconnues.
ii ) Une fois un ordre fixé entre les inconnues, toute matrice correspond à un unique système linéaire homogène. La correspondance entre systèmes linéaires homogènes et matrices est donc bijective.
iii ) De même, toute matrice augmentée correspond à un unique système linéaire. La correspondance entre
systèmes linéaires et matrices augmentées est donc bijective.
C3.3. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES LIGNES
C3.3
157
Opérations élémentaires sur les lignes
Pour résoudre un système linéaire, nous allons effectuer des opérations sur les lignes jusqu’à obtenir un
système dit échelonné. Les opérations que l’on peut effectuer sur les lignes peuvent se décomposer en trois
types d’opérations élémentaires. Ces opérations pourront indifféremment s’effectuer sur un système linéaire,
une matrice ou une matrice augmentée.
Définition 723.
Soit n > 1 un entier et L1 , . . . , Ln les lignes d’un système linéaire, d’une matrice ou d’une matrice augmentée. Soient
1 6 k, i 6 n tels que i 6= k, λ ∈ K ∗ et α ∈ K. Les « opérations élémentaires sur les lignes » sont les suivantes.
i ) Multiplier Li par λ ; on note Li ← λLi cette opération.
ii ) Échanger Li et Lk ; on note Li ↔ Lk cette opération.
iii ) Ajouter αLk à Li ; on note Li ← Li + αLk cette opération.
Définition 724. i ) Deux systèmes (S) et (S ′ ) sont « équivalents » si on peut transformer (S) en (S ′ ) en effectuant
une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes. On note alors (S) ⇐⇒ (S ′ ).
ii ) Deux matrices A et A′ sont « équivalentes par lignes » si on peut transformer A en A′ en effectuant une suite finie
d’opérations élémentaires sur les lignes. On note alors A ∼ A′ .
L
( A′ | B′ )
iii ) Deux matrices augmentées ( A| B) et
sont « équivalentes par lignes » si on peut transformer ( A| B) en
( A′ | B′ ) en effectuant une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes. On note alors ( A| B) ∼ ( A′ | B′ ).
L
Remarque. La relation R définie sur l’ensemble des systèmes linéaires par
équivalents par lignes, est une relation d’équivalence.
S RS ′
si et seulement si S, S′ sont
Théorème 725.
Deux systèmes linéaires équivalents ont même ensemble de solutions.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarques. — Ce théorème justifie la notation ⇐⇒ lorsqu’on applique des opérations sur les lignes à un
système linéaire.
— La réciproque du théorème précédent est vraie.
Le théorème suivant justifie la présentation matricielle d’un système lorsqu’on utilise des opérations sur les
lignes.
Théorème 726.
Soient (S) et (S ′ ) deux systèmes linéaires de matrices augmentées respectives ( A| B) et ( A′ | B′ ).
i ) Si (S ′ ) se déduit de (S) en effectuant une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes, alors A′ se déduit de
A en effectuant la même suite d’opérations élémentaires sur les lignes.
ii ) Si (S ′ ) se déduit de (S) en effectuant une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes, alors ( A′ | B′ ) se déduit
de ( A| B) en effectuant la même suite d’opérations élémentaires sur les lignes.
Démonstration. Trivial : il suffit de voir que les opérations élémentaires sur les lignes d’un système ne modifient
pas les inconnues, mais seulement les cœfficients du système.
Remarque. La relation « être équivalents par ligne » est une relation d’équivalence.
C3.4
Systèmes et matrices échelonnées par lignes
Définition 727. i ) Une matrice est dite « échelonnée par lignes » si, après la première ligne, chaque ligne non nulle
commence par strictement plus de zéros que la ligne précédente.
ii ) On appelle « pivot » le premier cœfficient non nul de chaque ligne non nulle d’une matrice échelonnée par lignes.
iii ) Une matrice échelonnée par lignes est dite « réduite » si tous ses pivots sont égaux à 1 et sont les seuls éléments non
nuls de leur colonne.
Définition 728. i ) Un système linéaire est dit « échelonné » (resp. réduit) si la matrice associée est échelonnée (resp.
réduite) par lignes. On appelle alors « pivot » tout cœfficient du système correspondant à un pivot de la matrice
associée.
158
Systèmes linéaires
ii ) Une matrice augmentée ( A| B) est dite « échelonnée » (resp. réduite) si la matrice A est échelonnée (resp. réduite)
par lignes.
Remarque. Soit A une matrice échelonnée par lignes de taille n × p. Soit r le nombre de lignes non nulles
de A. Alors r 6 min{n, p}. Pour tout k ∈ J1, rK, soit jk l’indice de colonne du pivot de la ligne k. Alors
1 6 j1 < j2 < · · · < jr 6 p, les pivots de A sont les cœfficients a1,j1 , . . . , ar,jr et A est de la forme suivante :

···
· · · 0 a2,j2 · · ·

···
···
0 · · · 0 a1,j1
0
0

.
.
.
A=
0
0


 ..
.
0
0

ar,jr
0
a1,p
a2,p 

.. 

. 

· · · ar,p 

··· 0 

.. 

. 
0
···
Dans le cas où A est échelonnée réduite, on a avec les mêmes notations (de plus ∗ désigne n’importe quel
scalaire, et − − − le fait que l’on a omis certaines colonnes) :
j1























j2
0 ··· 0 1 ∗ ··· ∗ 0 ∗ −−− ∗ 0 ∗ ···
0 ··· 0 0 ··· ··· 0 1 ∗ −−− ∗ 0 ∗ ···
..
..
..
.
.
0
.
..
.
−−− 0 1 ∗ ···
0 ···
..
.
0
..
.
0 ···
0 ···
..
.
0
..
.
0
..
.
0 ···
0
0
Ö
Ç
Exemples 729.
i ) Les matrices
Ö
ii ) Les matrices
®
iii ) Les systèmes
jr −1
−−−
è
1 −1 0
0 0 1
0 0 0
2 1
0 1
Ö
et
å
et
3 −2 0
0 0 8
0 0 0
∗
∗
0
0
..
.
∗
∗
∗
0
∗
0
..
.
0 1 ∗
··· 0 ···
..
.
0
0
è

···
··· 







··· 






··· 

0 

.. 

. 
0
sont échelonnées par lignes mais pas réduites.
è
0 1 0
0 0 1
0 0 0
2x +y = 3
et
y =5
−−−
jr
®
sont échelonnées réduites par lignes.
3x −2y
=2
sont échelonnés mais pas réduits.
8z = 6
Définition 730.
Soit S un système linéaire échelonné par lignes et A la matrice associée. Avec les notations de la remarque précédente :
i ) r s’appelle le « rang » de S (resp. de la matrice A) ; c’est le nombre de pivots de S (resp. de A).
ii ) Les équations L1 , . . . , Lr du système S sont appelées « équations principales. »
iii ) Les équations Lr +1 , . . . , Ln du système S sont appelées « équations de compatibilité. »
iv) Les inconnues x j1 ,. . . , x jr sont appelées « inconnues principales. » Les autres inconnues sont appelées « variables
auxilliaires » ou « paramètres. »
Remarques.
i ) Pour plus de commodité, il est possible de changer l’ordre des inconnues d’un système
linéaire (avant de le résoudre). Cela revient à échanger deux colonnes dans la matrice associée.
ii ) En changeant l’ordre des inconnues, on peut parfois transformer une inconnue principale en paramètre,
et inversement. Il existe néanmoins des systèmes dans lesquels certaines variables ne peuvent pas devenir
un paramètre ; par ailleurs, les inconnues qui n’apparaissent pas dans le système (car tous les cœfficients
devant elles sont nuls) sont obligatoirement des paramètres.
C3.5. ALGORITHME DU PIVOT DE GAUSS-JORDAN
159
iii ) Le premier intérêt des systèmes échelonnés est qu’ils se résolvent aisément lorsqu’ils ne contiennent pas
d’équation de compatibilité : il suffit de faire passer dans le second membre les variables auxiliaires, et
en effectuant alors des substitutions de bas en haut, on obtient une (unique) expression des inconnues
principales en fonction des variables auxiliaires (que l’on qualifie donc de paramètres). Voir par exemple
l’exercice ci-dessous.
Exercice 731. Déterminer un système échelonné équivalent au système suivant, et en déduire l’ensemble des
solutions de celui-ci.


 y+z+t = 0
z =1

 x+z−t = 0
Théorème 732.
Soit (S) un système échelonné par lignes de taille n × p et de rang r. On a les résultats suivants.
i ) (S) est compatible si et seulement si les n − r équations de compatibilités sont vérifiées.
ii ) (S) possède une unique solution si et seulement si r = p.
iii ) Si (S) est compatible, alors il possède une infinité de solutions si et seulement si r < p.
Démonstration. Voir les notes de cours.
C3.5
Algorithme du pivot de Gauss-Jordan
Nous allons maintenant étudier les systèmes linéaires quelconques. Le théorème suivant, dont la démonstration correspond à l’implémentation d’un algorithme, dit du pivot de Gauss, permet de ramener chaque système
linéaire à un système échelonné, et par suite de résoudre celui-ci.
Théorème 733 (Algorithme du pivot de Gauss).
Tout système linéaire est équivalent à un système échelonné par lignes.
Pour formaliser complètement la démonstration suivante, il suffirait de montrer par récurrence sur j ∈ J0, pK
que (S) est équivalent à un système dont les j premières colonnes prises à part forment un système échelonné.
Démonstration.
Soit (S) un système de taille n × p. On commence par ordonner les inconnues de (S) en les numérotant : on
les appelera x1 , . . . , x p . Voilà la description de l’algorithme du pivot de Gauss.
1. On choisit une ligne où le cœfficient devant x1 n’est pas nul ; si une telle ligne n’existe pas, on passe
à l’étape numéro 2, et si une telle ligne existe on l’appelle L1 . Pour tout i ∈ J2, nK, on choisit alors des
cœfficients β2 , . . . , β n tels que Li + β i L1 ne comporte plus l’inconnue x1 , pour tout i 6= 1. On transforme
ensuite le système (S) en le système suivant, qui lui est bien équivalent, et où x1 a été éliminé de toutes
les lignes sauf la première :


L

 1


 L2 + β 2 · L1
..


.




L n + β n · L1
2. Pour k allant de 2 à p, on recommence l’opération précédente, mais en considérant l’inconnue xk et
uniquement le sous-système formé des n − k + 1 équations Lk , . . . , Ln du dernier système obtenu.
3. On a alors obtenu un système échelonné à partir du système initial, et les deux sont bien équivalents car
on n’a effectué que des opérations élémentaires sur les lignes.
Remarque. En pratique, vous avez tout intérêt à toujours utiliser la méthode de Gauss. On peut parfois gagner
un peu de temps en bricolant le système, mais la méthode de Gauss a l’avantage d’être suffisamment systématique et simple pour que vous ne commetiez que peu d’erreurs grâce à elle. Par contre, on choisira avec soin les
inconnues à éliminer, afin -si possible- d’en faire disparaître plusieurs à la fois dans certaines équations.
160
Systèmes linéaires
Exercice 734. En effectuant des opérations sur les lignes, ramener les systèmes suivants à un système échelonné,
et les résoudre.




 x + y − 2z = 1
 2x + y − z = 1
x+y+z = 0
x−y+z = 2


 2x + 2y − z = 0
 4x + y + z = 3
Remarque. Pour résoudre un système linéaire, il suffit donc d’appliquer la méthode de Gauss (directement sur
le système, sur la matrice associée si le sytème est homogène, ou bien sur la matrice augmentée associée), puis
de résoudre le système échelonné (S) ainsi obtenu, correspondant à une matrice A.
— Les colonnes de A ne contenant pas de pivot vont correspondre aux inconnues du système qui joueront
le rôle de paramètres en fonction desquels on pourra résoudre le système ;
— Les colonnes de A contenant un pivot vont correspondre aux inconnues du système que l’on explicitera
(en fonction des paramètres précités) lors de la résolution du système.
Théorème 735.
Tout système linéaire est équivalent à un unique système échelonné réduit par lignes.
Démonstration. Voir les notes de cours (l’unicité est admise).
Corolaire 736.
i ) Toute matrice est équivalente par ligne à une unique matrice échelonnée réduite par lignes.
ii ) Toute matrice augmentée est équivalente par ligne à une unique matrice augmentée échelonnée réduite par lignes.
Démonstration. Résulte directement du théorème précédent.
Remarque. Dans le cas des systèmes à paramètres, on utilise encore la méthode du pivot de Gauss, mais à
chaque fois que l’on effectue une opération du type Li ← λLi + αLk , on n’oubliera pas de traiter ensuite les cas
particuliers où la valeur du paramètre annule λ.
®
Exercice 737. Résoudre le système linéaire suivant en fonction du paramètre a ∈ R :
C3.6
( a − 1) x + 2ay = −2a
2ax − ( a − 1)y = a − 1
Notion de rang et systèmes de Cramer
Nous pouvons maintenant étendre la notion de rang à un système ou une matrice quelconque.
Définition 738. i ) Le « rang » d’une matrice A est le nombre de pivots de l’unique matrice échelonnée réduite par
lignes, équivalente par ligne à A.
ii ) Le « rang » d’un système linéaire est le rang de la matrice associée.
Théorème 739.
Le rang d’un système linéaire (resp. d’une matrice) est égal au nombre de pivots de tout(e) système linéaire (resp. matrice)
échelonné qui lui est équivalent par lignes.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 740.
Tout système linéaire possède soit aucune solution, soit une unique solution, soit une infinité de solutions.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Définition 741.
Soit n ∈ N ∗ et (S) un système linéaire de taille n × n. On dit que (S) est de Cramer s’il admet une unique solution.
Théorème 742.
Soit n ∈ N ∗ et (S) un système linéaire de taille n × n. (S) est de Cramer si et seulement si le rang de (S) est n.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Chapitre
C4
Matrices
C4.1
Rappels
Notations.
• Dans tout ce chapitre, la lettre K désigne l’un des deux ensembles R ou C. Les éléments de K
seront appelés des « scalaires. »
• Pour toute matrice A ∈ Mn,p (K ), le coefficient de A situé à l’intersection de la i-ième ligne et de la j-ième
colonne sera appelé le « coefficient d’indice (i, j) de A », et sera noté [ A]i,j .
Les résultats suivants ont été prouvés dans le chapitre sur les systèmes linéaires.
Définition 743. i ) Une matrice est dite « échelonnée par lignes » si, après la première ligne, chaque ligne non nulle
commence par strictement plus de zéros que la ligne précédente.
ii ) On appelle « pivot » le premier cœfficient non nul de chaque ligne non nulle d’une matrice échelonnée par lignes.
iii ) Une matrice échelonnée par ligne est dite « réduite » si tous ses pivots sont égaux à 1 et sont les seuls éléments non
nuls de leur colonne.
Théorème 744.
i ) Toute matrice est équivalente par lignes à une unique matrice échelonnée réduite par lignes.
ii ) Tout système linéaire est équivalent à un unique système échelonné réduit par lignes.
Définition 745. i ) Le « rang » d’une matrice A est le nombre de pivots de l’unique matrice échelonnée réduite par
lignes, équivalente par ligne à A.
ii ) Le « rang » d’un système linéaire est le rang de la matrice associée.
Théorème 746.
Le rang d’un système linéaire (resp. d’une matrice) est égal au nombre de pivots de tout(e) système linéaire (resp. matrice)
échelonné qui lui est équivalent par lignes.
Théorème 747.
Soit n ∈ N ∗ et (S) un système linéaire de taille n × n. (S) est de Cramer si et seulement si (S) est de rang n.
C4.2
Calcul matriciel
C4.2.1 Combinaisons linéaires et structure d’espace vectoriel
Étant données deux matrices de même dimension, on définit leur somme de manière naturelle, c’est-à-dire
coefficient par coefficient.
Définition 748.
Soient n, p > 1 deux entiers, ainsi que deux matrices A = ( ai,j )
16i6n
16j6p
et B = (bi,j )
16i6n
16j6p
note alors A + B la matrice de Mn,p (K ) de terme général ci,j définie par
∀(i, j) ∈ J1, nK × J1, pK, ci,j = ai,j + bi,j .
Remarque. Si A et B n’ont pas la même dimension, alors la somme A + B n’est pas définie.
Ç
Exemple 749. On a
x y
a b
+
z t
c d
å
Ç
å
Ç
=
x+a y+b
.
z+c t+d
å
dans Mn,p (K ). On
162
Matrices
Remarque. On dit que l’application + : Mn,p (K ) × Mn,p (K ) → Mn,p (K ) est une loi de composition in( A, B)
7→
A+B
terne sur Mn,p (K ).
Théorème 750.
Soient n, p > 1 deux entiers et A, B, C des éléments de Mn,p (K ). Alors :
i ) On,p est l’élément neutre de l’addition : A + On,p = A = On,p + A.
ii ) Associativité de l’addition : ( A + B) + C = A + ( B + C ).
iii ) A + (− A) = On,p = (− A) + A où − A est la matrice de terme général − ai,j , où ai,j désigne le terme général de A.
iv) Commutativité de l’addition : A + B = B + A.
Démonstration. Trivial.
On peut encore définir le produit d’une matrice par un scalaire, obtenu en multipliant chacun des termes
de la matrice par le scalaire considéré.
Définition 751.
Soient n, p > 1 deux entiers, λ ∈ K et A = ( ai,j )
de terme général ci,j défini par
16i6n
16j6p
dans Mn,p (K ). On note alors λ · A la matrice de Mn,p (K )
∀(i, j) ∈ J1, nK × J1, pK, ci,j = λai,j .
Remarque. On dit que l’application · : K × Mn,p (K ) → Mn,p (K ) est une loi de composition externe de K
(λ, A)
7→
λ·A
sur Mn,p (K ).
Exemple 752. Toute matrice scalaire est le produit d’un scalaire par la matrice identité de même taille.
Théorème 753.
Soient A et B deux matrices de même taille, ainsi que des scalaires λ et µ. On a alors :
i ) λ · ( A + B) = λ · A + λ · B.
ii ) (λ + µ) · A = λ · A + µ · A.
iii ) 1 · A = A.
iv) λ · (µ · A) = (λ × µ) · A
Démonstration. Trivial.
Ä
ä
Remarque. Nous verrons plus tard que ces différentes propriétés établissent que Mn,p (K ), +, · est un Kespace vectoriel.
Définition 754.
Étant données deux matrices A, B de même taille, on appelle « combinaison linéaire de A et de B » toute matrice de la
forme λA + µB, avec (λ, µ) ∈ K2 .
C4.2.2 Produit de matrices
Contrairement à la somme, le produit de deux matrices n’est pas défini par le produit terme-à-terme de
leurs coefficients. Nous expliquerons pourquoi dans un chapitre ultérieur.
On commence par définir le produit d’une matrice ligne par une matrice colonne.
Définition 755 (Produit d’une ligne par une colonne).
Soit L une matrice ligne de taille 1 × n, et C une matrice colonne de taille n × 1. On définit alors le produit L × C, qui est
une matrice de taille 1 × 1, c’est-à-dire un scalaire, de la manière suivante :
c1
..
.
Ü ê
Ä
ä
l1 . . . l n ×
cn
=
n
X
k=1
lk ck
163
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Remarque. Le produit d’une ligne par une colonne n’est défini que si la longeur de la ligne est égale à la
hauteur de la colonne.
On peut alors définir le produit de deux matrices, lorsque leur dimension sont compatibles.
Définition 756.
Soient A et B deux matrices. On dit que « A est compatible à gauche de B, » ou que « B est compatible à droite de A, » s’il
existe trois entiers n, p, q > 1 tels que A ∈ Mn,p (K ) et B ∈ M p,q (K ).
Définition 757.
Soient n, p, q > 1 des entiers, A ∈ Mn,p (K ) de terme général ai,j , et B ∈ M p,q (K ) de terme général bi,j . On définit alors
le produit A × B, comme étant la matrice de taille n × q dont le terme général ci,j est défini par
∀(i, j) ∈ J1, nK × J1, qK, ci,j =
p
X
ai,k bk,j .
k=1
En d’autres termes, le terme d’indice (i, j) de A × B est donné par le produit de la i-ième ligne de A par la j-ième colonne
de B.
Remarque. Le plus important n’est pas de connaitre cette formule (bien que cela soit indispensable) mais de
savoir l’appliquer. On mémorisera pour cela la « notation exponentielle du produit » utilisée dans l’exemple
suivant.
Ç
Exemple 758. On a
a b
x y
·
c d
z t
å Ç
å
Ç
=
ax + bz ay + bt
.
cx + dz cy + dt
å
Notation. Le produit de deux matrices A, B est souvent noté AB au lieu de A × B.
Théorème 759.
Soient A et B deux matrices carrés de taille n. Alors les produits A × B et B × A sont bien définis, et sont tous les deux
des matrices carrées d’ordre n.
Démonstration. Trivial.
On peut donc toujours définir le produit de deux matrices carrés de même taille, dans quelqu’ordre que ce
soit.
Exemple 760. Soient n ∈ N ∗ et M ∈ Mn (K ). Si On est la matrice nulle de taille n, on a MOn = On M = On .
Exercice 761. Calculer les produits AB et BA avec
Ö
Ç
i) A =
0 2
1 3
å
Ç
et B =
2 −1
1 1
å
ii ) A =
1
2 4
−2 −3 1
3 −5 1
è
Ö
et B =
−1 0 −4
0
2
0
5 −4 3
è
Remarque. L’exercice ci-dessus prouve que le produit de deux matrices A et B n’est pas commutatif, c’est-à-dire
que l’on n’a pas en général A × B = B × A. Il se peut d’ailleurs que l’un des deux produits soit défini et pas
l’autre, comme dans le cas du produit d’une ligne par une colonne.
Définition 762.
Soient n ∈ N ∗ , et A, B des éléments de Mn (K ). On dit que « A et B commutent », si A × B = B × A.
C4.2.3 Application du produit aux systèmes linéaires
Avant d’étudier les propriétés du produit matriciel, nous pouvons remarquer que les systèmes linéaires sont
en fait des équations matricielles, où l’inconnue est une matrice colonne.
Théorème 763.
Soient n, p, q > 1 des entiers, A ∈ Mn,p (K ), X une matrice colonne de taille p et B ∈ M p,q (K ).
i ) C = AX est une matrice colonne qui Ü
est combinaison
linéaire des colonnes de A. Plus précisement, si C1 , . . . , C p
ê
x1
..
désignent les colonnes de A et si X =
, alors :
.
xp
C = x1 C1 + x2 C2 + · · · + x p C p =
p
X
j=1
x j Cj .
164
Matrices
ii ) Soit j ∈ J1, qK. La j-ème colonne de AB est le produit de A par la j-ème colonne de B.
iii ) Soit i ∈ J1, nK. La i-ème ligne de AB est le produit de la i-ème ligne de A par B.
Démonstration. Voir les notes de cours (on effectue une preuve informelle).
Théorème 764.
Soit (S) un système linéaire de taille n × p, A ∈ Mn,p
(K ) la matrice associée à (S) et B ∈ Mn,1 (K ) le vecteur colonne
Ü ê
x1
..
p
∈ M p,1 (K ). Les assertions suivantes sont équivalentes :
des second membres. Soit ( x1 , . . . , x p ) ∈ K et X =
.
xp
i ) ( x1 , . . . , x p ) est solution du système (S).
ii ) AX = B.
Démonstration. Voir les notes de cours (on effectue une preuve informelle).
Exemple 765. ( x1 , x2 , x3 ) est solution du système
1
3
Ç å
(
Ö
x+y+z = 1
x − y + 2z = 3
Ç
si et seulement si
1 1 1
·
1 −1 2
å
x1
x2
x3
è
=
C4.2.4 Propriétés élémentaires du produit matriciel
Théorème 766 (Distributivité du produit par rapport aux combinaisons linéaires).
Soient A, B, C trois matrices telles que B, C soient de même taille, et λ, µ des éléments de K.
i ) Si A est compatible à gauche de B on a (λ · A) × B = A × (λ · B) = λ · ( A × B) .
ii ) Si A est compatible à gauche de B et de C, on a A × (λ · B + µ · C ) = λ · A × B + µ · A × C.
iii ) Si A est compatible à droite de B et de C, on a (λ · B + µ · C ) × A = λ · B × A + µ · C × A.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Définition 767.
Pour tout (i, j) ∈
N2 ,
on appelle « symbole de Kronecker » la quantité δi,j définie par δi,j =
(
1
0
si i = j
si i 6= j
.
Exemple 768. Soit n, p > 1 des entiers et (k, l ) ∈ J1, nK × J1, pK. Le terme général de la matrice Ek,l de taille n × p
s’écrit alors [ Ek,l ]i,j = δi,k × δj,l .
Théorème 769.
Soient n, p > 1 des entiers et M ∈ Mn,p (K ). On a In × M = M × I p = M.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Le résultat suivant montre que les matrices scalaires commutent avec toutes les autres matrices de même
ordre.
Théorème 770.
Soient n ∈ N ∗ , M ∈ Mn (K ) et λ un scalaire. On a Sλ × M = M × Sλ = λ · M.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Corolaire 771.
Soient λ, µ des scalaires. On a Sλ × Sµ = Sλµ .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Plus généralement, on a le résultat suivant.
165
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Théorème 772.
Soient n ∈ N ∗ et λ1 , . . . , λn , µ1 , . . . , µn des scalaires. On a alors
Diag(λ1 , . . . , λn ) × Diag(µ1 , . . . , µn ) = Diag(λ1 µ1 , . . . , λn µn ).
En d’autres termes, le produit de deux matrices diagonales est la matrice diagonale obtenue en faisant le produit terme-àterme des coefficients diagonaux.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 773 (Associativité du produit).
Soient n, p, q, r > 1 des entiers, A ∈ Mn,p (K ), B ∈ M p,q (K ) et C ∈ Mq,r (K ). Alors :
A × ( B × C ) = ( A × B) × C.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 774.
Soit n, p, q > 1 des entiers et i ∈ J1, nK, ( j, k) ∈ J1, pK2 , l ∈ J1, qK. On considère des matrices du type Ei,j et Ek,l de
(respectivement) Mn,p (K ) et M p,q (K ). On a Ei,j × Ek,l = δj,k Ei,l où Ei,l est dans Mn,q (K ).
Démonstration. Voir les notes de cours.
C4.2.5 Application du produit : structure de l’ensemble des solutions d’un système linéaire
Théorème 775.
Soit (S) un système linéaire de taille n × p. On note S0 l’ensemble des solutions du système linéaire homogène associé.
Alors :
i ) (0, . . . , 0) ∈ S0 .
ii ) ∀λ ∈ K, ∀u = (u1 , . . . , u p ) ∈ S0 , λu = (λu1 , . . . , λu p ) ∈ S0 .
iii ) ∀u = (u1 , . . . , u p ) ∈ S0 , ∀v = (v1 , . . . , v p ) ∈ S0 , u + v = (u1 + v1 , . . . , u p + v p ) ∈ S0 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. On verra plus tard que ces propriétés signifient que S0 est un sous-espace vectoriel de K p .
Théorème 776.
Soit (S) un système linéaire compatible de taille n × p et u = (u1 , . . . , u p ) ∈ K p une solution particulière de (S). Notons
S et S0 les ensembles des solutions de (S) et du système linéaire homogène associé (S0 ). Alors :
S = {u + v; v ∈ S0 }.
Démonstration. Voir les notes de cours.
C4.2.6 Puissances d’une matrice carrée
Définition 777 (Puissance d’une matrice).
Soient (n, p) ∈ N ∗ × N et M ∈ Mn (K ). On appelle « puissance p-ième de M », et l’on note M p , la matrice définie
récursivement par
M0 = In
et
∀k ∈ N, M k+1 = M k × M
Exercice 778. Soient A et B deux matrices de taille n. Calculer ( A + B)2 et ( AB)2 , puis simplifier les résultats
lorsque A et B commutent.
Théorème 779.
Soient (n, p) ∈ N ∗ × N et λ1 , . . . , λn des scalaires. On a alors
Ü
λ1 . . . 0
.. . .
. 0
.
0 . . . λn
êp
Ü
=
p
λ1
..
.
0
... 0
..
. 0
p
. . . λn
ê
En d’autres termes, la puissance p-ième d’une matrice diagonale est obtenue en élevant à la puissance p chacun de ses
termes diagonaux.
166
Matrices
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. De manière générale, il n’est pas aisé de calculer la puissance p-ième d’une matrice.
Ç
Exercice 780. Calculer les puissances de
1 1
0 1
å
en raisonnant par récurrence.
Théorème 781.
Soient n et p deux entiers, A et B deux matrices carrées de même taille. On a
i ) An+ p = An A p = A p An .
ii ) ( An ) p = Anp .
iii ) Si A et B commutent, alors ( AB)n = An Bn .
iv) Si A et B commutent, alors An B p = B p An .
Démonstration. Résultat admis (se démontrerait par récurrence).
Remarque. Le point i ) du théorème ci-dessus implique notamment que deux puissances d’une même matrice
commutent.
Démontrons que la formule du binôme de Newton s’étend à la puissance d’une somme de matrices, dans
le cas où celles-ci commutent.
Théorème 782 (Formule du binôme pour les matrices commutantes).
Soit p ∈ N ∗ , et A, B des éléments de M p (K ). On suppose que A et B commutent. Alors on a pour tout entier n :
n
( A + B) =
n
X
k=0
n
Ak Bn−k .
k
Ç å
Démonstration. Voir les notes de cours (la preuve est identique à celle faite sur C.)
C4.3
Matrices carrées inversibles
C4.3.1 Définition et premiers résultats
Définition 783.
Soit n ∈ N ∗ et M ∈ Mn (K ). On dit que M est « inversible » s’il existe une matrice M −1 de taille n telle que
M × M −1 = M −1 × M = In .
La matrice M −1 est alors appelée « l’inverse de M. » L’ensemble des matrices inversibles d’ordre n à coefficients dans K
est noté GLn (K ), et est appelé « groupe linéaire d’ordre n sur K. »
Exemple 784. Soit n ∈ N ∗ . La matrice In est inversible, de sorte que In−1 = In .
Ç
Exercice 785. Montrer, en considérant la matrice
1 0
, que toute matrice n’est pas inversible.
0 0
å
Théorème 786 (Unicité si existence de l’inverse).
Une matrice carrée possède au plus un inverse.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 787.
Soient A et B deux matrices inversibles d’ordre n. Alors le produit AB est inversible et l’on a
( AB)−1 = B−1 A−1.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 788.
Ä
ä−1
= M.
Soit M une matrice inversible. Alors M −1 l’est également, et M −1
Démonstration. Voir les notes de cours.
C4.4. MATRICES SEMBLABLES, MATRICES DIAGONALISABLES
167
Exercice 789. Soit M une matrice carré d’ordre n et a, b, c des réels tels que aM2 + bM + cIn = On . Montrer que
si c est non nul, alors M est inversible.
Théorème 790.
SoientÄ n ∈ N ∗ , ainsi
ä que a1 , . . . , an des scalaires non nuls. Alors la matrice Diag( a1 , . . . , an ) est inversible, d’inverse
1 .
Diag a1−1 , . . . , a−
n
Démonstration. Voir les notes de cours.
Notation. Soit n un entier négatif et M une matrice inversible. On définit alors M n en posant
M n = M −1
Ä
ä− n
.
Avec cette définition, on montre aisément que les propriétés des puissances données au théorème 781 sont
encore valables si l’on considère des entiers relatifs.
C4.4
Matrices semblables, matrices diagonalisables
Définition 791.
Soient n > 1 un entier et A, B des matrices carrées d’ordre n. On dit que A est « semblable » à B s’il existe une matrice
inversible P telle que :
A = PBP−1.
Théorème 792.
La relation binaire de « similitude » sur les matrices est une relation d’équivalence.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarques.
i ) Ce résultat permet de dire « A et B sont semblables » plutôt que « A est semblable à B. »
ii ) Cette notion trouvera un intérêt lorsque nous étudierons les applications linéaires.
Lemme 793.
Soient N et P des matrices carrées de même taille, de sorte que P soit inversible. Alors pour tout entier n, on a
Ä
PNP−1
än
= PN n P−1 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Lorsque deux matrices sont semblables, il est aisé de calculer les puissances de l’une à partir des puissances
de l’autres. Une matrice A étant donnée, il est donc intéressant de chercher une matrice B « la plus simple
possible » qui est semblable à A ; typiquement on cherchera une matrice B diagonale (qui présente l’intérêt de
posséder des puissances très simples à calculer).
Définition 794.
Soient n ∈ N ∗ et M une matrice carrée de taille n. On dit que « M est diagonalisable » s’il existe une matrice diagonale
D, ainsi qu’une matrice inversible P de taille n tels que
M = PDP−1.
L’étude des matrices diagonalisables sera faite en détails l’an prochain.
C4.5
Transposition d’une matrice
Définition 795.
Soient n, p > 1 des entiers, et A = ( ai,j )
16i6n
16j6 p
une matrice de taille n × p. On appelle alors « transposée de A, » et on
note tA, la matrice B de taille p × n dont le terme général bi,j est donné par bi,j = a j,i pour (i, j) ∈ J1, pK × J1, nK.
La transposée d’une matrice M est la matrice dont les lignes sont les colonnes de M ou, ce qui revient au
même, la matrice dont les colonnes sont les lignes de M.
168
Matrices
Ö
Exemples 796.
— La transposée de
Ü
— La transposée de
x1
..
.
xn
è
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Ö
est
1 4 7
2 5 8
3 6 9
Ö
è
Ç
, et celle de
ê
Ü
Ä
ä
Ä
ä
est x1 · · · xn et celle de x1 · · · x p est
x1
..
.
1 2 3
4 5 6
å
est
è
1 4
2 5
3 6
.
ê
xp
Remarque. Pour calculer la transposée d’une matrice, il suffit donc d’opérer une symétrie sur ces termes par
rapport à la diagonale de la matrice, ce qui revient à intervertir les indices de lignes et de colonnes dans les
coefficients de celle-ci.
Théorème 797.
Soient λ ∈ K et M, N deux matrices. On a
i)
t
tM
= M.
ii ) t (λ · M ) = λ · tM.
iii ) Si M et N ont même dimension on a t ( M + N ) = tM +t N.
iv) Si M est compatible à gauche de N on a t ( MN ) = tN tM.
v) Si M est inversible, alors tM l’est également, de sorte que tM
Démonstration. Voir les notes de cours.
−1
=
t
Ä
M −1 .
ä
Définition 798.
Une matrice carrée M est dite « symétrique » si tM = M. On notera Sn (K ) l’ensemble des matrices symétriques d’ordre
n.
Remarque. Une matrice qui n’est pas carrée ne peut pas être symétrique.
Ö
Exemple 799. Toute matrice symétrique de taille 3 × 3 est de la forme
α a b
a β c
b c γ
è
, avec a, b, c, α, β, γ des sca-
laires.
Exercice 800. Soit M ∈ Mn (K ). Montrer que M × tM et tM + M sont symétriques.
Définition 801.
Une matrice carrée M est dite « antisymétrique » si tM = − M. On notera An (K ) l’ensemble des matrices antisymétriques
d’ordre n.
Remarque. Les termes diagonaux d’une matrice antisymétrique A sont nuls, puisque l’on a ai,i = − ai,i pour
tout i.
Ö
Exemple 802. Toute matrice antisymétrique de taille 3 × 3 est de la forme
0 − a −b
a 0 −c
b c
0
è
, avec a, b, c des sca-
laires.
Théorème 803.
Soit n > 1 un entier. Alors :
∀ M ∈ Mn (K ) , ∃!(S, A) ∈ Sn (K ) × An (K ) , M = S + A.
En d’autres termes, toute matrice carrée de taille n s’écrit de manière unique comme la somme d’une matrice symétrique
et d’une matrice antisymétrique.
Démonstration. Voir les notes de cours.
C4.6. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES LIGNES ET LES COLONNES D’UNE MATRICE
C4.6
169
Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d’une matrice
Définition 804.
Soient n > 1 un entier, (i, k) ∈ J1, nK2 tels que i 6= k, λ ∈ K ∗ et α ∈ K. On appelle « matrices élémentaires » les matrices
de Mn (K ) suivantes.
i ) On appelle « matrice de dilatation, » toute matrice de Mn (K ) de la forme : Dn,i (λ) = In + (λ − 1) Ei,i .
i
↓

1
Dn,i (λ) =
..



























.
1
λ
1
..
.
←i
1
ii ) On appelle « matrice de transposition » toute matrice de la forme : Pn,i,k = In + ( Ei,k + Ek,i − Ei,i − Ek,k ).

..
 .
Pn,i,k =
i
↓


















k
↓

1
0
1
1
..
.
1
1
0
1
..
.



















←i
←k
iii ) On appelle « matrice de transvection, » toute matrice de Mn (K ) de la forme : Tn,i,k (α) = In + αEi,k .

Tn,i,k (α) =
Ö
Exemples 805. D3,1 (7) =
7 0 0
0 1 0
0 0 1
è
, P3,1,2 =
1














k
↓
..















.
1
α
..
.
1
..
.
←i
1
Ö
0 1 0
1 0 0
0 0 1
è
, T3,1,2 (5) =
Ö
1 5 0
0 1 0
0 0 1
è
.
Tout comme sur les systèmes, on peut effectuer des opérations sur les lignes d’une matrices. Mais, contrairement aux systèmes, on peut aussi effectuer des opérations sur les colonnes.
Définition 806.
Soient n, p > 1 des entiers et A ∈ Mn,p (K ) ; on note L1 , . . . , Ln ses lignes et C1 , . . . , C p ses colonnes. On appelle
« opérations élémentaires sur les lignes » de A les transformations suivantes, où (i, k) ∈ J1, nK2 avec i 6= k, λ ∈ K ∗ et
α∈K:
i) Remplacer la ligne Li par la ligne λLi , ce qui est noté Li ← λLi ;
170
Matrices
ii) Échanger les lignes Li et Lk , ce qui est noté Li ↔ Lk ;
iii) Remplacer la ligne Li par la ligne Li + αLk , ce qui est noté Li ← Li + αLk .
On appelle opérations élémentaires sur les colonnes de A les transformations suivantes, où ( j, l ) ∈ J1, pK2 avec j 6= l,
λ ∈ K ∗ et α ∈ K :
j) Remplacer la colonne Cj par la colonne λCj , ce qui est noté Cj ← λCj ;
jj) Échanger les colonnes Cj et Cl , ce qui est noté Cj ↔ Cl ;
jjj) Remplacer la colonne Cj par la colonne Cj + αCl , ce qui est noté Cj ← Cj + αCl .
On peut aussi définir pour les matrices la notion d’équivalence par colonnes.
Définition 807.
Deux matrices A et A′ sont « équivalentes par colonnes » si on peut transformer A en A′ en effectuant une suite finie
d’opérations élémentaires sur les colonnes. On note alors A ∼ A′ .
C
Théorème 808.
Soient n, p > 1 des entiers et A ∈ Mn,p (K ) ; on note L1 , . . . , Ln ses lignes et C1 , . . . , C p ses colonnes. Soit (i, k) ∈ J1, nK2
tels que i 6= k, λ ∈ K ∗ et α ∈ K. On a les résultats suivants.
i) Remplacer la ligne Li par la ligne λLi revient à multiplier A par Dn,i (λ) à gauche.
ii) Échanger les lignes Li et Lk revient à multiplier A par Pn,i,k à gauche.
iii) Remplacer la ligne Li par la ligne Li + αLk revient à multiplier A par Tn,i,k (α) à gauche.
Soit ( j, l ) ∈ J1, pK2 tels que j 6= l, λ ∈ K ∗ et α ∈ K. On a les résultats suivants.
j) Remplacer la colonne Cj par la colonne λCj revient à multiplier A par D p,j (λ) à droite.
jj) Échanger les colonnes Cj et Cl revient à multiplier A par Pp,j,l à droite.
jjj) Remplacer la colonne Cj par la colonne Cj + αCl revient à multiplier A par Tp,l,j (α) à droite.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 809.
Soit A ∈ Mn,p (K ). Alors il existe un couple de matrices ( E, R) ∈ Mn (K ) × Mn,p (K ) tel que :
i ) A = ER ;
ii ) E est un produit de matrices élémentaires ;
iii ) R est une matrice échelonnée réduite par lignes.
De plus, la matrice R est unique.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 810.
Toute matrice élémentaire est inversible, et son inverse est une matrice élémentaire.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 811.
Soient n, p > 1 deux entiers, et A, B deux matrices de taille n × p. On a alors : A ∼ B ⇐⇒ t A ∼ tB.
L
C
Démonstration. Voir les notes de cours.
C4.6.1 Caractérisation des matrices inversibles
Théorème 812.
Si n ∈ N ∗ , il existe une unique matrice de taille n qui est échelonnée, réduite par ligne et de rang n : la matrice In .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 813.
Soit n > 1 un entier et A ∈ Mn (K ). Les assertions suivantes sont équivalentes :
i ) A est inversible ;
ii ) Le système AX = On,1 d’inconnue X ∈ Mn,1 (K ) n’admet que la solution nulle.
171
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
iii ) rg A = n.
iv) Pour tout B ∈ Mn,1 (K ), le système AX = B d’inconnue X ∈ Mn,1 (K ) admet une unique solution ;
v) Pour tout B ∈ Mn,1 (K ), le système AX = B d’inconnue X ∈ Mn,1 (K ) admet au moins une solution ;
vi ) A ∼ In .
L
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 814.
Les matrices triangulaires inférieures (resp. supérieures) dont tous les coefficients diagonaux sont non nuls sont inversibles.
Démonstration. Ces matrices sont visiblement échelonnées par ligne et de rang n, ce qui permet d’appliquer le
résultat précédent.
Corolaire 815.
Soient n ∈ N ∗ , M ∈ Mn (K ). Alors l’application X 7→ MX, définie sur Mn,1 (K ), est inversible si et seulement si M
l’est, et dans ce cas son inverse est l’application Y 7→ M −1 Y.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Corolaire 816.
Toute matrice inversible est un produit de matrices élémentaires.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Corolaire 817.
Soient n, p > 1 deux entiers, et A, B deux matrices de taille n × p. On a les résultats suivants.
i ) A ∼ B ⇐⇒ ∃ P ∈ GLn (K ) , A = PB.
L
ii ) A ∼ B ⇐⇒ ∃ Q ∈ GL p (K ) , A = BQ.
C
Démonstration. Voir les notes de cours.
Corolaire 818.
Soient n > 1 un entier et A ∈ Mn (K ). Les assertions suivantes sont équivalentes :
i ) A est inversible ;
ii ) Il existe B ∈ Mn (K ) tel que BA = In ;
iii ) Il existe C ∈ Mn (K ) tel que AC = In .
De plus, si ces assertions sont vérifiées, alors B et C sont uniques et B = C = A−1 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. L’assertion ii ) signifie que A admet un inverse à gauche, l’assertion iii ) signifie que A admet un
inverse à droite. Ce corolaire signifie donc que pour que A soit inversible, il suffit que A admette un inverse
à droite ou un inverse à gauche, et que si A admet un inverse à droite (resp. à gauche), alors celui ci est aussi
inverse à gauche (resp. à droite), c’est donc l’inverse de A.
C4.6.2 Calcul de l’inverse d’une matrice par la méthode de Gauss-Jordan
Calcul de l’inverse par la résolution d’un système
Soit M une matrice carrée de taille n. Dire que M est inversible, c’est dire que chaque système MX = Y est
de Cramer. Et résoudre un tel système, c’est donner les coordonnées de X en fonction de celles de Y (c’est-à-dire
exprimer les inconnues en fonction du second membre).
Ainsi, pour déterminer si une matrice carrée M est inversible, on applique la méthode de Gauss au système
générique MX = Y, puisque celui-ci est de Cramer si et seulement si M est inversible. Lorsque c’est le cas, il
suffit alors d’exprimer les coordonnées de X en fonction de celles de Y, puis de repasser en notation matricielle
pour obtenir M −1 .
Ç
Exercice 819. Montrer que la matrice
2 1
1 2
å
est inversible et calculer son inverse.
172
Matrices
Calcul de l’inverse par le calcul d’une matrice échelonnée réduite
Soit M une matrice carrée de taille n. Pour inverser M, il n’est pas nécessaire de résoudre le système par
l’algorithme de Gauss-Jordan. On peut aussi effectuer cet algorithme directement sur la matrice. Pour cela,
on considère le couple de matrices : ( M |In ). On effectue ensuite l’agorithme de Gauss-Jordan sur M pour
déterminer la matrice échelonnée réduite par ligne équivalente par lignes à M. On effectue alors les mêmes
opérations sur la matrice In en parallèle. Si M est inversible, la matrice échelonnée réduite par ligne équivalente
par lignes à M est nécessairement In . À la fin de l’algorithme, on obtient alors un couple de matrices (In | N ).
Cette matrice N n’est rien d’autre que l’inverse de M. En effet, effectuer une opération sur les lignes d’une
matrice revient à multiplier celle-ci à gauche par une matrice inversible. Si on appelle P1 , . . . , Pk les matrices
inversibles correspondants aux opérations effectuées pour passer de la matrice M à In , on a alors l’égalité
matricielle suivante, où Q = Pk Pk−1 · · · P1 P0 :
QM = In .
Cela signifie alors que Q est en fait l’inverse de M. Comme on a effectué les mêmes opérations sur la matrice In
et qu’on a obtenu la matrice N, on a aussi l’égalité :
QIn = N.
Autrement dit, Q = N, ce qui prouve que N est bien l’inverse de M.
Remarque. La méthode précédente peut aussi s’effectuer avec des opérations sur les colonnes. Par contre, on
ne peut pas mélanger dans le même algorithme opérations sur les lignes et opérations sur les colonnes.
Ö
Exercice 820. Montrer que la matrice
è
2 1 1
1 2 1
1 1 2
est inversible et calculer son inverse.
Chapitre
C5
Espaces vectoriels
Dans tout ce chapitre, la lettre K désignera l’un des ensembles R ou C .
C5.1
Définition et exemples de référence
La définition suivante contient l’ensemble des propriétés du calcul vectoriel dans R2 ou R3 ; on les a simplement retirés de leur contexte, en supprimant toute référence à la nature exacte des vecteurs : cela donne une
définition abstraite des propriétés que doit vérifier un ensemble pour être étudié à la manière de R2 ou R3 ,
c’est-à-dire en utilisant les techniques issues de la géométrie.
Définition 821.
On appelle « K-espace vectoriel », tout triplet ( E, +, ·) composé d’un ensemble E et de deux applications :
®
E×E →
E
(u, v) 7→ u + v
®
K×E →
E
(λ, u) 7→ λ · u
— l’une appelée « loi de composition interne » et notée +, définie par
— l’autre appelée « loi de composition externe » et notée ·, définie par
qui vérifient les propriétés suivantes quels que soient les vecteurs (u, v, w) ∈ E3 et les scalaires (λ, µ) ∈ K2 .
i ) La somme est associative : (u + v) + w = u + (v + w).
ii ) La somme est commutative : u + v = v + u.
iii ) Il existe un vecteur de E, appelé « vecteur nul » et noté 0E , qui vérifie : u + 0E = u.
iv) Tout vecteur u ∈ E possède un « opposé »u′ ∈ E qui vérifie : u + u′ = 0E . L’opposé de u sera noté −u.
v) Le produit par un scalaire est distributif sur la somme de vecteurs : λ · (u + v) = λ · u + λ · v.
vi ) Le produit par un scalaire est distributif sur la somme de scalaires : (λ + µ) · u = λ · u + µ · u.
vii ) Le scalaire 1 ∈ K est neutre : 1 · u = u.
viii ) Le produit par un scalaire est associatif sur les vecteurs : (λµ) · u = λ · (µ · u).
Notations.
• Les éléments de E sont appelés des « vecteurs », et seront en général désignés par des lettres
latines. Les éléments de K sont appelés des « scalaires », et sont en général désignés par des lettres
grecques.
• Pour éviter toute confusion avec le vecteur nul, le nombre 0 ∈ K peut être noté 0K .
• On omettra le plus souvent le symbole ·, et on écrira λx au lieu de λ · x.
−
→
−
→
Exemples 822.
i ) En géométrie, l’ensemble P des vecteurs du plan (resp. l’ensemble E des vecteurs de
l’espace) muni des opérations naturelles + et · forme un R-espace vectoriel.
ii ) (K, +, ×) est un K-espace vectoriel.
iii ) ({0K } , +, ×) est un K-espace vectoriel.
174
Espaces vectoriels
iv) Étant donné deux entiers n, p > 0, l’ensemble Mn,p (K ) des matrices de taille n × p à coefficients dans K
est un K-espace vectoriel, dont le vecteur nul est la matrice nulle de taille n × p.
v) Pour tout n ∈ N ∗ , K n muni des opérations naturelles est un K-espace vectoriel, dont le vecteur nul est
0 = (0, . . . , 0).
vi ) L’ensemble KN des suites de scalaires peut être muni d’une structure de K-espace vectoriel, dont le
vecteur nul est la suite dont tous les termes sont nuls.
vii ) L’ensemble des fonctions définies sur un intervalle
I de R et à valeurs dans R est un R-espace vectoriel.
®
I → R
Le vecteur nul associé est alors la fonction
notée 0.
x 7→ 0
viii ) Soit n ∈ N. L’ensemble des fonctions de classe C n sur un intervalle
véritable I et à valeurs dans R est un
®
I → R
R-espace vectoriel. Le vecteur nul associé est alors la fonction
notée 0.
x 7→ 0
ix) Soit ( E, +, ·) un K-espace vectoriel et X un ensemble quelconque. Alors E X , l’ensemble des applications
de X dans E peut être muni d’une structure de K-espace vectoriel, dont le vecteur nul est l’application
nulle de X dans E.
Remarque. Lorsqu’il n’y aura pas de confusion possible, on parlera d’« espace vectoriel » plutôt que de « Kespace vectoriel. »
Le résultat suivant donne quelques règles de calcul élémentaire dans les espaces vectoriels, qui découlent
de la définition précédente.
Théorème 823.
Soient E un K-espace vectoriel, x ∈ E et λ ∈ K. On a les résultats suivants.
i ) 0K · x = 0E
ii ) λ · 0E = 0E
iii ) λ · x = 0E ⇐⇒ [λ = 0K ou x = 0E ]
iv)
λu = µu
u 6= 0E
´
⇒λ=µ
et
v) (−λ) · x = λ · (− x) = −(λ · x)
λu = λv
λ 6= 0K
´
⇒u=v
Démonstration. Voir les notes de cours (on démontre le point i ) uniquement).
Théorème 824.
Soient E un K-espace vectoriel, p ∈
N∗ ,
( u1 , . . . , u p ) ∈
Ep
et (λ1 , . . . , λ p ) ∈
Démonstration. Voir les notes de cours.
C5.2
K p.
Alors
p
X
k=1
λk uk ∈ E.
Familles de vecteurs
Jusqu’à la fin de ce chapitre, on considère un K-espace vectoriel E.
C5.2.1 Définitions
Définition 825.
On appelle « famille de vecteurs » de E indexée par un ensemble I, la donnée pour tout i ∈ I d’un vecteur ui de E. Cette
famille est notée (ui )i∈ I . Si I est un ensemble fini, on dit que la famille est finie. Dans le cas particulier où I = J1, pK, avec
p ∈ N ∗ , on note aussi (ui )16i6 p cette famille.
Sauf mention du contraire, on ne traitera dans la suite que des familles finies de vecteurs.
Remarque. Une famille de vecteurs de E indexée par I est en fait une application de I vers E. Les éléments
d’une famille ne sont donc pas ordonnés a priori, et une famille peut contenir plusieurs fois un même vecteur.
Définition 826.
Soit x un vecteur de E et (ui )16i6 p une famille de vecteurs de E. On dit que « x s’écrit comme une combinaison linéaire
des (ui )16i6 p » s’il existe (λ1 , . . . , λ p ) ∈
Kp
tel que x =
p
X
i=1
λi ui .
175
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
C5.2.2 Notion de famille génératrice
Définition 827.
Soit (ui )16i6 p une famille de vecteurs de E. Si tout vecteur x ∈ E peut s’écrire comme une combinaison linéaire des
(ui )16i6 p , on dit que la famille (ui )16i6 p est une « famille génératrice de E », ou que cette « famille génère E. » En d’autres
termes on a :
p
(ui )16i6 p génère E ⇐⇒ ∀ x ∈ E, ∃(λ1 , . . . , λ p ) ∈ K , x =
Exemples 828.
celui-ci.
p
X
λi ui .
i=1
i ) Deux vecteurs orthogonaux du plan affine euclidien forment une famille génératrice de
Ç
ii ) Les matrices
1 0
0 1
0 0
0 0
,
,
,
0 0
0 0
1 0
0 1
å Ç
å Ç
å Ç
å
forment une famille génératrice de M2 (K ).
Définition 829.
Ä
ä
Soient p ∈ N ∗ et u1 , . . . , u p des vecteurs de E. On note Vect u1 , . . . , u p l’ensemble des combinaisons linéaires de ces
vecteurs, c’est-à-dire
Ä
ä
Vect u1 , . . . , u p ={λ1 u1 + · · · + λ p u p ; (λ1 , . . . , λ p ) ∈ K p }.
Exemples 830.
i ) Soit u ∈ E, tel que u 6= 0E . Alors
Vect (u) = {λu | λ ∈ K }
est appelé la « droite vectorielle » de E engendrée par u. Par exemple, dans RR , la droite vectorielle
engendrée par l’exponentielle est définie par :
Vect (exp) = {λ exp | λ ∈ K } = { x 7→ λ exp( x) | λ ∈ K } .
ii ) Soient u et v deux vecteurs non colinéaires de E. Alors
Vect (u, v) = λu + µv | (λ, µ) ∈ K2
¶
©
est appelé le « plan vectoriel » de E engendré par u et v. Par exemple, l’ensemble ci-dessous est un plan
vectoriel de RR :
Vect (exp, ln) = λ exp +µ ln | (λ, µ) ∈ K2 = x 7→ λ exp( x) + µ ln( x) | (λ, µ) ∈ K2 .
¶
©
¶
©
On montre maintenant qu’ajouter des vecteurs à une famille augmente son pouvoir générateur.
Théorème 831.
Soient q > p > 1 des entiers, u1 , . . . , u p , u p+1 , . . . , uq des vecteurs de E. On a alors :
Ä
ä
Ä
ä
Vect u1 , . . . , u p ⊂ Vect u1 , . . . , u p , . . . , uq .
Démonstration. Voir les notes de cours.
C5.2.3 Notion de famille libre
Définition 832.
Soit (ui )16i6 p une famille de vecteurs de E. On dit que (ui )16i6 p est une « famille libre », ou que ses vecteurs sont
« linéairement indépendants » si
∀(λ1 , . . . , λ p ) ∈ K p , λ1 u1 + · · · + λ p u p = 0E
î
⇒
ó
λ1 = · · · = λ p = 0K .
En d’autres termes, une famille libre est une famille dont toute combinaison linéaire nulle est triviale. Inversement, lorsque
des vecteurs ne forment pas une famille libre, on dit qu’ils sont « linéairement dépendants » ou qu’ils « forment une famille
liée. »
Exercice 833. Est-ce que les vecteurs (1, 0, 1), (1, 1, 2) et (2, 1, 2) forment une famille libre de R3 ?
Exemple 834. Pour tout ω ∈ R ∗ , ( x 7→ cos ωx, x 7→ sin ωx) est une famille libre de RR .
Définition 835.
Deux vecteurs u, v de E sont « colinéaires » s’il existe λ ∈ K tel que v = λu ou u = λv.
176
Espaces vectoriels
Théorème 836.
On a les résultats suivants.
i ) Toute famille contenant un unique vecteur est libre si et seulement si ce vecteur n’est pas nul.
ii ) Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si la famille qu’ils forment est liée.
iii ) Toute famille contenant le vecteur nul est liée.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemple 837. Les vecteurs (1, 0) et (0, 1) de R2 sont non colinéaires : ils forment une famille libre.
Exercice 838. On considère les vecteurs
x = ( a, b) ∈ K2 et y = (c, d) ∈ K2 . Montrer que ( x, y) est une famille
a c libre de K2 si, et seulement si 6= 0.
b d
Théorème 839.
On a les résultats suivants.
i ) Une famille de vecteurs est liée si et seulement si l’un (au moins) de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres.
ii ) Soient une famille libre (ui )16i6 p de vecteurs de E, et u p+1 ∈ E. Alors la famille (ui )16i6 p+1 est liée si et seulement
si u p+1 est combinaison linéaire de u1 , . . . , u p .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Il est erroné de penser qu’une famille est liée si et seulement si tout vecteur de celle-ci est combinaison linéaire des autres : pour le voir il suffit par exemple de considérer une famille de deux vecteurs dont
l’un seulement est nul.
Définition 840.
Une « sous-famille » d’une famille F = (ui )i∈ I de vecteurs de E indexée par I est une famille de la forme F ′ = (ui )i∈ J
où J est une partie de I. On dit aussi que F est une « sur-famille » de F ′ .
Théorème 841.
On a les résultats suivants.
i ) Toute sous-famille d’une famille libre est libre.
ii ) Toute sur-famille d’une famille liée est liée.
iii ) Toute sur-famille d’une famille génératrice est génératrice.
Démonstration. Voir les notes de cours.
On peut alors étendre ces notions aux familles infinies de vecteurs.
Définition 842.
Soit I un ensemble infini, F = (ui )i∈ I une famille de vecteurs de E. On note Pf ( I ) l’ensemble des parties finies de I.
i ) On dit que la famille F est libre si toute sous-famille finie de F est libre, c’est-à-dire si :


X
∀ J ∈ Pf ( I ), ∀(λ j ) j∈ J ∈ K ,  λ j u j = 0E ⇒ ∀ j ∈ J, λ j = 0 .
J
j∈ J
ii) On dit que la famille F est génératrice si tout vecteur x de E s’écrit comme une combinaison linéaire d’un nombre
fini d’éléments de la famille F , c’est-à-dire si :
∀ x ∈ E, ∃ J ∈ Pf ( I ), ∃(λ j ) j∈ J ∈ K J , x =
X
λj uj .
j∈ J
Remarque. Pour le moment, cela n’a aucun sens d’écrire la somme d’une infinité de termes.
177
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
C5.2.4 Notion de base
Définition 843.
Soit (ui )i∈ I une famille de vecteurs de E. On dit que (ui )i∈ I est une « base » de E si c’est à la fois une famille libre et
génératrice.
Théorème 844 (Décomposition d’un vecteur dans une base).
Soit (ui )16i6n une famille de vecteurs de E. Alors (ui )16i6n est une base de E si et seulement si :
∀ x ∈ E, ∃!(λ1 , . . . , λn ) ∈ K n , x =
n
X
λi ui .
i=1
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. L’existence des coordonnées dans une base B provient du caractère générateur de B , et l’unicité du
caractère libre de B .
Définition 845.
Soit (ui )16i6n une base de E et x ∈ E. On appelle « coordonnées de x dans (ui )16i6n » l’unique n-uplet (λ1 , . . . , λn ) ∈ K n
tel que x =
n
X
λi ui .
i=1
Remarque. Les bases sont les familles de vecteurs pour lesquelles il existe une notion de coordonnées. L’existence de celles-ci correspond au caractère générateur, et leur unicité à la liberté.
Exemples 846.
i ) Soient E = K2 , e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1). Tout vecteur x = (λ, µ) ∈ K2 s’écrit x = λ(1, 0) + µ(0, 1) =
λe1 + µe2 , ce qui prouve que la famille (e1 , e2 ) génère K2 . De plus on a pour (λ1 , λ2 ) ∈ K2 :
λ1 e1 + λ2 e2 = 0E ⇐⇒ (λ1 , λ2 ) = (0, 0) ⇐⇒ λ1 = 0 et λ2 = 0.
Cela montre que la famille (e1 , e2 ) est une famille libre ; c’est donc une base de K2 , appelée la « base
canonique » de K2 .
ii ) Plus généralement, soient n ∈ N ∗ et E = K n . Pour tout i ∈ J1, nK, on considère le vecteur :
ei = ( 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0 ).
| {z }
i−1 zéros
| {z }
n − i zéros
Autrement dit, on pose e1 = (1, 0 . . . , 0), e2 = (0, 1, 0 . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1). On montre en raisonnant
comme ci-dessus que la famille (ei )16i6n est une famille libre et génératrice de K n ; c’est donc une base de
K n . On l’appelle la « base canonique » de K n .
iii ) Soient n, p > 0 des entiers. On rappelle que Ei,j désigne la matrice de taille n × p dont tous les termes sont
nuls, sauf celui d’indice (i, j) qui vaut 1. Alors la famille formée des matrices Ei,j , avec (i, j) ∈ J1, nK × J1, pK
est une base de Mn,p (K ), appelée la « base canonique » de Mn,p (K ) (on raisonne comme ci-dessus).
C5.3
Sous-espaces vectoriels
C5.3.1 Définition, caractérisation et exemples
Définition 847.
On appelle « sous-espace vectoriel » de E toute partie F de E telle que :
i ) 0E ∈ F ;
ii ) ∀ x ∈ F, ∀y ∈ F, x + y ∈ F (F est stable par la loi +) ;
iii ) ∀λ ∈ K, ∀ x ∈ F, λx ∈ F (F est stable par la loi ·).
Théorème 848.
Soit F un sous-espace vectoriel de E. Alors F, muni des lois + et · restreintes à F est un K-espace vectoriel.
Démonstration. Comme F est stable pour + et ·, celles-ci définissent des lois de composition interne et externe
sur F. Il suffit alors de vérifier les huit points de la définition 821, ce qui découle du fait que les lois considérées
sont des restrictions de lois les vérifiant sur E.
178
Espaces vectoriels
Théorème 849 (Caractérisation des sous-espaces vectoriels).
Soit F une partie de E. Alors F est un sous-espace vectoriel de E si, et seulement si :
j) 0E ∈ F ;
jj) ∀( x, y) ∈ F2 , ∀(λ, µ) ∈ K2 , λx + µy ∈ F (F est stable par combinaison linéaire).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemples 850.
i ) Soient λ1 , . . . , λn des scalaires. L’ensemble
espace vectoriel de K n .
Mais si µ est un scalaire non nul, alors l’ensemble
(
(
n
( x1 , . . . , x n ) ∈ K ;
n
( x1 , . . . , x n ) ∈ K ;
espace vectoriel de K n , car il ne contient pas le vecteur nul.
n
X
n
X
)
λi xi = 0
i=1
λi xi = µ
i=1
)
est un sous-
n’est pas un sous-
ii ) {0E } et E sont des sous-espaces vectoriels de E.
iii ) Les seuls sous-espaces vectoriels de K sont K et {0K }.
iv) Soit I un intervalle véritable de R. L’ensemble C 0 ( I, R ) des fonctions continues de I vers R est un sousR-espace vectoriel de R I .
v) R est un sous-R-espace vectoriel de C (mais pas un sous-C-espace vectoriel de C).
vi ) Soit n ∈ N ∗ . Alors Sn (K ) et An (K ) sont des sous-espaces vectoriels de Mn (K ).
Méthode. En pratique, pour vérifier qu’un ensemble est un espace vectoriel, on n’utilise jamais la définition 821.
En effet, tous les espaces vectoriels que vous rencontrerez dans des exercices seront en fait des sous-espaces
vectoriels de l’un des espaces de référence donnés dans ce chapitre : il suffira donc de vérifier les trois conditions
de la caractérisation précédente.
Exercice 851. Soit I un intervalle véritable, a, b, c des fonctions continues sur I et à valeurs dans R. Montrer que
l’ensemble des solutions de a( x)y′′ + b( x)y′ + c( x)y = 0 est un R-espace vectoriel. Ce résultat est-il encore vrai
si l’équation n’est pas homogène ?
C5.3.2 Sous-espace vectoriel engendré par un nombre fini de vecteurs
Théorème 852.
Soit p ∈ N ∗ et u1 , . . . , u p des vecteurs de E. On a alors les résultats suivants.
Ä
ä
i ) Vect u1 , . . . , u p est un sous-espace vectoriel de E, appelé le « sous-espace engendré par u1 , . . . , u p . »
Ä
ä
Ä
ä
ii ) La famille u1 , . . . , u p est une famille génératrice de Vect u1 , . . . , u p .
Ä
ä
Ä
ä
iii ) Si la famille u1 , . . . , u p est libre, alors c’est une base de Vect u1 , . . . , u p .
Ä
ä
Ä
ä
iv) La famille u1 , . . . , u p est une famille génératrice de E si et seulement si E = Vect u1 , . . . , u p .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemple 853. Soient u et v deux vecteurs non colinéaires de E. Alors la famille (u, v) est une base du plan
Vect (u, v) .
Exemple 854. Soit ω ∈ R ∗ , 0 : R → R l’application nulle, et S = {y ∈ RR ; y′′ + ω 2 y = 0}. Alors S est un
R-espace vectoriel admettant pour base la famille ( x 7→ cos ωx, x 7→ sin ωx) .
Lemme 855.
Ä
ä
Soient F, G des sous-espaces vectoriels de E, et u1 , . . . , u p une famille génératrice de F. On a alors :
F ⊂ G ⇐⇒ ∀i ∈ J1, pK, ui ∈ G.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 856.
Soient q > p > 1 des entiers, u1 , . . . , u p , u p+1 , . . . , uq des vecteurs de E. On a alors :
Ä
ä
Ä
Vect u1 , . . . , u p = Vect u1 , . . . , u p , . . . , uq
Démonstration. Voir les notes de cours.
ä
Ä
ä
⇐⇒ ∀i ∈ Jp + 1, qK, ui ∈ Vect u1 , . . . , u p .
179
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
C5.3.3 Intersection de sous-espaces vectoriels
Théorème 857.
Si F1 et F2 sont des sous-espaces vectoriels de E, alors F1 ∩ F2 est un sous-espace vectoriel de E. De plus, l’intersection
d’un nombre quelconque de sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Il est erroné de penser que la réunion de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.
Il suffit pour s’en convaincre de prendre par exemple les droites vectorielles Ox = {λ(1, 0), λ ∈ R } et Oy =
{µ(0, 1), µ ∈ R } de R2 .
Exemple 858. Soit n ∈ N ∗ . On déduit alors directement des exemples 850 que tout sous-ensemble de K n défini
par un système d’équations cartésiennes homogènes est un sous-espace vectoriel de K n .
C5.3.4 Sous-espace vectoriel engendré par une partie
La définition suivante généralise la notion de sous-espace vectoriel engendré par un nombre fini de vecteurs.
Définition 859.
Soit X une partie de E. On appelle « sous-espace vectoriel engendré par X », et l’on note Vect X, l’intersection de tous les
sous-espaces vectoriels de E qui contiennent X :
Vect X =
\
F.
X ⊂ F⊂ E
F sous-espace vectoriel de E
Le théorème 857 assure que Vect X est un sous-espace vectoriel de E.
Théorème 860.
Soit X une partie de E. On a alors les résultats suivants.
i ) Vect X est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-espace vectoriel de E qui contient X.
ii ) Vect X est l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de X :

n
X


λi xi n ∈ N, (λ1 , . . . , λn ) ∈ K n , ( x1 , . . . , xn ) ∈ X n .
Vect X =


i=1
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. L’espace vectoriel engendré par l’ensemble vide est l’espace trivial : Vect ∅ = {0E }.
C5.3.5 Sommes de sous-espaces, sous-espaces supplémentaires
Définition 861.
Soient F1 , F2 deux sous-espaces vectoriels de E. On appelle « somme de F1 et de F2 », et l’on note F1 + F2 , l’ensemble défini
par :
F1 + F2 = {u1 + u2 ; u1 ∈ F1 et u2 ∈ F2 } .
Théorème 862.
Soient F1 , F2 des sous-espaces vectoriels de E. Alors F1 + F2 est un sous-espace vectoriel de E qui contient F1 et F2 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. On peut aisément démontrer que si F1 , F2 sont des sous-espaces vectoriels d’un espace E, alors
F1 + F2 est le sous-espace vectoriel engendré par F1 ∪ F2 .
Définition 863.
Soient F1 , F2 deux sous-espaces vectoriels de E. On dit que « F1 et F2 sont en somme directe » si tout vecteur de F1 + F2
s’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur de F1 et d’un vecteur de F2 , c’est-à-dire :
F1 + F2 est directe ⇐⇒ ∀u ∈ F1 + F2 , ∃! ( u1 , u2 ) ∈ F1 × F2 , u = u1 + u2 .
Dans ce cas, la somme de F1 et de F2 sera notée F1 ⊕ F2 au lieu de F1 + F2 .
180
Espaces vectoriels
Exemple 864. Soit (e1 , . . . , ek , ek+1 , . . . en ) une famille libre de E. Alors Vect (e1 , . . . , ek ) et Vect (ek+1 , . . . , en ) sont
en somme directe.
Pour démontrer qu’une somme est directe, on utilise souvent la caractérisation suivante.
Théorème 865.
Soient F1 , F2 deux sous-espaces vectoriels de E. Alors la somme F1 + F2 est directe si et seulement si F1 ∩ F2 = {0E } .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Définition 866.
Soient F1 , F2 deux sous-espaces vectoriels de E. On dit que F1 et F2 sont « supplémentaires dans E » si leur somme est
directe et vaut E, c’est-à-dire si E = F1 ⊕ F2 . En d’autres termes :
E = F1 ⊕ F2 ⇐⇒ ∀u ∈ E, ∃! ( u1 , u2 ) ∈ F1 × F2 , u = u1 + u2 .
C’est-à-dire que F1 et F2 sont supplémentaires dans E si et seulement si tout vecteur de E s’écrit de manière unique comme
somme d’un vecteur de F1 et d’un vecteur de F2
Exemples 867.
i ) Dans le chapitre sur le calcul matriciel, on a prouvé Mn (K ) = Sn (K ) ⊕ An (K ).
ii ) Soit (i, j) la base canonique de K2 . On a alors Vect (i ) ⊕ Vect ( j) = K2 et Vect (i, j) + Vect (i) = K2 .
En pratique, c’est le résultat suivant que l’on utilise pour démontrer que deux sous-espaces vectoriels sont
supplémentaires.
Corolaire 868.
Soient F1 , F2 deux sous-espaces vectoriels de E. Alors F1 et F2 sont supplémentaires dans E si et seulement si
i ) F1 + F2 = E ;
ii ) F1 ∩ F2 = {0E }.
Démonstration. Il suffit d’utiliser le résultat précédent.
Exercice 869. On note P (resp. I) l’ensemble des fonctions f : R → R paires (resp. impaires). Montrer que P et
I sont supplémentaires dans RR .
Chapitre
C6
Espaces vectoriels de dimension finie
Dans tout ce chapitre, la lettre K désignera l’un des ensembles R ou C .
C6.1
Introduction aux applications linéaires
L’étude des applications linéaires entre espaces vectoriels fera l’objet d’un chapitre ultérieur ; on se contente
pour l’instant de quelques propriétés élémentaires.
C6.1.1 Définition, caractérisation et exemples
Définition 870.
Soient ( E, +, ·) et ( F, +, ·) deux K-espaces vectoriels et f : E → F une application. On dit que « f est une application
linéaire de E dans F », ou « un morphisme d’espace vectoriels entre E et F », si elle vérifie les propriétés suivantes.
i ) ∀ ( x, y) ∈ E2 , f ( x + y) = f ( x) + f (y) .
ii ) ∀ x ∈ E, ∀λ ∈ K, f (λ · x) = λ · f ( x) .
Définition 871.
Soient ( E, +, ·) et ( F, +, ·) deux K-espaces vectoriels.
• On appelle « isomorphisme de E dans F » toute application linéaire bijective f : E → F.
• On appelle « endomorphisme de E » toute application linéaire f : E → E.
• On appelle « automorphisme de E » toute application linéaire bijective f : E → E.
• On appelle « forme linéaire de E » toute application linéaire f : E → K. L’ensemble des formes linéaires sur E est
noté E∗ .
Notations. Soient ( E, +, ·) et ( F, +, ·) deux K-espaces vectoriels. On note L( E, F ) l’ensemble des morphismes
de E dans F, L( E) l’ensemble des endomorphismes de E et GL( E) l’ensemble des automorphismes de E.
On a la caractérisation suivante des applications linéaires.
Théorème 872.
Soient E, F deux K-espaces vectoriels et f : E → F une application. Alors f ∈ L( E, F ) si et seulement si
∀(u, v) ∈ E2 , ∀(λ, µ) ∈ K2 , f (λu + µv) = λ f (u) + µ f (v) .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Les applications linéaires entre deux espaces vectoriels E et F sont donc les applications dont l’action est
compatible avec la structure d’espace vectoriel : une combinaison linéaire est transformée en une combinaison
linéaire. On peut ainsi étudier ces applications en utilisant les outils de l’algèbre linéaire.
®
Exemples 873.
i ) Quel que soit l’espace vectoriel E, l’application identité IdE :
®
nulle 0L ( E) :
E −→ E
sont des endomorphismes de E.
x 7−→ 0E
E −→ E
x 7−→ k · x
vectorielle » de rapport k. On la note kIdE .
E −→ E
et l’application
x 7−→ x
®
ii ) Soit k ∈
K∗ .
L’application Hk :
est un automorphisme de E, appelé « l’homothétie
182
Espaces vectoriels de dimension finie
iii ) L’application de K2 dans K3 définie par ϕ : ( x, y) 7→ ( x + y, x − y, y) est linéaire.
®
iv) Soit I un intervalle véritable de R. L’application D :

0

 C ([ a, b])
v) Soient a < b des réels. L’application Ψ :
vi ) Soit n, p > 0 entiers. L’application M 7→


f
tM
C k+1 ( I ) −→ C k ( I )
.
f
7−→ f ′
−→ R
ˆ b
est linéaire.
f ( x) dx
7−→
a
est un isomorphisme de Mn,p (K ) vers M p,n (K ).
Théorème 874.
Soient E, F deux K-espaces vectoriels et f : E → F une application linéaire. On a les résultats suivants.
i ) f (0E ) = 0 F .
ii ) Soit n ∈ N ∗ . Pour tout ( x1 , . . . , xn ) ∈ En et (λ1 , . . . , λn ) ∈ K n on a
f
n
X
i=1
λi xi
!
=
n
X
λi f ( xi ) .
i=1
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. L’image du vecteur nul est le vecteur nul, mais ces deux vecteurs n’ont pas nécessairement la même
nature.
Théorème 875.
Soient E, F deux K-espaces vectoriels. Alors L( E, F ) est un sous-espace vectoriel de F E .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Montrons que la composée de deux applications linéaires est une application linéaire.
Théorème 876.
Soient E, F, G des K-espaces vectoriels, et f ∈ L ( E, F ) et g ∈ L ( F, G ). On a alors g ◦ f ∈ L ( E, G ).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 877.
Soient E, F des K-espaces vectoriels, et f ∈ L ( E, F ) une bijection. Alors f −1 ∈ L ( F, E).
Démonstration. Voir les notes de cours.
C6.1.2 Noyau et image d’une application linéaire
Définition 878.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, et ϕ : E → F une application linéaire.
i ) On appelle « noyau de ϕ » et on note Ker ϕ l’ensemble défini par Ker ϕ = { x ∈ E | ϕ( x) = 0F }.
ii ) On appelle « image de ϕ » et on note Im ϕ l’ensemble défini par Im ϕ = { ϕ( x) | x ∈ E}.
Théorème 879.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, et ϕ : E → F une application linéaire. Alors :
i ) Ker ϕ est un sous-espace vectoriel de E ;
ii ) Im ϕ est un sous-espace vectoriel de F.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 880. Soit ϕ ∈ L (K2 , K3 ) tel que ϕ : ( x, y) 7→ ( x + y, x − y, y). Déterminer le noyau et l’image de ϕ.
Exercice 881. Soient a, b, c des réels. Montrer que l’ensemble des solutions à valeurs dans R de l’équation
différentielle ay′′ + by′ + cy = 0 est un R-espace vectoriel.
C6.2. DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL
C6.2
183
Dimension d’un espace vectoriel
C6.2.1 Définition et exemples
Définition 882.
On dit qu’un K-espace vectoriel est de « dimension finie » lorsqu’il admet une famille génératrice finie. Dans le cas
contraire, il est dit de « dimension infinie. »
Exemples 883.
i ) L’espace vectoriel K2 est de dimension finie, puisqu’il admet une famille génératrice de
cardinal 2, à savoir celle formée des vecteurs (1, 0) et (0, 1).
ii ) Plus généralement, on a défini la base canonique (e1 , . . . , en ) de K n , de quoi on déduit directement que
K n est un espace vectoriel de dimension finie.
iii ) Nous démontrerons dans la suite que K I , avec I un intervalle véritable de R, est un K-espace vectoriel de
dimension infinie.
Nous aurons besoin dans ce chapitre de quelques notations non conventionnelles concernant les familles de
vecteurs d’un K-espace vectoriel E.
Notations.
i ) Soit F = ( f i )i∈ I une famille finie de vecteurs de E. Le « cardinal » de la famille F , noté card F ,
est par définition le cardinal de l’ensemble d’indices I. C’est le nombre d’indices de la famille de vecteurs ;
il correspond au nombre de vecteurs de la famille F si aucun vecteur n’est répété plusieurs fois.
ii ) Soient F et F ′ deux familles de vecteurs de E. Si F est une sous-famille de F ′ (ce qui équivaut à dire
que F ′ est une sur-famille de F ), on écrira F ⊂ F ′ . Si de plus, F et F ′ sont des familles finies, on a
alors card F 6 card F ′ .
iii ) Soient F = ( f i )i∈ I et F ′ = ( f j ′ ) j∈ J deux familles de vecteurs de E telles que les ensembles d’indices I et J
sont disjoints (c’est-à-dire I ∩ J = ∅). Pour k ∈ I ∪ J, on pose :
®
gk =
f k si k ∈ I
f k ′ si k ∈ J.
On appelle alors « réunion disjointe » des familles F et F ′ , et on note F ⊔ F ′ , la famille ( gk )k∈ I ∪ J .
Intuitivement, la réunion disjointe de familles correspond à leur concaténation (ou juxtaposition). Si de
plus F et F ′ sont des familles finies, on a alors : card (F ⊔ F ′ ) = card F + card F ′ .
iv) L’ensemble d’indices d’une famille de vecteurs importe peu. Dans le cas où les ensembles d’indices des
familles F , F ′ ne sont pas disjoints, on peut faire un changement d’indices pour l’une des deux familles
de sorte que l’on obtienne des ensembles d’indices disjoints. On peut alors définir la réunion disjointe des
familles F , F ′ comme dans le cas précédent, et celle-ci sera encore notée F ⊔ F ′ .
C6.2.2 Le théorème de la base incomplète (et ses avatars)
Dans cette section, nous allons montrer que tout espace vectoriel de dimension finie admet une base de
cardinal fini.
Théorème 884 (Théorème de la base incomplète).
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, L une famille libre finie de vecteurs de E et G une famille génératrice
finie de vecteurs de E. Alors E admet une base B obtenue à partir de L en ajoutant des vecteurs de G .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 885. Donner une base de K4 contenant les vecteurs (1, 1, 0, −1) et (1, −1, 0, 1).
Corolaire 886.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Alors :
i ) Toute famille libre finie peut être complétée en une base finie de E.
ii ) De toute famille génératrice finie, on peut extraire une sous-famille qui est une base finie de E.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Le point ii ) ci-dessus est appelé le « théorème de la base extraite (ou base trop pleine). »
184
Espaces vectoriels de dimension finie
Corolaire 887.
Tout K-espace vectoriel de dimension finie admet une base finie.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. On peut démontrer que tout espace vectoriel de dimension infinie admet également une base, mais
celle-ci contient alors un nombre infini de vecteurs.
C6.2.3 Dimension d’un espace vectoriel de dimension finie
Dans cette section, nous allons montrer que toutes les bases d’un espace vectoriel de dimension finie E ont
le même nombre de vecteurs ; ce nombre sera appelé la dimension de E.
Lemme 888.
Dans un espace vectoriel engendré par n vecteurs, toute famille de n + 1 vecteurs est liée.
Démonstration.
Soit E un espace vectoriel. Nous allons montrer par récurrence sur n ∈ N la propriété Pn suivante : « pour
toutes familles de vecteurs F = ( f i )16i6n et E = (ei )16i6n+1 , si Vect E ⊂ Vect F , alors la famille E est liée. »
Initialisation. Si n = 0, la famille F est la famille vide et la famille E contient un seul vecteur : E = (e1 ). On a
donc Vect F = {0E }. Si Vect E ⊂ Vect F , alors e1 = 0E . La famille E est donc liée. Donc P0 est vraie.
Hérédité. Soit n ∈ N tel que la propriété Pn soit vraie. Montrons que Pn+1 est vraie. Soient F = ( f i )16i6n+1 et
E = (ei )16i6n+2 deux familles telles que Vect E ⊂ Vect F . Montrons que E est liée. Pour tout j ∈ J1, n + 2K, le
vecteur e j s’écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de F . Il existe donc (α j,1 , . . . , α j,n+1 ) ∈ K n+1 tel
que :
ej =
n
+1
X
α j,i f i .
i=1
On distingue alors deux cas.
•1er cas : ∀ j ∈ J1, n + 2K, α j,n+1 = 0. Dans ce cas, pour tout j ∈ J1, n + 1K, le vecteur e j est une combinaison
linéaire des vecteurs ( f 1 , . . . , f n ). D’après la propiété Pn , la famille (e1 , . . . , en+1 ) est donc liée. On en déduit que
la famille E est liée, car c’est une sur-famille de la famille (e1 , . . . , en+1 ). La propriété Pn+1 est donc vraie dans
ce cas.
•2ème cas : ∃ j0 ∈ J1, n + 2K, α j0 ,n+1 6= 0. Quitte à changer l’ordre des vecteurs de la famille E , on peut supposer
que j0 = n + 2. Pour j ∈ J1, n + 1K, on pose :
ej ′ = ej −
α j,n+1
αn+2,n+1
e n +2 .
Pour tout j ∈ J1, n + 1K, on a :
′
ej =
′
ej =
′
ej =
n
+1
X
α j,i f i
i=1
n
+1 Ç
X
i=1
n Ç
X
i=1
−
α j,i −
α j,i −
+1
α j,n+1 nX
αn+2,n+1
α j,n+1
αn+2,n+1
α j,n+1
αn+2,n+1
αn+2,i f i
i=1
å
αn+2,i
fi
å
αn+2,i
fi
Cela montre ∀ j ∈ J1, n + 1K, e j ′ ∈ Vect{ f 1 , . . . , f n }.
D’après la propriété Pn , la famille E ′ = (e j ′ )16 j6n+1 est donc liée. Il existe donc (λ1 , . . . , λn+1 ) ∈ K n+1 tels
que (λ1 , . . . , λn+1 ) 6= (0, . . . , 0) et :
n
+1
X
j=1
λ j e j ′ = 0E .
185
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
On a donc :
n
+1
X
j=1
λj ej −
n
+1
X
j=1
Ç
Ñ
λj ej −
å
α j,n+1
αn+2,n+1
n
+1
X
e n +2
= 0E
é
λj
j=1
α j,n+1
αn+2,n+1
e n +2 = 0E
Cela montre que la famille E est liée, et prouve ainsi la propriété Pn+1 dans ce cas. En raisonnant par récurrence,
on a ainsi prouvé que pour tout n ∈ N, la propriété Pn est vraie.
Théorème 889.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Alors toutes les bases de E sont finies et ont même nombre de vecteurs.
On appelle alors « dimension de E, » et l’on note dim( E) (ou dimK ( E)), le nombre de vecteurs d’une base de E.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemples 890.
ii )
dim(K n )
i ) L’espace vectoriel trivial est de dimension 0.
= n.
iii ) dim(Mn,p (K )) = np.
iv) Soit ω ∈ R ∗ . L’ensemble des solutions de y′′ + ω 2 y = 0 est de dimension 2.
v) dimR (C ) = 2 et dimC (C ) = 1.
Définition 891.
Un K-espace vectoriel de dimension 1 est appelé une « droite vectorielle », et un K-espace vectoriel de dimension 2 est
appelé un « plan vectoriel. »
Exemple 892. Vect{cos, sin} est un plan vectoriel.
C6.2.4 Interaction de la notion de cardinal avec les familles libres et génératrices
Le résultat ci-dessous indique que les bases sont à la fois « les familles libres maximales » et « les familles
génératrices minimales. »
Théorème 893.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et F une famille finie de vecteurs de E.
•
i ) Si F est libre, alors card F 6 n.
ii ) Si F est libre, alors F est une base si et seulement si card F = n.
•
j) Si F est génératrice, alors card F > n.
jj) Si F est génératrice, alors F est une base si et seulement si card F = n.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Par contraposition, on déduit directement de i ) et de j) :
• Si card F > n, alors F est liée.
• Si card F < n, alors F n’est pas génératrice.
Corolaire 894.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et F une famille finie de vecteurs de E. Si deux des assertions suivantes sont
vérifiées :
i ) F est libre ;
ii ) F est génératrice ;
iii ) card F = n ;
alors la troisième assertion est également vérifiée, et F est une base.
Démonstration. Résulte directement du théorème 893
Exercice 895. Pour tout i ∈ J1, nK, on appelle f i le vecteur de K n défini par f i = (1, . . . , 1, 0, . . . , 0). Montrer que
| {z } | {z }
( f i )16i6n est une base de K n .
i fois
n − i fois
186
Espaces vectoriels de dimension finie
C6.2.5 Introduction à l’étude des espaces vectoriels de dimension infinie
Théorème 896.
La famille ( x 7→ eαx )α∈K est une famille libre de KR .
Démonstration. Voir l’exercice C5.5 vu en TD.
Théorème 897.
Soit I un intervalle véritable de R. Alors K I est un K-espace vectoriel de dimension infinie.
Démonstration. Si K I était de dimension finie égale à n, on en déduirait que toute famille libre de K I possède
au plus n vecteurs et serait donc finie, ce qui contredit le résultat précédent.
Théorème 898.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension infinie. Alors il existe une famille libre infinie de vecteurs de E.
Démonstration. Voir les notes de cours.
C6.3
Dimension et sous-espaces vectoriels
C6.3.1 Croissance de la dimension
Théorème 899.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E. Alors :
i ) F est de dimension finie.
ii ) dim( F ) 6 dim( E).
iii ) dim( F ) = dim( E) si et seulement si F = E.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Ce résultat est analogue à un résultat sur le cardinal des ensembles finis.
Méthode. En pratique, pour montrer que deux sous-espaces vectoriels sont égaux, il suffit de démontrer que
l’un est inclus dans l’autre, puis de vérifier qu’ils ont même dimension.
Exemple 900. Pour prouver qu’un sous-espace F d’un espace vectoriel E est réduit à {0E }, il suffit de vérifier
F ⊂ {0 E } .
Exercice 901. Montrer que le plan vectoriel de R3 engendré par u(1, −1, −1) et v(2, 1, 0) admet pour équation
x − 2y + 3z = 0.
Définition 902.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n > 0. On appelle « hyperplan de E » tout sous-espace vectoriel de dimension
n − 1 de E.
Exemple 903. F = ( x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0 est un hyperplan de R3 .
¶
©
Remarque. On démontrera plus tard dans l’année que tout sous-espace vectoriel de K n défini par une unique
équation linéaire homogène est un hyperplan.
C6.3.2 Dimension et somme de sous-espaces
Lemme 904.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et F1 , F2 deux sous-espaces vectoriels de E. Alors F1 et F2 sont supplémentaires dans E si et seulement si l’union disjointe d’une base de F1 et d’une base de F2 est une base de E.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 905.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E. On a alors les résultats suivants.
i ) F admet au moins un supplémentaire dans E.
ii ) Tous les supplémentaires de F dans E ont la même dimension, égale à dim( E) − dim( F ).
187
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. On peut aisément démontrer que tout sous-espace vectoriel strict d’un espace vectoriel E possède
une infinité de supplémentaires distincts, comme l’illustre un simple dessin. On évitera donc d’employer le
groupe nominal « le supplémentaire de F » !
Théorème 906.
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, F et G deux sous-espaces vectoriels de E en somme directe. On a alors
dim ( F ⊕ G ) = dim( F ) + dim( G ).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Plus généralement, on a la formule suivante.
Théorème 907 (Formule de Grassmann).
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On a alors
dim ( F + G ) = dim( F ) + dim( G ) − dim ( F ∩ G ) .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. La formule ci-dessus est analogue à card ( A ∪ B) = card ( A) + card ( B) − card ( A ∩ B) .
Exercice 908. Soient E un espace vectoriel de dimension n, F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer
dim( F ) + dim( G ) > dim( E) ⇒ F ∩ G 6= {0E } . On en déduit notamment que l’intersection de deux plans
vectoriels de R3 n’est pas triviale.
Corolaire 909.
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Si deux des assertions
suivantes sont vérifiées
i ) F ∩ G = {0E }
ii ) F + G = E
iii ) dim( F ) + dim( G ) = dim E
alors la troisième assertion est également vérifiée, et alors les sous-espaces F, G sont supplémentaires dans E.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemple 910. F = ( x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0 et G = Vect(1, 1, 1) sont supplémentaires dans R3 .
¶
©
C6.3.3 Dimension d’un produit de sous-espaces
Théorème 911.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Alors E × F est un espace vectoriel de dimension finie, et on a
dim ( E × F ) = dim( E) + dim( F ).
Démonstration. Voir les notes de cours.
C6.4
Rang d’une famille finie de vecteurs
Définition 912.
Soient E un K-espace vectoriel et F une famille finie de vecteurs de celui-ci. On appelle rang de F , et on note rg (F ), la
dimension du sous-espace vectoriel Vect F . En d’autres termes, on pose
rg (F ) = dim (Vect F ) .
→
→
→
→
→
→
Exemple 913. Soit (−
ı ,−
 ) la base canonique de R2 . Calculer le rang de (−
ı ,−
 ,−
ı +−
 ).
La caractérisation suivante est aussi fréquemment utile que la définition.
Théorème 914.
Le rang d’une famille finie de vecteurs est égal au cardinal de sa plus grande sous-famille libre.
188
Espaces vectoriels de dimension finie
Démonstration. Posons F = Vect{u1 , . . . , u p }. Puisque la famille u1 , . . . , u p génère F, sa plus grande sous-famille
libre est une Äbase de Fä (Cf le théorème de la base extraite), et le cardinal de cette dernière est donc égal à
dim( F ) = rg u1 , . . . , u p .
Ä
ä
Méthode. Pour calculer le rang d’une famille finie F = u1 , . . . , u p , on commence par regarder si elle est
libre ou pas. Sinon, on retire un vecteur qui est combinaison linéaire des autres. Si la famille obtenue n’est
toujours pas libre, on en retire encore un vecteur etc. . . Ce faisant, on calcule une base du sous-espace vectoriel
Vect{u1 , . . . , u p } en utilisant la méthode de la base extraite. De manière duale, on peut également employer
la méthode de la base incomplète et, partant de la famille ∅, rajouter des vecteurs de F tant que cela donne
encore une famille libre.
On a enfin le résultat suivant.
Théorème 915.
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, et F une famille finie de vecteurs de E. On a alors les résultats suivants.
i ) rg (F ) 6 min (dim ( E) , card (F )) ;
ii ) rg (F ) = card (F ) si et seulement si F est libre ;
iii ) rg (F ) = dim ( E) si et seulement si F génère E.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Chapitre
C7
Polynômes
Jusqu’à présent les polynômes ont été vus comme des fonctions, mais désormais nous les considérerons d’un
point de vue algébrique, comme des objets mathématiques sur lesquels sont définies des opérations (somme,
produit, dérivation. . . ). Dans ce chapitre, K désigne l’un des ensembles R ou C.
C7.1
Suites à support fini
Définition 916.
Soit u ∈ KN . On dit que u est une « suite à support fini » si {k ∈ N | uk 6= 0} est un ensemble fini. On notera K (N )
l’ensemble des suites à valeurs dans K et à support fini.
Lemme 917.
Soit u ∈ KN . Les assertions suivantes sont équivalentes :
i ) u est une suite à support fini.
ii ) ∃n ∈ N, ∀k > n, uk = 0.
Démonstration. Facile : il suffit de remarquer n = max{i ∈ N; ui 6= 0}.
Théorème 918.
K (N ) est un sous-espace vectoriel de KN .
Démonstration. Il est clair qu’une combinaison linéaire de suites à supports finis est encore à support fini.
Définition 919.
Soit u une suite non nulle à support fini. On appelle « degré de u », et on note Deg u, l’entier défini par :
Deg u = max {k ∈ N | uk 6= 0} .
Remarque. Par convention, le degré de la suite nulle est −∞ et on convient que pour tout n ∈ N :
−∞ < n, (−∞) + n = −∞, et (−∞) + (−∞) = −∞.
C7.2
Polynômes, structure d’espace vectoriel sur K [ X ]
Nous pouvons maintenant définir ce qu’est un polynôme en une indéterminée notée X.
Définition 920.
i ) Pour tout entier n ∈ N, on notera X n la suite dont le k-ième terme [ X n ]k est défini par :
®
n
∀k ∈ N, [X ]k = δn+1,k =
1 si k = n + 1
0 sinon.
En d’autres termes on pose X n = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) où le cœfficient 1 se situe à la (n + 1)-ième place.
ii ) Un « polynôme » P (noté aussi P( X )) à cœfficients dans K est une suite ( ak )k∈N à valeurs dans K et à support fini.
Il existe donc un entier n ∈ N tel que ∀k > n, ak = 0. On peut alors écrire :
P( X ) = ( a0 , . . . , an , 0, . . . ) =
n
X
ai (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) =
i=0
iii ) Si k ∈ N, le scalaire ak est appelé « cœfficient de degré k » du polynôme P.
n
X
i=0
ai X i .
190
Polynômes
iv) On notera Deg P le « degré » du polynôme P.
v) Si Deg P = n ∈ N, alors le cœfficient an est non nul, et est appelé « cœfficient dominant » de P. Si ce cœfficient est
égal à 1, on dira que P est un polynôme « unitaire » (ou « normalisé »).
vi ) Tout polynôme de la forme aX p est appelé « un monôme. »
vii ) Si P est un polynôme de degré n et de cœfficient dominant an , alors an X n est appelé « le terme dominant de P. »
viii ) L’ensemble des polynômes à cœfficients dans K se note K [ X ].
ix) Pour tout entier n ∈ N, on notera K n [ X ] l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n, soit encore :
K n [ X ] = { P ∈ K [ X ]; Deg P 6 n}.
x) Les polynômes de K0 [ X ] sont appelés « polynômes constants. »
Remarque. La lettre X ne désignant pas une variable, il n’aurait aucun sens d’écrire par exemple une formule
commençant par ∀ X ∈ K.
Notation. Soient ( P, Q) ∈ K [ X ]2 . Il existe deux entiers m et n et des cœfficients ( ak )k>0 et (bk )k>0 tels que ak = 0
si k > n, bk = 0 si k > m, et :
P( X ) =
n
X
ai X i et Q( X ) =
n
X
b j X j , car b j = 0 si j > m (et on raisonne de même si m > n).
i=0
Si n > m, alors on peut écrire que Q( X ) =
m
X
bj X j .
j=0
j=0
Ainsi, lorsque l’on considère deux polynômes (ou un nombre fini), on peut toujours écrire ces polynômes avec
le même domaine de sommation :
P( X ) =
n
X
ak X k et Q( X ) =
k=0
n
X
bk X k
k=0
Un polynôme étant une suite (la suite de ses cœfficients), on peut définir la somme de deux polynômes et
le produit d’un polynôme par un scalaire en utilisant la somme et le produit externe de l’espace vectoriel KN .
Définition 921.
Soient P( X ) =
n
X
k=0
ak X k et Q( X ) =
n
X
k=0
bk X k deux polynômes à cœfficients dans K et λ ∈ K. Alors :
i) La somme des polynômes P et Q est le polynôme P + Q défini par ( P + Q)( X ) =
n
X
( a k + bk ) X k .
k=0
ii) Le produit du polynôme P par le scalaire λ est le polynôme λ · P défini par (λ · P)( X ) =
n
X
(λak ) X k .
k=0
Théorème 922.
(K [ X ] , +, ·) est un K-espace vectoriel.
Démonstration. Il suffit d’utiliser le théorème 918, puisque par définition on a K [ X ] = K (N ) , et puisque la
somme de deux polynômes (resp. le produit par un scalaire d’un polynôme) sont en fait la loi de composition
interne (resp. externe) sur K (N ) .
Théorème 923.
Soient ( P, Q) ∈ K [ X ]2 et (λ, µ) ∈ K2 . On a alors les résultats suivants.
i ) Deg( P + Q) 6 max{Deg P, Deg Q}.
ii ) Si Deg P 6= Deg Q, alors Deg( P + Q) = max{Deg P, Deg Q}.
iii ) Si λ ∈ K ∗ , alors Deg(λP) = Deg P.
iv) Deg(λP + µQ) 6 max{Deg P, Deg Q}.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 924.
Soit n ∈ N. On a alors les résultats suivants.
C7.3. PRODUIT DE POLYNÔMES, STRUCTURE D’ALGÈBRE SUR K [ X ]
191
i ) K n [ X ] est un sous-espace vectoriel de K [ X ].
ii ) La famille ( X k )06k6n est une base de K n [ X ], appelée « la base canonique de K n [ X ] ».
iii ) dim K n [ X ] = n + 1.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 925.
La famille ( X n )n>0 est une base de K [ X ], appelée « la base canonique de K [ X ]. »
Démonstration. La famille considérée est trivialement génératrice de K [ X ]. Pour démontrer qu’elle est libre, on
en considère une sous-famille finie quelconque : en raisonnant comme pour le théorème précédent, on montre
que celle-ci est libre.
On en déduit alors directement le résultat suivant, en vertu du théorème d’unicité des cœfficients dans une
base.
Corolaire 926 (Théorème d’identification des cœfficients).
Si deux polynômes sont égaux, alors leurs cœfficients sont égaux.
Corolaire 927.
K [ X ] est un espace vectoriel de dimension infinie.
Démonstration. Si tel n’était pas le cas, alors toute famille libre de K [ X ] aurait moins de n = dim K [ X ] éléments,
ce qui contredirait le théorème 925.
La définition suivante et le théorème associé sont souvent utiles pour montrer qu’une famille de polynômes
est libre.
Définition 928.
Soit n ∈ N et ( Pk )06k6n une famille de K [ X ]. On dit que ( Pk )06k6n est « échelonnée » si
−∞ < Deg P0 < Deg P1 < · · · < Deg Pn .
Exemple 929. La base canonique de K [ X ] est échelonnée.
Théorème 930.
Soit n ∈ N et ( Pk )06k6n une famille de K [ X ].
i ) Si ( Pk )06k6n échelonnée, alors ( Pk )06k6n est libre.
ii ) Si ∀k ∈ J0, nK, Deg Pk = k, alors ( Pk )06k6n est une base de K n [ X ].
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemple 931. (1, X − 1, ( X − 1)2 ) est une base de K2 [ X ].
Remarque. Il est erroné de croire que toute base de K [ X ] est une famille échelonnée : X, X + 1 forment par
exemple une base de K1 [ X ].
C7.3
Produit de polynômes, structure d’algèbre sur K [ X ]
Théorème/définition 932.
Soient P( X ) =
n
X
ai X i et Q( X ) =
m
X
b j X j deux polynômes à cœfficients dans K. Le produit des polynômes P et Q est
j=0
i=0
le polynôme PQ défini par :
( PQ)( X ) =
n X
m
X
ai b j X i+ j =
i=0 j=0
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 933.
Le produit de deux polynômes est associatif et commutatif.
Démonstration. Résultat admis.
nX
+m
k=0
Ñ
k
X
i=0
é
a i bk − i
Xk.
192
Polynômes
Exercice 934. Soient n ∈ N et P( X ) = ( X + 1)n .
1. En calculant de deux manières différentes le polynôme P2 , montrer que :
k
X
∀k ∈ J0, 2nK,
2. En déduire la formule de Vandermonde :
n
X
n
i
Ç åÇ
i=0
Ç å2
n
i
i=0
Ç
=
n
k−i
å
Ç
=
2n
.
k
å
2n
.
n
å
Théorème 935.
Soient P et Q deux polynômes à cœfficients dans K. On a alors Deg( PQ) = Deg P + Deg Q.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 936.
Soient P et Q deux polynômes à cœfficients dans K. Alors :
Démonstration. Voir les notes de cours.
PQ = 0 ⇐⇒ ( P = 0 ou Q = 0) .
Remarque. La propriété précédente peut sembler naturelle, pourtant elle ne l’est pas. Par exemple si f , g : R →
R sont deux fonctions telles que ∀ x < 0, f ( x) = 0 et ∀ x > 0, g( x) = 0, alors le produit f g est nul,Çbien åque
1 0
f et g ne sont pas nécessairement nuls. Un autre contre-exemple est donné par M2 (R ) : si A =
et
0 0
Ç
å
0 0
B=
, on a AB = O2 .
0 1
C7.4
Composition de polynômes
Définition 937.
Soient P( X ) =
n
X
ai X i et Q( X ) =
i=0
m
X
b j X j deux polynômes à cœfficients dans K. La composition des polynômes P et Q
j=0
est le polynôme P ◦ Q défini par ( P ◦ Q)( X ) =
n
X
i=0
ai
Ñ
m
X
éi
bj X j
.
j=0
On vérifie aisément que la composée de deux polynômes est encore un polynôme, en tant que combinaison
linéaire et produit de polynômes.
C7.5
Dérivation de polynômes
Définition 938.
Soit P( X ) =
n
X
ai X i un polynôme à cœfficients dans K.
i=0
i ) Le « polynôme dérivé » de P est le polynôme P′ défini par : P′ ( X ) =
n
X
iai X i−1 =
i=1
ii ) Pour tout entier k ∈ N on définit
P ( k)
n
−1
X
( k + 1) a k + 1 X k .
k=0
le polynôme dérivé k-ème de P par récurrence :
ä′
P(0) = P et P(k+1) = P(k) .
Ä
La dérivation des polynômes vérifie des proriétés analogues à celles de la dérivation des fonctions.
Théorème 939.
Soient ( P, Q) ∈ K [ X ]2 , (λ, µ) ∈ K2 et n ∈ N. Alors :
i ) (λP + µQ)′ = λP′ + µQ′ , et plus généralement (λP + µQ)(n) = λP(n) + µQ(n) .
ii )
( PQ)′
=
P′ Q +
PQ′ ,
et plus généralement
( PQ)(n)
=
n
X
k=0
iii ) ( P ◦ Q)′ = ( P′ ◦ Q) × Q′ .
Démonstration. Facile (mais laborieux. . . ).
n ( k) ( n − k)
P Q
.
k
Ç å
C7.6. FONCTIONS POLYNOMIALES
C7.6
193
Fonctions polynomiales
À tout polynôme, on peut associer une fonction polynomiale. On montrera plus tard que cette correspondance est bijective si K est infini (par exemple K = R ou C). Mais on distingue les notions de polynôme et
de fonction polynomiale car, si K est fini, ces notions sont différentes (par exemple les polynômes P = X et
Q = n + X sont différents, mais ils deviennent égaux si on les évalue modulo n).
Définition 940.
Une fonction polynomiale sur K est une fonction de la forme :


 K

 x
−→ K
n
X
7−→
ai x i
i=0
où n ∈ N et ( ai )06i6n ∈ K n+1 . On notera PO(K ) l’ensemble des fonctions polynomiales sur K.
Théorème 941.
PO(K ) est un sous-espace vectoriel de KK .
Démonstration. Facile.
Définition 942.
Soit P( X ) =
n
X
i=0
ai X i ∈ K [ X ]. On note P̃ la fonction polynomiale définie par ∀ x ∈ K, P̃( x) =
n
X
ai x i .
i=0
Notation. Soit a ∈ K. Par abus de notation, la quantité P̃( a) sera le plus souvent notée P( a) (voir par exemple
l’exercice 944).
Théorème 943.
L’application Φ : K [ X ] → PO(K ) est linéaire et surjective.
P
7→
P̃
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 944 (Polynômes d’interpolation de Lagrange). Soit n ∈ N et a0 , . . . , an des éléments de K deux à deux
distincts. Pour tout entier k ∈ J0, nK on pose
Lk ( X ) =
1
n
Y
i=0
i6 = k
( ak − ai )
×
n
Y
i=0
i6 = k
( X − a i ).
1. Montrer que pour tout entier k ∈ J0, nK : Lk ∈ K n [ X ], Lk ( ak ) = 1 et Lk ( a j ) = 0 si j ∈ J0, nK et j 6= k.
2. Montrer que L0 , L1 , . . . , Ln forment une base de K n [ X ] composée de polynômes de degré n.
Théorème 945 (Formule de Taylor pour les polynômes).
Soit K = R ou C, P ∈ K [ X ] un polynôme de degré n ∈ N et α ∈ K. Alors :
P( X ) =
n
X
P ( k) ( α )
k=0
k!
( X − α)k .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarques.
— La formule de Taylor est encore vraie si n > Deg P.
— En α = 0, on obtient
P( X ) =
n
X
P ( k ) ( 0)
k=0
k!
Xk,
ce qui donne donc les cœfficients d’un polynôme P dans la base canonique de K [ X ] en fonction de la
valeur de ses dérivées successives en 0.
194
Polynômes
Quatrième partie
Géométrie
Chapitre
D1
Géométrie du plan
Introduction
Dans ce chapitre, nous supposerons connues les notions suivantes : point, vecteur, distance, norme, angle et
−
→
orthogonalité. Nous noterons P l’ensemble des points, et P l’ensemble des vecteurs du plan.
Nous n’allons pas redéfinir le calcul vectoriel ici, mais on rappelle ses principales propriétés :
−
→
• il existe un vecteur neutre pour l’addition dans P , à savoir le vecteur nul ;
−
→
−
→
−
→ → −
−
→
→
→
• la somme de deux vecteurs de P est encore dans P , soit : ∀(−
u ,−
v ) ∈ P 2, −
u +→
v ∈ P;
−
→
−
→
→
→
→
• tout vecteur −
u de P possède un inverse dans P , à savoir −−
u , ce que l’on peut écrire ainsi : ∀−
u ∈
−
→ −
−
→ −
−
→
→
→
−
→
P, ∃ v ∈ P, u + v = 0.
−
→
De plus on a un « produit externe » qui permet de multiplier les vecteurs P par des réels, soit :
−
→
−
→
→
→
• Pour tout vecteur −
u de P et tout réel λ, il existe un vecteur λ−
u dans P .
→
On vérifie alors que ces deux opérations sont naturellement compatibles entre elles (on a par exemple λ(−
u +
−
→
−
→
−
→
−
→
v ) = λ u + λ v ), et on a ainsi obtenu une « structure d’espace vectoriel » sur l’ensemble P des vecteurs du
−
→
plan. Dans la suite nous appelerons P le « plan vectoriel. »
−
→
L’ensemble P est obtenu à partir de P en se donnant un seul point noté O, qui correspondra à l’origine
du repère : en effet, si l’on dispose d’un point origine et de tous les vecteurs possibles du plan, alors on peut
construire tous les points du plan. En fait P possède lui aussi une structure particulière (qui ne sera pas étudiée
cette année), dite « d’espace affine, » et on appelle P le « plan affine » ou simplement le « plan. »
D1.1 Familles libres, familles liées
Définition 946.
−
→
→
→
→
→
→
→
On dit que deux vecteurs −
u et −
v de P sont « colinéaires » s’il existe λ ∈ R tel que −
v = λ−
u ou −
u = λ−
v.
Théorème 947.
−
→
→
→
→
→
Deux vecteurs −
u,−
v sont colinéaires si et seulement si il existe (α, β) ∈ R2 \{(0, 0)} tel que α−
u + β−
v = 0.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Cette proposition motive la définition plus générale suivante, sur laquelle nous reviendrons dans le chapitre
sur les espaces vectoriels.
Définition 948.
−
→
→
Soit (−
uk )16k6n une famille finie de vecteurs de P .
→
i ) On dit que (−
u )
est une famille « libre » si :
k 16k6n
n
∀(λ1 , . . . , λn ) ∈ R ,
"
n
X
k=1
→
ii ) On dit que (−
uk )16k6n est une famille « liée » si elle n’est pas libre.
Théorème 949.
On a les résultats suivants.
#
−
→
→
λk −
u k = 0 ⇒ λ1 = · · · = λ n = 0 .
198
Géométrie du plan
−
→
→
→
i ) Une famille constituée d’un seul vecteur (−
u1 ) est libre si et seulement si −
u1 6 = 0 .
→
→
→, −
→
ii ) Toute famille de deux vecteurs (−
u ,−
u ) est libre si et seulement si −
u
u ne sont pas colinéaires.
1
2
2
1
Démonstration. Voir les notes de cours.
Nous démontrerons plus tard les résultats suivants :
— les familles libres de vecteurs appartenant à une même droite contiennent un seul vecteur ;
— les familles libres de vecteurs du plan contiennent au plus deux vecteurs ;
— les familles libres de vecteurs de l’espace contiennent au plus trois vecteurs.
Pour ces raisons, on dira que « les droites sont de dimension 1 », « les plans sont de dimension 2 », et « l’espace
est de dimension 3. »
D1.1.1 Coordonnées cartésiennes
Définition 950.
Ä→ −
ä
−
→
−
→
i ) On appelle « base de P » toute famille −
ı ,→
 de vecteurs non colinéaires de P .
Ä→ −
ä
→
→
ii ) On appelle « repère cartésien de P » tout triplet (O, −
ı ,−
 ) où O est un point (appelé origine) et où −
ı ,→
 est
−
→
une base de P .
Théorème/définition 951.
→
→
→
Soient R = (O, −
ı ,−
 ) un repère cartésien du plan, −
u un vecteur et M un point du plan. Alors :
→
→
→
i ) Il existe un unique couple ( x, y) ∈ R2 tel que −
u = x−
ı + y−
 . On dit que ( x, y) sont les « coordonnées carté→
→
siennes » du vecteur −
u dans R, x est appelé « l’abscisse de −
u » et y son « ordonnée. »
−−→
ii ) On appelle « coordonnées cartésiennes de M dans R » les coordonnées ( x, y) ∈ R2 du vecteur OM.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Le point i ) ci-dessus exprime que les familles
libres de vecteurs du plan contiennent au plus deux vecteurs.
Théorème 952.
→
→
Soit R = (O, −
ı ,−
 ) un repère cartésien du plan.
→
→
i ) Soient −
u, −
u ′ deux vecteurs de coordonnées respectives ( x, y) et ( x′ , y′ ), ainsi que λ et λ′ deux réels. Alors le
−
→
→
→
vecteur v = λ−
u + λ′ −
u ′ a pour coordonnées (λx + λ′ x′ , λy + λ′ y′ ).
→
ii ) Plus généralement, si (−
uk )16k6n est une famille de vecteurs de coordonnées respectives (!
xk , yk ) et (λk )16k6n est une
n
X −
→
famille de réels, alors le vecteur −
v =
λk →
uk a pour coordonnées
k=1
→
→. »
combinaison linéaire des vecteurs −
u1 , . . . , −
u
n
n
X
k=1
Soient A et B deux points de coordonnées ( x A , y A ) et ( xB , yB ). Alors :
−→
iii ) Le vecteur AB a pour coordonnées ( xB − x A , yB − y A ).
Å
iv) Le milieu du segment [ AB] a pour coordonnées
Démonstration. Voir les notes de cours.
x A + xB y A + yB
,
.
2
2
ã
λk xk ,
n
X
k=1
→
λk yk . On dira que « −
v est une
D1.2. CHANGEMENT DE REPÈRE CARTÉSIEN
199
D1.2 Changement de repère cartésien
Dans cette section on établit une relation permettant de calculer les coordonnées d’un point dans un repère
R, connaissant ses coordonnées dans un autre repère R′ . Pour cela on commence par étudier l’infuence d’un
changement de base sur les coordonnées d’un vecteur.
Définition 953.
→
→
→
→
Soit B = (−
ı ,−
 ) une base et −
u un vecteur du plan. On notera MatB (−
u ) la matrice colonne à deux
Ç å lignes constituée
a
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
des coordonnées de u dans la base B . En d’autres termes, si u = a ı + b  , alors MatB ( u ) =
.
b
Notations. On utilisera l’écriture M ( x, y)R , qui se lira « M est le point de coordonnées ( x, y) dans le repère R, »
→
et on utilisera de même la notation −
u ( x, y)B . Bien entendu, on supprimera les références au nom R du repère
et B de la base lorsque cela ne prêtera pas à confusion.
Théorème 954.
−
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Soient B = (−
ı ,−
 ) et B ′ = (−
u ,−
v ) deux bases de P, et ( a, b, c, d) ∈ R4 tels que −
u = a−
ı + b−
 et −
v = c−
ı + d−
 .
−
→
′
′
′
Pour tout vecteur W , de coordonnées ( x, y) dans B et ( x , y ) dans B , on a :
®
x = ax′ + cy′
y = bx′ + dy′
Démonstration. Voir les notes de cours.
→
→
→
→
→
→
→
→
Exercice 955. Soient R1 = (O, −
ı ,−
 ) un repère du plan, −
u = −
ı +−
 , −
v = 2−
ı − 3−
 et M le point de
→
→
coordonnées (−3, 1) dans le repère R2 = (O, −
u ,−
v ). Calculer les coordonnées de M dans R1 .
Théorème 956.
→
→
→
→
→
→
→
Soient R = (O, −
ı ,−
 ) et R′ = (Ω, −
u ,−
v ) deux repères du plan, ( a, b, c, d) ∈ R4 tels que −
u = a−
ı + b−
 et
−
→
−
→
−
→
v = c ı + d  , et ( xΩ , yΩ ) les coordonnées du point Ω dans le repère R. Alors pour tout point M du plan de
coordonnées ( x, y) dans R et ( x′ , y′ ) dans R′ on a :
®
x = ax′ + cy′ + xΩ
y = bx′ + dy′ + yΩ
Démonstration. Voir les notes de cours.
D1.3 Produit scalaire
→
→
On rappelle que deux vecteurs non nuls −
u ,−
v du plan sont orthogonaux si et seulement si l’angle entre
→
→
π
eux est congru à 2 modulo π, ou si l’un (au moins) des deux est nul ; on note alors −
u ⊥−
v.
Définition 957.
→
→
Soit (O, −
ı ,−
 ) un repère cartésien du plan.
→
→
→
→
i ) On dit que (−
ı ,−
) est
orthonormale » ou une « base orthonormée » (en abrégé : b.o.n.) si −
ı et −
 sont
une
« base
→
→
orthogonaux et si −
ı = −
 = 1.
→
→
→
→
ii ) On dit que (O, −
ı ,−
 ) est un « repère orthonormal » ou un « repère orthonormé » (en abrégé : r.o.n.) si (−
ı ,−
 ) est
une base orthonormale.
→
→
Dans la suite de cette section, (O, −
ı ,−
 ) désigne un repère du plan. Sauf mention du contraire, toutes les
coordonnées seront données dand celui-ci.
Définition 958.
→
→
→
→
→
→
Soient −
u et −
v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de −
u et −
v , et on note −
u ·−
v , le réel :
−
→
→
u ·−
v =
( −
→ −
→
−
→ −
→
u v cos( u , v )
0
−
→
−
→
→
→
si −
u 6= 0 et −
v 6= 0
sinon.
→ 2
→
→
→
Remarque. Pour tout vecteur −
u du plan, on a −
u ·−
u = −
u .
200
Géométrie du plan
Théorème 959.
→
→
→
→
→
→
Soient −
u et −
v deux vecteurs du plan. On a −
u ·−
v = 0 si et seulement si −
u et −
v sont orthogonaux.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 960 (Expression du produit scalaire dans une b.o.n.).
→
→
Soient −
u et −
u ′ deux vecteurs de coordonnées respectives ( x, y) et ( x′ , y′ ) dans une base orthonormée, et z, z′ les affixes
associés. Alors on a :
−
→
→
u ·−
u ′ = Re zz′ = xx′ + yy′ .
Démonstration. Voir les notes de cours.
→
Exemple 961. Soit −
u un vecteur admettant pour coordonnées ( x, y) dans une base orthonormée. Alors le
−
→
→
vecteur v de coordonnées (−y, x) est orthogonal à −
u . On en déduit une méthode simple pour construire une
→
→
base orthonormée du plan : on part d’un vecteur unitaire −
u = ( x, y) quelconque, et on lui ajoute −
v = (−y, x).
On peut alors en déduire les propriétés élémentaires du produit scalaire.
Théorème 962.
→
→
→
→
Soient −
u ,−
u ′, −
v ,−
v ′ des vecteurs du plan, et λ, λ′ des réels. On a les propriétés suivantes :
Ä →
ä →
→
→
→
→
→
i ) Linéarité à gauche : λ−
u + λ′ −
u′ ·−
v = λ−
u ·−
v + λ′ −
u ′·−
v.
→
→
→
→
ii ) Symétrie : −
u ·−
v =−
v ·−
u;
Ä
ä
−
→
−
→
→
→
→
→
→
iii ) Linéarité à droite : u · λ v + λ′ −
v ′ = λ−
u ·−
v + λ′ −
u ·−
v ′.
−
→
→
→
→
iv) Le produit scalaire est défini positif : ||−
u || > 0 et ||−
u || = 0 ⇐⇒ −
u = 0.
On dira que le produit scalaire est « bilinéaire »(en référence à i et iii) et « symétrique »(en référence à ii).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 963 (Calcul des coordonnées d’un vecteur dans une b.o.n.).
→
→
→
Soit −
u un vecteur de coordonnées ( x, y) dans la base orthonormée B = (−
ı ,−
 ). On a alors :
→
→
x=−
u ·−
ı
et
→
→
y=−
u ·−
 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
On en déduit enfin les résultats suivants sur la norme d’un vecteur.
Théorème 964 (Formule analytique de la norme dans une b.o.n.).
Si le repère R est orthonormé, on a les résultats suivants.
»
→
→
i ) Soit −
u un vecteur du plan de coordonnées ( x, y). Alors −
u = x 2 + y2 .
ii ) Soient A et B deux points du plan de coordonnées respectives ( x A , y A ) et ( xB , yB ) alors :
−→
»
AB = AB = ( xB − x A )2 + (yB − y A )2 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 965.
→
→
Soient −
u ,−
v des vecteurs du plan. On a les propriétés suivantes :
→ →
i ) λ−
u = |λ| × −
u ;
ii )
iii )
iv)
v)
vi )
2
2
2
−
−
→
−
→ −
→ −
→ → −
→
u + v = u + 2 u · v + v ;
2
2
−
→ −
→2 −
→ −
→ −
→ −
→
u − v = u − 2 u · v + v ;
2 2
Ä−
ä Ä→ −
ä
→ → →
→
u +−
v · −
u −→
v = −
u − −
v ;
Å 2 2 ã
→ −
→ −
−
→
→
u ·−
v = 41 −
u +→
v − −
u −→
v ;
Å 2 ã
2 2
→2 −
→ −
→ −
2 −
u + →
v = −
u +→
v + −
u −→
v .
D1.4. PRODUIT MIXTE ET DÉTERMINANT
201
Démonstration. Voir les notes de cours.
−
→
→
Remarque. Le point i ) assure que si −
u 6= 0 , alors
−
→
u
est de norme 1. On déduit encore trivialement le
−
→
|| u ||
théorème de Pythagore vectoriel du point ii ) ci-dessus, et les formules d’Al-Kashi (ou lois des cosinus) du point
iii ).
Théorème 966 (Inégalité triangulaire).
→
→
Soient −
u et −
v deux vecteurs. Alors :
−
→ −
→
−
→
i ) u + v 6 −
u + →
v ,
→ −
→ −
→
→
→
→
ii ) −
u +→
v = −
u + →
v si et seulement si il existe λ > 0 tel que −
u = λ−
v ou −
v = λ−
u,
→ −
→ −
iii ) −
u − →
v 6 −
u +→
v .
Démonstration. Il suffit de passer aux affixes : on déduit alors directement le résultat du théorème analogue sur
les complexes.
D1.4 Produit mixte et déterminant
La figure ci-contre rappelle quelle convention est adoptée classiquement en
matière d’orientation du plan. Lorsqu’on se trouve dans la situation du dessin
ci-contre, on dit que :
→
→
i ) La base (−
ı ,−
 ) est directe.
→
→
ii ) La base (−
 ,−
ı ) est indirecte.
Ä → −
ä
Ä→ −
ä
On dira que le repère O, −
ı ,→
 est direct (resp. indirect) si la base −
ı ,→

associée l’est.
→
−
→
Exemple 967. Soit −
u un vecteur de coordonnées
Ä−
ä ( x, y) dans une base orthonormée. Alors le vecteur v de
→
−
→
coordonnées (−y, x) est tel que la famille u , v est une base orthonormée directe.
→
→
Dans la suite de cette section, on considère un repère R = (O, −
ı ,−
 ). Sauf mention du contraire, toutes les
coordonnées seront données dans celui-ci.
Définition 968.
î→ −
ó
→
→
→
→
Soient −
u et −
v deux vecteurs du plan. On appelle « produit mixte de −
u et −
v , » le réel noté −
u,→
v et défini par :
î−
→ −
→ó
u, v
=
( −
→ −
→
−
→ −
→
u v sin( u , v )
0
−
→
−
→
→
→
si −
u 6= 0 et −
v 6= 0
sinon.
Théorème 969.
→
→
Soient −
u et −
v deux vecteurs du plan. Alors :
î−
ó
→
−
→
→
→
i ) u , v = 0 si et seulement si −
u et −
v sont colinéaires ;
î→ −
ó
→
→
ii ) −
u,→
v > 0 si et seulement si −
u et −
v forment une base directe ;
î−
ó
→
−
→
−
→
−
→
iii ) u , v < 0 si et seulement si u et v forment une base indirecte.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Corolaire 970.
h−→ −→i
Soient A, B et C trois points du plan. Alors AB, AC = 0 si et seulement si A, B, C sont alignés.
Pour obtenir l’expression analytique du déterminant, on passe par la notion d’affixe.
Définition 971.
→
→
→
→
Soient B une base et −
u ( x, y)B , −
u ′ ( x′ , y′ )B des vecteurs du plan. On appelle « déterminant de −
u ,−
u ′ dans la base B , »et
′
Ä→ −
ä
x x
u,→
u ′ la quantité xy′ − yx′ .
ou detB −
on note
′
y y
Théorème 972 (Formule complexe du produit mixte dans une b.o.n.d.).
→
→
Soient −
u ,−
u ′ deux vecteurs admettant pour affixes respectives z, z′ dans un repère orthonormé direct R. On a alors :
î−
ó
→
→
u ,−
u ′ = I m(zz′ ).
202
Géométrie du plan
Démonstration. Raisonnement identique à celui fait pour le produit scalaire.
Théorème 973 (Formule analytique du produit mixte dans une b.o.n.d. et lien avec le déterminant).
→
→
Soient −
u ,−
u ′ deux vecteurs de coordonnées respectives ( x, y) et ( x′ , y′ ) dans une base orthonormée. On a alors :
î−
→ −
→′ ó
u, u
=
x x′
y y′
Démonstration. Il suffit d’utiliser le résultat précédent.
Si la formule précédente n’est vraie que dans les b.o.n.d., on a néanmoins le résultat suivant dans tout
repère.
Théorème 974 (Caractérisation de la colinéarité par produit mixte).
→
→
Soient −
u ,−
u ′ deux vecteurs de coordonnées respectives ( x, y) et ( x′ , y′ ) dans une base quelconque. On a alors :
−
→
→
u ,−
u ′ colinéaires ⇐⇒
x x′
=0
y y′
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 975. Est-ce que les points A(−2, 0), B(1, −1) C (0, −2/3) dont les coordonnées sont données dans un
repère quelconque, sont alignés ?
Théorème 976.
→
→
→
→
Soient −
u ,−
u ′, −
v ,−
v ′ quatre vecteurs du plan, et λ, λ′ des réels. Alors :
î→ −
ó
î→ −
ó
î→ −
ó
î→ −
ó
î −
ó
î→ −
ó
→
→
→
u ,→
v′ .
i ) Bilinéarité : λ →
u + λ′ −
u ′,−
v =λ −
u ,→
v + λ′ −
u ′, →
v et −
u ,λ →
v + λ′ −
v ′ =λ −
u ,→
v + λ′ −
î→ −
ó
î→ −
ó
ii ) Antisymétrie : −
u,→
v =− −
v ,→
u .
Démonstration. Résultat admis (on raisonnerait comme pour le produit scalaire).
Théorème 977.
h−→ −→i
Soient A, B, C trois points non alignés du plan. Alors AB, AC est égal à l’aire du parallélogramme dont les côtés sont
h
i
−→ −→
−→ −→ portés par AB et AC, et donc 21 AB, AC est égal à l’aire du triangle ABC.
Démonstration. Voir les notes de cours.
D1.5 Coordonnées polaires
→
→
On considère dans cette section un repère orthonormé direct du plan R = (O, −
ı ,−
 ). Sauf mention
contraire, les coordonnées seront prises dans ce repère.
Théorème/définition 978.
Soit θ un réel. On pose :
−
→
→
→
uθ = cos θ −
ı + sin θ −

et
−
→
→
→
vθ = − sin θ −
ı + cos θ −
 .
→
→
Alors le repère Rθ = (O, −
uθ , −
vθ ) est un repère orthonormé direct.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Lemme 979.
→
→
→
→
→
→
Soit θ ∈ R. On a −
ı = cos θ −
uθ − sin θ −
vθ et −
 = sin θ −
uθ + cos θ −
vθ .
Démonstration. Trivial.
Théorème 980.
→
→
Soient θ un réel et −
a un vecteur du plan. Si les coordonnées de −
a sont ( x, y) dans le repère R et ( x′ , y′ ) dans le repère
Rθ , alors :
®
® ′
x = x′ cos θ − y′ sin θ
x = x cos θ + y sin θ
et
y = x′ sin θ + y′ cos θ
y′ = − x sin θ + y cos θ
D1.6. DROITES
203
Démonstration. Voir les notes de cours.
Définition 981.
→
→
Soit M un point et −
u un vecteur du plan. On appelle « couple de coordonnées polaires » de M (resp. de −
u ) relativement
−
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
2
au repère (O, ı ,  ) tout couple (ρ, θ ) ∈ R tel que OM = ρ uθ (resp. u = ρ uθ ).
Théorème 982.
Soit M un point du plan.
i ) (ρ, θ ) est un couple de coordonnées polaires de M si et seulement si l’affixe de M est ρeiθ .
ii ) Tous les couples (0, θ ) avec θ ∈ R sont des coordonnées polaires du point O.
iii ) Si M 6= O et si (ρ, θ ) est un couple de coordonnées polaires de M alors on est dans l’un des deux cas suivants :
−−→
→
ı , OM [2π ]
•ρ = OM et θ ≡ −
ou
−−→
→
•ρ = −OM et θ ≡ −
ı , OM + π [2π ]
iv) Dans les deux cas, les coordonnées cartésiennes ( x, y) du point M vérifient x = ρ cos θ et y = ρ sin θ.
v) Réciproquement, si M a pour coordonnées cartésiennes
( x, y) avec x 6= 0 alors (ρ, θ ) est un couple de coordonnées
( »
2
2
y
x +y
si x > 0
»
polaires pour M avec θ = Arctan et ρ =
.
2
2
x
− x + y si x < 0
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. En pratique, on passe donc des coordonnées cartésiennes ( x, y) d’un point à des coordonnées polaires en mettant son affixe z = x + iy sous forme trigonométrique. Réciproquement, on passe de coordonnées
polaires (ρ, θ ) aux cartésiennes grâce aux relations x = ρ cos θ et y = ρ sin θ.
D1.6 Droites
D1.6.1 Généralités
−
→
−→ →
→
→
Notation. Soient A, B deux points du plan et −
u ∈ P . La relation AB = −
u sera notée B = A + −
u ; elle signifie
→
que B est l’image de A par la translation de vecteur −
u.
→
Remarque. Il convient d’être prudent avec l’écriture B = A + −
u , puisque celle-ci désigne la « somme » de deux
objets de natures différentes : un point et un vecteur. On ne donnera aucune règle de calcul associée à cette
opération, qu’il ne faudra donc pas considérer comme « une somme » au sens usuel du terme. En pratique
cette notation est utilisée pour donner des résultats de manière synthétique. On peut par exemple noter que les
→
expressions B = −
u + A ou B = A + C n’ont aucun sens.
Définition 983.
−
→
→
→
Soit A un point de P et −
u un vecteur non nul de P . On appelle « droite passant par A et dirigée par −
u » l’ensemble des
points M du plan pour lesquels il existe un réel t tel que
−−→
→
→
AM = t−
u ⇐⇒ M = A + t−
u.
→
Cette droite sera notée A + R −
u . En d’autres termes on a
−−→
→
→
→
→
A + R−
u = { M ∈ P ; ∃t ∈ R, AM = t−
u } = { M ∈ P ; ∃t ∈ R, M = A + t−
u } = { A + t−
u ; t ∈ R }.
→
→
Notations. Soit A un point, −
u un vecteur non nul et D la droite A + R −
u.
−
→
→
i ) La notation Vect{ u } désigne l’ensemble des vecteurs colinéaires à −
u.
−
→
−
→
→
ii ) La notation D désigne l’ensemble des vecteurs directeurs de D. On a donc D = Vect{−
u }.
→
iii ) La notation A + Vect{−
u } désigne la droite D.
→
→
Jusqu’à la fin de ce chapitre, on fixe un repère R = (O, −
ı ,−
 ) ; sauf mention du contraire, toutes les
coordonnées seront données dans R. Traduite en coordonnées cartésiennes, cette définition donne une paramétrisation de la droite.
204
Géométrie du plan
Théorème 984.
→
On considère un point A( a, b) et un vecteur non nul −
u (α, β). On a alors
(
x = a + tα
→
M ( x, y) ∈ A + R −
u ⇔ ∃t ∈ R
y = b + tβ
→
Le système ci-dessus est appelé une « représentation paramétrique de la droite A + R −
u.»
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 985. Soient A(1, 1) et B(−1, −1) deux points. Donner une représentation paramétrique de la droite
( AB) et montrer que celle-ci passe par l’origine du repère.
Théorème 986 (Équation cartésienne d’une droite). i ) Toute droite possède une équation cartésienne de la forme
αx + βy + γ = 0 où (α, β, γ) ∈ R3 et (α, β) 6= (0, 0).
ii ) Réciproquement, toute équation cartésienne de ce type décrit une droite, et si le repère est orthonormé celle-ci admet
−
→
n (α, β) pour vecteur normal.
Démonstration. Voir les notes de cours.
→
Exercice 987. Donner une équation de la droite D passant par A(1, 2) et dirigée par −
u (−1, 3).
Le théorème suivant montre qu’une droite est caractérisée par un point et un vecteur normal.
Théorème 988.
→
Soit D une droite du plan passant par un point A, et admettant −
n pour vecteur normal. On a alors :
−−→ →
−−→
→
M ∈ D ⇐⇒ AM ⊥ −
n ⇐⇒ −
n · AM = 0.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 989. On se place dans un repère orthonormé. Donner une équation cartésienne de la droite D passant
→
par A(1, −1) et admettant −
v (1, 2) pour vecteur normal.
Théorème 990.
→
→
Soient D une droite de vecteur directeur −
u et D ′ une droite de vecteur directeur −
u ′ . Trois cas sont possibles :
→
−
→ −
→
→
i ) Si −
u,−
u ′ sont colinéaires, alors D = D ′ : on dit que D et D ′ sont « parallèles. » Il y a alors deux cas :
— soit D ∩ D ′ = ∅ ;
— soit D ∩ D ′ 6= ∅, et dans ce cas on a D = D ′ : on dit que les droites D et D ′ sont « confondues. »
→
→
ii ) Si −
u,−
u ′ ne sont pas colinéaires, alors les droites D et D ′ ont un unique point d’intersection : on dit que D et D ′
sont « sécantes. »
Démonstration. Résultat admis.
Théorème 991.
On considère deux droites D , D ′ d’équations cartésiennes ax + by + c = 0 et a′ x + b′ y + c′ = 0. On a :
i ) D et D ′ sont parallèles si et seulement si
ii ) Si
a a′
= 0.
b b′
a a′
6= 0, alors D et D ′ sont sécantes, et donc D ∩ D ′ est réduit à un seul point.
b b′
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. On en déduit qu’un système de la forme
seulement si
a a′
6= 0.
b b′
(
ax + by + c = 0
a′ x + b′ y + c′ = 0
possède une unique solution si et
205
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
D1.6.2 Distance d’un point à une droite
Définition 992.
Soit U une partie non vide du plan et A un point. On note d ( A, U ) la borne inférieure des distances entre A et un point
de U :
d ( A, U ) = inf{ AM; M ∈ U } = inf AM.
M ∈U
Théorème 993.
Soient D une droite et A( x A , y A ) un point.
i ) Il existe un unique point H de D tel que d ( A, D) = AH : le projeté orthogonal de A sur D .
h
i
−
→ −→ u , BA →
.
ii ) Soit B un point de D , et −
u un vecteur directeur de cette droite. Alors : d ( A, D) =
−
→
u
−→
−
→
n
·
BA
→
iii ) Soit −
n un vecteur normal de D . Alors : d ( A, D) = −
→ .
n
iv) Soit αx + βy + γ = 0 une équation cartésienne de D dans un repère orthonormé. Alors :
d ( A, D) =
|αx A + βy A + γ|
»
α 2 + β2
.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. On déduit directement du résultat iv ci-dessus : M ∈ D ⇔ d( M, D ) = 0.
D1.6.3 Quelques lignes de niveau
Définition 994.
Soit U une partie du plan, f : U → R une fonction et λ ∈ R. On appelle « ligne de niveau λ de f », l’ensemble Lλ des
points M de U tels que f ( M ) = λ. En d’autres termes :
Lλ = { M ∈ U | f ( M ) = λ} = f −1 ({λ}) .
Exemple 995. Les courbes de niveau sont les lignes de niveau pour l’altitude. Les courbes isothermes, isobares
ou isocline sont d’autres exemples de lignes de niveau.
→
Exercice 996. Soit λ ∈ R, A un point
plan
et −
u un vecteur. Déterminer la ligne de niveau λ pour les
h du
i
−
−
→
−
−
→
−
→
−
→
applications M 7→ u · AM et M 7→ u , AM .
D1.6.4 Demi-plans
On appelera ici « demi-plan » toute partie U du plan P délimitée par une droite D. On dira que U est
fermé (resp. ouvert) si D ⊂ U (resp. D ⊂ P \ U ).
Théorème 997. i ) Tout demi-plan fermé admet une inéquation cartésienne de la forme ax + by + c > 0, avec ( a, b, c) ∈
R3 et ( a, b) 6= (0, 0).
ii ) Réciproquement, toute équation de ce type décrit un demi-plan fermé dont la frontière est la droite d’équation ax +
by + c = 0.
iii ) Tout demi-plan ouvert admet une inéquation cartésienne de la forme ax + by + c > 0, avec ( a, b, c) ∈ R3 et
( a, b) 6= (0, 0).
iv) Réciproquement, toute équation de ce type décrit un demi-plan ouvert dont la frontière est la droite d’équation
ax + by + c = 0.
Démonstration. Résultat admis.
→
Exemple 998. On se place dans un repère orthonormé direct. Soit A le point de coordonnées (1, 2), −
u le vecteur
−
→
de coordonnées (2, −1) et D la droite passant par A et dirigée par u . Il est clair que le point O n’est pas sur
D. On considère donc U le demi-plan ouvert délimité par D qui contient O. Soit M un point de coordonnées
( x, y). On a alors :
h
−−→i h → −→i
→
M ∈ U ⇐⇒ −
u , AM × −
u , AO > 0.
206
Géométrie du plan
2
2 −1
h
−−→i
−→i
x − 1
→
−
→
Or on a −
u , AM = u , AO = = x + 2y − 5 et
= −5. On en déduit une équation
− 1 y − 2 −1 −2
cartésienne de U :
M ∈ U ⇐⇒ −5( x + 2y − 5) > 0 ⇐⇒ − x − 2y + 5 > 0.
h
h−→ −→i
Exercice 999. Soit ABC un triangle direct (c’est-à-dire que AB, AC > 0). Indiquer comment déterminer un
système d’inéquations cartésiennes de la partie fermée du plan délimitée par ABC.
D1.7 Cercles
Définition 1000.
Soient A( x A , y A ) un point et R > 0. On appelle « cercle de centre A et de rayon R », et l’on note C ( A, R) l’ensemble des
points M du plan tels que AM = R.
Théorème 1001.
On se place dans un repère orthonormé.
i ) Le cercle de centre A( x A , y A ) et de rayon R admet ( x − x A )2 + (y − y A )2 = R2 pour équation cartésienne.
ii ) Tout cercle possède une équation cartésienne de la forme x2 + y2 − 2αx − 2βy + γ = 0, où (α, β, γ) ∈ R3 tel que
α2 + β2 − γ > 0.
iii ) Réciproquement, toute équation du type précédent décrit un cercle.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 1002. Montrer que, dans un repère orthonormé, x2 + y2 + 2x + 21 y +
9
16
= 0 est l’équation d’un cercle.
Théorème 1003 (Représentation paramétrique trigonométrique d’un cercle dans un r.o.n.d.).
On se place dans un repère orthonormé. Soit C le cercle de centre A( x A , y A ) et de rayon R > 0. Alors pour tout point
M ( x, y) :
®
x = x A + R cos θ
M ∈ C ⇐⇒ ∃θ ∈ R,
y = y A + R sin θ
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 1004.
−−→ −→
Soient A, B deux points distincts. L’ensemble des points M tels que MA · MB = 0 est le cercle de diamètre [ AB].
Démonstration. Voir les notes de cours.
Le théorème suivant implique que deux angles interceptant le même arc de cercle ont même mesure principale.
Théorème 1005 (Théorème de l’angle au centre).
Soit C un cercle de centre Ω, et A, B deux points de
C . Soit M unpoint du plan
tel que
−→
−→
−−→ −→
M 6= A et M 6= B. Alors M ∈ C si et seulement si ΩA, ΩB ≡ 2 MA, MB [2π ] .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 1006.
Soient C un cercle de centre A et de rayon R > 0 et D une droite.
i ) Si d ( A, D) < R, alors C et D ont exactement deux points d’intersection distincts.
ii ) Si d ( A, D) = R, alors C et D ont un unique point d’intersection H, égal au projeté orthogonal de A sur D . On dit
alors que D est tangente au cercle C .
iii ) Si d ( A, D) > R, alors C et D n’ont pas de point d’intersection.
Démonstration. Voir les notes de cours.
−→
Remarque. Si TH est la tangente à un cercle C( A, R) en un point H, alors AH est normal à TH (voir ii).
D1.7. CERCLES
207
Théorème 1007.
Soient C1 = C (Ω1 , R1 ) et C2 = C (Ω2 , R2 ) des cercles tels que d = Ω1 Ω2 > 0. Alors on a l’alternative suivante :
i ) si | R1 − R2 | < d < R1 + R2 , alors C1 ∩ C2 est formé de deux points distincts ;
ii ) si d = | R1 − R2 | ou d = R1 + R2 , alors C1 ∩ C2 est un singleton ;
iii ) si d < | R1 − R2 | ou d > R1 + R2 , alors C1 ∩ C2 est vide.
Figure D1.1 – Cas où | R1 − R2 | < d < R1 + R2 .
Figure D1.2 – Cas où d = | R1 − R2 | ou d = R1 + R2 .
Figure D1.3 – Cas où d < | R1 − R2 | ou d > R1 + R2 .
208
Géométrie du plan
Chapitre
D2
Géométrie de l’espace
Dans ce chapitre, nous supposerons connues les notions suivantes : point, vecteur, distance, norme, angle et
−
→
orthogonalité. Nous noterons E l’ensemble des points de l’espace, et E l’ensemble des vecteurs de l’espace. On
−
→
rappelle que E possède une structure de R-espace vectoriel.
D2.1 Bases, repères et orientation
−
→
Les résultats suivants résultent du chapitre C6 ; ils traduisent le fait que E est un espace vectoriel de
dimension 3.
Théorème 1008.
−
→
Les bases de E sont les familles libres de cardinal 3.
Théorème
1009.
Ä−
ä
−
→
−
→
→
→
→
→
Soit B = e1 , −
e2 , −
e3 une base de E . Alors pour tout −
u ∈ E il existe un unique ( x, y, z) ∈ R3 tel que
−
→
→
→
→
u = x−
e1 + y −
e2 + z −
e3 .
Ä→ −
ä
→
→
On dira alors que ( x, y, z) sont les coordonnées de −
u dans la base −
e1 , →
e2 , −
e3 .
En pratique, on obtient les coordonnées d’un vecteur en projetant celui-ci sur chacun des vecteurs de la
base, parallèlement aux autres. On peut alors poser la définition suivante.
Théorème/définition
1010.
Ä→ −
ä
−
→
→
Soient −
e1 , →
e2 , −
e3 une base de E et Ω ∈ E . Alors pour tout M ∈ E il existe un unique ( x, y, z) ∈ R3 tel que
−−→
→
→
→
ΩM = x−
e1 + y −
e2 + z −
e3 .
→
→
→
On dit que R = Ω, −
e1 , −
e2 , −
e3 est un « repère de E , » et que ( x, y, z) sont les coordonnées de M dans R.
Ä
ä
Démonstration. Résulte du théorème 1009.
On déduit directement des résultats ci-dessus que deux vecteurs (resp. points) sont égaux si et seulement si
−
→
ils ont mêmes coordonnées dans un repère (resp. une base) fixé(e). Étant donné une base B de E et un repère
R = (Ω, B) de E , on peut donc identifier (abusivement) points et vecteurs à leurs coordonnées.
Notations. L’écriture M ( x, y, z)R se lira « M est le point de coordonées ( x, y, z) dans le repère R, » mais on
→
→
évitera d’écrire M = ( x, y, z) R . De même, on utilisera la notation −
u ( x, y, z)B mais on évitera d’écrire −
u =
( x, y, z) B . Enfin, on supprimera les références au nom R du repère et B de la base lorsque cela ne prêtera pas
à confusion.
→
→
L’écart angulaire entre deux vecteurs non nuls −
u ,−
v de l’espace est défini comme étant l’écart angulaire
Ä
ä
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
→
entre u et v calculé dans le plan P = Vect u , v qu’ils engendrent. On dit alors que deux vecteurs −
u ,−
v
−
→
−
→
de l’espace sont orthogonaux, et on notera u ⊥ v , lorsque l’écart angulaire existant entre eux est congru à
π
2 modulo π, ou si l’un (au moins) des deux est nul. Il n’existe pas de notion d’angle orienté dans l’espace.
→
→
Néanmoins, étant donné deux vecteurs non nuls −
u ,−
v , on peut malgré tout définir une orientation de leur
Ä→ −
ä
−
→
angle : on se donne une orientation du plan vectoriel P = Vect −
u,→
v , et on considère que l’écart angulaire
−
→
→
→
entre −
u et −
v est positif (ou pas) en calculant son orientation dans le plan P . Cette idée est formalisée dans la
définition suivante.
210
Géométrie de l’espace
Définition 1011.
−
→
→
→
Soit P un plan engendré par deux vecteurs −
u et −
v formant une famille
−
→
−
→
→
→
libre, n un vecteur non nul orthogonal à u et −
v . On dit que « −
n
−
→
oriente le plan P » de la manière suivante : le sens positif est le sens tri−
→
gonométrique lorsque l’on regarde le plan P « par dessus, » c’est-à-dire
→
lorsque le vecteur −
n pointe vers notre œil.
Toute mesure d’angle calculée avec cette orientation est appelée une « me→
sure d’angle orienté par −
n . Ȁ
ä
→
→
→
En particulier, si la mesure −
u ,−
v orientée par −
n est positive, on dit
Ä
ä
−
→
−
→
−
→
que « n est directement orthogonal à u , v . »
Ä→ −
ä
Ä→ −
ä
→
→
Remarque. Dire que « −
n est directement orthogonal à −
u,→
v » c’est dire que −
u,→
v ,−
n vérifie la règle des
→
→
→
trois doigts, ou encore que en vissant de −
u vers −
v on se translate suivant le vecteur −
n.
Définition 1012.
— Un repère (ou une base) est dit « orthogonal » lorsque ses vecteurs de base sont orthogonaux.
— On dit qu’un repère (ou une base) est « orthonormal(e) » ou « orthonormé(e) », lorsque ses vecteurs de base sont
orthogonaux et de norme égale à 1.
Ä → −
ä
Ä→ −
ä
→
→
— Soit un repère orthonormal R = Ω, −
e1 , →
e2 , −
e3 . Lorsque −
e3 est directement orthogonal à −
e1 , →
e2 on dira que R
(resp. B ) est direct(e) ; sinon on dira que R (resp. B ) est indirect(e).
Exemple 1013.
−
→
→
→
(O, −
ı ,−
 , k ) est un repère orthonormé direct de E , et
−
→
→
→
(O, −
ı ,−
 , − k ) en est un repère orthonormé indirect.
D2.2 Produit scalaire
D2.2.1 Définition et propriétés fondamentales
Deux vecteurs de l’espace pouvant toujours être vus comme deux vecteurs d’un même plan vectoriel (il
Ä→ −
ä
−
→
suffit par exemple de considérer P = Vect −
u,→
v si les vecteurs sont non colinéaires), on peut définir leur
produit scalaire comme étant celui défini dans un tel plan. On vérifie alors aisément que cette définition est
indépendante du plan choisi, puisque l’écart angulaire entre deux vecteurs ne dépend pas du plan (contenant
ces vecteurs) dans lequel il est mesuré. Cela revient donc à définir le produit scalaire dans l’espace en reprenant
la définition donnée dans le plan.
Définition 1014 (Définition géométrique du produit scalaire).
→
→
→
→
Soient −
u ,−
v deux vecteurs de l’espace. Si −
u ,−
v sont tous non nuls, on appelle θ une mesure (non orientée) de l’angle
−
→
−
→
−
→
→
→
→
( u , v ). On appelle « produit scalaire de u et de −
v » et l’on note −
u ·−
v la quantité définie par
 →
→
 −
u × −
v × cos θ
−
→
→
u ·−
v =

0
→
→
si −
u ,−
v tous non nuls
sinon
Ä→ −
ä
→
→
→
→
→
→
Le produit scalaire de −
u et de −
v est aussi noté −
u |→
v , <−
u |−
v > ou < −
u ,−
v >.
→2
→
→
→
u ·−
u.
u = −
Remarque. Pour tout vecteur −
u de l’espace on a directement −
Théorème 1015.
→
→
→
→
Deux vecteurs −
u ,−
v de l’espace sont orthogonaux si et seulement si −
u ·−
v = 0.
Démonstration. Comme le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace est défini comme étant un produit
scalaire dans un plan, cela découle du résultat analogue en géométrie du plan.
On peut alors en déduire les propriétés élémentaires du produit scalaire.
Théorème 1016.
→
→
→
→
Soient −
u ,−
u ′, −
v ,−
v ′ des vecteurs de l’espace, et λ, λ′ des réels. On a les propriétés suivantes :
D2.3. PRODUIT VECTORIEL
211
Ä →
ä
Ä→ −
ä
Ä→ −
ä
→
→
i ) Linéarité à gauche : λ−
u + λ′ −
u ′ |−
v =λ −
u |→
v + λ′ −
u ′| →
v .
Ä→ −
ä
Ä→ −
ä
ii ) Symétrie : −
u |→
v = −
v |→
u ;
Ä→ −
ä
Ä→ −
ä
Ä→ −
ä
→
u |λ →
v + λ′ −
v′ =λ −
u |→
v + λ′ −
u |→
v′ .
iii ) Linéarité à droite : −
On dira que le produit scalaire est une application « bilinéaire symétrique. »
Démonstration. Le caractère symétrique est trivial, et la bilinéarité est admise.
Théorème 1017.
→
→
Soient −
u ,−
v des vecteurs de l’espace. On a les propriétés suivantes :
→
→ u ;
u = |λ| × −
i ) λ −
Ä→ −
ä →2
→ −
2
→2
u +→
v = −
u + 2 −
u |→
v + −
v ;
ii ) −
Ä→ −
ä →2
→ −
2
→2
iii ) −
u −→
v = −
u − 2 −
u |→
v + −
v ;
iv)
ä
→2 −
2
→
→
→
u +−
v |−
u −−
v = −
u − →
v ;
Ä−
→
Å
ã
−
→ −
→2
→ −
→2 −
u + v − u − v ;
Å 2
2 2 ã
→ −
→ −
→2 −
u −→
v .
u +→
v + −
v = −
u + →
vi ) 2 −
v)
Ä−
→−
→ä
u|v
=
1
4
Démonstration. La preuve faite dans le plan de ce résultat n’utilisait que la bilinéarité et le caractère symétrique
du produit scalaire : on peut donc la reprendre pour établir ce théorème à partir du résultat précédent.
Théorème 1018
(Formule
analytique du produit scalaire dans une b.o.n.).
Ä→ −
ä
→
→
→
Soient B = −
e1 , →
e2 , −
e3 une base orthonormée de l’espace et −
u ,−
u ′ deux vecteurs admettant pour coordonnées ( x, y, z)B
et ( x′ , y′ , z′ )B . On a alors :
−
→
→
u ·−
u ′ = xx′ + yy′ + zz′ .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 1019.
→
→
→
→
Soit −
u un vecteur de coordonnées ( x, y, z) dans une base orthonormée B = (−
e1 , −
e2 , −
e3 ). On a alors :
→
→
x=−
u ·−
e1
→
→
y=−
u ·−
e2
→
→
z=−
u ·−
e3
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
ou en d’autres termes : −
u = −
u ·−
e1 × −
e1 + −
u ·−
e2 × −
e2 + −
u ·−
e3 × −
e3 .
Démonstration. Voir les notes de cours.
D2.3 Produit vectoriel
Définition 1020 (Définition géométrique du produit vectoriel).
→
→
−
→ −
→
→
Soient −
u ,−
v deux vecteurs
de
non nuls, on appelle −
n le vecteur unitaire directement
Ä−
ä l’espace. Si u , v sont tous
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
orthogonal à la famille u , v , et θ une mesure de l’angle ( u , v ) orienté par n . On appelle « produit vectoriel de −
u
→
→
→
et de −
v » et l’on note −
u ∧−
v la quantité définie par
−
→
→
u ∧−
v =
 −
−
→
→ → −

 u × v × sin θ × n


−
→
0
→
→
si −
u ,−
v tous non nuls
sinon
−
→
→
→
→
→
Théorème 1021. i ) Deux vecteurs −
u ,−
v sont colinéaires si et seulement si −
u ∧−
v = 0.
Ä→ −
ä
→
→
→
→
ii ) Soit −
u,→
v ,−
w une base orthonormée. Elle est directe si et seulement si −
u ∧−
v =−
w.
Ä→ −
ä
→
→
→
→
iii ) Soient deux vecteurs −
u ,−
v normés (c’est-à-dire de norme égale à 1) et orthogonaux. Alors la famille −
u,→
v ,−
u ∧−
v
est une base orthonormée directe.
Démonstration. Voir les notes de cours.
212
Géométrie de l’espace
Remarque.
→
→
→
→
Si −
u ,−
v forment uneÄfamilleä libre, alors −
u ∧−
v est direc→
→
tement orthogonal à −
u ,−
v .
−
→
−
→ → −
→
−
→ →
→
→
→
→
→
→
Exemple 1022. Soit −
ı ,−
 , k une base orthonormée directe. On a −
ı ∧−
 = k ,−
ı ∧ k = −−
 ,−
 ∧ k =−
ı .
Théorème 1023.
Le produit vectoriel est une application bilinéaire et antisymétrique.
Démonstration. Le caractère antisymétrique est trivial, et la bilinéarité est admise.
Théorème 1024 (Formule analytique du produit vectoriel dans une b.o.n.d.).
→
→
Soit B une base orthonormée directe, et −
u1 , −
u2 deux vecteurs de coordonnées respectives ( x1 , y1 , z1 )B et ( x2 , y2 , z2 )B . Alors
−
→
−
→
u1 ∧ u2 admet pour coordonnées :
Ç
å
y1 y2
x1 x2
x1 x2
, −
,
z1 z2
z1 z2
y1 y2
B
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. On peut retrouver cette formule grâce à la règle du « triple gamma. »
Le résultat suivant montre que le produit vectoriel possède une interprétation géométrique simple.
Théorème 1025.
Soient A, B, C trois points non alignés. Alors
−→ −→
par AB et AC.
−→ −→
AB ∧ AC est égal à l’aire du parallélogramme dont les côtés sont portés
Démonstration. Voir les notes de cours.
D2.4 Produit mixte et déterminant
Définition 1026 (Définition géométrique du produit mixte).
Ä→ −
ä
î→ −
ó
→
→
→
→
→
Soient −
u ,−
v ,−
w trois vecteurs de l’espace. On appelle « produit mixte de −
u,→
v ,−
w » et l’on note −
u,→
v ,−
w la
quantité définie par
î−
ó
Ä→ −
ä →
→
→
→
u ,−
v ,−
w = −
u ∧→
v ·−
w.
Théorème 1027.
→
→
→
Soient −
u ,−
v ,−
w trois vecteurs de l’espace.
Ä−
ä
î→ −
ó
→
→
→
i) →
u ,−
v ,−
w est liée si et seulement si −
u,→
v ,−
w = 0.
î→ −
ó
→
u , v , w est une base si et seulement si −
u,→
v ,−
w 6= 0.
Ä→ −
ä
î→ −
ó
→
→
iii ) Si −
u,→
v ,−
w est une base orthonormée, alors elle est directe si et seulement si −
u,→
v ,−
w = 1.
ii )
Ä−
→ −
→ −
→ä
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 1028.
arguments.
i ) Le produit mixte est trilinéaire, c’est-à-dire qu’il est linéaire par rapport à chacun de ses trois
ii ) Le produit mixte est antisymétrique, c’est-à-dire qu’il change de signe lorsque l’on permute deux de ses arguments,
soit :
î−
ó
î→ −
ó
î→ −
ó
î→ −
ó
→
→
→
→
→
→
u ,−
v ,−
w =− −
v ,→
u ,−
w =− −
u,→
w,−
v =− −
w,→
v ,−
u .
Démonstration. La trilinéarité résulte de la bilinéarité des produits vectoriels et scalaire, et l’antisymétrie est
admise.
D2.4. PRODUIT MIXTE ET DÉTERMINANT
213
Définition 1029.
→( x , y , z ) , −
→
−
→
Soient B une base et −
u
1 1 1 1 B u2 ( x2 , y2 , z2 ) B , u3 ( x3 , y3 , z3 ) B des vecteurs de l’espace. On appelle « déterminant de
x1 x2 x3
→ −
→ −
→ä
−
→
→
→ dans la base B , »et on note y y y ou det Ä−
u1 , −
u2 , −
u
2
3
3
1
B u1 , u2 , u3 la quantité :
z1 z2 z3
x3
y1 y2
x x
x x
− y3 1 2 + z3 1 2 .
z1 z2
z1 z2
y1 y2
Théorème 1030 (Formule analytique du produit mixte dans une b.o.n.d. et lien avec le déterminant).
→
→
→
Soit B une base orthonormée directe et −
u1 , −
u2 , −
u3 trois vecteurs de coordonnées respectives ( x1 , y1 , z1 )B , ( x2 , y2 , z2 )B et
( x3 , y3 , z3 )B . On a alors :
x1 x2 x3
î−
ó
→
→
→
u1 , −
u2 , −
u 3 = y1 y2 y3 .
z1 z2 z3
En d’autres termes, le produit mixte de trois vecteurs de l’espace est égal à leur déterminant dans n’importe quelle base
orthonormée directe.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Produit mixte et déterminant ne sont pas égaux si la base considérée n’est pas orthonormée directe.
Néanmoins, on peut démontrer que quelle que soit la base considérée, ils sont proportionnels. On admettra et
→, −
→ −
→
on retiendra que quelle que soit la base B , et les vecteurs −
u
1 u2 , u3 de coordonnées respectives ( x1 , y1 , z1 ) B ,
( x2 , y2 , z2 )B et ( x3 , y3 , z3 )B , on a :
Ä−
→ −
→ −
→ä
u1 , u2 , u3
liée ⇐⇒
î−
→ −
→ −
→ó
u1 , u2 , u3 = 0 ⇐⇒
x1 x2 x3
y1 y2 y3 = 0.
z1 z2 z3
Remarques.
i ) Par antisymétrie du produit mixte on a det(C1 , C2 , C3 ) = det(C2 , C3 , C1 ) = det(C3 , C1 , C2 ) (on
dit que le déterminant est invariant par permutation circulaire des colonnes de la matrice), on en déduit les
formules suivantes :
x1 x2 x3
x2 x3 x1
y y
x x3
x x
y1 y2 y3 = y2 y3 y1 = x1 2 3 − y1 2
+ z1 2 3
z2 z3
z2 z3
y2 y3
z1 z2 z3
z2 z3 z1
x1 x2 x3
x3 x1 x2
y y
x x1
x x
y1 y2 y3 = y3 y1 y2 = x2 3 1 − y2 3
+ z2 3 1
z3 z1
z3 z1
y3 y1
z1 z2 z3
z3 z1 z2
= − x2
y1 y3
x x
x x
+ y2 1 3 − z2 1 3
z1 z3
z1 z3
y1 y3
ii ) On peut retrouver les trois formules permettant de calculer det(C1 , C2 , C3 ) en considérant que l’on a
« développé le tableau 3 × 3 suivant l’une ou l’autre de ses colonnes » : chaque terme de la somme
obtenue est le produit d’un coefficient de la colonne choisie, multiplié par le déterminant de la matrice
obtenue en enlevant la ligne et la colonne de ce coefficient, et multiplié par un signe, qui dépend de la position
du coefficient. On peut facilement mémoriser ce signe à l’aide du tableau :
Ö
+ − +
− + −
+ − +
è
iii ) De manière analogue, on peut développer un déterminant par rapport à l’une de ses lignes.
iv) Il existe une autre formule pour calculer un déterminant 3 × 3, qui correspond à la forme développée des
formules précédentes :
x1 x2 x3
y1 y2 y3 = x1 y2 z3 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2 − x1 y3 z2 − x3 y2 z1 − x2 y1 z3 .
z1 z2 z3
Pour retrouver la formule ci-dessus, on utilise la « règle de Sarrus, » qui consiste a recopier sous le tableau
les deux premières lignes de celui-ci, puis à sommer le produit des termes rencontrés le long de chaque
diagonale, affublé d’un signe moins si la diagonale est « croissante. »
214
Géométrie de l’espace
v) En pratique, pour calculer un déterminant de taille 3, on utilise la méthode de développement par rapport
à une colonne, une ligne ou la méthode de Sarrus.
Exercice 1031. Calculer
1 1 2
2 1 3 . Aurait-on pu donner directement le résultat ?
−1 2 1
D2.5 Application à l’étude des droites et des plans de l’espace
−
→
−→ →
→
→
Notation. Soient ( A, B) ∈ E 2 et −
u ∈ E . La relation AB = −
u sera notée B = A + −
u.
D2.5.1 Les plans
Définition, paramétrisation et équation cartésienne
Définition 1032.
→
→
→
→
Soit A un point et −
u ,−
v deux vecteurs non colinéaires de l’espace. On appelle « plan passant par A et dirigé par −
u ,−
v »
Ä−
ä
Ä
ä
−−→
→
−
→
−
→
−
→
l’ensemble des points M ∈ E tels que AM ∈ Vect u , v . Ce plan sera noté A + Vect u , v , et en d’autres termes
on a
Ä→ −
ä
→
→
A + Vect −
u,→
v = { A + λ−
u + µ−
v ; (λ, µ) ∈ R2 }.
Ä→ −
ä
Ä→ −
ä
−
→
Le plan vectoriel Vect −
u,→
v de E sera appelé « le plan vectoriel associé à A + Vect −
u,→
v .»
Théorème 1033.
→
→
Soit A un point de l’espace, et deux vecteurs non colinéaires −
u ,−
v . On a alors :
Ä→ −
ä
−−→
→
→
M ∈ A + Vect −
u,→
v ⇐⇒ ∃(λ, µ) ∈ R2 , AM = λ−
u + µ−
v
−−→ −
→
⇐⇒ les vecteurs AM, →
u ,−
v sont coplanaires
h−−→
i
→
→
⇐⇒ AM, −
u ,−
v =0
→
→
Soit R un repère de l’espace, ( a, b, c) les coordonnées de A, et (α, β, γ), (α′ , β′ , γ′ ) celles de (respectivement) −
u ,−
v . Alors
on a encore :

′


 x = a + λα + µα
Ä−
ä
→
−
→
2
M ( x, y, z)R ∈ A + Vect u , v ⇐⇒ ∃(λ, µ) ∈ R , y = b + λβ + µβ′


z = c + λγ + µγ′
Ä→ −
ä
Le système ci-dessus est appelé une « représentation paramétrique du plan A + Vect −
u,→
v .»
Démonstration. Trivial.
Exercice 1034. Donner une paramétrisation du plan ( P) : x + y + z − 1 = 0 dans un repère quelconque.
Exercice 1035. On se place dans un repère quelconque. Donner une équation du plan dirigé par les vecteurs
−
→
→
u (3, −2, 1) et −
v (−1, 5, 2) et passant par A(1, 0, −3).
Méthode. Grâce au déterminant, on peut aisément déterminer une équation d’un plan défini par une paramétrisation, en raisonnant comme dans l’exercice ci-dessus.
Théorème 1036.
Soit R un repère de l’espace. Tout plan admet dans R une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0 avec
( a, b, c) 6= (0, 0, 0). Réciproquement, toute équation de cette forme caractérise un plan.
Démonstration. Voir les notes de cours.
215
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Vecteurs normaux
Définition 1037.
−
→
→
→
→
→
→
Soit P un plan dirigé par −
u ,−
v . Un vecteur −
n 6= 0 est dit « normal à P » s’il est orthogonal à −
u et −
v.
On vérifie aisément que cette définition est cohérente, en ce sens qu’elle ne dépend pas du couple de vecteurs
→
→
directeurs −
u ,−
v choisi.
Remarque. Un plan admet deux vecteurs unitaires normaux, donnant ses deux orientations possibles.
Théorème 1038.
Soit R un repère orthonormé, et P un plan admettant ax + by + cz + d = 0 pour équation cartésienne. Alors le vecteur
−
→
n ( a, b, c) est normal à P.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 1039. Soit P un plan d’équation ax + by + cz + d = 0 dans un repère orthonormé. Montrer que le plan
−
→
vectoriel P associé à P admet pour équation ax + by + cz = 0.
Théorème 1040.
Soient R un repère et a, b, c, d, a′ , b′ , c′ , d′ des réels tels que ( a, b, c) 6= (0, 0, 0) et ( a′ , b′ , c′ ) 6= (0, 0, 0). Alors les équations
cartésiennes ax + by + cz + d = 0 et a′ x + b′ y + c′ z + d′ = 0 caractérisent le même plan si et seulement si elles sont
proportionnelles avec un coefficient de proportionnalité non nul.
Démonstration. Voir les notes de cours (on fait la preuve dans le cas où le repère est orthonormé).
D2.5.2 Les droites
Définition et système d’équations cartésiennes
Définition 1041.
→
→
Soit A un point et −
u un vecteur non nul de l’espace. On appelle « droite passant par A et dirigée par −
u » l’ensemble des
Ä
ä
−−→
−
→
−
→
−
→
points M ∈ E tels que ∃λ ∈ R, AM = λ u . Cette droite sera notée A + Vect u ou A + R u , et en d’autres termes
on a
→
→
A + R−
u = { A + λ−
u ; λ ∈ R }.
Ä−
ä
Ä →ä
−
→
La droite vectorielle Vect →
u de E sera appelée « la droite vectorielle associée à A + Vect −
u .»
Traduite en coordonnées cartésiennes, la définition donne une paramétrisation de la droite.
Théorème 1042.
→
Soit R un repère de l’espace, A( a, b, c) un point et −
u (α, β, γ) un vecteur non nul. On a alors
→
M ( x, y, z) ∈ A + R −
u ⇐⇒ ∃t ∈ R,


 x = a + tα

y = b + tβ


z = c + tγ
→
Le système ci-dessus est appelé une « représentation paramétrique de la droite A + R −
u.»
Démonstration. Trivial.
Exercice 1043. On se place dans un repère orthonormé direct. Donner un couple d’équations cartésiennes de la
→
droite passant par A(1, 1, 1) et dirigée par −
u (0, −1, 1).
Méthode. Le produit vectoriel permet, dans un repère orthonormé directe, de déterminer un système d’équations d’une droite définie par un point et un vecteur directeur.
Théorème 1044.
Soit R un repère de l’espace. Toute droite admet dans R une équation cartésienne de la forme
(
ax + by + cz + d = 0
a′ x + b′ y + c′ z + d′ = 0
→
→
où −
n ( a, b, c) et −
n ′ ( a′ , b′ , c′ ) ne sont pas colinéaires. Réciproquement, tout système d’équations cartésiennes de cette forme
caractérise une droite.
216
Géométrie de l’espace
Démonstration. Voir les notes de cours (on fait la preuve dans le cas où le repère est orthonormé direct).
Remarque. Ce résultat montre que les droites sont les intersections de deux plans non parallèles. Et comme il
est clair qu’il existe une grande variété de couples de plans ayant une droite D donnée pour intersection, on
comprend pourquoi il existe une grande variété de systèmes d’équations cartésiennes caractérisant une droite.
Vecteurs normaux
Définition 1045.
→
→
→
→
Soit D une droite, et −
u un vecteur dirigeant celle-ci. On dit qu’un vecteur non nul −
n est « normal à D » si −
u et −
n
sont orthogonaux.
On vérifie aisément que cette définition est cohérente, en ce sens qu’elle ne dépend pas du vecteur directeur
−
→
u choisi.
Le théorème suivant permet de donner un vecteur directeur et deux vecteurs normaux à une droite à partir
d’une équation de celle-ci.
Théorème 1046.
Soit R un repère orthonormé direct, et D une droite admettant
cartésiennes dans R. On a alors les résultats suivants.
→
→
i) −
n ( a, b, c) et −
n ′ ( a′ , b′ , c′ ) sont normaux à D;
(
ax + by + cz + d = 0
a′ x + b′ y + c′ z + d′ = 0
pour système d’équations
→
→
ii ) −
n ∧−
n ′ est un vecteur directeur de D.
Démonstration. Voir les notes de cours.
D2.5.3 Droites et plans parallèles, orthogonaux et sécants
Définition 1047.
Soient D, D ′ deux droites et P un plan de l’espace.
— On dit que D et D ′ sont parallèles lorsqu’elles possèdent des vecteurs directeurs colinéaires, ce qui sera noté D D ′ .
— On dit que D et D ′ sont sécantes lorsque D ∩ D ′ est un singleton.
— On dit que D et D ′ sont orthogonales lorsqu’elles possèdent des vecteurs directeurs orthogonaux, ce qui sera noté
D ⊥ D′.
— On dit que P et D sont parallèles si un vecteur directeur de D appartient au plan vectoriel associé à P, ce qui sera
noté D P.
Exercice 1048. On se place dans un repère orthonormé direct. Donner une condition nécessaire et suffisante sur
(
x − 2z + 3 = 0
soit parallèle au plan ( P) : x + 2y − 4z + 5 = 0.
le réel a pour que la droite ( D ) :
y − az − 1 = 0
Définition 1049.
→
→
Soient P, P′ deux plans de l’espace, de vecteurs normaux respectifs −
n et −
n ′.
→
→
— On dit que P et P′ sont parallèles lorsque −
n et −
n ′ sont colinéaires, ce qui sera noté P P′ .
— On dit que P et P′ sont sécants lorsqu’ils ne sont pas parallèles.
→
→
— On dit que P et P′ sont orthogonaux lorsque −
n ⊥−
n ′ , ce qui sera noté P ⊥ P′ .
On démontre aisément que ces deux définitions sont cohérentes, en ce sens qu’elles ne dépendent pas des
vecteurs normaux ou directeurs choisis.
Intersection de droites et de plans
Théorème 1050 (Intersection de deux plans).
Soit R un repère de l’espace, deux plans P, P′ d’équations cartésiennes respectives ax + by + cz + d = 0 et a′ x + b′ y +
→
→
c′ z + d′ = 0, ainsi que les vecteurs −
n ( a, b, c) et −
n ′ ( a′ , b′ , c′ ). On a les résultats suivants.
→
→
i ) P et P′ sont parallèles si et seulement si −
n et −
n ′ sont colinéaires. Dans ce cas P ∩ P′ peut alors être vide ou égal à
un plan (suivant que les plans soient égaux ou strictement parallèles).
217
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
→
→
ii ) Si −
n et −
n ′ ne sont pas colinéaires, alors P et P′ sont sécants, et P ∩ P′ est une droite de vecteur directeur
−
→
−
→
→
u = n ∧−
n ′.
Démonstration. Voir les notes de cours (on fait la preuve dans le cas d’un repère orthonormé).
Théorème 1051.
Soit D une droite et P un plan. Alors D est incluse dans P si et seulement si D est parallèle à P et si P et D possèdent un
point A en commun.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 1052. On se place dans un repère orthonormé direct. Donner une condition nécessaire et suffisante sur
(
(
x = z−2
x = az − 1
′
soient coplanaires.
et ( D ) :
le réel a pour que les droites ( D ) :
y = 3z − 1
y = 2z + 3
Théorème 1053.
→
→
Soient D une droite de vecteur directeur −
u et D ′ une droite de vecteur directeur −
u ′ . Quatre cas sont possibles :
→
→
i ) Si −
u et −
u ′ sont colinéaires alors D et D ′ sont parallèles, elles sont incluses dans un même plan, et :
— soit D ∩ D ′ = ∅.
— soit D ∩ D ′ 6= ∅, et alors les deux droites sont confondues.
→
→
ii ) Si −
u et −
u ′ ne sont pas colinéaires.
— Soit D ∩ D ′ = ∅ et ne sont incluses dans aucun plan commun.
— Soit D ∩ D ′ 6= ∅. Elles sont incluses dans un même plan et les droites D et D ′ ont un unique point d’intersection.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 1054 (Intersection d’une droite et d’un plan).
Soit R un repère. Soit D une droite et P un plan d’équations cartésiennes respectives
(
ax + by + cz + d = 0
a′ x + b′ y + c′ z + d′ = 0
et
a′′ x + b′′ y + c′′ z + d′′ = 0
On a les résultats suivants.
a a′ a′′
i ) D et P sont parallèles si et seulement si b b′ b′′ = 0. Dans ce cas D ∩ P est soit vide soit une droite (suivant
c c′ c′′
que la droite soit incluse dans le plan ou pas).
ii ) Sinon, D ∩ P est réduit à un singleton : on dit alors que P et D sont sécants.
Démonstration. Voir les notes de cours (on fait la preuve dans le cas où le repère est orthonormée).
Remarque. Abstraction faite de toute considération géométrique, on en déduit qu’un système (3, 3) possède
une unique solution si et seulement si le déterminant associé à ses coefficients est non nul.
Droites perpendiculaires
Définition 1055.
On dit que deux droites sont perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.
Le résultat suivant est hors-programme.
Théorème 1056 (Perpendiculaire commune à deux droites).
→
→
Soient D, D ′ deux droites non parallèles de vecteurs directeurs respectifs −
u et −
u ′ . Alors il existe une unique droite
−
→
→
∆ qui soit simultanément perpendiculaire à D et D ′ , et celle-ci est dirigée par u ∧ −
u ′ . Cette droite est appelée « la
′
perpendiculaire commune à D et D . »
Démonstration. Voir les notes de cours.
218
Géométrie de l’espace
Figure D2.1 – Perpendiculaire commune à deux droites non parallèles
Remarques. — Soit B (resp. B′ ) le point d’intersection de ∆ avec D (resp. D ′ ). La longueur BB′ est appelée
« la distance entre les droites D et D ′ », et on peut démontrer que c’est la distance minimale entre un point
de D et un point de D ′ .
— Il existe également une perpendiculaire commune à deux droites parallèles, mais dans ce cas on perd
→
→
l’unicité (et aucune perpendiculaire commune n’est dirigée par −
u ∧−
u ′ puisque ce vecteur est nul). Pour
calculer l’équation d’une telle droite, il suffit de déterminer un vecteur normal à D et D ′ , et de partir d’un
point quelconque de D.
D2.6 Projection orthogonale et calculs de distances
Définition 1057.
→
→
Soient −
u ,−
v des vecteurs non colinéaires et M un point de l’espace.
→
— Soit D une droite dirigée par un vecteur −
u . On appelle « projeté orthogonal de M sur D » l’unique point H vérifiant
H∈D
et
−−→ −
MH · →
u = 0.
→
→
— Soit P un plan passant par un point A et dirigé par les vecteurs −
u ,−
v . On appelle « projeté orthogonal de M sur
P » l’unique point H vérifiant
H∈P
−−→ −
MH · →
u =0
−−→ −
MH · →
v = 0.
On admet que cette définition a un sens, c’est-à-dire que les points H existent et sont uniques. On admet
→
→
encore que leur définition ne dépend pas des vecteurs directeurs −
u ,−
v choisis.
Exercice 1058. On se place dans un repère orthonormé direct. Donner les coordonnées du projeté orthogonal
de A(1, 1, −1) sur ( P) : x + y − z + 1 = 0.
D2.6.1 Mesure algébrique et produit scalaire
Définition 1059.
→
Si A et B sont deux points d’un axe orienté ∆ par un vecteur −
u . On appelle « mesure algébrique de AB » le nombre réel
(
−→
noté AB défini par :
→
AB si AB a le même sens que −
u
AB =
−→
→
− AB si AB n’a pas le même sens que −
u
−→
−
→
−
→
Ainsi, comme le vecteur u est unitaire, on a l’égalité AB = AB × u .
Théorème 1060.
−→ −→
Soient A, B, C trois points de l’espace, et H le projeté orthogonal de B sur ( AC ). On a alors AB · AC = AH × AC, où
→
−→
1 −
AC.
AH désigne la mesure algébrique de AH relativement à la droite AC orientée par −→
|| AC||
Démonstration. Il suffit de se placer dans un plan contenant A, B, C, puis d’appliquer le résultat analogue vu en
géométrie du plan.
On en déduit l’interprétation géométrique du déterminant.
219
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
Théorème 1061.
h−→ −→ −→i
Soient A, B, C, D quatre points de l’espace. Alors AB, AC, AD est égal au volume du parallélépipède dont les côtés
−→ −→ −→
sont portés par AB, AC et AD.
Démonstration. Voir les notes de cours.
−−→
→
Le résultat suivant donne la nature géométrique des lignes de niveau de l’application M 7→ −
u · AM.
Théorème 1062.
−−→
→
→
Soit A un point et −
u un vecteur non nul de l’espace. Pour tout réel λ, l’ensemble des points M tels que −
u · AM = λ est
→
un plan de vecteur normal −
u.
Démonstration. Résultat admis : la démonstration est la même que celle vue dans le cas du plan.
D2.6.2 Distance d’un point à un plan
Théorème 1063.
Soit P un plan, M0 un point et H0 le projeté orthogonal de celui-ci sur P. Alors la fonction M 7→ d( M0 , M ) possède
P →
R+
un minimum, atteint en le seul point H0 . On appelle alors « distance de M0 à P », et l’on note d( M0 , P), la quantité
d( M0 , H0 ).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Figure D2.2 – Projection orthogonale d’un point sur un plan et distance.
Les formules suivantes ne sont pas au programme, mais sont étudiées à titre d’exemple.
Théorème 1064.
→
Soit P un plan passant par un point A et de vecteur normal −
n.
−−→
−
→
AM0 · n i ) Pour tout point M0 on a d( M0 , P) =
−
→ .
n ii ) Soit R un repère orthonormé. Si P admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0 avec ( a, b, c) 6=
|ax0 + by0 + cz0 + d|
√
.
(0, 0, 0), et M0 les coordonnées ( x0 , y0 , z0 ), alors on a d( M0 , P) =
a2 + b 2 + c 2
Démonstration. Voir les notes de cours.
D2.6.3 Distance d’un point à une droite
Théorème 1065.
Soit D une droite, M0 un point et H0 le projeté orthogonal de celui-ci sur D. Alors la fonction M 7→ d( M0 , M )
D →
R+
possède un minimum, atteint en le seul point H0 . On appelle alors « distance de M0 à D », et l’on note d( M0 , D ), la
quantité d( M0 , H0 ).
Démonstration. Résultat admis : la démonstration est la même que celle vue dans le cas du plan.
La formule suivante n’est pas au programme, mais est étudiée à titre d’exemple.
Théorème 1066.
Soit D une droite et A, B deux points distincts de celle-ci. Pour tout point M0 on a d( M0 , D ) =
−−→ −→
AM0 ∧ AB
AB
.
220
Géométrie de l’espace
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. La distance d’un point à une droite est calculée à l’aide d’un vecteur directeur de celle-ci, alors que
la distance d’un point à un plan est donnée en fonction d’un vecteur normal de celui-ci.
D2.7 Coordonnées cylindriques et sphériques
−
→
→
→
Dans cette section, on considère un repère orthonormé R = O, −
ı ,−
 , k .
Définition 1067.
→ le vecteur défini par −
→ = cos ϕ−
→
→
Soit ϕ ∈ R. On appelle −
u
u
ı + sin ϕ−
 .
ϕ
ϕ
Définition 1068 (Coordonnées cylindriques).
Soient ρ, ϕ, h des réels. Un point M ∈ E « admet (ρ, ϕ, h) pour coordonnées cylindriques relativement à R » si
→
−−→
→ + h−
OM = ρ−
u
k.
ϕ
Figure D2.3 – Les coordonnées cylindriques d’un point
Remarque. (ρ, ϕ) est un couple de coordonnées polaires du projeté orthogonal H de M sur le plan O +
Ä→ −
ä
−
→
Vect −
ı ,→
 orienté par k .
Théorème 1069 (Changement de coordonnées).
Soit M un point admettant ( x, y, z)R pour coordonnées cartésiennes et (ρ, ϕ, h) pour coordonnées cylindriques dans R.
On a alors :



 x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ


z = h
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. On prouve notamment que l’on peut prendre ρ > 0.
Définition 1070 (Coordonnées sphériques).
Soient r, θ, ϕ des réels. Un point M ∈ E « admet (r, θ, ϕ) pour coordonnées sphériques relativement à R » si
→
−−→
→ + r cos (θ ) −
k.
OM = r sin (θ ) −
u
ϕ
On dira que θ est la « colatitude de M, » et ϕ est appelé la « longitude de M. »
Remarque. Le réel r n’a pas la même signification que le réel ρ du cas précédent : c’est désormais leÄ coupleä
→
→
(r sin θ, ϕ) qui est un couple de coordonnées polaires du projeté orthogonal H de M sur le plan O + Vect −
ı ,−

−
→
orienté par k .
D2.8. ÉTUDE DES SPHÈRES DE L’ESPACE
221
Figure D2.4 – Les coordonnées sphériques d’un point
Théorème 1071 (Changement de coordonnées).
Soit M un point admettant ( x, y, z)R pour coordonnées cartésiennes et (r, θ, ϕ) pour coordonnées sphériques dans R. On
a alors :



 x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ


z = r cos θ
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. On prouve notamment que l’on peut prendre r > 0, ϕ ∈] − π, π ] et θ ∈ [0, π ].
D2.8 Étude des sphères de l’espace
D2.8.1 Définition, équations et caractérisation
Définition 1072.
Soit Ω ∈ E et R > 0. On appelle « sphère de centre Ω et de rayon R » l’ensemble S(Ω, R) = { M ∈ E ; ΩM = R}.
Théorème 1073 (Équation cartésienne d’une sphère dans un r.o.n.).
Soit R un repère orthonormé, Ω( a, b, c) un point et R > 0. La sphère S(Ω, R) admet pour équation cartésienne
( x − a )2 + ( y − b )2 + ( z − c )2 = R2 .
Démonstration. Trivial : il suffit d’utiliser la formule donnant la distance entre deux points dans un r.o.n.
Théorème 1074 (Caractérisation des équations cartésiennes des sphères).
Soit R un repère orthonormé et α, β, γ, δ des réels. On considère l’équation cartésienne
x2 + y2 + z2 + 2αx + 2βy + 2γz + δ = 0 (⋆)
Si α2 + β2 + γ2 − δ > 0, (⋆) est l’équation de la sphère de centre Ω(−α, − β, −γ) et de rayon
les coordonnées d’aucun point ne vérifient l’équation (⋆).
»
α2 + β2 + γ2 − δ. Sinon,
Démonstration. Preuve analogue à celle faite dans le plan.
D2.8.2 Intersection d’une sphère avec. . .
On admet les résultats suivants.
Théorème 1075.
Soit D une droite et S = S(Ω, R) une sphère. On a alors :
i ) si d(Ω, D ) > R, alors D ∩ S = ∅;
ii ) si d(Ω, D ) = R, alors D ∩ S est un singleton { M } et D est appelée « la tangente à S en M » ;
iii ) si d(Ω, D ) < R, alors D ∩ S est formé de deux points distincts.
222
Géométrie de l’espace
Théorème 1076.
Soit P un plan et S = S(Ω, R) une sphère. On a alors :
i ) si d(Ω, P) > R, alors P ∩ S = ∅;
ii ) si d(Ω, P) = R, alors P ∩ S est un singleton { M } et P est appelée « le plan tangent à S en M » ;
iii ) si d(Ω, P) < R, alors P ∩ S est un cercle.
Théorème 1077.
Soient S1 = S(Ω1 , R1 ) et S2 = S(Ω2 , R2 ) deux sphères telles que d = Ω1 Ω2 > 0. On a alors :
i ) si | R1 − R2 | < d < R1 + R2 , alors S1 ∩ S2 est un cercle ;
ii ) si d = | R1 − R2 | ou d = R1 + R2 , alors S1 ∩ S2 est un singleton ;
iii ) si d < | R1 − R2 | ou d > R1 + R2 , alors S1 ∩ S2 est vide.
Cinquième partie
Probabilités
Chapitre
E1
Dénombrement
E1.1 Notion de cardinal d’un ensemble fini
E1.1.1 Définition et premiers résultats
On admet le résultat suivant.
Théorème 1078.
Soient n, p des entiers.
i ) Il existe une injection de J1, nK dans J1, pK si et seulement si n 6 p.
ii ) Il existe une surjection de J1, nK dans J1, pK si et seulement si n > p.
iii ) Il existe une bijection de J1, nK dans J1, pK si et seulement si n = p.
Intuitivement, on dit qu’un ensemble est fini s’il possède un nombre fini d’éléments, et son cardinal est alors
le nombre de ses éléments. Formellement, cela donne la définition suivante (hors-programme).
Théorème/définition 1079.
On dit qu’un ensemble E est « fini » s’il existe un entier n et une bijection φ : J1, nK → E. Lorsqu’il existe, l’entier n est
unique ; il est appelé « le cardinal de E » et sera noté card( E), | E| ou encore #E. Par convention, l’ensemble ∅ est fini, et
son cardinal est 0.
Démonstration. L’unicité résulte directement du point iii ) du théorème 1.
Intuitivement, φ peut être considérée comme une numérotation des éléments de E.
Définition 1080.
Deux ensembles E et F sont dit « équipotents », ce qui sera noté E ≃ F, s’il existe une bijection entre eux.
Théorème 1081.
Deux ensembles finis ont le même cardinal si et seulement si ils sont équipotents.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Le résultat suivant généralise le théorème .
Théorème 1082.
Soient E, E′ deux ensembles.
i ) Si E′ fini, il existe une injection de E dans E′ si et seulement si E est fini et card( E) 6 card( E′ ).
ii ) Si E fini, il existe une surjection de E dans E′ si et seulement si E′ est fini et card( E) > card( E′ ).
iii ) Si E ou E′ fini, alors il existe une bijection de E dans E′ si et seulement si E et E′ sont finis et card( E) = card( E′ ).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 1083 (Croissance du cardinal).
Soit E un ensemble fini, et A une partie de E. Alors A est fini, et card( A) 6 card( E).
Démonstration. Il suffit d’appliquer le point i ) du résultat pécédent à l’injection i : A → E
x 7→ x
226
Dénombrement
E1.1.2 Cardinaux et opérations ensemblistes
Théorème 1084.
Soient E, F deux ensembles finis, et A ⊂ E. On a les résultats suivants.
i ) Si E ∩ F = ∅, alors card ( E ∪ F ) = card E + card F.
ii ) Si A dénote le complémentaire de A dans E, alors card A = card E − card A
iii ) Dans tous les cas on a card ( E ∪ F ) = card E + card F − card ( E ∩ F ) .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 1085.
Soient ( Ai )16i6n une famille d’ensembles finis deux à deux disjoints. On a card
n
[
i=1
Ai
!
=
n
X
card Ai .
i=1
Démonstration. Il suffit de faire une récurrence à partir du point i ) du théorème précédent.
Théorème 1086.
Soit E un ensemble fini, et A une partie de E. Alors A = E si et seulement si card( A) = card( E).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 1087.
Soient E et F deux ensembles finis de même cardinal. Alors pour toute application f : E → F, on a
f injective ⇐⇒ f surjective ⇐⇒ f bijective
Démonstration. Voir les notes de cours.
Le résultat suivant donne l’éthymologie de la nomenclature « produit cartésien » : le cardinal d’un produit
cartésien d’ensembles est en fait égal au produit des cardinaux de ces ensembles.
Théorème 1088.
Soient n, p des entiers non nuls, et E1 , . . . , En des ensembles finis. On a alors les résultats suivants.
i ) card ( E1 × E2 ) = card( E1 ) × card( E2 ).
ii ) card ( E1 × · · · × En ) = card ( E1 ) × · · · × card ( En ) .
iii ) card ( E1n ) = card ( E1 )n .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 1089.
Ä ä
Soient E et F deux ensembles finis. Alors card F E = card( F )card( E) .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 1090.
Soit E un ensemble fini de cardinal n. Alors l’ensemble P ( E) est également fini, de cardinal 2n .
Démonstration. Voir les notes de cours.
E1.2 listes ou tirages avec remise
Imaginons que chaque ensemble est une urne, et que ses éléments sont autant de boules dans celle-ci.
Construire un ensemble revenant à prélever des éléments dans d’autres ensembles déjà existants, il y a une
correspondance entre le dénombrement des ensembles mathématiques et le nombre d’issues associées aux
tirages dans les urnes. Les résultats qui suivent seront démontrés en utilisant ce paradigme.
Définition 1091.
Soit E un ensemble fini. On appelle « liste » d’éléments de E tout p-uplet (e1 , . . . , e p ) d’éléments (pas nécessairement
distincts. . . ) de E, où p ∈ N.
E1.3. ARRANGEMENTS OU TIRAGES SANS REMISE
227
Paradigme. Soit E un ensemble à n éléments. Il y a autant de manières de construire une liste de p éléments
de E que de prélever avec remise p boules dans une urne en contenant n.
Théorème 1092 (Nombre de tirages avec remise).
Il y a n p manières de tirer avec remise p boules dans une urne en contenant n.
Démonstration. On a n choix au premier tirage, puis n choix au second (car on a remis la première boule dans
l’urne), puis n au troisième,. . . et enfin n choix au p-ième. Il y a donc n p configurations possibles au total (le
théorème 1088 assure que ces nombres de possibilités « se multiplient »).
Exemple 1093. À l’aide de ce paradigme, on peut aisément redémontrer le théorème 1089. Soient ainsi des
entiers p, n ; montrons que le nombre d’applications f : J1, pK → J1, nK est égal à n p . Construire une application
f : J1, pK → J1, nK c’est choisir les valeurs de f (1), . . . , f ( p) dans l’ensemble J1, nK. Il y a n choix pour f (1), n
choix pour f (2),. . . et toujours n choix pour f ( p). Ce qui donne au final n p choix, d’où le résultat.
E1.3 Arrangements ou tirages sans remise
E1.3.1 Définitions et premiers résultats
Définition 1094.
Soit E un ensemble fini, et 1 6 p 6 card( E) un entier. On appelle « arrangement » de p éléments de E tout p-uplet
(e1 , . . . , e p ) d’éléments distincts de E.
Remarque. Deux éléments d’un arrangement sont toujours distincts : c’est ce qui les différencie des listes.
Paradigme. Soit E un ensemble à n éléments. Il y a autant de manières de construire un arrangement de p 6 n
éléments de E que de prélever (les unes après les autres et) sans remise p boules dans une urne en contenant
n.
Définition 1095.
p
Soient n > p > 1 des entiers. On note An le nombre d’arrangements de p éléments d’un ensemble à n éléments, c’est-à-dire
le nombre de manières de tirer sans remise p boules dans une urne en contenant n.
Théorème 1096 (Nombre de tirages sans remise).
Soient n > p > 1. On a
p
An =
n!
.
( n − p) !
Démonstration. Soit U une urne contenant n boules ; dénombrons le nombre de manières d’y choisir p boules
sans remise. On a n choix au premier tirage, puis n − 1 choix au second, puis n − 2 choix au troisième,. . . et
n!
configurations possibles au
enfin n − ( p − 1) choix au p-ième. Il y a donc n(n − 1) · · · (n − p + 1) =
( n − p) !
total.
Théorème 1097.
p
Soient p 6 n des entiers. Le nombre d’injections f : J1, pK → J1, nK est égal à An .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Corolaire 1098.
Soient E et F deux ensembles finis tels que card E = p et card F = n avec p 6 n. Alors le nombre d’injections f : E → F
p
est égal à An .
E1.3.2 Application des arrangements aux permutations d’un ensemble
Définition 1099.
Soit E un ensemble fini. On appelle « permutation de E » toute bijection de E dans E, et on note S( E) l’ensemble des
permutations de E. Soit n ∈ N ∗ . On note Sn l’ensemble des permutations de J1, nK.
Théorème 1100.
Soit E un ensemble fini de cardinal n. Alors card ( S( E)) = n!.
228
Dénombrement
Démonstration. On sait que si f : E → E, alors f est bijective si et seulement si elle est injective. Or il y a Ann
injections de E dans E en vertu du théorème 1097, ce qui donne le résultat.
Corolaire 1101.
Soient E, F deux ensembles finis tels que card E = card F = n. Alors le nombre de bijections f : E → F est égal à n!.
Théorème 1102.
Il existe n! manières d’ordonner les éléments d’un ensemble de cardinal n.
Démonstration. Soit E un ensemble de cardinal n. Il y a n choix pour déterminer quel élément de E sera le plus
petit, puis n − 1 choix pour déterminer celui qui viendra ensuite, puis n − 2 choix pour déterminer le suivant,. . .,
et enfin 1 choix pour déterminer quel élément sera le plus grand. Ce qui laisse n! possibilités au total.
Seconde démonstration. Ordonner les éléments de E revient à attribuer à chacun d’eux un unique numéro, compris
entre 1 et n. Le nombre recherché est donc le nombre de bijections entre E et J1, nK, soit n!.
Remarque. Le nombre de mots que l’on peut écrire avec les lettres P, I, Z, Z, A n’est pas égal à 5!. En effet, si
l’on prend un mot écrit avec ces 5 lettres et qu’on permute les deux Z, on obtient encore le même mot : il n’y a
donc que 5!
2! manières d’arranger ces lettres entre elles.
E1.4 Combinaisons ou tirages simultanés
E1.4.1 Définitions et premiers résultats
Définition 1103.
Soit E un ensemble fini, et 1 6 p 6 card( E) un entier. On appelle « combinaison de p éléments parmi E » tout sousensemble de E de cardinal p (c’est-à-dire tout ensemble de p éléments issus de E).
Exemple 1104. Si E = {a, b, c}, alors {a, b} est une combinaison de deux éléments parmi E, et ( a, b) est arrangement de deux éléments de E.
Remarque. Il existe dans les uplets (arrangements et listes) une notion d’ordre, absente des ensembles :
— lorsque l’on représente un ensemble, on ne se préoccupe pas de l’ordre dans lequel on énumère ses
éléments. Par exemple, les deux ensembles {a, b} et {b, a} sont égaux ;
— par contre, on considère que les deux uplets ( a, b) et (b, a) sont distincts : l’ordre dans lequel apparaissent
a et b importe.
La différence entre une combinaison et un arrangement (ou une liste) est donc que les éléments d’un arrangement (ou d’une liste) sont ordonnés, contrairement à ceux d’une combinaison. Ils sont en outre deux à deux
distincts, contrairement à ceux d’une liste.
Paradigme. Soit E un ensemble à n éléments, et p un entier inférieur à n. Il y a autant de manières de
construire une partie à p éléments de E que de prélever simultanément (on parle de « poignée ») p boules dans
une urne en contenant n. En effet, construire une partie de E c’est choisir des éléments dans E, mais ces choix
doivent être fait simultanément, car s’ils sont effectués à la suite les uns des autres, deux tirages différents
peuvent correspondre à un même ensemble : c’est le cas lorsque l’on a tiré les mêmes boules mais dans un
ordre différent. Par exemple, tirer « a puis b » ou « b puis a » c’est toujours tirer l’ensemble {a, b}.
Théorème 1105.
n
p
Ç å
Soient 1 6 p 6 n des entiers. Le nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments est
=
n!
.
p!(n − p)!
Démonstration. Soit U une urne contenant n boules. Commençons par choisir p boules sans remise : il y a
p
n!
choix possibles. Mais tous ces tirages ne correspondent pas à des
A n = n ( n − 1) · · · ( n − p + 1) = ( n −
p)!
ensembles de boules différents. Il reste donc à dénombrer, étant donné un ensemble à p éléments, combien de
tirages différents lui correspondent : ce nombre est égal à p!, puisqu’il s’agit du nombre de manières d’ordonner
p éléments (c’est-à-dire de choisir leur ordre d’apparition). Finalement, le nombre recherché est donc égal à
n!
divisé par p!, d’où le résultat.
(n− p)!
n
0
Ç å
Exemples 1106. On a
n
n
Ç å
=
= 1. En effet, si l’on souhaite prélever d’un seul coup toutes les boules d’une
n
1
Ç å
urne, ou au contraire aucune, il n’y a qu’une seule possibilité. En outre, on a
Ç
=
n
n−1
å
= n. En effet, si
229
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
l’on souhaite prélever une boule parmi n il y a n possibilités. Et de manière duale, si on souhaite prélever une
poignée de n − 1 boules, il y a encore n possibilités, puisqu’il suffit en fait de choisir celle que l’on ne prélèvera
pas.
E1.4.2 Applications des combinaisons
Théorème 1107 (Propriétés algébriques des coefficients binômiaux).
Soient p 6 n des entiers. On a les résultats suivants.
n
p
Ç å
i)
Ç
=
n
n−p
å
n
+
p
Ç å
ii )
Ç
n
p+1
å
Ç
=
n+1
p+1
å
Démonstration. Voir les notes de cours.
Les exercices suivants présentent des cas plus compliqués que les précédents. Pour dénombrer les objets
considérés, on ne suivra pas « l’ordre chronologique de leur construction », car cela mènerait à des calculs trop
complexes : on raisonnera a posteriori.
Exercice 1108. Redémontrer la formule du binôme de Newton, en dénombrant l’ensemble des mots de longueur
n écrits à l’aide d’un alphabet à deux lettres a, b qui contiennent k fois la lettre a.
n
p
Ç å
Exercice 1109. Montrer qu’il y a
applications strictement croissantes de J1, pK dans J1, nK.
E1.5 Exercice de synthèse
Exercice 1110. Un maître d’école distribue des bons points à ses 24 élèves, sous la forme d’images plastifiées.
1. On suppose que le maître d’école distribue 12 images deux à deux différentes. Combien y a-t-il de distributions possibles
(a) s’il donne au plus une image à chaque élève ?
(b) si chaque élève peut recevoir un nombre quelconque d’images ?
2. Répondre aux questions précédentes dans le cas où les images sont toutes identiques.
L’exemple suivant est hors-programme, mais sa preuve particulièrement élégante peut être étudiée à titre
d’activité d’ouverture (et termine d’ailleurs la résolution de l’exercice précédent).
n+ p−1
Exemple 1111. Il y a
manières de ranger n boules identiques dans p tiroirs. Il faut en effet imaginer
p−1
que l’on dispose de n + p + 1 cases, toutes vides au départ exceptées la première et la dernière qui contiennent
le symbole |.
Ç
å
|
|
On doit remplir chacune des n − p − 1 cases restantes avec n symboles o (qui figurent les boules) et p − 1
symboles | (qui figurent les bords des tiroirs). Une fois que tous ces symboles sont positionnés, on considère
que les cases situées entre le i-ième et (i + 1)-ième symbole | figurent le i-ième tiroir, et le nombre de o entre
ces deux symboles figure le nombre de boules disposées dans ce tiroir.
| o | o o o | | o o |
| {z }|
tiroir 1
{z
tiroir 2
} |{z} |
tiroir 3
{z
tiroir 4
}
n+ p−1
On a déjà
manières de choisir les cases qui contiendront le symbole |, puisque deux de ces
p−1
symboles sont indiscernables : il suffit de choisir une poignée de cases. Mais il ne reste ensuite plus aucun
choix, car toutes les cases restantes contiennent des boules, et que deux boules sont indistinguables : peu
importe donc l’odre dans lequel on les place.
Ç
å
230
Dénombrement
|
|
Å
|
|
| |
| {z }|
tiroir 1
{z
tiroir 2
} |{z} |
tiroir 3
D’où le résultat.
{z
tiroir 1
}|
{z
tiroir 2
} |{z } |
ã
|
{z
tiroir 4
}
| o | o o o | | o o |
|
n+ p−1
possibilités
p−1
{z
tiroir 3 tiroir 4
}
1 possibilité
Chapitre
E2
Probabilités sur un univers fini
Modélisation mathématique
Les mathématiques n’étudient pas directement des phénomènes naturels, mais des objets abstraits provenant
de tentatives de modélisation de la nature : on cherche à représenter des situations concrètes par des structures
idéalisées, qui s’étudieront plus aisément.
La modélisation d’un phénomène est une démarche subjective, puisque l’on est amené à choisir quels sont les
paramètres qui entreront en compte dans le modèle. Doit-on par exemple considérer que la température possède
une influence sur les dimensions d’un objet métallique ? Tout dépendra de ce que l’on cherche à étudier : si l’on
s’intéresse au déplacement d’une voiture on négligera probablement ce paramètre, alors que si l’on étudie le
rayonnement thermique d’une barre d’acier chauffée à blanc, il est plus raisonnable de le prendre en compte.
Une modélisation s’effectue généralement en trois étapes :
1. Paramétrisation du modèle. Il s’agit de choisir les paramètres que l’on prend en compte, en fonction de ce
que l’on cherche à savoir, et de la complexité mathématique que ces paramètres induisent. On choisit
par exemple de représenter le déplacement d’une voiture par une fonction t 7→ x(t), qui sera considérée
dérivable. On traduit également sous forme d’équations les principes physiques régissant le modèle : on
considère par exemple que la somme des forces s’appliquant sur la voiture est égale au produit de sa
masse par son accélération. On peut encore choisir de négliger les forces de frottement entre la voiture et
le sol, si elles donnent naissance à une situation mathématique trop complexe.
2. Étude du modèle. On oublie les fondements du modèle, et on étudie celui-ci en tant qu’objet abstrait, afin de
recueillir le maximum d’informations sur l’objet étudié. On va par exemple essayer de résoudre l’équation
différentielle régissant le mouvement de la voiture, afin d’obtenir la position x(t) de celle-ci au cours du
temps. Si la résolution est impossible, on retourne à l’étape précédente et l’on cherche à simplifier le
modèle, quitte à négliger certains paramètres.
3. Interprétation des résultats. On étudie enfin les résultats obtenus, afin de vérifier que ceux-ci sont cohérents
avec les valeurs mesurées ; c’est l’occasion d’une étude critique du modèle : celui-ci était-il pertinent, voire
réaliste ? Il ne reste alors plus qu’à exploiter les résultats pour chercher une solution pratique au problème
que l’on s’était posé.
Modèles aléatoires et non déterminisme
On a coutume de penser que le résultat d’un lancer de dé est une variable aléatoire dont le résultat est
compris entre 1 et 6, de sorte que chacune de ces 6 valeurs a une probabilité égale à 61 . Il s’agit bien entendu
d’une vue de l’esprit : le résultat du lancer dépend de manière déterministe de la force et la direction dans
laquel on le lance. Mais cette dépendance est tellement complexe (on dira sensible), que l’on est incapable
de la comprendre, et donc de la prévoir : il serait déraisonnable de chercher à construire un robot qui, en
lançant un dé équilibré, obtiendrait systématiquement la valeur 1 ! On modélisera donc le lancer d’un dé comme
un phénomène aléatoire, c’est-à-dire un processus dont l’issue est toujours inconnue, mais de sorte que l’on
connaisse les probabilités associées aux différents résultats possibles.
On appelle modèle aléatoire tout modèle faisant intervenir la notion de hasard, et l’on parle de modèle déterministe dans le cas contraire. Mais il est important de noter qu’un modèle aléatoire ne décrit pas forcément une
situation non déterministe !
232
Probabilités sur un univers fini
E2.1 Notion de probabilité
E2.1.1 Univers et évènements
Définition 1112.
Dans une situation réelle donnée, aussi appelée « épreuve » ou « expérience aléatoire », on appelle « univers » et l’on note
Ω, un ensemble dont les éléments représentent toutes les évolutions possibles de l’expérience considérée. Les éléments de Ω
sont alors appelés « issues », « résultats », « éventualités » ou « tirages. »
On ne s’intéressera cette année qu’aux univers finis, et l’on notera donc Ω = {ω1 , . . . , ωn }.
Exemple 1113. L’univers canoniquement associé à un lancer de dé est l’ensemble Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Définition 1114.
Soit Ω un univers.
i ) On appelle « évènement » toute partie de Ω.
ii ) On appelle « évènement élémentaire » toute partie de Ω à un élément.
Remarques.
i ) Un évènement est un ensemble d’issues possibles.
ii ) Un évènement élémentaire est un évènement réduit à une seule issue ; c’est un ensemble de la forme {ω },
où ω est une issue de Ω.
iii ) En pratique, les événements que l’on considérera seront des ensembles d’issues possédant une caractéristique commune.
Définition 1115.
Le tableau suivant indique comment traduire en théorie des probabilités le vocabulaire élémentaire de la théorie des ensembles.
Vocabulaire des ensembles
l’ensemble des parties de Ω
la partie pleine de Ω
l’ensemble vide
le complémentaire de la partie A dans Ω
l’intersection des parties A et B
la réunion des parties A et B
les parties A et B sont disjointes
la partie A est incluse dans la partie B
Vocabulaire des probabilités
l’ensemble des évènements
l’évènement certain
l’évènement impossible
l’évènement contraire de A
la conjonction (« et » logique) de A et B
la disjonction (« ou » logique) de A et B
A et B sont incompatibles
l’évènement A implique l’évènement B
Notation
P (Ω)
Ω
∅
A
A∩B
A∪B
A∩B = ∅
A⊂B
Définition 1116.
Soit Ω un univers, et ( Ai )16i6m une famille d’évènements. On dit que ( Ai )16i6m est un « système complet d’évènements
pour Ω » si les deux propriétés suivantes sont vraies :
i) Ω =
m
[
i=1
Ai
ii ) ∀(i, j) ∈ J1, mK2 , i 6= j ⇒ Ai ∩ A j = ∅
Étant donnée une expérience, une et une seule partie d’un système complet se réalise.
Exemple 1117. Si A est un évènement, alors le système A, A est complet.
Exemple 1118. Considérons l’expérience qui consiste à lancer deux fois de suite une pièce de monnaie. L’issue
de ce processus (Pile ou Face) n’étant pas raisonnablement prévisible, on modélise celle-ci par l’univers suivant
Ω = {( P, P), ( P, F ), ( F, P), ( F, F )} = { P, F }2 .
L’évènement « obtenir deux fois Pile » est l’ensemble A = {( P, P)}. L’évènement « obtenir une fois Face et
une fois Pile » est l’ensemble B = {( P, F ), ( F, P)}. Les évènements A et B sont incompatibles. Le contraire de
l’évènement B est B = {( P, P), ( F, F )}. L’évènement A implique l’évènement B. L’évènement « ne jamais obtenir
ni Pile ni Face » est impossible. L’évènement « obtenir au moins une fois Pile ou Face » est certain.
Remarque. En pratique, on ne détaillera pas l’univers Ω dans la plupart des exercices : la modélisation sera
implicite.
233
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
E2.1.2 Probabilité sur un univers
Définition 1119.
Soit Ω = {ω1 , . . . , ωn } un univers fini. On appelle « mesure de probabilité sur Ω » ou plus simplement « probabilité sur
Ω » toute application P : P (Ω) → [0, 1] telle que :
i ) Quels que soient les évènements incompatibles A et B, on a P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) .
ii ) P (Ω) = 1.
Le couple (Ω, P) est alors appelé un « espace probabilisé ».
Lemme 1120.
On considère un espace probabilisé (Ω, P) , et A1 , . . . , An des évènements deux à deux incompatibles. Alors
P
n
[
Ai
i=1
.
!
=
n
X
P( Ai )
i=1
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 1121.
On considère un espace probabilisé (Ω, P) , et ( Ai )16i6n un système complet. Alors
n
X
P( Ai ) = 1.
i=1
Démonstration. Voir les notes de cours.
Construire un modèle aléatoire c’est donner l’univers Ω = {ω1 , . . . , ωn } qui énumère l’ensemble des issues
possibles, puis associer une probabilité pi à chaque issue ωi . Le réel pi ∈ [0, 1] sera la probabilité que l’issue ωi
se réalise effectivement, et comme Ω décrit l’ensemble des possibilités on a
n
X
pi = 1. On peut alors définir la
i=1
probabilité d’un évènement A comme étant la somme des probabilités des issues le constituant.
Théorème 1122 (Propriété fondamentale des probabilités finies).
Soient Ω = {ω1 , . . . , ωn } un univers fini, et p1 , . . . , pn des éléments de [0, 1] tels que
unique probabilité P sur Ω telle que ∀i ∈ J1, nK, P({ωi }) = pi .
X
Démonstration. Voir les notes de cours : il suffit de poser P( A) =
n
X
pi = 1. Il existe alors une
i=1
pi .
{ i∈J1,nK; ωi ∈ A}
Exemples 1123. La probabilité associée au lancer d’une pièce est définie par P ({Pile}) = P ({Face}) = 12 . Si l’on
considère que la pièce de monnaie est truquée, c’est-à-dire que l’une des deux faces apparaît plus souvent
que l’autre, on définit alors une probabilité en posant P ({ Pile}) = p ∈ [0, 1] et P ({ Face}) = 1 − p. Cette
modélisation décrit en fait tous les espaces probabilisés à deux éléments.
Définition 1124.
Deux évènements d’un espace probabilisé sont dit « équiprobables » s’ils ont la même probabilité. Un évènement est dit
« négligeable » si sa probabilité vaut 0, et « presque certain » si sa probabilité vaut 1.
Remarques. — Attention à ne pas confondre l’évènement {ωi } avec l’issue ωi , et donc à ne pas écrire par
exemple P ( Pile) = 21 , ce qui n’aurait pas de sens.
— Il ne faut pas confondre l’évènement impossible (qui correspond à l’ensemble ∅) avec un évènement négligeable, et l’évènement certain (qui est Ω) avec un évènement presque certain.
E2.1.3 Un exemple : la probabilité uniforme
La probabilité définie ci-dessous est celle que vous aviez l’habitude d’utiliser en Terminale.
Définition 1125.
On appelle « probabilité uniforme » sur un univers fini Ω = {ω1 , . . . , ωn } de cardinal n, la probabilité P définie par
∀i ∈ J1, nK, P ({ωi }) =
1
.
n
234
Probabilités sur un univers fini
La probabilité uniforme est donc celle qui rend tous les évènements élémentaires équiprobables.
Remarque. Par abus de langage, on emploie parfois la locution au hasard pour indiquer que l’univers est muni
de la probabilité uniforme.
Exemple 1126. En général, le lancer d’un dé, d’une pièce de monnaie, ou le choix d’une boule dans une urne
sont effectués de manière équiprobable.
Théorème 1127.
Soit (Ω, P) un espace probabilisé muni de la probabilité uniforme. Pour tout évènement A on a
P( A) =
card( A)
.
card(Ω)
Autrement dit, la probabilité uniforme d’un évènement est le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas
possibles.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemple 1128. On lance trois fois de suite un dé à six faces. La probabilité d’obtenir trois fois de suite le chiffre
1 est égale à 613
Exercice 1129. On tire simultanément deux boules au hasard dans une urne contenant deux boules noires, deux
blanches et trois rouges. Soit A l’évènement « tirer au moins une boule blanche », B l’évènement « tirer au moins
une boule rouge. » Calculer les probabilités de A, B, A ∩ B et A ∪ B.
E2.1.4 Probabilités et opérations ensemblistes élémentaires
Théorème 1130 (Formule des probabilités totales).
On considère un espace probabilisé (Ω, P) , un évènement B et ( Ai )16i6m un système complet. Alors
P ( B) =
m
X
i=1
P ( B ∩ Ai ) .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 1131. Un homme particulièrement distrait oublie fréquement son parapluie en quittant son domicile.
Il remarque qu’au cours de l’année écoulée il fut particulièrement malchanceux puisque
— il y eut une probabilité
1
3
qu’il sorte de chez lui sans parapluie et qu’il se mette à pleuvoir ;
— il y eut une probabilité
1
4
qu’il sorte de chez lui sans parapluie et qu’il ne se mette pas à pleuvoir.
Pouvez-vous en déduire la probabilité qu’il sorte de chez lui sans parapluie ?
Corolaire 1132.
On considère un espace probabilisé (Ω, P) ainsi que deux évènements A et B. Alors
Ä ä
i ) P A = 1 − P ( A ).
ii ) P(∅) = 0.
iii ) P( B) = P( B ∩ A) + P( B ∩ A).
iv) Si A ⊂ B, alors P( B \ A) = P( B) − P( A).
v) Si A ⊂ B, alors P( A) 6 P( B) (toute probabilité est une fonction croissante).
vi ) P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B).
Démonstration. Voir les notes de cours.
E2.2. NOTION DE DÉPENDANCE ET DE PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
235
E2.2 Notion de dépendance et de probabilité conditionnelle
E2.2.1 Synthèse de la probabilité conditionnelle
Exemple 1133. Un sujet atteint du virus de l’hépatite développe systématiquement les symptômes associés.
Mais un sujet atteint du virus de la mononucléose ne développe pas toujours les symptômes : il existe des cas
de porteurs sains. Dans ce second exemple, on parle de « conséquence probabiliste ».
On s’intéresse dans cette partie à deux évènements A et B liés entre eux par une relation causale, probabiliste
ou pas. On suppose que l’évènement A est de probabilité non nulle.
Dire que A a pour conséquence (certaine) B, c’est dire que l’ensemble A est inclus dans l’ensemble B. On a
P A∩ B
alors A ∩ B = A, et par conséquent P ( A ∩ B) = P ( A) soit (P( A) ) = 1.
Considérons maintenant que A a pour conséquence probabiliste B. On cherche à mesurer la probabilité
que A implique B, qui sera appelée probabilité de B sachant A et notée P ( B| A). Considérons pour commencer
( A∩ B)
le cas d’une probabilité uniforme P sur un univers Ω. La quantité card
est la proportion ou fraction de
card( A )
l’ensemble A qui est incluse dans l’ensemble B, c’est-à-dire la probabilité qu’une issue donnée de A soit dans B.
C’est donc la quantité P ( B| A) recherchée. Avant de revenir au cas général, on commence par remarquer que,
card( A ∩ B )/card ( Ω)
( A∩ B)
= card
= P(PA( A∩)B) . Dans le cas d’une
toujours dans le cas d’une probabilité uniforme, on a card
card ( A )
( A∩ B )/card ( Ω)
P A∩ B
probabilité quelconque, on sait que par croissance on a P ( A ∩ B) 6 P ( A). On pose alors α = (P( A) ) ∈ [0, 1].
Cette quantité correspond, relativement à la probabilité P, à la fraction des issues de A qui ont pour conséquence
certaine une issue de B : on posera donc P ( B| A) = α.
Définition 1134.
Soit (Ω, P) un espace probabilisé, et A un évènement non négligeable. Pour tout évènement B, on appelle « probabilité
conditionnelle de B sachant A » le réel noté P ( B| A) ou PA ( B) défini par
P ( B| A) =
P ( A ∩ B)
.
P ( A)
Propriétés des probabilités conditionnelles
La définition de la probabilité conditionnelle est enfin validée par le résultat suivant.
Théorème 1135.
®
Soit (Ω, P) un espace probabilisé, et A un évènement non négligeable. L’application PA :
une probabilité sur Ω.
P (Ω) −→ [0, 1]
est
B
7−→ PA ( B)
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Il est absurde de penser que A| B est un évènement : si P( A| B) est bien défini, c’est parce que
X 7→ P( X | B) est une probabilité, mais l’écriture A| B n’a aucun sens.
En pratique, on est souvent amené à considérer des processus aléatoires, c’est-à-dire des successions complexes
d’étapes aléatoires plus simples (ces processus sont alors représentés par des arbres). Pour modéliser globalement un tel phénomène, on peut utiliser la notion de probabilité conditionnelle afin d’étudier l’interaction entre
deux expériences successives.
Lemme 1136.
Soient A et B deux évènements non négligeables. Alors : P( A ∩ B) = P( A| B) P( B) = P( B| A) P( A).
Démonstration. Résulte trivialement de la définition de la probabilité conditionnelle.
Théorème 1137 (Formule des probabilités totales, bis).
Soient (Ω, P) un espace probabilisé, ( Ai )16i6m un système complet d’évènements non négligeables, et B un évènement.
Alors
P( B) =
m
X
i=1
Démonstration. Voir les notes de cours.
P ( B | A i ) P ( A i ).
236
Probabilités sur un univers fini
Notation. Dans le cas d’un système complet quelconque ( Ai )16i6m on pose P( B| Ai ) P( Ai ) = 0, dès que P( Ai ) =
0, pour tout évènement B. On vérifie alors aisément que la formule ci-dessus reste valable avec cette convention,
ce qui en pratique permet de l’appliquer sans avoir à vérifier l’hypothèse que les évènements du système
complet sont non négligeables.
Exercice 1138. On dispose de deux pièces de monnaie : l’une d’entre elles est équilibrée, et l’autre possède deux
côtés face. On choisit au hasard l’une des deux pièces, puis on la jette. Quelle est la probabilité d’obtenir face ?
On tracera d’abord l’arbre associé au problème, puis on redémontrera le résultat en utilisant la formule des
probabilités totales.
Formule de Bayes
Considérons deux évènements A et B tels que B soit une conséquence de A, avec la probabilité P( B| A). Dans
le cas où B peut également être conséquence d’autres évènements (considérer par exemple un cancer donné, qui
peut être généré par différents comportements « à risque »), la quantité P( A| B) est la probabilité que, lorsque
l’évènement B s’est réalisé, l’évènement A en soit effectivement la cause.
Théorème 1139 (Formule de Bayes ou formule de probabilité des causes).
Soient (Ω, P) un espace probabilisé, ainsi que deux évènements A et B non négligeables. On a
P( A| B) =
P( B| A) P( A)
.
P( B)
Démonstration. Trivial.
Théorème 1140 (Formule de Bayes ou formule de probabilité des causes, bis).
Soient (Ω, P) un espace probabilisé, ( Ai )16i6m un système complet d’évènements non négligeables, et B un évènement
non négligeable. Alors pour tout 1 6 i 6 m,
P( Ai | B) =
P( B| Ai ) P( Ai )
m
X
j=1
.
P( B| A j ) P( A j )
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exemple 1141. La formule de Bayes est d’une grande importance pratique. Pour déterminer par l’exemple l’efficacité d’un vaccin, il faut déterminer la probabilité P ( être infecté| être vacciné ) . Mais on ne peut a priori pas
déterminer cette probabilité expérimentalement (à moins d’inoculer volontairement la maladie à des personnes
vaccinées !). Par contre on peut aisément déterminer une valeur approchée de P ( être vacciné| être infecté) ; il
suffit pour cela d’effectuer un sondage dans un hôpital, et de déterminer parmi les patients infectés la proportion de ceux qui avaient été vaccinés. On déduit alors de la formule de Bayes une valeur approchée de
P ( être infecté| être vacciné) .
Formule des probabilités composées
Définition 1142.
Soient (Ω, P) un espace probabilisé. On dit que m > 2 évènements A1 , . . . , Am sont « successifs » si l’on a
A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ A m .
Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilité d’une séquence d’évènements successifs, connaissant la probabilité de chacun sachant les précédents.
Théorème 1143 (Formules des probabilités composées).
Soient (Ω, P) un espace probabilisé et m > 2 évènements A1 , . . . , Am .
i ) Si A1 , . . . , Am sont successifs et non négligeables, on a
P( Am ) =
m
−1
Y
i=1
!
P ( A i+1 | A i ) × P ( A1 )
= P ( A m | A m −1 ) P ( A m −1 | A m −2 ) · · · P ( A2 | A1 ) P ( A1 )
237
Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE
ii ) Si
m
\
Ai est non négligeable, on a
i=1
Ñ
P ( A1 ∩ · · · ∩ A m ) =
m
−1
Y
i=1
Ñ
P
éé
\
i
Ak
× P ( A1 )
Ak k=1
k=1
i\
+1
= P ( A1 ∩ · · · ∩ A m | A1 ∩ · · · ∩ A m −1 )
× P ( A1 ∩ · · · ∩ A m −1 | A1 ∩ · · · ∩ A m −2 )
..
.
× P ( A1 ∩ A2 | A1 )
× P ( A1 )
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 1144. Une urne contient 3 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard trois boules sans remise.
Calculer la probabilité de tirer une boule blanche puis deux noires.
Remarques. — Ces formules étaient utilisées en Terminale pour calculer une probabilité à partir d’un arbre
(voir le calcul de la probabilité d’obtenir Face dans l’exercice 1138, et l’exercice 1145).
— On utilise ii pour calculer la probabilité d’une intersection d’évènements non indépendants.
Exercice 1145. Albert et Barbara jouent avec une pièce de monnaie équilibrée au jeu suivant :
1. Ils choisissent à pile ou face qui lancera la pièce (Albert si c’est pile qui sort, Barbara sinon).
2. Le lanceur lance la pièce et l’emporte si c’est face qui sort. Sinon, il a le droit à un autre essai, et perd la
partie si face n’est pas sorti au bout de ces deux lancers.
Calculer la probabilité que Barbara l’emporte.
Remarque. Lorsque l’on cherche à comprendre un processus aléatoire, il est parfois utile de représenter celuici par un arbre (mais attention, la réalisation d’un arbre ne constitue pas une preuve). On retiendra alors les
conventions et résultats suivants :
i ) On appelle chemin toute suite de nœuds distincts reliés par un segment. Chaque nœud de l’arbre est alors
relié à la racine par un unique chemin. Le nombre de segments de ce chemin (appelé aussi sa longueur)
est appelé profondeur du nœud.
ii ) Dans un arbre probabiliste, chaque nœud correspond à un évènement et chaque profondeur de l’arbre
correspond à un système complet d’évènements. Par convention la racine de l’arbre correspond à l’évènement certain Ω.
iii ) Au segment reliant le nœud A au nœud B est associé la probabilité conditionnelle de B sachant la conjonction de tous les évènements des nœuds reliant le nœud A à la racine. Cette probabilité est appelée le poids
du segment.
iii ) La somme des poids des segments issus d’un même nœud est égale à 1.
iv) Le produit des poids de tous les segments d’un chemin reliant un nœud A à la racine est égal à la
probabilité de la conjonction de tous les évènements des nœuds reliant le nœud A à la racine (cela résulte
de la formule des probabilités composées).
v) La probabilité d’un évènement est égal à la somme sur tous les chemins reliant cet évènement à la racine,
des produits des poids des segments de ces chemins (cela résulte de la formule des probabilités totales).
E2.2.2 Notion d’indépendance
Définition 1146.
Soit (Ω, P) un espace probabilisé, et deux évènements A et B. On dit que « A et B sont indépendants » si
P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ).
L’indépendance de deux évènements correspond le plus souvent à un choix effectué lors de la modélisation,
et n’est alors pas démontrable. Cela correspond parfois à la décision de négliger certains paramètres, afin de
simplifier le modèle. Mais dans certains cas, l’indépendance est une conséquence implicite (voire imprévue) de
la modélisation, et c’est le calcul qui permet de la vérifier.
238
Probabilités sur un univers fini
Remarque. La dépendance et l’incompatibilité sont deux notions différentes. Par exemple, dans le cas où
P( A) ∈]0, 1[, les évènements A et Ω sont indépendants mais pas incompatibles, alors que les évènements A
et A sont incompatibles mais certainement pas indépendants.
Théorème 1147.
Soit (Ω, P) un espace probabilisé, A et B deux évènements non négligeables. Alors les assertions suivantes sont équivalentes.
i ) A et B sont indépendants.
ii ) P( A| B) = P( A).
iii ) P( B| A) = P( B).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 1148.
Soit (Ω, P) un espace probabilisé. Alors :
i ) Tout évènement est indépendant de l’évènement impossible ∅ et de l’évènement certain Ω.
ii ) Deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si A et B le sont.
iii ) Soient B un évènement, et A1 , . . . , Am des évènements deux à deux incompatibles, tels que chacun d’entre eux soit
indépendant de B. Alors B est indépendant de A1 ∪ · · · ∪ Am .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Il nous reste encore à définir la notion d’indépendance pour un nombre quelconque d’évènements A1 , . . . , An .
L’idée est que l’indépendance deux-à-deux de ceux-ci ne correspond pas à l’indépendance globale de cette famille : on peut imaginer que A1 ne soit conséquence d’aucun des autres Ai , mais que pourtant la conjugaison
de ces facteurs implique A1 .
Définition 1149.
Soit (Ω, P) un espace probabilisé, et ( Ai )16i6m une famille d’évènements. A1 , . . . , Am sont dits « mutuellement indépendants » si, quel que soit k ∈ J1, mK et les entiers distincts i1 , . . . , ik appartenant à J1, mK :
P ( A i1 ∩ · · · ∩ A i k ) = P ( A i1 ) × · · · × P ( A i k ) .
Remarque. On obtient par exemple que trois évènements A, B, C sont mutuellement indépendants si : P( A ∩
B) = P( A) P( B), P( A ∩ C ) = P( A) P(C ), P( B ∩ C ) = P( B) P(C ) et P( A ∩ B ∩ C ) = P( A) P( B) P(C ).
Exercice 1150. On lance deux fois de suite un dé équilibré. On considère les évènements A =« la somme fait 7 »,
B =« le premier lancer donne 4 » et C =« le second lancer donne 3 ». Expliquer pourquoi ces trois évènements
ne sont pas indépendants, et vérifier ensuite ce résultat par le calcul.
Théorème 1151.
Soient (Ω, P) un espace probabilisé, et ( Ai )16i6m une famille d’évènements. On définit une famille ( Bi )16i6m telle que
Bi = Ai ou Bi = Ai pour chaque i ∈ J1, mK. Alors ( Ai )16i6m est indépendante si et seulement si ( Bi )16i6m l’est.
Démonstration. Résultat admis (il suffirait de raisonner par récurrence sur m).
Chapitre
E3
Variables aléatoires
Dans ce chapitre nous étudions les fonctions définies sur un espace probabilisé fini (Ω, P), c’est-à-dire des
quantités dont la valeur dépend de l’issue d’une expérience aléatoire. Ce cadre permet l’étude de nombreux
processus aléatoires, et plus généralement permet d’étudier des phénomènes aléatoires sans avoir besoin de décrire précisemment l’espace probabilisé associé : la donnée a priori des probabilités des évènements considérés
suffit, celles-ci étant données sous forme de loi d’une variable aléatoire.
E3.1 Definition
Définition 1152.
Soit Ω un univers.
i ) On appelle « variable aléatoire » toute application X : Ω → E, où E est un ensemble quelconque.
ii ) On appelle « variable aléatoire réelle » toute variable aléatoire à valeurs réelles X : Ω → R.
iii ) Étant donné une variable aléatoire X, on note X (Ω) l’image de X : c’est l’ensemble des valeurs prises par X, défini
par X (Ω) = { X (ω ) | ω ∈ Ω}.
Remarque. Si Ω est fini, alors X (Ω) est nécessairement fini.
Exemples 1153. On lance 2 dés équilibrés distinguables. Soit Ω un univers associé à cette expérience.
i ) L’application X : Ω → J1, 6K2 qui à une issue ω associe le résultat des deux dés est une variable aléatoire.
ii ) L’application Y : Ω → R qui à une issue ω associe la somme des résultats des deux dés est une variable
aléatoire réelle.
iii ) L’application Z : Ω → R qui à une issue ω associe le carré de la somme des résultats des deux dés est
une autre variable aléatoire réelle.
Définition 1154.
Soit X : Ω → E une variable aléatoire. Pour toute partie A ⊂ E, on note ( X ∈ A) l’évènement défini par :
( X ∈ A ) = X −1 ( A ) = { ω ∈ Ω | X ( ω ) ∈ A } .
Notations.
i ) L’évènement ( X ∈ { x}) se note aussi ( X = x).
Si X est une variable aléatoire réelle, et a 6 b deux réels, on a encore les notations suivantes.
ii ) L’évenement ( X ∈ [ a, b]) se note aussi ( a 6 X 6 b).
iii ) L’évenement ( X ∈ ]−∞, b]) se note aussi ( X 6 b).
iv) On emploie des notations analogues pour tous les autres types d’intervalles. On s’autorisera donc à écrire
des (in)égalités entre des objets de nature différente, à savoir des réels et des variables aléatoires. On
n’oubliera pas qu’il ne s’agit là que de notations.
Théorème 1155.
Soient Ω un univers fini, et X : Ω → E une variable aléatoire dont l’ensemble des valeurs possibles est X (Ω) =
{ x1 , . . . , xn }. Alors les évènements ( X = x1 ), . . . , ( X = xn ) forment un système complet pour Ω.
Démonstration. Voir les notes de cours.
240
Variables aléatoires
E3.2 Loi d’une variable aléatoire
Théorème 1156.
Soient x1 , . . . , xn des éléments d’un ensemble E, et p1 , . . . , pn dans [0, 1] tels que
n
X
pi = 1. Alors il existe un espace
i=1
probabilisé fini (Ω, P) et une variable aléatoire X : Ω → E tels que :
∀i ∈ J1, nK, P( X = xi ) = pi .
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème/définition 1157.
Soit (Ω, P) un espace probabilisé fini, et X : Ω → E une variable aléatoire. L’application PX suivante, appelée « loi de la
variable aléatoire X, » est une loi de probabilité sur X (Ω) :
®
PX :
P ( X (Ω)) −→ [0, 1]
.
A
7−→ P( X ∈ A)
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarques.
i ) La loi de la variable aléatoire X étant une loi de probabilité sur l’ensemble fini X (Ω), elle
est entièrement déterminée par ses valeurs sur les évènements élémentaires. Autrement dit, il suffit de
connaître les valeurs de PX ({ xi }) = P( X = xi ), avec xi ∈ X (Ω), pour calculer PX ( A) pour tout A ⊂ X (Ω).
ii ) Autrement dit : déterminer la loi d’une variable aléatoire X c’est déterminer l’ensemble de ses valeurs
possibles X (Ω), puis la probabilité que X prenne chacune d’entre elles.
iii ) En pratique, on peut représenter une loi par un histogramme ou un diagramme en bâtons : la hauteur du
bâton d’abscisse xk est alors la probabilité que X prenne la valeur xk .
iv) Si A ⊂ E, avec A non inclus dans X (Ω), on peut aussi définir PX ( A) = P( X ∈ A). L’application PX :
P ( E) → [0, 1] ainsi définie est une loi de probabilités, mais pas au sens de la définition vue en cours,
puisque E n’est pas nécessairement fini. Ainsi, si une valeur x ∈ E ne peut être prise par la variable
aléatoire X, on a bien entendu P( X = x) = 0.
Exemple 1158. On considère une urne contenant trois boules portant le numéro 1, deux boules portant le
numéro 2, et quatre boules portant le numéro 3. On tire une boule dans l’urne, et on appelle X le numéro qui
y figure. On a X (Ω) = {1, 2, 3} et la loi de X est donnée par le tableau suivant.
xk
1
2
3
P ( X = xk )
1
3
2
9
4
9
Exercice 1159. Albert lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. S’il obtient deux fois le même
résultat, il me donne 3 euros. Sinon, je lui donne 1 euros si la première pièce a donné pile, et 2 euros sinon.
Donner la loi de la variable G qui calcule mon gain après une partie.
Définition 1160.
Soit (Ω, P) un espace probabilisé fini, et X : Ω → E une variable aléatoire. On dit que :
i ) « X est certaine » si X est constante.
ii ) « X est presque certaine » s’il existe x ∈ E tel que P( X = x) = 1.
La loi d’une variable aléatoire dépend de la probabilité considérée sur l’univers de départ : si l’on change celle-ci
on obtient une autre loi. En particulier on a le résultat suivant.
Définition 1161.
Soient (Ω, P) un espace probabilisé fini, B un évènement non négligeable et X une variable aléatoire. On appelle alors « loi
conditionnelle » de X sachant B la loi de X relativement à l’espace probabilisé (Ω, PB ), c’est-à-dire celle définie par :
®
P ( X (Ω)) −→ [0, 1]
.
A
7−→ P( X ∈ A| B)
E3.3. LOIS DE RÉFÉRENCE
241
E3.3 Lois de référence
E3.3.1 Loi uniforme
La loi uniforme est celle des variables aléatoires qui prennent leurs différentes valeurs de manière équiprobable.
Définition 1162.
Soient (Ω, P) un espace probabilisé, et X une variable aléatoire dont l’ensemble des valeurs possibles est X (Ω) =
{ x1 , . . . , xn }. On dit que X suit une « loi uniforme sur { x1 , . . . , xn }, » si :
∀i ∈ J1, nK, P( X = xi ) =
1
.
n
Exemple 1163. La variable aléatoire donnant le résultat du lancer d’un dé équilibré suit la loi uniforme sur
J1, 6K.
Exercice 1164. Tracer l’histogramme associé à une loi uniforme.
E3.3.2 Loi de Bernoulli
Les lois de Bernoulli sont celles des variables aléatoires qui ne prennent que deux valeurs distinctes.
Définition 1165.
Soient (Ω, P) un espace probabilisé, p ∈ [0, 1] , et X une variable aléatoire dont l’ensemble des valeurs possibles est
X (Ω) = {0, 1}. On dit que X suit une « loi de Bernoulli de paramètre p, » notée B (1, p), si :
P( X = 1) = p et P( X = 0) = 1 − p.
Exemple 1166. On considère que la variable aléatoire donnant le résultat du lancer d’une pièce de monnaie
truquée suit la loi B (1, p), pour un réel p égal à la probabilité d’obtenir pile (ou face, au choix).
Exercice 1167. Tracer l’histogramme associé à une loi de Bernoulli.
E3.3.3 Loi binomiale
Les lois binomiales sont celles associées à la répétition (un nombre fixé de fois) d’une expérience suivant une loi
de Bernoulli, par exemple n tirages successifs avec remise dans une urne bicolore, ou bien n lancers successifs
d’une pièce de monnaie (équilibrée ou pas).
Schéma de Bernoulli
Théorème 1168.
On considère une expérience qui mène à deux issues possibles : l’issue 1 avec une probabilité égale à p, et l’issue 0 avec
une probabilité égale à 1 − p. On répète celle-ci n > 1 fois de manière indépendante, et on appelle X la variable aléatoire
qui donne le nombre de 1 obtenus. Alors la loi de X est donnée par :
n k
p (1 − p) n − k .
k
Ç å
∀k ∈ J0, nK, P( X = k) =
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. La formule du binôme donne bien
n
X
k=0
P ( X = k) =
n
X
k=0
n k
p (1 − p)n−k = ( p + 1 − p)n = 1.
k
Ç å
Exercice 1169. Tracer l’arbre
Ç åassocié à l’expérience décrite dans le théorème précédent pour n = 3 et interpréter
3
sur celui-ci la valeur de
.
1
242
Variables aléatoires
Lois binomiales, tirage avec remise dans une urne bicolore
Définition 1170.
Soient (Ω, P) un espace probabilisé, n ∈ N ∗ , p ∈ [0, 1], et X une variable aléatoire dont l’ensemble des valeurs possibles
est J0, nK. On dit que X suit une « loi binomiale de paramètres n, p, » notée B (n, p), si :
n k
p (1 − p) n − k .
k
Ç å
∀k ∈ J0, nK, P( X = k) =
Exemple 1171. On considère une urne contenant n boules, parmi lesquelles il y a une proportion p de boules
blanches, et une proportion 1 − p de boules noires. On effectue n tirages avec remise dans cette urne, et on
appelle X le nombre de boules blanches obtenues. Alors X suit une loi B (n, p). Il est important de noter que la
loi de X est indépendante de toute hypothèse de distinguabilité ou d’indistinguabilité faite sur les boules d’une
même couleur, puisque l’on ne s’intéresse qu’au nombre de boules blanches obtenues in fine.
Remarque. Une loi de Bernoulli de paramètre p est une loi binomiale de paramètres 1, p, d’où la notation de la
loi de Bernoulli.
Exemple 1172. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de Pile obtenus lors de cinq lancers successifs
ä
Ä
(5 )
5
.
d’une pièce de monnaie équilibrée. Celle-ci suit la loi B 5, 12 , et par exemple : P( X = 2) = 25 =
2
16
Exercice 1173. On lance simultanément n dés, et on appelle X le nombre de 4 obtenus. Montrer que X suit une
loi binomiale.
Remarque. L’histogramme associé à une loi binomiale présente une forme caractéristique en cloche. En outre,
on remarque que :
n
k
Ç å
i ) si p =
1
2,
on a P( X = k) =
1
2n
possède un axe de symétrie.
Ç
=
1
2n
n
n−k
å
= P( X = n − k), c’est-à-dire que l’histogramme associé
ii ) Si p < 12 , on observe que la cloche est décalée vers la gauche. Cela se comprend en reconsidérant le
schéma de Bernoulli : puisque p < 12 , le chiffre 1 apparaitra moins souvent que le chiffre 0, c’est-à-dire
que la variable aléatoire X sera en moyenne plus proche de 0 que de n.
iii ) De même, si p > 12 , on observe que la cloche est décalée vers la droite.
p = 0.5
p = 0.3
p = 0.8
Histogrammes de lois binomiales B (n, p), avec n = 10
E3.4 Espérance
Jusqu’à la fin de ce chapitre, on considère un espace probabilisé fini (Ω, P), et toutes les variables aléatoires
considérées seront définies sur celui-ci et à valeurs réelles.
Définition 1174.
Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle « espérance de X, » et l’on note E( X ), la quantité définie par :
E( X ) =
X
x ∈ X (Ω)
xP( X = x).
E3.4. ESPÉRANCE
243
En d’autres termes, si X (Ω) = { x1 , . . . , xn }, on a : E( X ) =
n
X
xi P ( X = xi ).
i=1
Remarques.
i ) E( X ) est la moyenne des valeurs prises par X pondérées par leur probabilité.
ii ) Pour calculer E( X ), il est inutile de connaitre l’espace probabilisé (Ω, P) : la connaissance de la loi de X
suffit.
iii ) Si X ne prend que des valeurs positives, alors E( X ) est clairement positif.
Exemple 1175. Soit X la variable aléatoire donnant le résultat d’un lancer de dé. Alors E( X ) = 72 .
Exercice 1176. Une roulette de casino possède 57 cases, numérotées de 0 à 56. Un joueur peut parier sur n’importe quelle case, et si la bille termine sur celle-ci, il remporte 56 fois sa mise (sinon il la perd). On considère la
variable aléatoire G qui donne le gain d’un joueur ayant misé n euro sur l’une de ces cases. Montrer E( G ) < 0,
c’est-à-dire qu’en moyenne, le joueur perd de l’argent (et donc le casino en gagne).
Théorème 1177 (Espérance des lois de référence).
Soit X une variable aléatoire réelle. Alors :
i ) Si X suit une loi certaine, elle prend une unique valeur x, et alors E( X ) = x.
ii ) Si X suit une loi uniforme sur { x1 , . . . , xn }, alors E( X ) =
iii ) Si X suit une loi uniforme sur J1, nK, alors E( X ) =
iv) Si X suit une loi B (1, p), alors E( X ) = p.
v) Si X suit une loi B (n, p), alors E( X ) = np.
n+1
.
2
n
1X
xi .
n i=1
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 1178. On tire 6 cartes avec remise dans un jeu en contenant 32. Déterminer le nombre moyen d’as
obtenus.
Théorème 1179.
Soit X une variable aléatoire réelle. Alors :
E( X ) =
X
ω ∈Ω
Démonstration. Voir les notes de cours.
X (ω ) P({ω }).
Remarque. Cette formule permet de calculer E( X ) sans passer (explicitement) par la loi de X.
Exemple 1180. Considérons un univers Ω = {a, b, c} muni d’une probabilité uniforme, et X la variable aléatoire
définie sur Ω par X ( a) = X (b) = 1 et X (c) = 2. Par définition, on a alors
E ( X ) = 1 · P ( X = 1) + 2 · P ( X = 2) = 1 ·
2
1
4
+2· = .
3
3
3
Et si on applique le théorème ci-dessus, on obtient
E( X ) = X ( a) P({a}) + X (b) P({b}) + X (c) P({c}) = 1 ·
1
1
4
1
+1· +2· = .
3
3
3
3
Théorème 1181 (Linéarité de l’espérance).
Soient X, Y deux variables aléatoires réelles et (λ, µ) ∈ R2 . Alors :
E(λX + µY ) = λE( X ) + µE(Y ).
L’espérance correspond donc une forme linéaire sur l’espace vectoriel des variables aléatoires réelles définies sur un espace
probabilisé donné.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Exercice 1182. Soit Y la variable aléatoire donnant la somme des chiffres obtenus en lançant deux dés. Montrer
E(Y ) = 7.
Exercice 1183. On considère n urnes U1 , . . . , Un . On suppose que Ui contient une boule blanche et i boules
noires. On tire au hasard une boule dans chaque urne. Donner le nombre moyen de boules blanches tirées.
Théorème 1184 (Croissance de l’espérance).
Soient X, Y deux variables aléatoires réelles telles que X (ω ) > Y (ω ) pour tout ω ∈ Ω. Alors E( X ) > E(Y ).
Démonstration. Voir les notes de cours.
244
Variables aléatoires
E3.5 Théorème de transfert
Définition 1185.
Soit Ω un univers, X : Ω → E une variable aléatoire et f : E → F une application. On appelle « image de X par f » la
variable aléatoire f ◦ X : Ω → F. On la note f ( X ).
Remarque. On exprime ici le fait que, considérant une variable aléatoire donnée par sa loi, on peut « oublier »
l’espace probabilisé sous-jacent et considérer X comme une « variable » ! Mais cette notation n’est valable que
dans le cadre des variables aléatoires : la composée f ◦ g de deux applications ne se note pas f ( g) en général !
Exemple 1186. Dans l’exemple 1153, on a Z = f (Y ), avec f : x 7→ x2 . On écrira donc Z = Y 2 .
Théorème 1187 (Théorème de transfert).
Soit X une variable aléatoire réelle d’image X (Ω) = { x1 , . . . , xn } et ϕ : R → R. Alors :
E( ϕ( X )) =
n
X
ϕ ( xk ) P ( X = xk )
k=1
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Pour connaitre l’espérance de ϕ( X ), il n’est pas nécessaire de connaitre sa loi : celle de X suffit.
Exercice 1188. Soit p ∈ [0, 1] et X qui suit une loi B (1, p). Déterminer l’espérance de Y =
le théorème de transfert.
1
, avec puis sans
X+1
Si on souhaite déterminer la loi d’une composée, on raisonne comme pour établir le théorème suivant.
Théorème 1189 (Loi d’une composée).
Soit X une variable aléatoire réelle et ϕ une fonction à valeurs réelles définie sur X (Ω). Alors la loi de ϕ( X ) est donnée
par :
X
∀y ∈ R, P( ϕ( X ) = y) =
P ( X = x ).
{ x ∈ X ( Ω)| ϕ( x )= y}
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarque. Intuitivement, ce résultat peut s’énoncer comme suit : dire que ϕ( X ) = y c’est dire que X prend
l’une des valeurs que ϕ envoie sur y.
Exemple 1190. Si X (Ω) = {−1, 0, 1}, alors P( X 2 = 0) = P( X = 0) et P( X 2 = 1) = P( X = −1) + P( X = 1).
Définition 1191.
Une variable aléatoire réelle X est dite « centrée » si l’on a E( X ) = 0.
Théorème/définition 1192.
Soit X une variable aléatoire. Alors la variable aléatoire X − E( X ) est centrée, et est appelée « variable aléatoire centrée
associée à X. »
Démonstration. Voir les notes de cours.
E3.6 Variance et écart-type
L’espérance d’une variable aléatoire donne sa valeur moyenne. Pour obtenir une description plus précise de
la loi d’une variable aléatoire, on cherche à donner une quantité synthétisant la dispersion de celle-ci autour de
sa moyenne : on utilise les notions de variance et d’écart-type.
En outre, plaçons-nous dans le cadre d’une expérimentation où l’on mesure plusieurs fois de suite un même
phénomène naturel X. Même si X mesure un phénomène déterministe, on doit le considérer comme étant une
variable aléatoire, ne serait-ce que parce que chaque mesure est entachée d’erreurs elles-même aléatoires. Il
alors est naturel d’approximer la valeur théorique de X par la moyenne des valeurs mesurées, c’est-à-dire par
son espérance E( X ). L’écart-type est alors une approximation de « l’erreur moyenne de mesure par rapport à la
valeur théorique. »
Définition 1193.
Soit X une variable aléatoire réelle d’image X (Ω) = { x1 , . . . , xn }.
E3.6. VARIANCE ET ÉCART-TYPE
245
i ) On appelle « variance de X, » et l’on note V ( X ), la quantité définie par :
Ä
V ( X ) = E ( X − E( X ))
2
ä
=
n
X
k=1
( xk − E( X ))2 P( X = xk ).
ii ) On appelle « écart-type de X, » et l’on note σ( X ), la quantité définie par :
σ( X ) =
Remarques.
1. L’égalité E ( X − E( X ))2 =
Ä
ä
n
X
k=1
»
V ( X ).
( xk − E( X ))2 P( X = xk ) résulte du théorème de transfert.
2. La variance d’une variable aléatoire est donc l’espérance du carrée de son écart à la moyenne. Plus cette
quantité est petite, plus la variable est concentrée autour de son espérance (de même pour l’écart-type,
puisqu’il s’agit de la racine carrée de la variance).
3. Si X est exprimé dans une certaine unité u, alors V ( X ) est exprimé en u2 . C’est pour cette raison que l’on
considère plutôt l’écart type σ, qui est lui exprimé en u.
Exercice 1194. Calculer la variance d’une variable aléatoire suivant une loi B (1, p).
Théorème 1195.
Soit X une variable aléatoire réelle d’image X (Ω) = { x1 , . . . , xn }. Alors :
i) V (X ) > 0
ii ) V ( X ) = 0 ⇐⇒ P( X = E( X )) = 1.
Donc la variance est toujours positive, et s’annule si et seulement si la variable aléatoire est presque certaine.
Démonstration. Voir les notes de cours.
En pratique, on calcule souvent la variance à l’aide du théorème de transfert et de la formule suivante.
Théorème 1196 (Formule de Koenig-Huygens).
Soit X une variable aléatoire réelle. Alors :
V ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X )2 .
En d’autres termes, la variance est égale à l’espérance du carré moins le carré de l’espérance.
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 1197 (Variance des lois de référence).
Soit X une variable aléatoire réelle. Alors :
i ) Si X est presque certaine, alors V ( X ) = 0.
ii ) Si X suit une loi uniforme sur J1, nK, alors V ( X ) =
n2 − 1
.
12
iii ) Si X suit une loi B (1, p), alors V ( X ) = p(1 − p).
iv) Si X suit une loi B (n, p), alors V ( X ) = np(1 − p).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Définition 1198.
Une variable aléatoire est dite « réduite » si sa variance est égale à 1.
Théorème 1199.
Soit X une variable aléatoire réelle et a, b deux réels. Alors :
V ( aX + b) = a2 V ( X ).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Théorème 1200.
Soit X une variable aléatoire de variance non nulle. Alors la variable aléatoire
appelée « variable aléatoire centrée réduite associée à X. ».
X − E( X )
est centrée et réduite, et est
σ( X )
246
Variables aléatoires
Démonstration. Voir les notes de cours.
Rappelons la définition suivante.
Définition 1201.
Soit E un ensemble et A ⊂ E. L’application définie par ∀ x ∈ E, 1 A ( x) =
(
1
0
si x ∈ A
sinon
est appelée « fonction
caractéristique de A » ou « indicatrice de A. »
Théorème 1202.
Soit A ⊂ Ω. Alors P( A) = E(1 A ).
Démonstration. Voir les notes de cours.
Donnons enfin le résultat suivant, qui permet de démontrer de nombreux résultats théoriques. Il permet de
majorer la probabilité de dispersion d’une variable aléatoire autour de sa moyenne, en fonction de sa variance.
Théorème 1203 (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev).
Soit X une variable aléatoire réelle. Alors :
∀ε > 0, P (| X − E( X )| > ε) 6
V (X )
.
ε2
Démonstration. Voir les notes de cours.
Remarques.
— Cette inégalité majore la probabilité que X s’éloigne d’au moins ε de sa moyenne.
— Cette probabilité est d’autant plus petite que ε est grand : plus on s’éloigne de la moyenne moins on a de
chance de trouver X. La présence de ε au dénominateur est ainsi cohérente.
— En outre, cette probabilité est d’autant plus petite que σ( X ) est petit : un écart-type faible correspond à
une variable aléatoire resserrée autour de sa moyenne. La présence de V ( X ) au numérateur est cohérente
avec cette observation.
— Enfin, dans le cadre d’une expérimentation où l’on mesure plusieurs fois de suite un même phénomène
naturel X, cette inégalité majore la probabilité que l’on ait commis une erreur de mesure supérieure à un
seuil ε donné (on considère en général un seuil critique).
Exercice 1204. Soit X une variable aléatoire suivante une loi B 6, 12 . Déterminer P(| X − 3| > 3), puis comparer
cette quantité avec la majoration obtenue par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Ä
ä