Energie et puissance des ondes électromagnétiques

Energie et puissance des ondes électromagnétiques
Question : Que vaut l’énergie associée à une onde électromagnétique qui se propage ?
I. Principe de conservation
De même que pour la conservation de la charge, on peut établir un lien qui traduit un principe de
conservation de l’énergie électromagnétique.
Pour cela, on définit le vecteur de Poynting :
R =
0
µ
BE ∧
ATTENTION : Valable seulement si E et B sont en notation réelles.
On définit aussi la densité volumique d’énergie électromagnétique (énergie par unité de volume) :
0
2
2
0
.22
.
µ
ε
B
E
u+=
L’énergie totale contenue dans un volume V vaut :
=
V
duE τ . avec E en J
u, la densité volumique électromagnétique en J/m
3
La conservation de l’énergie s’écrit alors :
∂u
∂t + div
R + j. E = 0
Démonstration :
rot E = - ∂
B
∂t (1)
et
rot B =
0
µ
. j +
0
µ
.
0
ε
.∂E
∂t (2)
On calcule (2) x .....
0
00
EEjBrot
EE
ε
µµ
+=
∂E
∂t
(3)
On reconnaît que
0
ε
. E .
∂ E
∂t
est la dérivée de
2
0
..
2
1E
ε
De même, on va faire apparaître la dérivée de
0
2
.
2
1
µ
B

En faisant -
0
1
µ
. B x (1)  -
0
1
µ
. B . rot . E =
0
1
µ
. B .
∂ B
∂t
=
0
.2
1
µ
.
∂
∂t
(
2
B
) (4)
On fait (3) + (4) :
0
1
µ
.( E . rot B - B . rot E ) – j . E =
∂
∂t
.(
0
2
2
0
.22
.
µ
ε
B
E+
)
Or – div( E ∧ B ) = E . rot B – B . rot E et R =
0
µ
BE ∧
Donc – div(
0
µ
BE ∧
) – j . E =
∂
∂ tu
D’où
∂u
∂t
+ div R + j . E = 0 CQFD
Explication physique :
•
∂u
∂t
: variation de l’énergie au cours du temps.
• Div R : écoulement de R  énergie électromagnétique rayonnée par E et B par unité de temps.
• j . E : l’énergie due aux charges qui se déplacent et subissent Lorenz (q. v∧ B ) et de Coulomb (q. E )
∂u
∂t
+ div R + j . E = 0 Dans le vide : j . E = 0 car j = 0
L’énergie u varie : - quand les charges subissent des forces et se déplacent ( j . E ).
- par le rayonnement du champ électromagnétique (div R )
Ce bilan est une équation locale.
Macroscopiquement :
=dSRdRdiv .. τ
= le flux de R à travers la surface d’intégration.
Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface est la puissance rayonnée par l’onde
électromagnétique à travers .
ΡΣ
Σ
=dSR
traversànétiqueélectromagtrayonnemen
.
....
P en W W/
2
m

II. Application à l’onde plane progressive sinusoïdale dans le vide
Dans le vide, j = 0 ; donc ∂u
∂t = - div
R
On a u =
0
2
2
0
.22
.
µ
ε
B
E+
R =
0
µ
BE ∧
Onde plane progressive sinusoïdale : ( k, E, B) trièdre direct
Et | | B | | = | |
E | |
c
Donc R =
0
µ
BE ∧ donc
R // k
0
2
0
.
µµ
EBE
R==
Exemple :
Si E =
x
wtzki
ueE ..
).(
0
−
B =
y
wtzki
ue
c
E..
).(
0−
ATTENTION :
R =
z
wtzki
ue
c
E
).(.2
0
2
0
.
.
−
µ
ce qui est FAUX, car cela voudrait dire que la valeur moyenne au cours
du temps = 0, donc aucune énergie.
On doit repasser en notations réelles :
E =
x
utwzkE )...cos(.
0
−
B =
y
utwzk
c
E)...cos(.
0
−
R =
z
utwzk
c
E)...(cos.
.
2
0
2
0
−
µ
 Ceci est VRAI car < R > = c
E
..2
0
2
0
µ
La direction de R donne le sens de propagation de l’énergie rayonnée.
Cette énergie se propage ici à la vitesse c.
Exemple :
On peut calculer le flux du vecteur de Poynting à travers une feuille de papier.
ΡΣ
=dSR.
avec dS = dx.dy

Démonstration de la formule | | B | | = | |
E | |
c
:
En calculant B à partir de E, en utilisant rot E = - ∂
B
∂t
rot E =
=
∂
∂
−
∂
∂
= ∧
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
0
...
0
0
0
0
)..(
0
twzki
ekiE
x
Ex
z
Ex
Ex
z
y
x
- ∂
B
∂t =
)..(
0
...
twzki
ekiE
−
B =
)..(
0
.
.
twzki
e
w
kE
−
On trouve B = .
w
kE (en amplitude, car vectoriellement,
B se trouvera sur la direction perpendiculaire à E
et k).
Il faut alors utiliser cw
k1
= d’où B =
E
c
La question est alors, d’où vient cw
k1
= ?
Cette propriété est vraie seulement dans le vide infini.
Pour montrer ça, on utilise la démonstration de l’équation de propagation. Quand on démontre cette
équation, on fait rot ( rot E) = grad (div E)) -  E= -  E = +
2
k.
E (TD1, démonstration ci-dessous).
Comment retrouver -  E = +
2
k. E ?
On sait que E = ueE
twrki
..
)..(
0
−
soit E =
=
=
=
−++
−++
−++
)....(
0
)....(
0
)....(
0
..
..
..
twzkykxki
twzkykxki
twzkykxki
zyx
zyx
zyx
eEEz
eEEy
eEEx
γ
β
α
-  E = -
∆
∆
∆
Ez
Ey
Ex
= -
++
++
++
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dz
Ezd
dy
Ezd
dx
Ezd
dz
Eyd
dy
Eyd
dx
Eyd
dz
Exd
dy
Exd
dx
Exd
= -
++
++
++
−++
−++
−++
)....(
222
0
2
)....(
222
0
2
)....(
222
0
2
).....(.
).....(.
).....(.
twzkykxki
zyx
twzkykxki
zyx
twzkykxki
zyx
zyx
zyx
zyx
ekkkEi
ekkkEi
ekkkEi
γβα
γβα
γβα
- E = - .
2
i k
2
. E = + .
2
k E
Par ailleurs, rot ( rot E) = rot (- ∂
B
∂t) = - ∂ ∂t(..)..
0000
εµεµ −=
∂
∂
t
E∂
2
E
∂t
2

rot ( rot E) = ..
00
ε
µ
−
=
=
=
−++
−++
−++
)....(
0
22
)....(
0
22
)....(
0
22
...
....
....
twzkykxki
twzkykxki
twzkykxki
zyx
zyx
zyx
eEwiEz
eEwiEy
eEwiEx
γ
β
α
= + ....
00
ww
ε
µ
E
Donc en égalisant, on trouve : ...
2
00
w εµ E = .
2
k E
D’où k
w =
00
. εµ
Or la vitesse de la lumière c vaut 1
00
. εµ
d’où finalement cw
k 1
= .
Pour résumer, B = k
w.E par Maxwell et
c
w
k 1
=
par l’équation de propagation. Tout cela n’est vrai que
dans le vide.
Dans un autre cas, il faut là encore repasser par l’équation de propagation pour trouver le lien entre k et
w. Ce lien s’appelle relation de dispersion et nous en parlerons dans les cours à venir.