TD n°12 - Physique

TD n°12
Exercice 1 : Effet Venturi
On insère dans une canalisation de section S1 un tube dit « de Venturi » de section S2. Le
fluide s’écoulant en régime permanent dans la canalisation est de l’eau considéré comme un
fluide parfait et incompressible. On considère que les vitesses sont uniformes dans chaque
section droite du tube.
L’axe de la canalisation est horizontal et deux tubes verticaux (T1) et (T2) jouent le rôle de
capteurs de pression. On observe une dénivellation de hauteur h entre les surfaces libres de
l’eau des tubes (T1) et (T2) ouverts à l’air.
(T1)
A1
(T2)
h
A2
S1
S1
S2
On note P0 la pression atmosphérique, P1 la
pression
Tube
de et v1 la vitesse de l'écoulement en amont
du tube de Venturi. A1 est un point à la base
du tube (T1) et A2 est un point à la base du tube
Venturi
(T2).
1. Les vitesses d’écoulement du fluide sont notées v2 dans le tube de section S2 et v3 en aval
du tube de Venturi. Appliquer le théorème de Bernoulli entre A1 et A2. En déduire les vitesses
v1, v2 et v3 en fonction de la constante de pesanteur g, de h, de S1 et de S2.
2. Exprimer le débit volumique Dv en fonction de g, h, S1 et S2.
3. Application numérique : S1 = 50 cm² ; S2 = 30 cm2 ; h = 1,25 m.
4. Quel est l’intérêt pratique d’un tel dispositif ?
5. On appel effet Venturi le phénomène suivant : quand les lignes de courants se rapprochent,
la pression diminue. Démontrer ce phénomène. Donner des applications de cet effet.
Exercice 2 : Tube de Pitot
Les tubes de Pitot sont utilisés en aéronautique pour mesurer la vitesse d’un avion. Ils sont
constitués d’un tube très fin placé parallèlement à la direction de l’écoulement de l'air. Les
orifices A et B permettent des prises de pressions. On pourra considérer, qu’étant donnée les
B
A
Direction de
l’écoulement de l'air
D
C
Tube de Pitot
h
dimensions du tube de Pitot, zA ≃ zB pour l’écoulement.
On considère que l'air est un fluide parfait, incompressible et en écoulement stationnaire.
On se place dans le référentiel de l'avion. La masse volumique, la vitesse et la pression de l'air
loin du tube sont notées respectivement 0, v0 et P0.
1. Représenter l’allure de la ligne de courant qui aboutit en A et l’allure de qui longe le tube
en B.
2. Que valent les vitesses vA en A et vB en B. On appelle le point A, point d'arrêt. Expliquer ce
nom.
3. Dans le manomètre, on mesure une dénivellation h entre les deux niveaux de liquide de
masse volumique 1. En déduire la vitesse d’écoulement v0 de l'air.
A.N. : h = 24 cm. ; 1 = 1,0.103 kg.m-3 .
Exercice 3 :
Un filet d'eau coule verticalement à l'air libre après avoir quitté un robinet de section
horizontale circulaire de rayon r0 = 1 cm. Le débit volumique D = 0,2 L.s-1 est constant dans
le temps. Le filet d'eau possède une symétrie de révolution autour de l'axe vertical (axe du
cercle de rayon r0). On repère par z les altitudes sur la verticale ascendante, z = 0
correspondant à la sortie du robinet.
1- Quelle est la valeur de la viscosité dynamique de l'eau liquide ? L'écoulement en sortie
du robinet est-il laminaire ?
2- On suppose maintenant que l'eau peut-être considérée comme un fluide parfait.
L'écoulement est supposé stationnaire. On admet que la pression dans le filet est
uniforme et vaut la pression atmosphérique. En coordonnées cylindriques déterminer
l'équation z = f(r) d'une génératrice de la surface libre du filet d'eau, ie la courbe
permettant d'obtenir le profil du filet.
Exercice 4 :
De l'air viscosité η = 1,8.10-5 Pl, de masse volumique μ = 1,2 kg.m-3 s'écoule dans une
conduite de rayon R = 10 cm et de longueur L = 200 m avec un débit volumique
Dv = 500 L.s-1. La rugosité absolue du tuyau est ε = 0,075 mm (la rugosité absolue est la taille
typique des irrégularités de surface).
1- Quelle est la vitesse moyenne v de l'écoulement ?
2- En déduire le nombre de Reynolds Re et la nature de l'écoulement.
3- Pour maintenir un tel écoulement, il faut assurer une différence de pression ΔP = Pe - Ps
entre l'entrée et la sortie du tuyau. Quel est le signe de ΔP ?
On définit le coefficient de friction f par :
𝑓=
∆𝑃
𝐿
2
2𝐷 𝜇𝑣
où D est le diamètre de la conduite.
4- Quelle est la dimension de f ?
Le diagramme de Moody donne la valeur du coefficient de friction en fonction des
caractéristiques de l'écoulement :
5- Quelle est la différence de pression ΔP à maintenir ?
6- Quel appareil assure ce maintien ?
7- En déduire la puissance P nécessaire pour maintenir l'écoulement.
Exercice 5 :
On étudie une éolienne qui sera assimilée à ses pales qui récupèrent une puissance mécanique
Péol provenant de l'écoulement de l'air environnant. L'étude est faite dans le référentiel
terrestre supposé galiléen où les pales sont animées d'un mouvement de rotation uniforme
autour de l'axe x'x de vecteur unitaire 𝑒⃗𝑥 . Les effets de la pesanteur sont négligeables. L'air est
assimilé à un gaz parfait. L'écoulement de l'air autour des pales est supposé stationnaire,
parfait, incompressible et à symétrie de révolution autour de l'axe x'x. On note ρ la masse
volumique de l'air.
La figure suivante représente le tube de courant passant par les extrémités des pales de
l'hélice :
La vitesse de l'air est supposée uniforme sur une section perpendiculaire au tube de
⃗⃗𝐴 = 𝑉𝐴 𝑒⃗𝑥 sur la section SA située loin en amont des
courant. Elle vaut respectivement : 𝑉
⃗⃗𝐵 = 𝑉𝐵 𝑒⃗𝑥 sur la section SB située loin en aval des pales. A grande distance des
pales et vaut 𝑉
pales, en amont ou en aval, la pression de l'air est égale à la pression atmosphérique P° et la
température est égale à To.
Les sections Σ1 et Σ2, situées au voisinage immédiat des pales, l'une en amont et l'autre
en aval, ont leurs aires quasiment identiques. De sorte que l'on supposera Σ1=Σ2=S au premier
ordre. La pression du fluide est supposée uniforme sur chacune de ces sections et vaut P1 sur
Σ1 et P2 sur Σ2.
Au voisinage des pales, il y a continuité de la composante normale (suivant 𝑒⃗𝑥 ) de la
⃗⃗ = 𝑉𝑒⃗𝑥 . On néglige la dissipation d'énergie
vitesse de l'air. Cette composante sera notée : 𝑉
par frottement de l'air le long des pales.
1) Ecrire deux relations liant tout ou partie de ces grandeurs : SA, VA, SB, VB, S et V.
2) Exprimer les pressions P1 et P2 en fonction de P°, ρ, VA, VB et V.
3) En appliquant le premier principe industriel sur un système judicieusement choisi et en
justifiant les approximations faites, calculer en fonction des données de l'énoncé la puissance
Péol.
Exercice 6 :
On étudie l'écoulement permanent d'un gaz sortant de la chambre de combustion d'un réacteur
d'avion et s'écoulant à grande vitesse dans une tuyère de section variable. L'évolution des gaz,
considérés comme parfaits, est adiabatique et réversible. La section S(x) de la tuyère est une
fonction de l'abscisse x repérée sur l'axe de révolution de la tuyère considéré comme
horizontal. L'action de la pesanteur est négligée. Les variations de section de la tuyère sont
suffisamment douces pour que toutes les grandeurs intensives soient considérées comme
uniformes sur une section droite : elles ne dépendent donc que de x. De plus, la vitesse de
l'écoulement sera considérée comme parallèle à x. L'étude est menée dans le référentiel de la
tuyère, supposé galiléen. Le but est de montrer que, si le profil de la tuyère est bien choisi, la
vitesse de l'écoulement peut dépasser la célérité du son.
1- Montrer qu'entre deux abscisses xA et xB à l'instant t on a la relation :
1
𝑐𝑝 (𝑇𝐴 − 𝑇𝐵 ) = (𝑣𝐵2 − 𝑣𝐴2 )
2
avec T la température, 𝑣 la vitesse et cp la capacité thermique massique à pression constante
du gaz.
2- Exprimer cp en fonction de la constante des gaz parfaits R, de la masse molaire M du gaz et
de γ. En déduire une relation entre dT, R, M, γ et d(𝑣 2 ) dans la tuyère.
3- Donner la différentielle logarithmique de la loi de Laplace exprimée en fonction des
variables P et T.
4- Exprimer la masse volumique du gaz en fonction de la température et de la pression.
Donner la différentielle logarithmique de cette expression.
5- Donner la différentielles logarithmique de la conservation du débit massique.
𝛾𝑅𝑇
6- On rappelle que la célérité c du son dans un gaz parfait est donnée par : 𝑐 = √
𝑀
. A l'aide
des résultats des questions précédentes, montrer que :
𝑑𝑆
𝑣 2 𝑑𝑣
+ (1 − 2 )
=0
𝑆
𝑐
𝑣
𝑣
7- On appelle M = 𝑐 le nombre de Mach. En distinguant M < 1 et M > 1, prévoir le sens de
variation de la vitesse 𝑣(x) des gaz lorsque la tuyère est convergente (S diminue en fonction
de x) et lorsqu'elle divergente. Les gaz chauds étant en écoulement subsonique à l'entrée de la
tuyère, quel profil doit-on donner à celle-ci pour générer un écoulement supersonique en
sortie ?