TD O1 : Phénomènes de propagation unidimensionnelle

Chapitre O1: Phénomènes de propagation unidimensionnelle
TD
TD O1 : Phénomènes de propagation unidimensionnelle
Révisions de cours :
Définir une onde longitudinale et une onde transversale
Etablir l’équation d’onde dans le cas de la corde vibrante
Exprimer une célérité en fonction des paramètres du milieu à partir de l’équation d’onde
Identifier une équation de d’Alembert
Définir une onde progressive et une onde stationnaire
Donner la solution générale de l’équation de d’Alembert
Définir une onde progressive harmonique
Etablir la relation de dispersion à partir de l’équation de d’Alembert et en notation complexe pour
une OPH
Définir le vecteur d’onde
Définir la vitesse de phase
Définir une onde stationnaire
Par la méthode de la solution à variables séparées, retrouver que la solution d’onde stationnaire
est une onde stationnaire harmonique
Retrouver que la distance entre deux nœuds (ou ventres) consécutifs est égale à 2λ
Décomposer une onde stationnaire en ondes progressives et réciproquement
Régime libre : définir et décrire les modes propres d’une corde vibrante fixée à ses deux extrémités
(+savoir refaire le calcul)
Régime forcé : associer mode propre et résonnance dans l’expérience de la corde de Melde (+savoir
refaire le calcul)
Décrire le modèle d’un câble coaxial sans pertes
Etablir les équations de propagation
Etablir l’expression de l’impédance caractéristique d’un câble coaxial
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PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015
Chapitre O1: Phénomènes de propagation unidimensionnelle
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TD
Fil de jardinier - résolution de problème - niveau de difficulté 2 (voir
niveau de difficulté 1 en fin d’énoncé)
Thème abordé : système infinitésimal
Un jardinier désire mettre une bordure autour de son jardin potager. Afin de bien aligner les différentes
bordures entre elles, il tend un fil entre deux poteaux. Le fil utilisé possède une masse linéique µ et une raideur
négligeable.
Données : µ = 2g.m−1 , L=10 m.
Déterminer la tension que doit appliquer le jardinier sur la corde pour que l’écart maximal hmax entre le fil
et l’horizontale soit égal à 1 cm.
Réponse : To = 24N.
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Onde de compression dans un solide
Thèmes abordés : établir une équation d’onde, exprimer une célérité, relation de dispersion
On étudie un solide déformable, de section S constante, de masse volumique au repos µo dans lequel se
propage des ondes de compression parrallèlement à (Ox). Sous l’influence de l’onde, une section située à l’abscisse x à l’instant t se déplaçe d’une distance u(x,t).
On admet la loi de Hook (loi d’élasticité) qui stipule qu’à l’abscisse x, la force exercée par la partie de droite
du solide sur la partie gauche est F~ (x, t) = ES ∂u
ux , où E est une constante caractéristique du matériau,
∂x (x, t)~
nommé module d’Young. L’influence de la pesanteur est ici négligée.
Données : µo = 3, 4.103 kg.m−3 , E = 8, 0.1010 Pa (acier).
1. Ecrire l’équation du mouvement d’une tranche de solide d’épaisseur dx et de masse δm = µo Sdx lors du
passage de l’onde.
2. En déduire l’équation d’onde et définir une célérité. Calculer la célérité du phénomène. Réponse : c =
4, 8km.s−1 .
3. On considère que l’onde de compression est une onde progressive harmonique de la forme u(x, t) =
uo cos(ωt − kx + Φ). Déterminer la relation de dispersion.
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TD
Modes propres d’une corde libre à une extrémité
Thèmes abordés : conditions aux limites, modes propres.
Une corde est attachée à une de ses extrémités en x=0. Sa seconde extrémité est libre de se déplacer en
x=L sur un anneau qui coulisse sans frotter sur une tige. La réaction de la tige sur l’anneau est donc uniquement
dirigée suivant l’axe x. La présence de la tige permet de tendre la corde sous une tension To . L’anneau est de
masse quasi-nulle.
1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l’anneau, montrer que la condition aux limites
en x=L s’écrit : ∂y
∂x (L, t) = 0.
2. Déterminer les modes propres de cette corde. Réponse : ωn = (2n + 1) π2 Lc .
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Piano (corde frappée) et clavecin (corde pincée)
Thèmes abordés : construction d’une solution par superposition de modes propres.
Dans cet exercice on compare les spectres sonores d’un piano, où la corde est frappée, et d’un clavecin, où
les cordes sont pincées. Dans les deux cas la corde est fixée à ses deux extrémités.
A l’instant t=0, une corde vibrante est dans la position d’équilibre y(x, 0) = 0. On la frappe avec un petit
marteau de largeur e (e << L) situé entre les abscisses x=a et x=a+e. La durée du contact du marteau avec
la corde étant très court, on admet que de cette manière on impose une vitesse initiale non nulle à la partie
de la corde située entre x=a et x=a+e : ∂y
∂t (x, t) = cste = A. On appelle c la célérité des ondes le long de la
corde vibrante.
On cherche des solutions sous la forme du développement en série de Fourier suivant :
y(x, t) =
∞
X
yn sin(
n=0
nπc
nπx
t) sin(
)
L
L
1. Justifier qu’il soit pertinent de chercher des solutions sous la forme donnée ci-dessus. On justifiera le
produit de fonctions sinusoïdales dans la décomposition, les arguments de ces fonctions ainsi que la
somme infinie.
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2. L’étude théorique donne le résultat suivant : yn = 2eA
nπ c. Comment faut-il frapper la corde pour supprimer
le premier harmonique dissonant défini par n=7 ? Commenter la position du point d’impact du marteau
sur la corde.
3. Dans le cas où a = L2 , quelles sont les harmoniques présentes dans le son émis par la corde frappée ? Ce
résultat était-il prévisible ? Donner l’expression de y(x,t) et représenter l’allure du spectre du son émis.
La même corde de longueur L est maintenant pincée en x=a puis lâchée sans vitesse initiale à l’instant
t = 0. Pour simplifier la comparaison avec le piano on suppose que a = L2 et que la corde est écartée de sa
position de repos d’une hauteur h en x=a (voir schéma). On cherche toujours une solution sous la forme d’un
développpement en série de Fourier :
y(x, t) =
∞
X
n=0
an cos(
nπc
nπx
8h (−1)n
et a2n = 0.
t) sin(
) où a2n+1 = 2
L
L
π (2n + 1)n
4. Comparer les spectres des son émis par le piano et le clavecin et justifier que le son du clavecin paraisse
plus pur et "cristallin" que celui du piano.
5. Calculer la longueur de la corde de piano pour que la fréquence fondamentale du son émis corresponde à
un Do4 (f=262 Hz), sachant que la corde est tendue sous 80 kg, qu’elle est en acier de masse volumique
ρ = 7800kg.m−3 et de diamètre 1, 0mm. Réponse : L=68 cm.
6. Justifier que sur un clavecin la corde pour le Do4 faite du même matériau ne soit tendu que sous 13 kg
et avec un diamètre de 0, 4mm environ.
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Ondes électrocinétriques
Thème abordés : conditions aux limites dans un câble coaxial, impédance caractéristique, réflexion en amplitude de tension, entrainement au calcul.
On considère un câble coaxial d’impédance caractéristique Zc s’étendant de x=0 à x=L.
Dans un premier temps, le câble est court-circuité en x=0 et l’extrémité x=L est en circuit ouvert. On étudie
j(ωt−kx)
j(ωt+kx)
et u− (x, t) = u−
.
une onde décrite par u(x, t) = u+ (x, t) + u− (x, t) où u+ (x, t) = u+
oe
oe
1. Formuler les conditions aux limites en x=0 et x=L.
2. Déterminer les modes propres du câble coaxial. Réponse : ωn =
(2n+1)πc
2L
avec n ∈ N.
Dans un deuxième temps la ligne est fermée en x=L sur une résistance R. On branche en x=0 un générateur de tension délivrant e(t) = E cos(ωt). On étudie une onde de tension décrite par la même forme que
précédemment.
3. Formuler les conditions aux limites en x=0 et x=L.
4. Donner la relation liant u+ et i+ puis u− et i− .
−
5. Montrer que u+
o et uo s’expriment de la manière suivante :
u+
o =
E
(R + Zc )ejkL
E
(R − Zc )e−jkL
et u−
o =
2 R cos(kL) + jZc sin(kL)
2 R cos(kL) + jZc sin(kL)
6. Exprimer u(x, t) et i(x, t) en fonction de ejωt , E, Zc , R, sin kL, cos kL, sin k(L − x) et cos k(L − x). Montrer
que les ondes obtenues sont de type stationnaire.
7. Calculer l’impédance Z (x) définie par Z =
u(x,t)
i(x,t) .
k(L−x)+jZc sin k(L−x)
Réponse : Z (x) = Zc RR cos
sin k(L−x)+jZc cos k(L−x) .
8. A quelle condition la ligne transmet-elle une puissance maximale à la résistance R ? Montrer qu’alors
Z (x) ne dépend plus de x et donner sa valeur.
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Fil de jardinier - niveau de difficulté 1
Thèmes abordés : système infinitésimal
Un jardinier désire mettre une bordure autour de son jardin potager. Afin de bien aligner les différentes
bordures entre elles, il tend un fil entre deux poteaux. Le fil utilisé possède une masse linéique µ et une raideur
négligeable.
Données : µ = 2g.m−1 , L=10 m.
On cherche à connaître la tension que doit appliquer le jardinier sur la corde pour que l’écart maximal hmax
entre le fil et l’horizontale soit égal à 1 cm.
1. En raisonnant à partir d’un élément infinitésimal de corde de longueur d` ≈ dx, montrer que la tension
est uniforme le long de la corde.
2. Déterminer l’équation de la courbe formée par la corde au repos. On limitera les calculs à l’ordre 1 en α,
µg
x(L − x).
l’angle de d` avec l’horizontal. Réponse : z(x) = 2T
3. Calculer la tension que doit appliquer le jardinier pour que zmax = 1cm. Réponse : To = 24N.
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