Texte

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TP RLS
Dans ce TP, on se propose d’´ecrire en langage Matlab des algorithmes de moindres carr´es r´ecursifs
avec fenˆetre de pond´eration. Nous utiliserons ces algorithmes pour estimer le r´esidu de pr´ediction
d’un signal de parole.
1 Algorithme RLS
On consid`ere le mod`ele lin´eaire
xj=yT
jh+ejpour j∈ {1,...,n}
o`u xj,ej∈R,yj∈Rp(avec p < n).
Soit λjdes nombres positifs. L’estimateur des moindres carr´es pond´er´es est d´efini par
ˆ
h= arg min
h∈Rp
n
X
j=1
(xj−yT
jh)2λj
On pose Xn=XT
n−1xnT,Yn=YT n−1ynTet Λn= diag(λ1,...,λn). On donne:
Lemme 1 (d’inversion matricielle)
(A+BCD)−1=A−1−A−1BC−1+DA−1B−1DA−1(1)
1.1 Fenˆetre exponentielle
On consid`ere la suite de pond´eration suivante :
λj=λn−j
1. En utilisant le principe d’orthogonalit´e, d´eterminer, en fonction de Xn, de Ynet de Λn,
l’expression de ˆ h.
2. Dans la suite on posera Rn= (YT
nΛnYn) et Qn=R−1 n. D´eterminer l’´equation r´ecurrente que
v´erifie Rn, ainsi que les conditions initiales. En utilisant le lemme 1, d´eterminer l’´equation
r´ecurrente que v´erifie Qn, ainsi que les conditions initiales.
3. Algorithme r´ecursif: montrer que pour n= 1 ...:
Kn=λ−1Qn−1yn
1 + λ−1yT
nQn−1yn
hn=hn−1+Kn(xn−yT
nhn−1) (2)
Qn=λ−1(Ip−KnyT
n)Qn−1
avec comme conditions initiales1Q0=IP/δ with δ≪1 et h0= 0.
1On ne peut pas prendre R0= 0 car cela conduirait `a Q0=∞.

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1.2 Fenˆetre rectangulaire glissante
On consid`ere la suite de pond´eration
λj=1 si j=n−N+ 1 . . . n
0 si j= 1 . . . n −N
1. En utilisant le principe d’orthogonalit´e, d´eterminer, en fonction de Xn, de Ynet de Λn,
l’expression de ˆ h.
2. En utilisant les formules suivantes :
YT
nΛnxn=YT n−1Λn−1Xn−1−yn−Nxn−N+ynxn
et
YT
nΛnYn=YT n−1Λn−1Yn−1−yn−NyT n−N+ynyT n
=YT
n−1Λn−1Yn−1+yn−Nyn−yT
n−N
yT
n
d´eterminer un algorithme r´ecursif.
2 Exp´erimentation
1. On veut r´ealiser l’estimation de l’erreur de pr´ediction sur un pass´e de longueur Pd’un signal.
Comment ce probl`eme peut-il ˆetre r´esolu par un algorithme RLS ? Ecrire sous Matlab les
fonctions correspondantes.
2. En utilisant les fonctions pr´ec´edentes, effectuer l’estimation du r´esidu de pr´ediction pour un
signal de parole (fichier desgens.wav). D´ecrire les r´esultats obtenus (on distinguera les plages
dites de son vois´e et les plages dites de son non vois´e).
3. Evaluer la fr´equence de pitch et reporter vos r´esultats sur le spectrogramme du signal (r´ecup´erer
la fonction spectro.m).