Rappels sur les corps finis

Corps finis
1– Un peu d’alg`ebre
Si Aest un anneau
commutatif principal,
(a) un id´eal de A,
et aest un ´el´ement premier de A
alors l’anneau quotient A/(a) est un corps.
Exemples :
Z/pZ. On note Fple corps Z/pZ.
k[x]/P o`u kest un corps commutatif et Pest un polynˆome irr´eductible.
2– Caract´eristique d’un corps
Proposition 1. Un corps fini contient un corps Z/pZo`u pest un nombre premier.
D´emonstration—
Soit Kun corps fini, et soit πl’application
π:Z−→ K
n7−→ n·1
ker πest un id´eal de Z, donc de la forme pZ, avec p6= 0 et p6= 1.
Si p=p1p2, on a 0 = π(p) = π(p1)π(p2) dans K,
donc π(p1) = 0 ou π(p2) = 0.
donc p1∈pZou p2∈pZ.
donc p1=pou p2=pcar pi≤p.
donc pest premier.
On a donc
π:Z−→ Z/pZ=Fp⊂K
pest le plus petit entier positif tel que p·1 = 0 dans K.
pest appel´e la caract´eristique du corps.
Fpest le plus petit sous-corps de K.
Fpest l’intersection des sous-corps de K.
Fpest appel´e corps premier.
Plus g´en´eralement, un corps premier est le plus petit corps contenu dans un corps
donn´e. Il est isomorphe `a Q, ou `a un des corps Fpo`u pest un nombre premier. La
caract´eristique d’un corps est le nombre 0 si le corps premier est Q, le nombre psi le
corps premier est Fp.
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3– Nombre d’´el´ements d’un corps fini.
Proposition 2. Un corps fini Kde caract´eristique padmet pn´el´ements o`u nest un
entier.
D´emonstration—
En effet, le nombre nest ´egal `a la dimension de Kconsid´er´e comme espace vectoriel
sur Fp:
n= dimFpK
Proposition 3. Si kest un corps commutatif et Pest un polynˆome irr´eductible dans
k[x],
dimkk[x]/P = deg P
D´emonstration—
Soit A(x)∈k[x]. Notons Ason image dans k[x]/P .
La division euclidienne par Ppermet d’´ecrire
A(x) = q(x)P(x) + R(x) avec deg R≤deg P
Cela d´efinit une application `a valeurs dans l’espace des polynˆomes de degr´e au plus ´egal
`a deg P−1.
k[x]/P −→ k[x]deg P−1
A7−→ R
C’est un application lin´eaire d’espaces vectoriels.
Elle est injective car si R= 0 alors A(x) = q(x)P(x) donc A= 0
Elle est surjective car Ra pour image R.
Remarque. On en d´eduit que Pest un polynˆome irr´eductible dans Fp[x], alors le corps
Fp[x]/P apdeg P´el´ements.
4– El´ements primitifs
On a besoin de deux lemmes avant d’´enoncer le th´eor`eme.
Si dest un entier, on note φ(d) le nombre des entiers xtels que
(1≤x≤d
xest premier `a d
On appelle φ(d)l’indicateur d’Euler de d.
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Lemme 4. Le nombre de g´en´erateurs de Z/dZest ´egal `a φ(d).
D´emonstration—
On consid`ere les ´el´ements suivants de Z/dZ, o`u xest un entier, xson image dans Z/dZ:
0, x, 2x, . . . , mx, . . . , (d−1)x
Si xest premier `a d, alors xest un g´en´erateur de Z/dZ.
Si mx = 0, alors mx ≡0 (mod. d), alors mx =nd. Si xest premier `a d, comme d|mx,
alors d|mce qui est impossible car m < d.
Donc pour tout m < d,mx 6= 0, donc les ´el´ements 0, x, 2x, . . . , mx, . . . , (d−1)xsont
distincts.
Donc xest bien g´en´erateur.
Si xn’est pas premier `a d, alors xn’est pas un g´en´erateur de Z/dZ.
Soit ptel que p|xet p|d.
On a d
px=x pd, donc d px≡0 (mod. d)
Donc les ´el´ements 0, x, 2x, . . . , mx, . . . , (d−1)xne sont pas distincts.
En particulier φ(d)≥1 car un groupe cyclique a au moins un g´en´erateur.
Lemme 5. Si nest un entier ≥1, on a
n=X
d|n
φ(d)
D´emonstration
Soit Cd=n
dZ/nZl’unique sous-groupe de Z/nZd’ordre d.
Soit Φ(d) l’ensemble des g´en´erateurs de Cd.
Z/nZest r´eunion disjointe des Φ(d).
On a
n= Card Z/nZ=X
d|n
Card (Φ(d)) = X
d|n
φ(d).
Th´eor`eme 6. Si Kest un corps fini, alors le groupe multiplicatif K∗est cyclique.
D´emonstration
Soit qle nombre d’´el´ements du corps K,q−1 celui du groupe K∗.
Tout ´el´ement de K∗a un ordre dtel que ddivise q−1.
Si dest un diviseur de q−1 soient
H∗
dl’ensemble des ´el´ement de K∗d’ordre d;
Hdl’ensemble des racines de Xd−1.
On a H∗
d⊂Hd.
Si H∗
d6=∅, soit a∈H∗ d.
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Alors Hdest un groupe form´e des ´el´ements xde Ktels que xd= 1,
il est isomorphe `a Z/dZpar n7−→ an.
En effet,
a∈H∗
d⊂Hd, donc Hdcontient le groupe cyclique engendr´e par aqui admet
d´el´ements;
#Hd≤dcar Hdl’ensemble des racines de Xd−1.
donc #H∗
d=φ(d).
Si H∗
dest l’ensemble des ´el´ements d’ordre ddans K∗, il a donc 0 ou φ(d) ´el´ements.
q−1 = #K∗= # G
d|q−1
H∗
d=X
d|q−1
#H∗
d≤X
d|q−1
φ(d) = q−1
donc le nombre d’´el´ements de K∗d’ordre d|q−1 est ´egal `a φ(d).
En particulier il existe un ´el´ement d’ordre q−1.
Cet ´el´ement engendre K∗.
D´efinition 7. Les g´en´erateurs de K∗sont appel´es ´el´ements primitifs de K.
5– Existence de corps finis
Proposition 8. Soit Kun corps fini. Soit aun ´el´ement primitif de K. L’ensemble des
polynˆomes qui ont acomme racine est un id´eal premier de Fp[x].
D´emonstration
Soit fet gdeux polynˆomes `a coefficients dans K.
0 = fg(a)⇒f(a) = 0 ou g(a) = 0
Le g´en´erateur de cet id´eal s’appelle polynˆome minimal de a.
C’est un polynˆome irr´eductible.
Proposition 9. Soit Kun corps fini. Soit aun ´el´ement primitif de K. Soit f(x)le
polynˆome minimal de adans Fp[x]. Alors
K'Fp[x]/(f(x)).
D´emonstration
L’application
Fp[x]−→ K
g(x)7−→ g(a)
se factorise
Fp[x]/(f(x)) −→ K
donc d´efinit un homomorphisme de corps qui est
– injectif (en tant qu’homomorphisme de corps)
– surjectif (son image contient tous les ´el´ements de K∗, car elle contient a,
a2,. . . ,ai,. . . )
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Proposition 10. Si aet bsont des ´el´ements d’un corps Kde caract´eristique p, alors
(a+b)p=ap+bp.
D´emonstration
On a (a+b)p=
p
X
i=0 p
iaibp−i.
Si 1 ≤i≤p−1, on a p
i=p! i!(p−i)! =p(p−1)! i!(p−i)!.
p
iest un entier, donc i!(p−i)! divise p! = p(p−1)!
Or i!(p−i)! est premier `a p, donc divise (p−1)!.
Donc p
iest divisible par p, et est donc nul dans K.
Il reste (a+b)p=p
0bp+p pap.
Corollaire 11. Si aet bsont des ´el´ements d’un corps Kde caract´eristique p, alors
(a+b)pn=apn+bpn.
Proposition 12. Soit Fun corps et f(x)∈F[x]. Il existe un corps L⊃Ftel que f(x)
se d´ecompose en polynˆomes de degr´e 1 `a coefficients dans L.
D´emonstration
Par r´ecurrence
a) Si deg f= 1 alors on peut prendre L=F.
b) Supposons deg f=k+ 1
Soit g(x) un diviseur premier de f(x).
On va montrer que g(x) a au moins une racine dans
K=F[x]/(g(x)).
Soit αl’image de xpar l’application quotient F[x]−→ K.
On a g(α) = 0 car l’image de g(x) dans Kest 0. Mais g(x) = Pgixia pour image
Pgiαi, donc g(α) = Pgiαi= 0 dans K.
F[x]g(x) = Pgixi
↓ ↓ ↓
K0 = Pgiαi=g(α)
Donc f(x) s’´ecrit
f(x) = (x−α)h(x)
o`u h(x) est un polynˆome de K[x] de degr´e k.
Donc (par hypoth`ese de r´ecurrence) il existe un corps L⊃Ktel que h(x) se d´ecompose
en facteurs de degr´e 1 sur L.
Par cons´equent f(x) se d´ecompose en facteurs de degr´e 1 sur L.
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