Série 10 (Corrigé) - ANMC

Algèbre linéaire pour GM Jeudi 28 novembre 2013
Prof. A. Abdulle EPFL
Série 10 (Corrigé)
Exercice 1
Parmi les matrices suivantes, indiquer celles qui sont diagonalisables (toujours en justifiant),
et le cas échéant diagonaliser ces matrices.
A=
243
−4−6−3
331
,B=
2 0 4 1
0 1 2 3
0 0 4 1
0 0 3 3
,C=
5000
0500
1 4 −3 0
−1−2 0 −3
,
D=
4 0 −2
2 5 4
0 0 5 
,E= 0 1
0 0 !.
Sol.:
•An’est pas diagonalisable. Ses valeurs propres sont: −2,−2,1. La dimension de
l’espace propre pour λ=−2est seulement 1alors que la multiplicité est 2.
•Best diagonalisable. En effet, les valeurs propres sont distinctes:
2,1,1
27 + √13,1 27−√13.
On voit facilement que v1= (1,0,0,0)Tet v2= (0,1,0,0)Tsont des vecteurs pro-
pres associés aux valeurs propres λ1= 2,λ2= 1. Les vecteurs propres pour λ3=
1
27 + √13et λ4=1 27−√13sont
v3=
−2 + √13
1
6−17 + 7√13
1
1
2(−1 + √13)
, v4=
−2−√13
1
6−17 −7√13
1
1
2(−1−√13)
.
Maintenant, si f D= diag(λ1, λ2, λ3, λ4)et P= (v1, v2, v3, v4), on a B=Pf DP −1.
•Cest diagonalisable. Valeurs propres: 5,5,−3,−3.
Vecteur propres associés: v1= (−16,4,0,1)T, v2= (−8,4,1,0)T, v3= (0,0,0,1)T, v4=
(0,0,1,0)T.
Remarque: les vecteurs propres (0,0,0,1)T,(0,0,1,0)Tétaient faciles à deviner.
Maintenant, si f D= diag(5,5,−3,−3) et P= (v1, v2, v3, v4), on a C=Pf DP −1.
•Dest diagonalisable. Valeurs propres: 5,5,4.
Vecteur propres associés: v1= (−2,0,1)T, v2= (0,1,0)T, v3= (−1,2,0)T.
Remarque: le vecteur propre (0,1,0)Tétait facile à deviner.
Maintenant, si f D= diag(5,5,4) et P= (v1, v2, v3), on a D=Pf DP −1.
•En’est pas diagonalisable. Valeurs propres: 0,0. La dimension de l’espace propre
associé à λ= 0 est seulement 1.
1

Exercice 2
Soit A∈Rn×n. Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses (justifier) ?
i) Aest diagonalisable si et seulement si elle possède nvaleurs propres distinctes.
Sol.: Faux. En effet la matrice identité est diagonale donc diagonalisable, et pourtant
sa seule valeur propre est 1.
ii) Aest diagonalisable si Apossède nvecteurs propres.
Sol.: Faux. Adoit posséder nvecteurs propres linéairement indépendants.
iii) Si Aest diagonalisable, alors Aest inversible.
Sol.: Faux. Méthode 1: La matrice nulle est diagonalisable mais non inversible.
Méthode 2: On peut aussi proposer la matrice 1 0
0 0 !diagonale donc diagonalisable,
mais non inversible.
iv) Si Aest inversible, alors Aest diagonalisable.
Sol.: Faux (pour n≥2). En effet, la matrice 1 1
0 1 !est inversible, mais non
diagonalisable, car l’espace propre associé à la valeur propre 1(de multiplicité 2) est
de dimension seulement 1.
v) Si 0est valeur propre, alors rg (A)< n.
Sol.: Vrai. Si 0est valeur propre, la dimension du noyau est non nul, et donc
rg (A) = n−dim Ker A<n.
vi) Pour tout matrice inversible Pde taille n×n,λest une valeur propre de Asi et
seulement si λest une valeur propre de P−1AP .
Sol.: Vrai. Aet B=P−1AP sont semblables, donc elles ont les mêmes valeurs
propres (avec les mêmes multiplicités).
Remarque: En plus, si on note v1, v2, . . . les vecteurs propres de B, alors les vecteurs
propres de Asont P v1, P v2, . . . .
Exercice 3
Soit Aune matrice de taille n×net k≥2. Montrer que si λest une valeur propre de A
avec pour vecteur propre v, alors λkest une valeur propre de
Ak=A A ··· A
| {z }
kfois
avec pour vecteur propre v.
Sol.: Par définition, on a Av =λv. Par récurrence sur k, on montre Akv=λkv.
Supposons le résultat vrai au rang k−1, c-à-d Ak−1v=λk−1v. On a alors:
Akv=A(Ak−1v) = A(λk−1v) = λk−1Av =λk−1λv =λkv.
Ceci montre que le vecteur v, non nul, est un vecteur propre de la matrice Akassocié à la
valeur propre λk.
2

Exercice 4
Soit k≥2. Montrer que si Aest une matrice n×ndiagonalisable, alors Akest aussi
diagonalisable. La réciproque est-elle vraie?
Sol.: Si Aest diagonalisable, alors il existe une base de Rnformée de vecteurs propres
de A. D’après l’exercice 3, c’est aussi une base de vecteurs propres pour la matrice Ak,
donc la matrice Akest également diagonalisable.
La réciproque est fausse en dimension n≥2. En effet, on considère la matrice Aavec
des zéros partout sauf un 1en haut à droite (ligne 1, colonne n) (note: pour n= 2 on
obtient la matrice Ede l’exercice 1). Cette matrice An’est pas diagonalisable, et pourtant
Akest nulle donc diagonalisable.
Exercice 5
Existe t-il une matrice A= a b
c d !,b6= 0 diagonalisable et ne possédant qu’une seule
valeur propre?
Sol.: Non. En effet, soit Aune matrice diagonalisable avec une seule valeur propre.
Diagonalisons la matrice: il existe Pinversible telle que
A=P DP −1
avec D=λI. On déduit A=λP IP −1=λP P −1=λI. La matrice Aest donc proportion-
nelle à la matrice identité, elle ne peut pas être de la forme a b
c d !,b6= 0.
Exercice 6
a) Montrer que si λest une valeur propre d’une matrice inversible de taille n×n, alors
λ−1est une valeur propre de A−1. Trouver un vecteur propre correspondant.
Sol.: Si vest un vecteur propre de Aassocié à la valeur propre λ, on a
Av =λv.
La valeur propre λest non nulle car la matrice Aest inversible. On multiplie à gauche
par λ−1A−1, et on obtient
λ−1v=A−1v,
d’où le résultat.
b) Montrer que Aet ATont les mêmes valeurs propres. Montrer par un contre-exemple
que les vecteurs propres de Aet ATne sont pas les mêmes en général.
Sol.: Le déterminant de la matrice A−λI étant égal au déterminant de la transposée
(A−λI)T=AT−λI, les matrices Aet ATont donc le même polynôme caractéristique,
et donc les mêmes valeurs propres (qui sont les racines du polynôme caractéristique).
Soit A= 1 4
1 1 !. Les valeurs propres sont λ1= 3, λ2=−1et les vecteurs propres
associés sont v1= (2,1)T, v2= (−2,1)T. Par contre les vecteurs propres correspon-
dants de la matrice ATsont v1= (1,2)T, v2= (−1,2)T.
3

Remarque: Bien sûr, si Aest symétrique, les vecteurs propres de Aet ATsont les
mêmes.
Exercice 7
Soit λ∈Ret A= (aij )1≤i,j≤nune matrice de taille n×n.
a) On suppose que ai1+ai2+. . . +ain =λpour tout i= 1, . . . , n. Montrer que λest
une valeur propre de A. Quel est le vecteur propre associé?
Sol.: Soit v= (1,1,...,1)T. Matriciellement, on a
Av =λv
et donc λest une valeur propre avec pour vecteur propre v.
b) On suppose que a1j+a2j+. . . +anj =λpour tout j= 1, . . . , n. Montrer que λest
une valeur propre de A.
Sol.: La matrice ATvérifie l’hypothèse du a), donc λest une valeur propre de AT.
Or Aet ATont les mêmes valeurs propres d’après l’exercice 6 b), d’où le résultat.
Exercice 8
Soit u, v, w ∈Rnet α∈R. Montrer
a) u·v=v·u.
Sol.: On note u:= 
u1
u2
.
.
.
un
et de même pour vet w. Alors u·v=Pn
i=1 uivi=
Pn
i=1 viui=v·u.
b) (u+v)·w=u·w+v·w.
Sol.: (u+v)·w=Pn
i=1 (ui+vi)wi=Pn i=1 uiwi+viwi=u·w+v·w.
c) (αu)·v=α(u·v) = u·(αv).
Sol.: (αu)·v=Pn
i=1 (αui)vi=Pn i=1 α(uivi) = α(u·v) = Pn i=1 ui(αvi) = u·(αv).
d) u·u≥0.u·u= 0 si et seulement si u= 0.
Sol.: u·u=Pn
i=1 u2 i≥0.u·u= 0 si et seulement si ui= 0 pour tout i, c-à-d
u= 0.
Exercice 9
a) Trouver un vecteur non nul orthogonal à v=
1
0
1
.
Sol.: w=
0
1
0
car v·w= 0.
4

b) Soit u=
3
4
1
,v=
2
0
1
,w=
5
6
0
. Calculer
u·v, v ·w, u·w
kvk,1 w·ww, u·w kvkv.
Sol.: u·v= 7,v·w= 10,u·w
kvk=39
√5,1
w·ww=1 61 
5
6
0
,u·w
kvkv=39
√5
2
0
1
.
c) Calculer la distance entre uet vet la distance entre uet w.
Sol.: ku−vk=√17,ku−wk= 3.
d) Calculer les vecteurs unitaires correspondants à u, v, w (pointant dans la même direc-
tion que le vecteur original).
Sol.: ˜u=1
√26 
3
4
1
,˜v=1
√5
2
0
1
,˜w=1
√61 
5
6
0
.
Exercice 10
Soit v=
3
2
1
. Donner l’ensemble Wdes vecteurs orthogonaux à v. Est-ce un espace
vectoriel? Si oui, de quelle dimension?
Sol.: W=
w=
a
b
c
;v·w= 3a+ 2b+c= 0
.
West en fait le noyau de l’application linéaire w7→ v·wde R3dans R, et donc c’est
un espace vectoriel. Cette application est non nulle (par exemple v·v > 0) donc de rang 1.
Par le théorème du rang, la dimension de West donc 3−1 = 2, il s’agit d’un plan (appelé
le plan orthogonal au vecteur v).
Exercice 11
Indiquer pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse.
a) Un espace propre d’une matrice carrée Aest l’espace nul d’une certaine matrice.
b) Soit Aune matrice carrée. Si A2est la matrice nulle, alors la seule valeur propre de
Aest 0.
c) Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les éléments de sa diagonale prin-
cipale.
d) L’ensemble {v1, v2, . . . , vr}des vecteurs propres associés aux valeurs propres distinctes
λ1, λ2, . . . , λrd’une matrice carrée Aest linéairement dépendant.
Sol.: Vrai: a), b), c). Faux: d).
5