Aide mémoire Numération 6ème = 50 + 6 + 9 8 + 10 100 chiffres et nombres demi-droite graduée →0 , 1 ,2 , 3 ,4 , 5 ,6 , 7 ,8e t9s o n tde sc h i f f r e s . → Oné c r i tde snombr e sà l'aide des chiffres (5 698). origine: A B C nombres décimaux → L' é c r i t u r eà virgule d'un nombre s'appelle son écriture décimale. 56,98 partie entière , partie décimale (nombre fini de chiffres non nul) →u nno mbr ee n t i e re s tu nno mbr edé c i ma ldo ntl apa r t i edé c i ma l ee s tnulle: 175 = 175,0000 Pr ► Onn ec h a ng ep a sunnombr ed é c i ma ls io na j o u t eo us io n enlève: » des 0 avant la partie entière: 00,58 = 0,58 050,56 = 50,56 » des 0 après la partie décimale: 67,800 = 67,8 5,00 = 5 0 1 sens → 3 unité de longueur Pr ► Un point est repéré par un nombre appelé son abscisse. (C a pour abscisse 3) A chaque nombre (abscisse) correspond un point. → Ler a ngde sc h i f f r e sd ' u nno mbr edé c i ma lest la position qu'il occupe par rapport à la virgule comparaison de nombres Partie entière Partie décimale , Classe des millions Classe des mille Classe des unités , dixième centième c d u c d u c d u , 2 0 3 2 7 8 6 0 , 4 0 5 6 , 9 8 millième dixmillième "a est inférieur à b" "a est égal à b" 8 < 12 12 = 8 ♣ < ♣ =♣ a>b "a est supérieur à b" 12 > 8 ♣> ♣ » nombres décimaux: 172,3859 5 698 100 Pr ► Unn ombr edé c i ma la dme tpl us i e ur sé c r i t ures fractionnaires: 56,98 = 5 698 56 980 569 800 = = ... 100 1 000 10 000 → Dé c ompo s i t i o n: 56,98 = (5 × 10) + (6 × 1) + (9 × 0,1) + (8 × 0,01) > 172,3837 2 partie identique → Éc r i t ur ef r a c t i o n n a i r ed'un nombre décimal: Le dénominateur est une puissance de 10 (10, 100, 1 000, 10 000, ...) et le numérateur n'a pas de virgule. 56,98 = ♣ a<b a=b 5 > 3 rangement de nombres ordre croissant = du plus petit au plus grand: 3 < 6 < 78 < 189 ordre décroissant = du plus grand au plus petit: 45,6 > 6,89 > 5 encadrement de nombres Encadrer un nombre: écrire ce nombre entre deux valeurs, l'une inférieurs, l'autre supérieure. 23 < 28,56 < 54 Intercaler un nombre entre deux nombres a et b, c'est trouver un nombre entre a et b.entre 2,8 et 2,9 [on peut avoir 2,8 < 2,87 < 2,9] valeur approchée division Valeur approchée: Soit a un nombre décimal et b un nombre entier non nul. On appelle quotient de a par b le nombre qui, multiplié par b, donne a. Le quotient de a par b se note a : b et correspond au résultat de la division de a par b. On a ( a : b) × b = a 22,41 × 2 = 44,82 donc 44,82 : 2 = 22,41 et ( 44,82 : 2 ) × 2 = 22,41 × 2 = 44,82 26 < 26,343 < 27 26 < 26,343 < 27 c'est 26 c'est 27 c'est 26,3 c'est 26,4 26,3 < 26,343 < 26,4 par défaut par excès par défaut par excès à l'unité près. à l'unité près. au dixième près. au dixième près. divisibilité troncature par 2 par 5 par 3 On supprime tout ce qui se trouve après la virgule : 3,63 → 3 , 63 → 3 par 9 Un nombre est divisible par un autre quand le reste de la division est nulle. 450 = 45 × 10 + 0 450 est divisible par 10 et 10 est un diviseur de 450 Un nombre entier est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 468 = 234 × 2 + 0 Un nombre entier est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5 625 = 105 × 5 + 0 Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 4236: 4 + 2 + 3 + 6 = 15 15 = 5 × 3 + 0 Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 6 408: 6 + 4 + 0 + 8 = 18 18 = 2 × 9 + 0 Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4 5 736: 36 = 9 × 4 + 0 arrondi : L’ a r r o nd ia udi x i è me , c ’ e s tl eno mbr eàu ns e ulc h i f f r ea pr è sl av i r g ul el epl uspr o c he . arrondi au dixième de 3,63 → 3 , 6 3 → 3 , 6 par 4 les opérations ordre de grandeur opération addition soustraction multiplication division addition signe + ou : commutativité: soustraction résultat somme différence produit quotient avec un reste (= ou de 0) action ajouter des termes soustraire des termes multiplier des facteurs diviser un dividende par un diviseur a+b = b+a a+0=a 3+5=5+3=8 3+0=3 a –b = c b + c = a 5 –2 = 3 2 + 3 = 5 multiplication 0 × a = 0 et a × 0 = a 1 × a = a et a × 1 = a communtativité a × b = b × a associativité (a × b) × c = a × (b × c) 0 × 5 = 0 et 5 × 0 = 0 1 × 3 = 3 et 3 × 1 = 3 3×2=2×3=6 (3 × 2) × 5 = 6 × 5 = 3 × (2 × 5) = 3 × 10 = 30 Pour prévoir un résultat ou vérifier le résultat d'une opération sans calculatrice 234,7 + 78,7 + 987,654 ≈2 3 0+8 0+1 0 0 0≈13 1 0 21,68 × 60,98 ≈ 2 0× 6 0≈ 1 20 0 fraction Soit a et b deux nombres, avec b 0, le quotient a : b peut s'écrire Une fraction est un quotient de deux nombres entiers: division euclidienne × 10 × 100 × 1000 × 0,1 × 0,01 × 0,001 → → → → → → 1 rangs vers la droite 2 rangs vers la droite 3 rangs vers la droite 1 rang vers la gauche 2 rangs vers la gauche 3 rangs vers la gauche a = q × 0,54 × 10 0,54 × 100 0,54 × 1000 0,54 × 0,1 0,54 × 0,01 0,54 × 0,001 b + r = = = = = = 5,4 54 540 0,54 0,054 0,0054 avec r < b dividende = quotient entier × diviseur + reste avec reste < diviseur 420 = 17 × 24 + 12 avec 12 < 24 3 8 a numérateur a b b dénominateur Pr ► Si k 0, alors Si k 0, alors multiplier par: a écriture fractionnaire b a axk = b bxk 3 3x5 15 = = 2 2x5 10 a a÷k = b b÷k 12 12 ÷ 4 3 = = 8 8÷4 2 Pr ► Simplifier une fraction, c'est donner une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits. 48 6x8 6 = = 56 7x8 7 On peut toujours déterminer une fraction égale au quotient de deux nombres décimaux: 3,5 3,5 x 2 7 = = 6 6x2 12 Prendre une fraction d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par une fraction: J'ai colorié les 3 3 des 100 cartes de Noël: × 100 (= 75) 4 4 Pour multiplier la fraction On peut passer d'un nombre de la première ligne au nombre correspondant de la seconde ligne en multipliant toujours par le même nombre × 2. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité. a par c, on peut: b échelle a × c b 15 × 7 = 3 × 7 = 21 5 105 a x c 15 x 7 = = 21 b 5 5 Pour diviser un nombre par 10, on le multiplie par 0,1 Pour diviser un nombre par 100, on le multiplie par 0,01 15 7 c × a × 7 = × 15 = 1,4 × 15 = 21 b 5 5 630 : 10 = 630 × 0,1 = 63 630 : 100 = 630 × 0,01 = 6,3 Longueur sur le plan (en cm) 1 1 × 200 proportionnalité Longueur réelle (en cm) 2 3 0,5 ×2 0 0 200 400 600 100 Utilisation de tableaux: Méthode additive: + Nombre de crayons Prix de vente (en €) 10 20 Lorsque les longueurs sur un plan sont proportionnelles aux longueurs réelles, on dit que le plan est à l'échelle. 1 1 cm sur le plan = 200 cm (ou 2 m), le plan est à l'échelle 200 25 50 35 70 pourcentage Nombre d'élèves du collège 100 350 + × Méthode multiplicative: Nombre d'élèves en 6ème 24 24 100 84 × 2 Nombre de crayons Prix de vente (en €) 10 20 20 40 60 120 Soit p un nombre donné. Pour calculer le p % d'un nombre, on multiplie ce nombre par Pour calculer 24 % de 350, on a 350 × × 2 ► Coe f f i c i e n tdepr o po r t i o n na lité: Nombre de crayons Prix de vente (en €) 10 20 1 5 2 10 50 ×2 100 24 = 350 × 0,24 = 84 100 p 100