Introduction de la loi normale centrée réduite

Brigitte C HAPUT - Claudine V ERGNE - Commission inter-IREM Statistique et Probabilités - Mai 2012 1
Ce document de formation est destiné aux enseignants. Il se conforme aux instructions du programme de
mathématiques des classes de Terminales (2011).
Sa lecture nécessite la connaissance des variables aléatoires discrètes, continues uniformes et
exponentielles.
Introduction de la loi normale centrée réduite
Les lois de probabilité discrètes donnant lieu à des calculs fastidieux dans certaines situations (par
exemple la détermination d'intervalles de confiance), on cherche à approcher les résultats par ceux de
calculs effectués avec des variables aléatoires continues à densité. Dans le cadre des programmes de
Terminales, ce problème est traité pour les lois binomiales approchées par des lois normales.
Pour les lois de probabilité discrètes, les probabilités sont représentées graphiquement par des hauteurs de
bâtons alors que pour les lois de probabilité à densité, les probabilités sont représentées graphiquement
par des aires de parties de plan comprises entre la courbe représentative de la densité et l'axe des
abscisses. Il importe donc dans un premier temps de représenter les probabilités de chaque valeur non
plus par une hauteur de bâton mais par une aire.
Soit n un entier naturel non nul et p un réel de ]0,1[. Pour une variable aléatoire X suivant la loi binomiale
de paramètres n et p, on a P(X = k) =
n
k
p
k
(1 − p)
n − k
, pour k entier naturel inférieur ou égal à n.
Pour représenter la loi de probabilité de X, on peut utiliser un diagramme en bâtons. On peut aussi, dans
notre perspective, construire un histogramme sur les classes  k −
1
2
.
, k +
1
2
d'amplitude 1, pour k entier
naturel inférieur ou égal à n. Chaque classe ne contient qu'une seule valeur de probabilité non nulle et
l'histogramme est formé des rectangles d'aire P k −
1
2
≤ X < k +
1
2
= P(X = k) =
n
k
p
k
(1 − p)
n − k
, pour k
entier naturel inférieur ou égal à n. Comme l'amplitude des classes est 1, la hauteur des rectangles est
n
k
p
k
(1 − p)
n − k
.
Représentations de la loi de probabilité binomiale B
BB
B (46 ; 0,35)
avec un diagramme en bâtons avec un histogramme
P(X = k)
k
représente une
probabilité de 0,1
k

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Quand n varie, on obtient des histogrammes qui diffèrent par leurs positions et par leurs dispersions.
Histogrammes de lois de probabilité binomiales B
BB
B (n ; 0,35)
n = 50
n = 200
n = 400
Fichier GeoGebra 1-binomiale histogramme.ggb
Pour réduire la variabilité, stabilisons dans un premier temps la position de l'histogramme en considérant
X − E(X). La variable aléatoire X − E(X) a pour espérance mathématique
1
E( ) X − E(X) = E(X) − E(X) = 0.
Pour cette raison, on qualifie X − E(X) de variable centrée
Représentons par un histogramme la loi de probabilité de X − E(X), c'est-à-dire de X − np sur les classes
k − np −
1
2
.
, k − np +
1
2
d'amplitude 1, pour k entier naturel inférieur ou égal à n. Chaque classe ne contient
qu'une seule valeur de probabilité non nulle et l'histogramme est formé des rectangles d'aire
P k − np −
1
2
≤ X − np < k − np +
1
2
= P(X = k) =
n
k
p
k
(1 − p)
n − k
, pour k entier naturel inférieur ou égal à n.
Comme l'amplitude des classes est 1, la hauteur des rectangles est 
n
k
p
k
(1 − p)
n − k
.
1
On utilise la propriété étudiée en classe de Premières : pour tous a et b réels E(aX + b) = a E(X) + b.
représente une probabilité de 0,1
représente une probabilité de 0,1
représente une probabilité de 0,1
k
k
k

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Histogramme de la loi de probabilité de X −
−−
− np pour p = 0,35
n = 50
n = 200
n = 400
Fichier GeoGebra 2-binomiale centrée histogramme.ggb
Reste la variabilité de la dispersion. Stabilisons-la en considérant la variable aléatoire
X − E(X)
σ(X)
.
Son espérance mathématique
2
E
X − E(X)
σ(X)
=
E
( )
X − E(X)
σ(X)
=
E(X) − E(X)
σ(X)
= 0,
X − E(X)
σ(X)
est encore centrée.
2
Voir note 1.
k
k
k
représente une
probabilité de 0,1
représente une
probabilité de 0,1
représente une
probabilité de 0,1
k

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Elle a pour écart-type
3
σ
X − E(X)
σ(X)
=
σ
( )
X − E(X)
|σ(X)|
=
σ(X)
σ(X)
= 1. Pour cette raison, on qualifie
X − E(X)
σ(X)
de
variable réduite.
Représentons par un histogramme la loi de probabilité de
X − E(X)
σ(X)
, c'est-à-dire de
X − np
np(1 − p)
sur les
classes 
k − np −
1
2
np(1 − p)
.
, k
− np +
1
2
np(1 − p)
d'amplitude 1
np(1 − p), pour k entier naturel inférieur ou égal à n. Chaque
classe ne contient qu'une seule valeur de probabilité non nulle et l'histogramme est formé des rectangles
d'aire P
k − np −
1
2
np(1 − p)
≤
X − np
np(1 − p)
<
k − np +
1
2
np(1 − p)
= P(X = k) =
n
k
p
k
(1 − p)
n − k
, pour k entier naturel inférieur
ou égal à n. Comme l'amplitude des classes est
1
np(1 − p)
, la hauteur des rectangles est
n
k
p
k
(1 − p)
n − k
np(1 − p) .
Histogramme de la loi de probabilité de
X −
−−
− np
np(1 −
−−
− p)
pour p = 0,35
n = 50
3
On utilise la propriété : pour tous a et b réels V(aX + b) = a
2
V(X) ou encore σ(aX + b) = | a| σ(X) qui fait défaut dans le
programme de Première.
k
représente une
probabilit
é de 0,1

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n = 200
n = 400
Fichier GeoGebra 3-binomiale centrée réduite histogramme.ggb
On obtient des histogrammes dont les positions et les dispersions, lorsque n varie, sont beaucoup plus
stables.
On peut constater que plus n augmente, plus le graphique évoque une "cloche". L'histogramme est limité
par l'axe des abscisses et une ligne brisée qui, lorsque n augmente, tend à se confondre avec la
représentation graphique d'une fonction f. Le mathématicien Abraham de Moivre a découvert que cette
courbe est la courbe représentative de la fonction f définie par f(x) =
1
2π e
−
1
2
x
2
.
k
k
représente une
probabilité de 0,1
représente une
probabilité de 0,1
k