Chapitre 5 – Probabilités Page 1 sur 6 PROBABILITÉS I

PROBABILITÉS
I. VARIABLES ALÉATOIRES
On note  l’univers associé à une expérience aléatoire (l’ensemble des issues ou éventualités). On suppose que
 est fini, c’est-à-dire qu’il y a un nombre fini d’issues et qu’une loi de probabilité p est définie sur l’univers .
Définition 1
Une variable aléatoire sur  est une fonction définie sur  qui à tout élément de  associe un réel.
Une variable aléatoire est souvent notée X, Y, Z.
Elle est dite discrète car elle prend un nombre fini de valeurs, l’univers étant fini.
Associer à chaque issue de  un gain (un gain négatif correspond à une perte) est un exemple classique de
variable aléatoire.
Définition 2
Soit E = { x1 , x2 , … , xk } l’ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X.
 On note (X = xi ) l’événement « X prend la valeur xi ».
 On définit la loi de probabilité de la variable aléatoire X en associant à chaque valeur x i
la probabilité de l’événement (X = x i ) , notée pi = p (X = xi ).
 Soit a et b deux réels. On définit la nouvelle variable aléatoire Y = a X + b associant à chaque issue,
à laquelle est associée xi, le réel yi = a xi + b. La loi de probabilité associe au réel yi le réel p (X = xi ).
(X = xi ) contient toutes les issues de  dont l’image par X est xi . C’est l’ensemble des antécédents de xi par X.
Un même réel xi peut être associé à plusieurs issues de  (xi peut avoir plusieurs antécédents).
k
On présente souvent la loi de probabilité avec un tableau. On a bien sûr 0  pi  1 et  pi = 1.

Définition 3
 L’espérance de la variable aléatoire X est le réel, noté E (X), défini par :
k
E (X) =  pi x i = ……

 La variance de la variable aléatoire X est le réel positif, noté V (X), défini par :
k
V (X) = pi (x i – E(X)) 2 = ……

 L’écart type de la variable aléatoire X est le réel positif, noté  (X), défini par :  (X) = √
.
C’est valeurs sont obtenues grâce au registre statistique de la calculatrice.
Dans le cas d’une variable aléatoire qui à chaque issue de  associe un gain, l’espérance est le gain moyen que
le joueur peut espérer à chaque partie, s’il joue un très grand nombre de fois.
Si E (X) < 0, le jeu est défavorable au joueur (E (X) est la perte moyenne qu’il peut espérer) ; si E (X) > 0 le jeu
est favorable au joueur (et défavorable à l’organisateur) et si E (X) = 0 le jeu est dit équitable.
k
Propriété 1 V (X) = E (X ²) – (E (X)) ² =  pi xi 2 – E(X)
2
= …[p1 x1 ² + p2 x2 ² + … + pk xk ² ] – (E (X)) ²

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Propriété 2 Soit X une variable aléatoire.
Pour tous réels a et b : E (a X + b) = a E (X) + b , V (a X) = a ² V (X) et  (a X) = …….
Voir exercice 1.
II. RÉPÉTITION D’ÉPREUVES IDENTIQUES ET INDÉPENDANTES
Définition 4 Soit une expérience aléatoire qui consiste à répéter, dans les mêmes conditions initiales,
plusieurs fois une même expérience appelée épreuve. On dit que ces épreuves sont indépendantes
lorsque le déroulement de l’une quelconque d’entre elles n’a aucune influence (de manière intuitive) sur
le déroulement des autres.
Les lancers successifs d’une pièce, d’un dé, la répétition de tirages, avec remise entre chaque tirage, … sont
des expériences répétées indépendantes.
Propriété 3 (principe multiplicatif) Lors de la répétition d’épreuves indépendantes, la probabilité d’une
liste ordonnée de résultats est égale au produit des probabilités de chacun de ces résultats.
Exemple 1 : Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux bleues, deux rouges, et une noire.
Une expérience aléatoire consiste à répéter deux fois l’épreuve « tirer au hasard une boule dans l’urne et noter
sa couleur », en remettant la première boule tirée dans l’urne après avoir noté sa couleur.
Ces deux épreuves sont indépendantes car on a un tirage avec remise.
Ce n’est pas le cas lors d’un tirage sans remise (la composition de l’urne est alors modifiée lors du 2 e tirage).
L’expérience comporte …
issues ou listes de résultats : BB, ......
On a : p (BB) = ……
; p (NR) = ……
et p (RN) = ……
L’expérience aléatoire peut être illustrée par un arbre pondéré.
1re boule
2e boule
B
R
N
Issues
Probabilités
B
→
→ 2/5  2/5 = 4/25
R
→ BR
→
N
→
→
B
→
→
R
→
→
N →
B →
→
R →
N →
→
→
Commentaires
Une branche est représentée par un segment ;
chacune porte une probabilité (son « poids »).
Un nœud est la jonction de plusieurs branches.
On associe à chaque chemin, constitué de
plusieurs branches, la liste des résultats lus en
le parcourant.
Ainsi le chemin en gras → B→ R représente
l’issue codée BR (tirage d’une bleue puis
d’une rouge).
→
Règles d’utilisation d’un arbre pondéré
Règle 1 (loi des nœuds) La somme des probabilités portées sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1.
Ainsi pour le 1er nœud du haut on a : ……
Règle 2 (loi des chemins) La probabilité d’une issue représentée par un chemin est le produit des probabilités
portées sur les branches de ce chemin.
Règle 3 La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des issues associées aux chemins qui
conduisent à la réalisation de A.
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Dans l’exemple 1, on considère l’événement A « On obtient un tirage unicolore ».
Il est réalisé par les issues …
et P (A) =
Exemple 2 : Sur le trajet d’un automobiliste se trouvent quatre feux tricolores. Ces feux n’ont pas été
synchronisés (ils fonctionnent de manière indépendante). Le cycle de chacun d’eux est réglé ainsi : 35 s au vert,
5 s à l’orange et 20 s au rouge.
Ici on répète ...
fois une épreuve dont la loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous :
Soit les événements : 





A : « Il rencontre trois feux verts puis un feu rouge » ;
B : « Il rencontre un feu rouge puis trois feux verts » ;
C : « Il rencontre un feu rouge et trois feux verts » ;
D : « Il rencontre exactement trois feux verts » ;
E: « Il ne rencontre pas de feu rouge » ;
F: « Il rencontre au moins un feu rouge ».
P (A) = p (VVVR) = ……
P (B) = …
Remarque : P (B) = …
P (C) = …
P (D) = ……
P (D) = ……
P (E) =
On en déduit P (F) =
III. LOI DE BERNOULLI
Définition 5
 Une épreuve de Bernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire qui ne comporte
que deux issues :  l’une appelée « succès », notée S, de probabilité p ;
 l’autre appelée « échec », notée E ou S , de probabilité ……
 Soit Y la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès
et 0 en cas d’échec, dont la loi de probabilité est donnée ci-contre.
Cette loi est appelée la loi de Bernoulli de paramètre p.
On dit que Y suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
Dans l’exemple 2, le passage à un feu est une épreuve de Bernoulli de
paramètre ……, en appelant succès « Rencontrer un feu rouge ».
L’échec est l’événement ……
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yi
0
1
P (Y = yi ) 1 – p
Issues
0
p
1
Probabilités
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Propriété 4
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p.
L’espérance de X est E (X) = … p et sa variance est V (X) = …p ( 1 – p ).
Calcul de V (X) : ……
IV. LOI BINOMIALE
Définition 6
 Un schéma de Bernoulli est une répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Un schéma de Bernoulli a deux paramètres : n le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli
et p le paramètre de cette épreuve (la probabilité d’un « succès »).
 Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli
de n épreuves de paramètre p.
La loi de probabilité de X est appelée la loi binomiale de paramètres n et p, notée b (n ; p).
On dit aussi que X suit la loi binomiale de paramètres n et p. On peut écrire X b (n ; p).
On peut représenter un schéma de Bernoulli de paramètres n et p par un arbre pondéré comportant …
chemins. Une issue représentée par un chemin peut être codée sous la forme d’une liste ordonnée dont les n
termes sont S pour « succès » ou E pour « échec ».
La probabilité d’une issue représentée par un chemin comportant k succès est
(règle …)
Pour obtenir la probabilité d’avoir k succès il suffit de multiplier cette probabilité par ……
Voir exercice 2.
Définition 7 On considère un schéma de Bernoulli de paramètres n et p représenté par un arbre.
Pour tout entier k, 0  k  n, on note ( ) (lire « k parmi n ») le nombre de chemins de l’arbre
correspondant à k succès. Ces nombres entiers sont appelés coefficients binomiaux.
Par convention, on pose ( ) =1.
Exercice 3
Compléter le tableau avec les arbres fournis en annexe ou avec la calculatrice.
Calcul de ( ) avec CASIO : OPTN  F3 (PROB) 5 nCr 2 EXE ;
Calcul de ( ) avec TEXAS : 5 MATH    (PRB) 3 (3 : nCr) 2 ENTER
n
k
3
0
1
2
3
0
1
4
2
5
3
4
0
1
2
3
4
5
( )
Propriétés des coefficients binomiaux
 Pour tout entier naturel n, ( ) = … ; ( ) = … et ( ) = …
 Pour tout entier naturel n et k tels que 0  k  n , ( ) = (
 Pour tout entier naturel n et p tels que 1  k  n – 1, (
).
)=( )+(
).
Cette égalité est appelée « la formule de Pascal ».
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Démonstrations :
 ( ) = … car il y a un seul chemin réalisant 0 succès : celui qui ne comporte que des échecs.
( ) = … car il y a un seul chemin réalisant n succès : celui qui ne comporte que des succès.
( ) = … car il y a un n chemins correspondant à 1 succès. Le succès peut être obtenu en 1 er, 2e, 3e …
) car lorsqu’il y a n – k succès, il y a … échecs. Compter les chemins réalisant n – k succès
 ( )=(
revient à compter les chemins réalisant k échecs.
 Parmi les chemins comportant k + 1 succès après n + 1 répétitions on en distinguer deux types :
 ceux qui commencent par un succès, au nombre de …
 ceux qui commencent par un échec, au nombre de …
k
Le triangle de Pascal : Le triangle de Pascal, représenté
n
ci-contre, permet de calculer, de proche en proche, les
coefficients binomiaux en utilisant la formule de Pascal.
0
L’entier ( ) est à l’intersection de la ligne n et de la colonne k 1
 On commence par supprimer (en les grisant par
exemple) les cases pour lesquelles le calcul n’a pas de
sens (…
2
 On place les valeurs évidentes
4
0
1
2
3
4
5
6
3
5
( ) = … , ( ) = … et ( ) = …
6
 On utilise, de proche en proche, la formule de Pascal.
Propriété 6
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale b (n ; p).
 Pour tout entier k tel que 0  k  n : P (X = k) = ( ) p k (1 – p) n – k.
 Son espérance est E (X) = n p et sa variance est V (X) = n p (1 – p).
On peut obtenir la loi de probabilité de X avec une calculatrice. Dans l’exemple ci-dessous X
b (10 ; 0,4).
CASIO
TEXAS
Dans le menu STAT, saisir dans List 1 : 0, 1, …, 10.
F5 (DIST), F5 (BINM), F1 (Bpd)
On efface préalablement les données qui figurent
éventuellement dans les listes L1 et L2.
STAT 4 (ClrList) ENTER (Edit) 2nd L 1 ,
Renseigner l’écran :
L 2 ENTER
F1 (CALC) EXIT EXIT
STAT ENTER pour saisir dans L1 : 0, 1, 2, …, 10.
Positionner le curseur sur L2.
2nd VARS (DISTR) 0 (binompdf) ENTER
1 0 , 0 . 4 ) ENTER
Voir exercice 4.
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Exercice 1 Un joueur mise 15 € puis lance successivement trois pièces de monnaie parfaitement équilibrées.
Il gagne 18 € s’il obtient trois fois Face, 17 € s’il obtient deux fois Face exactement ; 16 € s’il obtient une fois
Face exactement. On désigne par X la variable aléatoire qui donne la somme gagnée ou perdue à l’issue du jeu.
1.
Déterminer les valeurs prises par X et définir par une phrase l’événement (X = – 15).
2.a. Établir, à l’aide d’un arbre, la loi de probabilité de la variable aléatoire X en complétant les deux
premières lignes du tableau ci-dessous.
xi
TOTAL
Commentaire
pi = p (X = x i )
pi x i
pi xi2
b)
Calculer l’espérance E, la variance V et l’écart type  de X. Retrouver ces résultats avec la calculatrice.
3)
Le jeu est dit équitable lorsque l’espérance de X est nulle.
Quel devrait être le gain g du joueur, lorsqu’il n’obtient que des face, pour que le jeu soit équitable ?
Exercice 2 Dans la situation décrite dans l’exemple 2 on appelle X la variable aléatoire dénombrant le
nombre de feux rouges rencontrés par l’automobiliste sur son trajet.
1.
Justifier X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2.
Déterminer, à l’aide d’un arbre pondéré, la loi de probabilité de X.
3.
Calculer l’espérance de X. Interpréter ce résultat.
Exercice 4
Un élève répond au hasard aux 5 questions d’un QCM.
Pour chaque question, 3 réponses sont proposées, dont une seule est exacte.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses.
1.
Justifier que X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
2.
Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer son espérance et son écart type.
3.
Calculer la probabilité d’avoir au moins 1 bonne réponse, au moins 4 bonnes réponses.
4.
Le QCM comporte n questions. Soit A l’événement « l’élève obtient au moins une bonne réponse ».
Déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle la probabilité de A est supérieure à 0,99.
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