rappels mathematiques

A NNEXE : Rappels sur les notions de dérivée et différentielle
1. Pente d’une droite
Examinons géométriquement les droites dans le plan cartésien. La principale caractéristique
qui distingue une droite d’une autre est son inclinaison, que nous appelons coefficient
directeur ou pente de la droite. Un moyen naturel de mesurer la pente d’une droite est de
partir de n’importe quel point ),(
00
yx et de se déplacer le long de la droite de sorte que la
coordonnée de x s’accroisse d’une unité. La variation correspondante de la coordonnée y
s’appelle la pente de la droite.
Définition : Soient ),(
00
yx et ),(
11
yx deux points quelconques sur la droite (d), le rapport :
01
01
xx yy
a−
−
= s’appelle la pente de la droite (d). L’analyse de la figure montre que la pente de
(d) est indépendante des deux points choisis sur (d).
La pente d’une droite apparaît comme le taux de variation (ou taux de croissance)
des ordonnées par unité d'abscisse. Elle est constante le long de la droite.
2. Equation d’une droite
Maintenant cherchons à déterminer l’équation que doivent satisfaire les points situés sur une
droite donnée. D’abord, supposons que la droite (d) ait une pente a et que cette droite coupe
l’axe des ordonnées au point ),0( b. Ce point s’appelle l’ordonnée à l’origine de (d).
Considérons un point quelconque ),( yx de la droite, on sait par définition de la pente d’une
droite que : baxyaxby
x
by
a+=⇔=−⇔
−
−
=
0
.
La droite dont la pente est égale à a et dont l’ordonnée à l’origine est le point (0, b)
a pour équation : y = a x + b.
Remarque : On en déduit que les graphes des polynômes de degré 1 qui s’écrivent
baxxf
+
=
)( sont des droites, c’est pourquoi on appelle de telles fonctions des fonctions
linéaires si b est nul, et affines si b est non nul.
Interprétation :
La pente d’une droite est un concept clé pour l’économiste. Rappelons que la pente d’une
droite mesure la variation de y quand on se déplace le long de la droite en accroissant x d’une
unité. Par conséquent, la pente d’une fonction linéaire f mesure l’accroissement ou la variation
de f(x) pour chaque unité d’augmentation de x, elle mesure l’effet marginal sur f d’une
augmentation de x.
La pente d’une fonction linéaire f n’est rien d’autre que le taux de croissance ou
taux de variation unitaire de f, elle nous indique de combien varie f quand x varie d’une
unité.

Bien sûr une pente a positive indique que f croît de a quand x augmente de 1, donc que la
relation entre ces deux variables est croissante (c’est le cas des relations décrites par (d) et (d’)
sur la figure 1) ; et une pente négative indique que f diminue de |a| quand x augmente de 1,
c’est-à-dire que la relation entre les deux variables est décroissante (c’est le cas de la relation
décrite par (d’’) sur la figure 1).
Cette façon de concevoir la pente d’une fonction linéaire comme la représentation de son taux
de variation joue un rôle essentiel dans l’analyse économique. Si )(YCC
=
est une fonction
linéaire qui donne la consommation globale des ménages C en fonction du revenu national Y,
alors la pente de la fonction C mesure l’accroissement de la consommation globale quand le
revenu national augmente d’une unité. On l’appelle la propension marginale à consommer.
Exemple : 58,0
+
=
YC avec C la consommation globale et Y le revenu national. Comment
interpréter cette relation ? Elle nous indique que la consommation des ménages croît avec le
revenu national et qu’elle croît de 0,8 unité de revenu quand le revenu augmente d’une unité :
la propension marginale à consommer est égale à 0,8. Elle nous indique également que quand
le revenu est nul ( 0
=
Y) les ménages consomment quand même 5 unités de revenu (grâce à
leur épargne). Il y a donc un niveau de consommation incompressible, au-dessous duquel on
ne peut descendre (celui qui correspond à la satisfaction des besoins élémentaires), et qui est
indépendant du revenu (on l’appelle la consommation autonome). De manière plus générale,
on pourrait écrire cette famille de fonction de consommation globale de la manière suivante :
CcYC += avec c et Cdeux réels positifs. c représente la propension marginale à
consommer le revenu et Cla consommation incompressible.
∆y < 0
∆x=1
y
∆x’
(d’’)
a
∆x=1
∆y > 0
1
1
(d) : y = a x + b
b
a
'
'
x
y
x
y
a∆
∆
=
∆
∆
=
x
∆y’
(d’)
Fig.1. Pentes de droites dans le plan

3. Cas particuliers
• Droite parallèle à l’axe des abscisses : une droite parallèle à l'axe des abscisses a une
équation de la forme y = b où b est un nombre qui mesure la hauteur algébrique (positive
ou négative) de la droite par rapport à l'axe des abscisses. On dit parfois qu'une telle droite
est horizontale. Tous les points d'une telle droite ont la même ordonnée : c'est b. Sur la
figure 3, les droites (d1) et (d2) ont pour équations respectives y = 3 et y = -2.
La pente d'une droite horizontale (parallèle à l'axe des abscisses) est nulle : a = 0 une telle
droite entre dans le cadre des équations de la forme baxy
+
=
.
Interprétation : Quelle est la signification d’une telle relation y = b ? Elle indique
simplement que y est indépendant de x : quand x varie d’une unité, y ne varie pas ( 0
=
a)
mais reste égale à b.
Exemples :
- La consommation incompressible de l’exemple précédent, indépendante du revenu Y,
peut être représentée graphiquement par la droite horizontale d’équation CC =dans
le repère (Y, C) (figure 2).
- Typiquement, l’investissement I dépend du taux d’intérêt réel r : plus le taux d’intérêt
réel est élevé, plus le coût de l’investissement est élevé et moins on investit. Mais on
peut également penser que, pour une part, l’investissement est indépendant du taux
d’intérêt. Comment traduire en langage mathématique et le plus simplement cette
relation entre I et r ? Si l’on écrit : IrI += α , avec I et 0 < α un réel positif, que l’on
peut représenter graphiquement dans le repère ),( Ir par une droite décroissante de
pente
α
et d’ordonnée à l’origine
I
, on traduit bien la relation décrite précédemment.
Si r augmente de 1, I varie de
α
, c’est-à-dire diminue puisque
α
est supposé négatif.
Mais la fonction d’investissement choisie montre bien également qu’une part de
(C) : C= 0,8 Y + 5
1
5 =C
C
1
c = 0,8
Y
Fig.2. Fonction de consommation
0
CC =

l’investissement est déterminée indépendamment du taux d’intérêt puisque quand r =
0 l’investissement est égal à
I
et cette part ne varie pas quand r varie, c’est ce que
l’on appelle l’investissement autonome qui est représenté graphiquement par la droite
horizontale d’équation I=
I
dans le repère ),( Ir (figure 3).
• Droite parallèle à l’axe des ordonnées : une droite parallèle à l'axe des ordonnées
possède une équation de la forme x = k où k est un nombre qui mesure l'écart algébrique
de la droite par rapport à l'axe des ordonnées. On dit parfois qu'une telle droite est
verticale. Tous les points d'une telle droite ont la même abscisse : c'est k. Sur le dessin, les
droites (d3) et (d4) ont pour équations respectives x = -2 et x = 3.
Une droite verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) n'a pas de pente au sens propre. Son
équation de type x = k n'est pas de la forme baxy
+
=
: c'est un cas spécial, on peut parler
de pente infinie !
Interprétation : Quelle est la signification d’une telle relation x = k ? Elle indique qu’une
variation unitaire de x conduit à une variation infiniment grande de y. Sur la figure 4, on
voit bien que ce cas correspond au cas limite d’une droite très pentue (d5), c’est-à-dire
d’une relation où y est très sensible aux variations de x.
Exemple : Typiquement, les agents ont le choix entre conserver leur épargne sous forme
liquide (conserver de la monnaie) ou la placer sous forme de titres. Selon Keynes, cet
arbitrage, et donc la quantité de monnaie et de titres que les agents vont demander, dépend
du taux d’intérêt nominal i en ce qu’il détermine le rendement des titres (la monnaie quant
à elle a un rendement nul). Son analyse est la suivante : si le taux d’intérêt i est élevé, un
grand nombre d’agents anticipent qu’il a de grande chance de baisser demain et qu’ils ont
donc intérêt à acheter des titres aujourd’hui, puisque les titres émis demain auront un
rendement plus faible. Si au contraire, le taux d’intérêt est faible, la plupart des agents
anticipent qu’il risque d’augmenter, et donc que les titres émis demain à ce taux seront
mieux rémunérés, ils ont donc intérêt à attendre demain pour acheter des titres et
conserver leur épargne sous forme liquide, c’est-à-dire demander de la monnaie. Donc
plus le taux d’intérêt est faible, plus les agents seront nombreux à demander de la monnaie
plutôt que des titres. Au niveau agrégé, la demande de monnaie notée L est donc une
fonction décroissante du taux d’intérêt nominal i. Maintenant considérons une situation
dans laquelle le taux d’intérêt est très faible, si faible que personne n’anticipe qu’il peut
|
(d2)
IrI +
++
+=
==
= α
αα
α ( a = α )
(d1)
1 _
y = 3
y = -2
x
y
r
I
Fig.3. Droites horizontales
I
I
=
==
=
(
a
=
0
)
1
I
Fonction d’investissement

encore baisser. Tout le monde anticipant que i ne pourra être que plus élevé demain, donc
que les titres émis demain auront un rendement plus élevé que ceux émis aujourd’hui,
personne ne voudra acheter de titres aujourd’hui et tout le monde voudra conserver son
épargne sous forme monétaire : la demande de monnaie devient infinie. L’économie est
alors dans ce que Keynes appelle « la trappe à liquidité », toute épargne supplémentaire
sera thésaurisée par les agents.
Comment représenter graphiquement cette analyse de la demande de monnaie pour motif
de spéculation ? On a une relation décroissante entre la demande de monnaie et le taux
d’intérêt pour
min
ii > et en dessous de
min
i plus personne ne veut détenir de titres, quel
que soit son niveau d’épargne, la demande de monnaie devient infinie, on peut alors la
représenter par une droite verticale d’équation
min
ii = (cf. figure 4).
4. Pente des fonctions non linéaires et dérivée
Nous venons de voir que la pente d’une droite, en tant que mesure d’un effet marginal, était
un concept clé pour les fonctions linéaires en théorie économique. Cependant, la grande
majorité des fonctions qui apparaissent dans les applications ne sont pas linéaires. Comment
mesure-t-on alors les variations pour ces fonctions non linéaires ?
Considérons l’étude de la fonction non linéaire )(xfy
=
et supposons que nous soyons au
point ))(,(
AA
xfx sur le graphe de f. Nous voulons mesurer le taux de variation de f ou
l’inclinaison du graphe de f lorsque
A
xx = . Une solution naturelle de ce problème consiste à
tracer la tangente au graphe de f en
A
x , comme le montre la figure 5. Dans la mesure où la
tangente est une bonne approximation de f au voisinage de ))(,(
AA
xfx . Sa pente, devrait être
une bonne mesure de la pente de la fonction f en
A
x . Remarquons que pour des fonctions non
linéaires, la pente de la tangente varie d’un point à l’autre (cf. figure 5).
x = 3
y
x
1
(d3) (d4)
| | | | |
L
i
L=L( i )
min
i
Fig.4. Droites verticales
x = - 2
|
(d5)
∆
x
∆y
Demande de monnaie