Olympiades de la Physique 2017 Diamagnétisme du bismuth
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Olympiades de la Physique 2017 Diamagnétisme du bismuth (Mise en évidence d'une répulsion magnétique universelle : Le phénomène diamagnétique.) LAFON Timothé RECROIX Martin Lycée René Cassin, Bayonne Professeurs assistants : Jean-Paul Bruyère, Sylvie Champault, Alban Lamendin, R és um é D ep ui s q uel q ues a nnée s, no us a vi on s c on nai s sanc e de l ’ exi st en ce d ’ un e f or ce ma gnét i que d e r épu l si o n l i ée à une pr opr i ét é de l a mat i èr e a pp el ée di a ma gnét i s me . N ous a vo ns do nc voul u a ppr e ndr e pl us d e c hos es sur ce méca ni s me q ui no us ét ai t , al or s , e ncor e obs cur . N o us a vons d onc c her c hé un mat é r i au q ui pui sse n ous p er met t r e d ’ ét u di er l e ph én o mène à t e mp ér at ur e a mbi a nt e : l e bi s mut h. E ns ui t e , no us a vons ét u di é l e s pr o pr i ét é s ma gnét i qu es de s ai mant s e n ef f ec t ua nt sur t out u ne e xpér i enc e sur l ’ i nt er act i on e nt r e deu x ai ma nt s à di f f ér e nt es di st an ces : c o mpe nsat i on d u p oi d s d’ u n p et i t ai mant né od yme ( N dF eB) p ar u n aut r e. Par l a sui t e, nou s a vons r éf l éc hi à u ne e xpér i en ce qui pouva i t per me t t r e de m e t t r e en é vi de nce l e p hén o mèn e de r é pul si on di a ma gnét i que a vec du bi s mut h d ont n ous avo n s f ai t l ’ a cq ui si t i o n. C ’ est gr âce à ce t t e ét u de du di a ma gn ét i s me que n ous a vons vr ai me nt e nr i c hi n os con nai s sanc es d ’ un e mul t i t ud e d’ él éme n t s sur l e ma gn ét i sme et sur l ’ i nt er act i on des c ha mps ma gnét i qu es a ve c l a mat i èr e. 2 SOMMAIRE p.4 PARTIE 1 : RECHERCHES p.4 I) In tro du ct io n a u ma g nét is me p.4 p.4 a) H is to ir e d u ma g n ét i s me b ) Dé fi ni tio n d u ma g né t is me p.4 I I) Le s diff ére nt s t y pe s de ma g n ét is me p.4 p.5 a) E xp l ica tio n d e s p hé n o mè n e s b ) Dé ter mi n at io n d u ma g né ti s me p.7 PARTIE 2 : LE PROJET p.7 I) Pr épa ra tio n de l' e xp é rie nce p.7 p.8 p.8 p.8 p.1 0 1) 2) 3) 4) 5) p.1 1 I I) Etu de d u ph éno mè ne dia ma g nét iq ue da n s l e ca d re du p ro jet p.1 1 1 ) Co mp o r te me n t d 'u n d ip ô le ma g né tiq u e d a n s u n c h a mp ma g n ét iq ue e xté r ie ur p.1 1 p.1 1 p.1 2 a) I ntro d u ct io n b ) E xp li ca tio n s c) Ré s ul tat p.1 2 2 ) Ana l ys e d e l 'e xp ér i e n ce : p.1 2 p.1 2 p.1 5 a) P o s iti o n ne me n t b ) Le c h a mp ma g n ét iq ue i nd ui t u n c h a mp é lec tri q ue , q uel e st le rô le d e ce d er ni er ? c) Le c ha mp éle ctr iq ue p r écéd e n t i nd ui t u n no u ve a u c ha mp ma g n ét iq ue d ) R éac tio n d u s ys t è me p.1 7 AJ O UT S p.1 9 BILAN p.1 4 Co nd it io ns In it ia li sa tio n Dé ter mi n at io n d e la v ale ur d e P Dé ter mi n at io n d e la v ale ur d e F Co n cl u sio n p ar t ie lle 3 PARTIE 1 : RECHERCHES I) Introduction au magnétisme a) Histoire du magnétisme Les premières obser vations du magnétisme r emontent à l 'Antiquité. En effet les grecs et d’autres civilisations savaient que certaines p ierres attiraient des petits morceaux de fer, ( la magnétite est , par exemple, une roche naturellement magnétique) . Mais le phénomène n'a été étudié avec attention qu'à partir du XV IIIe siècle. Charles Augustin de Coulomb établit alors que les forces qui s'exercent entre deux pôl es magnétiques sont inversement proportionnelles au carré de la distance qui les sépare. Le ter me de magnétisme dési gne l 'ensemble des phénomènes qui ont lieu au cœur et autour de matériaux ai mantés. Les applications du magnétisme s ont nombreuses, et très répandues : électroménager, décoration, … b) Définition du magnéti sme Le magnétisme est t ouj ours associé au mouvement de char ges électriques, qu'il soit à l 'échelle macroscopique (comme le champ magnétique créé par un courant électri que) ou bien à l 'échelle microscopique ou atomique (champs magnétiques résultant des mouvements d'électrons dans les atomes suite par exemple à l 'inter action spin -orbite). Bi en entendu il faut prendre en compte le comportement collectif, de l 'ensemble des char ges en mouvement dans la matière pour déter miner ses différents types de propriétés magnétiques. Auj ourd'hui, il est admis que le magnétisme est un phénomène quantique dont les effets s'obser vent à l 'échelle macroscopique. Au niveau de l 'atome, chaque électron possède un petit moment magnétique. Naturellement, les électrons de moments magnétiques opposés ont tendance à se regrouper par pai res (comme deux ai mants se collant l’un à l’autre par leurs pôles opposés) et, à l 'échelle macroscopique, l 'ai mantat ion est alors nulle. Mais, si des électrons se retrouvent sans partenaires, leurs moments magnétiques s'additionnent. Ils produisent alors une aimantation globale du matériau. Les métaux de transition (fer, nickel, etc.) et les terres rares, sont les seuls éléments à porter un t el moment magnétique. II) Il y a - Les différents types de magnétisme différente s mani festations du magnétisme ou types de magnét isme: Le diamagnétisme Le paramagnétisme Le ferromagnétisme a) Explication des phénomènes Dans de nombreux cas , les électrons for ment dans les atomes des paires de particules en mouvement opposé , de manière à avoir un moment magnétique t otal nul. Ainsi la majorité des atomes et des molé cul es ne produisent pas de champ magnétique propre. Mais ils possèdent tous une réponse magnéti que lorsqu’on le s soumet à un champ magnétique extérieur. Une très grande parti e des substances soli de s, liquides, gazeuses ou or ganiques sont très faiblement magnétiques. Elles sont repoussées par un aimant produisant un champ très puiss ant. Faraday a été le premier à obser ver ce phénomène en 1845. Il se nomme le diamagnéti sme. Le diamagnétisme est associé au mouvement or bital des électrons atomi ques. 4 S’ils sont soumis à un champ leur moment cinét ique est légèrement modifié et l e mouve ment associé à cette modifi cation produit alors un champ qui s’oppose au champ appliqué. Ainsi, le diamagnétisme est présent dans toutes les substances et on peut l’observer s’il n’ est pas contrebalancé par un autre phénomène plus fort. Des expériences ont été réalisées et des scientifiques ont réussi à faire léviter un or ganisme vi vant : une gr enouille, et de nombreux obj ets (eau, noisette, fruits, …) dans un champ magnétique très puissant de 16 Tesla au laboratoire Nijmengen High Field Magnet Laboratory. Cette expérience per met de montrer l’univer salité du diamagnétisme. En résumé, un matéri au diamagnétique est un matériau qui crée un champ magnétique en opposition à un champ mag nétique externe appliqué . Ce faible champ opposé produit une force de répulsion. Les matér iaux avec un diamagnétism e assez puissant sont l’or, le cui vre , les supraconducteurs et le bismuth que nous allons étudier dans notre expérience. Si un atome est constitué d’ un nombre i mpair d’électrons ou caractérisé par une configuration telle que tous les élec trons ne for ment pas des pai res, l’atome possède un dipôle magnétique total qui produit son propre champ magnétique. De telles substances sont dites paramagnétiques. Si elles sont placées près d’u n ai mant puissant, les dipôles s’ orientent selon la direction et le sens du champ extérieur , ainsi le corps s’aimante et se trouve attiré par l’aimant. L’attraction est toutefois relativement faible et l’aimantation cesse dès que le champ extérieur est suppri mé. Toutefois, dans un échantill on contenant un grand nombre d’atome s (par exemple un petit cylindre en bismuth ), ces dipôles s’orientent au hasard , le moment magnétique résultant est alors nul. Ainsi l’échantillon de matière peut s’ avérer être diamagnét ique alors qu’à l’échelle de l’atome l’élément est paramagnétique. Le dernier des 3 t ypes maj eurs de magnétisme est le ferromagnétisme. Exemples de subst ances ferromagnétiques : corps constitués de fer, d e cobalt ou de nickel (atomes, composés de t ype oxyde, alliages – le plus connu éta nt l’acier). On trouvera là aussi des confi gurations dans lesquelles les électrons ne for ment pas tous des paires. Mais le dipôle total d’un atome ferromagnétique interagit fortement avec les dipôles voisins, et il s s’alignent dans une direction commune qui persiste au cours du temps. Ces substances sont fortement attirées par les pôles d’un aimant et s’ai ma ntent facilement elles -mêmes. Elles deviennent alors des ai mants per manents (c’est le procédé utilisé de nos j ours pour créer des aimants). Le matériau crée un champ puissant dans la même direction que le champ externe qui s’exerce sur lui, c’est ce qui crée cett e force d’attraction importante entre le fer et un ai mant par exemple. b) Déter mination du magnétisme Un moyen assez si mpl e de déter miner le t yp e de magnétisme d’un matériau est d’étudier la susceptibilité magnétique du matériau notée χm. Cette grandeur correspond à la réaction du matériau lors de l’exposition à un champ magnétique externe. Cette interaction provoque l’apparition d’un champ magnét ique propre généré par le matériau qui, diri gé selon la direction du champ extérieur va se trouver soit dans le même sens , soit dans l e sens opposé à celui du champ extérieur. Si le champ extérieur appliqué est fort alors, par propor tionnalité , la réaction va être grande, c’est pour cel a que les scientifiques ont pu faire léviter le corps de la grenouille avec un champ magnétique pui ssant (celle -ci assez légère avait besoin d’un champ puissant mais qui était possible à générer pour que les propriétés di amag nétiques des mol écules qui la compose nt soient suffisamment puissantes pour faire léviter l e corps). Les différent s cas possibles sont présentés page sui vante. 5 - χmest négatif et fai ble : le matériau est di t diamagnétique. Les champs sont opposés il y a un phénomène de répulsion faible. - χmest positif et faible : on parle de matériau paramagnétique. Les champs sont ali gnés l’attraction est faible. - χmest positif, et élevé : dans ce cas le mat ériau est dit ferromagnétique . Les champs sont ali gnés l’attraction est forte. 6 Partie 2 : LE PROJET INTRODUCT ION : Notre proj et, notre expérience, sont centrés sur un phénomène bien particulier : faire rentrer le systè me étudié, i ci un petit aimant per mane nt (qui sera dénommé « le système » dans toute la suite de l’exposé ), dans un état de lévitation, ceci dans le but d'amener un argument pouvant éventuellement prouver l’ existence d’un phénomène diamagnétique en cas de réussite. Pour cela, commençons par essayer de définir ce qu'est la lévitation. La lévitation est un état : lorsque qu'un corps atteint un équilibre sans contact quelconque avec une surface matérielle dans la mesure où son poids est compensé par une ou plusieurs forces e xtérieures, on dit qu'il lév ite (les actions de l’ai seront négli gées dans le cadre de nos expériences) . Toutes les forces s'appliquant sur le système doi vent donc se compenser, s'annuler, afin qu'il atteigne cet état. On peut alors dire : ⃗ = ∑𝐹 ⃗⃗𝑖 0 𝑖 Ici on considérera que seulement trois forces s'appliquent sur le système : - Le poids 𝑃⃗ du système. - La force magnétique attractive de l 'ai mant n°2 ( voir schéma page suivante) sur le système. - Reste notre diamagnétisme, mais son effe t sera étudié plus tard. Nous appellerons la force inconnue compensant l e poids restant "X". I)Préparation de l'expérience 1) Conditions : Nous considérons dans le cadre de notre expérience que le système ne peut potentiellement se déplacer que sur un unique axe vertical. Les vecteurs représentant les forces précédemment citées sont colinéaires à cet axe, nous les ét udierons donc dans un repère unidi mensionnel caractérisé par l'axe "y". En effet l 'axe sur lequel nous travaillons est considéré comme p erpendiculaire par rapport à un plan tangent à la surface de l a Terre, en un point où est situé le système sur cette même surface. y 7 2) Initialisation : Posons le problème de manière intuitive : si le système lévite, alors cela veut dire que la somme des vecteurs représentant les trois forces s'appliquant à ce dernier est égale au vecteur nul . Le poids est une force attractive exercée par la Terre sur le système, et de ce fait dirigée verticalement vers le bas ( vecteur r ouge sur le schéma) . La force induite par l 'ai mant n°2 sur le système est également attractive. Cet ai mant étant placé sur l 'axe, au dessus du système, le vecteur représentant cette force est dirigé vers l e haut. Cette force ne compense que partiellement le poids mais nous y revien drons pl us tard. Il reste donc une troisième force, notre inconnue, compensant le reste du poids, "X". On a donc : ⃗ = 𝑃⃗ + 𝐹 + 𝑋 0 aimant n°2 bismuth système bismuth (1) Essayons désor mais de rechercher les valeurs de ces f orces, car pour trouver la valeur de X, il nous faut connaître les valeurs de P et de F. 3) Déter mination de la valeur de P : Nous travaillons ici à une altitude y = h proche de la surface terrestre (l'altitude h est telle que h˂˂R T , avec R T le rayon terrestre). Le poids du système 𝑃⃗ a donc une nor me P telle que P = mg, avec m la masse du système expri mée en kg et g l 'accélération nor male de la pesanteur terrestre, constante de valeur approxi mati ve g = 9.806 m.s - 2 . En pesant notre système, on trouve m = 0.92 g = 9.2×10 - 4 kg, P = mg, P = 9.2×10 - 4 ×9.806 = 9.0×10 - 3 N. 4) Déter mination de la valeur de F : Cette partie est quelque peu délicate, nous ne prendrons là en compt e que l 'interaction entre les deux ai mants. Nous travaillerons, par soucis de si mplicité, par rapport au poids, cher chant la proportion de poids compensée par cette force plutôt que sa valeur en elle -même. Pour cela, nous allons avoir recours à une expérience qui nous per mettra de déterm i ner la valeur de cet te force (𝐹 (f→s)) Le principe de cette expérience est le sui vant : - fixer le système à une balance de précision au 1/1000 è m e de gramme (la balance en quest ion fonctionnant avec un dispositif utilisant un champ magnétique, la présence de notre système (aimant) perturbe les mesures, il faut donc l e surélever avec un obj et quelconque et tarer la balance, voir fi gure page sui vante ). 8 - mesurer sa masse lorsqu’ aucune force non négli geabl e autre que le poids n'est appliquée sur le système. On considère alors un axe y', colinéaire de même sens à y, et passant par l e système. Sur ce même axe, au dessus du système, on place l 'ai mant n°2, de sorte à être à la distance mi ni male du système pour ne relever aucune interaction not able, on appelle la distance entre les deux ai mants "r" (la masse affichée est la même que dans les conditions initiales, où l 'on considère qu'aucune force n'est appliquée au système mis à part son poids, cependant, si on réduit r, la masse se modifie). Nous nommons cette valeur r 1 , distance entre y' r les deux ai mants à par tir de laquelle 𝐹 ne compense pas le poids. - Maintenant que nous avons déter miné r 1 , nous allons chercher r 0 , distance maxi male entr e le deux ai mants sur y' pour que le poids du système soit totalement compensé. Nous faisons donc varier r, pour atteindre la valeur de r maxi male pour laquelle la balance affiche 0. Interprétons ces résultats : - pour r = r 1 , 𝐹 ne compense pas le poids, on peut dire de F(f→s) = 0. - pour r = r 0 , 𝐹 compense totalement le poids, F = P et 𝐹 = -𝑃⃗, F = mg. Nous avons les val eurs r 0 et de r 1 , nous allons maintenant faire vari er r sur y' tel que r 0 < r < r 1 , et noter les valeurs de masses affichées par la balance. Nous avons pu déter miner la valeur de la " masse apparente" du système (en effet sa masse réelle ne change pas) en f onction de r notée m(r). Nous avons précédemment expliqué que nous allions utiliser la for mule P = mg dans le cadre de nos expériences. On peut écrire P(r) = m(r) ×g, nous donnant le "poids apparent" du système en f onction de r. P(r) est en fait la valeur du poids non compensé par l 'interaction magnétique 𝐹 (f→s). Mais nous cherchons la valeur de F en fonction de r (ici, F repr ésente donc la valeur de poids compensée), F(r), or P(r) que nous avons obt enu est le poids du système P sans la partie compensé e par F(r) tel que : P(r) = P - F(r), de ce fait : F( r) = P - P(r). On trace alors la courbe (page suivante) lui étant associée pour obtenir la valeur de F en fonction de la distance entre le système et l'ai mant n°2 sur y. 9 F(r) en N r0 r1 r en cm 5) Conclusion partielle : Revenons sur la for mule (1) : ⃗ = 𝑃⃗ + 𝐹 + 𝑋. 0 Ne peut -on remarquer une si militude avec 0 = P - F(r) - P(r)? ⃗ = 𝑃⃗ + 𝐹 + 𝑋 : En partant de 0 - sachant que 𝐹 et 𝑋 sont de sens opposé à 𝑃⃗, on peut écrire 0 = P - F - X, - et F(r) étant la nor me de 𝐹 ∶0 = P - F(r) - X. Alors X = P - F(r) = P(r). X a donc pour valeur, la partie du poi ds non compensée par la force exercée par l 'ai mant n°2 sur le système. X est donc la valeur d'une force associée au diamagnétisme qui peut nous donner une idée de l’intensité de ce phénomène. Ici, X = 9.0×10 - 3 - F(r ). Cherchons maintenant à comprendre comme cela fonctionne, et comment la présence de bismuth, métal connu pour être fortement diamagnéti que, per mettra de fair e léviter notre système dans le cadre d’une deuxième expérience. 10 II)Etude du phénomène diamagnétique dans le cadre du projet 1) Comportement d'un dipôle magnétique dans un champ magnétique extérieur : a) Introduction : Lorsque deux dipôles magnétiques (alignés sur un même axe) créent chacun un champ de sens opposé à celui de l 'autre ( voir schéma ci -dessous), ces deux dipôles se repoussent. Si l 'on étudie l 'un des deux ai mants dans la situation précédente, on étudie le comportement d'un aimant lorsqu'il est tr aversé par un champ magnétique extérieur opposé à s on propre champ. Si cela est possible, le dipôle va alors tenter d'accorder le sens de son moment magnétique avec le champ extérieur, en se retournant par exempl e, dans le cas d'un ai mant per manent. b) Explications : Ceci s'explique par le fait q ue ce dipôle cherche à atteindre un état d'équilibre le plus stable possible, c'est à dire avec le mi ni mum d'éner gie potentielle. Or l 'éner gie pot entielle d'interaction d'un dipôle magnétique 𝜀𝑝𝑚 avec un champ magnétique extérieur vaut : 𝜀𝑝𝑚 = ⃗ −µ ⃗ .𝐵 ⃗ le champ magnétique extérieur en Tesla T. avec µ ⃗ le moment magnétique du dipôle en J.T - 1 , et 𝐵 Dans la situation initiale, où les ai mants se repoussent, on a : 𝜀𝑝𝑚 = −µ × 𝐵 × cos 𝛼, avec 𝛼 = 180° ( µ⃗ de sens opposé à 𝐵⃗), donc cos 𝛼 = -1, et 𝜀𝑝𝑚 = µ × 𝐵. Si le dipôle magnétique par vient à accorder le sens de son moment magnétique avec le sens du champ extérieur, al ors 𝛼 = 0°, cos 𝛼 = 1, et 𝜀𝑝𝑚 = −µ × 𝐵. Or −µ × 𝐵 ˂ 0 et −µ × 𝐵 ˂ µ × 𝐵, donc dans la deuxième situation, l’ énergie potentielle étant plus faible, l 'équilibre du système sera plus stabl e. C'est pour cela qu'un ai mant per manent dans cette situation se retourne si cela est possible. 11 Lorsque ce n'est pas l e cas, cherchant touj ours à atteindre un équilibre stable, il s'éloi gne de la "zone de champ fort", il cherche à atteindre une zone avec la plus f aible valeur de B possi ble, car ⃗ à deux positions spatiales différentes, tels que B 1 ˂ si l 'on considère B 1 et B 2 , deux valeurs de 𝐵 B 2 , on a µ × 𝐵1 ˂ µ × 𝐵2 et 𝜀𝑝𝑚1 < 𝜀𝑝𝑚 2 et donc un état plus stable à la position 1 qu'à la position 2. c) Résultat : On peut donc dire qu'un dipôle magnétique traver sé par un c hamp magnétique extérieur et ne pouvant accorder son moment magnétique avec ce champ extérieur va chercher à se positionner dans des "zones" où la valeur du champ est la plus faible possible. Ceci est très important pour la suite. y 2) Anal yse de l 'ex périence : Considérons maintenant notre deuxième expérience. a) Positionnement : Notre système est un dipôle magnétique, avec un pôle nord et un pôle sud, nous décidons d'orienter le pôle nord vers le haut, mais nous verrons plus tard que cela n'a pas d'i mportance. Le moment magnétique du système est donc colinéaire à y et dirigé vers le haut, les deux cylindres de bismuth sont donc traversés par un champ magnétique extérieur dirigé vers l e haut (selon l’axe Oy). b) Le champ magnétique induit un champ électrique, quel est le rôl e de ce dernier? Sous l 'effet du champ magnétique créé par le système, électrique. Ceci est montré par l’ équation de Maxwell : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = − 𝑟𝑜𝑡 le bismuth va créer un champ ⃗ 𝑑𝐵 𝑑𝑡 12 Nous ne l 'expliquerons pas ici en détails, cependant, on constate que si la valeur du champ magnétique est constante, sa déri vée en fonction du temps est nulle et aucun champ électrique n'est créé. Mais nous retiendro ns seulement deux choses de cette for mule : du champ magnétique variable r ésulte un champ électrique qui va influencer le comportement des électrons de l 'atome. En effet, la for mule 𝐹 = 𝑞𝐸⃗ , décrivant une force associée à ce champ électrique, s'appliq ue sur les électrons (chargés négativement), et cette force est proportionnellement opposée au sens et à la direction du champ électrique 𝐸⃗ (car q < 0). De ce fait, selon le sens ∆ de rotation des élect rons aut our des noyaux, certains verront la valeur de leur vitesse di minuer, d'autres la ⃗ =𝐵 ⃗ (𝑡 + 𝑑𝑡) − 𝐵 ⃗ (𝑡) ) verront augmenter ( voir schéma) . ( ∆𝐵 ∆ Mais comment pouvons -nous défini r le positionnement et le sens dans lequel appar aît le champ électrique sur le disque associé à la traj ectoire consi dérée circulaire de l 'électron? Cette traj ectoire circulaire délimite donc un disque. On fait alors intervenir un nouveau vecteur : ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 . Il représente une longueur élémentaire du cercle déli mitant le disque.. ⃗⃗⃗ sur un cercle Nous allons présent er ce qu'est 𝑑𝑙 quelconque : un cer cle est un ensemble (infini) de points, on peut associ er à chaque point une tangente au cercle. ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 étant un vecteur particulier à chacune de c es ⃗⃗⃗ colinéaire à la tangente en différentes positions, à chaque p oints du cer cle on peut associer un 𝑑𝑙 questions. On peut choisir le sens de ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 arbitrairement. Une autre manière de considérer le disque est de le considérer comme une infinité de surfaces élémentaires. À chaque surface élémentaire on peut associer un autre vec teur, ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠, nor mal à la surface. Tous les ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 du disque sont colinéaires de même sens. ⃗⃗⃗⃗ par rapport à ⃗⃗⃗ Reste maintenant à savoir comment placer 𝑑𝑠 𝑑𝑙 . Pour ce faire, on utilise l a règle dite de la main droite : en longeant le cercle avec sa ma in droite, les doi gts en avant et la ⃗⃗⃗ , 𝑑𝑠 ⃗⃗⃗⃗ est diri gé dans le paume vers le centre du cercle, dans le sens dans lequel "tournent" les 𝑑𝑙 même sens que le positionnement du pouce (il reste nor mal au disque, mais ceci per met de déter miner son sens ) . Ces deux vecteurs étant maintenant introduits, nous allons pouvoir les utiliser. Il nous faut tout d'abord transfor mer l 'équation de Maxwell précédemment citée : ⃗ 𝑑𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝑡𝐸⃗ = − 𝑑𝑡 est équi valent à ⃗ 𝑑𝐵 𝑟𝑜𝑡𝐸⃗ . ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = − ∬ 𝑑𝑡 . ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 ∬ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D'après le théorème de Stokes que nous ne détaillerons pas, on peut transformer la premièr e partie de l 'équation de la manière sui vante : ⃗⃗⃗⃗ = ∮ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ . 𝑑𝑠 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 ∬ 𝑟𝑜𝑡 𝐶𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒 (S est la surface du di sque délimité par le cercl e) 13 Ce qui nous donne finalement l 'équation qui nous intéresse ici : ⃗⃗⃗ = − ∬ ∮ 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 𝐶𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒 ⃗ 𝑑𝐵 ⃗⃗⃗⃗ . 𝑑𝑠 𝑑𝑡 De cette équation, on tire l'explication du positionnement du champ électrique sur le cercle décrit par la traj ectoire considérée de l 'élect ron. En effet, on remarque un " - " devant la partie droite de l 'équation : - si ⃗ 𝑑𝐵 𝑑𝑡 et ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 sont dans le même se ns, la double intégrale sera positive, et de par le " - " la partie droite de l 'équat i on sera négati ve, par conséquent il en sera de même pour la partie gauche : 𝐸⃗ représentant le champ électrique sur le disque sera colinéaire de sens contraire à ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 (pour ⃗⃗⃗ l 'infinité de 𝑑𝑙 autour du cercle). - si ⃗ 𝑑𝐵 𝑑𝑡 et ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 sont dans le sens contraire, la double intégrale sera négati ve, et de par le " - " la partie droite de l'équation sera positive, par conséquent il en sera de même pour la partie gauche : 𝐸⃗ représentant le champ électrique sur le disque sera colinéaire de même se ns à ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 (pour l 'infi nité ⃗⃗⃗ de 𝑑𝑙 autour du cercle). C'est ainsi que l 'on a déter miné comment placer le champ électrique 𝐸⃗ dans notre raisonnement. c) Le champ électrique précédent induit un nouveau champ magnétique : Modélisons l’état de s électrons par des mouvements autour des noyaux, si nous si mplifions l a modélisation en considérant un mouvement circulaire pour un ou plusieurs électrons autour du noyau d'un atome, nous pouvons alors considérer cela comme un courant électrique d'intensi té i, i dépendant de la vitesse à laquelle tournent les électrons. Ce mouvement cr ée un moment magnétique, qui induit un champ magnétique selon la for mule µ𝑒 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑖𝑠𝑢 ⃗ , (𝑢 ⃗ vecteur nor mal au disque) avec s l 'aire correspondant au disque associé au "cercle" de la traj ectoire de l 'électron, et µ e le moment magnétique associé au champ magnétique créé par l 'électron. Le moment magnétique induit est donc d'a utant plus grand que la vitesse de l 'électron augmente. µe Remarque : Si l 'on prend le schéma ci -dessus, et que l 'on considèr e que l 'électron tourne dans le sens contraire à celui r eprésenté, alors le moment magnétique créé sera dirigé dans le sens opposé à celui du schéma (c'est à dire vers le bas). 14 Considérons maintenant tous les électrons autour des noyaux du bismuth comme tournant sur le contour de disques "parallèles" entre eux et perpendiculaires à y. Ils ne peuvent de ce fai t sui vre que deux mouvements : - tourner dans le sens ( 1) (comme sur le schéma précédent). - tourner dans le sens ( 2) (contraire au sens (1)). On considère qu'un même nombre d'électrons tourne dans chaque sens. S'ils tournent dans le sens (1), le moment magnétique du systè me étant dirigé vers le haut, le champ 𝐸⃗ au ni veau de l a position de l 'électron est colinéaire de même sens au vecteur vitesse de ce dernier. Comme 𝐹 = 𝑞𝐸⃗ , la vitesse de l 'électron est réduite, donc i di mi nue et µ e (dirigé vers l e haut) également. S'ils tournent dans le sens (2), le mome nt magnétique du système étant dirigé vers le haut, 𝐸⃗ est maintenant colinéaire de sens contraire au vecteur vitesse de ce dernier, et comme 𝐹 = 𝑞𝐸⃗ , la vitesse de l 'électron augmente, donc i augmente et µ e (dirigé vers le bas) également. De ce fai t, si l 'on considère l 'ensemble des él ectrons, le bismuth en réaction au champ magnétique du système diri gé vers le haut, va créer un champ magnétique dirigé vers le bas. On associe à ce champ un moment magnétique µ d i a tel que : µ1 = -kµ d i a . Ainsi les deux cylindr es le bismuth interagi ssent avec le champ magnétique provenant du système (nous n'étudi ons pas ici l 'influence de l 'ai mant n°2 pour des raisons de si mplicité, cependant, comme son moment magnétique à la même direction et le même sens que celui d u système, il va surtout augmenter la valeur du moment magnétique du cylindre de bismut h le plus proche de lui. Ceci ne changeant pas le principe du phénomène ét udié, il n'apparaitra pas dans l 'anal yse), créant ainsi un champ magnétique extérieur au systèm e, de sens opposé au moment du système quelque soit l e positionnement de ses pôles sur y (pôle Nord vers le haut et Sud vers le bas ou inversement). d) Réaction du système : Maintenant, nous allons utiliser ce que nous avons vu précédemme nt ( II)1)) : si un dipôl e magnétique est traver sé par un champ magnétique extérieur et ne peut accorder son moment magnétique avec ce champ extérieur (si l 'ai mant inverse le positionnement de ses pôles pour tenter de trouver un état d'équilibre plus stable, le bismuth réagi t avec un champ magnétique de di rection touj ours opposé au moment magnétique du système), alors il va cher cher à se positionner dans des "zones" où la valeur du champ est la plus fai ble possible. Il nous reste par conséquent à trouver les val eurs du champ magnét ique extérieur sur la partie de y où le système peut se déplacer, c'est à dire entre les deux cylindr es de bismuth. Intuiti vement, les deux cylindres de bismuth étant les sources du champ, on comprend qu'à proxi mi té de ces derniers, la valeur du champ sera plus élevée, et que la zone où l e champ est le plus faible est située entre les deux. De plus nous avons vu que plus le champ extérieur dans lequel est plongé le bismuth est intense, plus le champ généré en réaction (par diamagnétisme) par le bismuth est intense. Autrement dit, plus le système se rapproche du bismuth, plus il est repoussé. 15 En étudiant la valeur du champ extérieur en Tesla le long de y (on ne représente ici ni le champ du système qui n'a pas d'influence sur lui même dans l 'exp érience, ni le champ de l 'ai mant n°2 car son moment magnétique étant de même dir ection que celui du système, il ne modifie pas le processus; voir II)2) d)), on obtient une courbe dont l’allure est présentée ci -dessous, correspondant aux explications précéde ntes : y 16 _________________________________________________________________ AJOUTS Expérience -Laser et étude de la fi gure de di ffraction - : Afin de mettre en évidence une lévitation très "faible" (espace très réduit entre le corps en état de lévitation et une ou plusieurs des s urfaces environnantes) due à un diamagnétisme encore trop faible, nous avons pensé compléter notre expérience en considérant la fi gure de diffraction associée à un faisceau laser passant par l 'espacement très petit entre le sy stème en lévitation et l 'une des plaques de bi smuth. Voici le montage réalisé : Lors de cette expérience, nous avons obtenu cette figure de diffraction : 17 Il nous faut maintenant déter miner l 'espacem ent précédemment mentionné. Pour ce f aire nous allons utiliser la formule suivante : 𝜆 𝑏 = 𝑎 𝐷 d'où : 𝜆𝐷 𝑎= 𝑏 avec "a" l 'espacement du diaphragme que l 'on recherche, "𝜆" la longueur d'onde du laser utilisé (ici 𝜆 = 6,33×10 - 7 m), " D" la distance entre le diaphragme et la fi gur e de diffraction étudiée et "b" la distance entre de ux motifs de la fi gure de diffraction. Dans le montage réalisé, D = 4,0 m, b = 6,0×10 - 3 m. On trouve alor s : 𝑎= 4,0 × 6,33 × 10−7 = 4,2 × 10−4 m = 0.42 mm 6,0 × 10−3 Or, on sait que les deux cylindres de bismuth s ont séparés de 6.5 mm et que le système (cubique) a une hauteur de 5 mm. " a " étant l'espacement entre le système et le cylindre du bas, on a " a' " , l 'espacement entre le système et le cylindre du haut tel que a' = 6,5 -5-a = 6,5 -5-0,42 = 1,08 mm . Le système n'est en contact avec aucun des cy lindres, il lévite. On considère ce résult at comme valide (appr oxi matif) dans le cadre particulier de cette expérience. Cette distance n'est pas constante et varie selon la qualité de l 'i nstallation et du mont age, elle per met seulement de montrer que le sy stème lévite. 18 BILAN : Ai n si, d a n s le co nt e xte in s ta ur é p ar no t re e xp é r ie nce , no us a vo n s p u te nt er d 'ap p o rt er e n s ur fa ce u ne v al id a tio n p ar t iel le d e cer ta i ns méc a ni s m es as so c ié s a u d ia ma g né ti s me (ce tt e e xp li cat i o n r es te in t ui ti v e, no u s n 'a vo n s p as la p r é te nt io n d 'a ffir mer q u 'i l s 'a gi t ré e lle me n t d 'u ne d e scr ip ti o n d es p hé no mè n e s d ia ma g n ét i q ue s) . La cr éat io n d 'u n c h a mp ma g n ét iq ue p ar u n co rp s d ia ma g n ét iq ue e st u n p hé no mè n e trè s co mp l e xe , o u vra nt s ur u n c ha mp d 'e xp lo r at i o n tr è s lar ge. Co m me ce la e s t e xp l iq u é d a ns Le co u rs d e p h y siq u e d e Fe yn ma n , El ec tro ma g n é ti sm e 2 , " La p h ys iq u e cla s siq ue n 'e xp l iq ue ni l e d ia ma g n ét is me ni l e p ara ma g n ét is me" (3 4 -6 ) : no us ne p o u vo n s q ue d o n ner u ne id ée, e xp l iq uer a ve c ap p r o x i ma tio n ce q u 'i l se p as se d a n s l 'e xp é rie n ce, et ne p ré te nd o n s p as a va nc er u ne r ép o n s e ab so l u e a u r ô le q ue j o ue le d ia ma g n é ti s me d a n s no t re p ro j et . Les applications du diamagnétisme sont nombreuses, et sont porteuses pour l’avenir, dans les domaines de la santé, des transports, … En effe t, le diamagnétisme est une propriété majeure des supraconducteurs. Donc si nous arrivons à fabriquer des supraconducteurs à te mpérature ambiante (à partir de bismuth ou d’autres matériaux) nous pourrions simplifier de nombreux systèmes comme le fonctionne ment de l’IRM, ou développer les trains à sustentation magnétiques fonctionnant sur le principe du Maglev japonais. Le diamagnétisme pourrait également permettre aux industriels de déplacer des charges facilement, … Ainsi, le diamagnétisme pourrait à l'ave nir permettre une amélioration certaine de la technologie des transports, et pourrait toucher d'autres domaines. Sources : - Fu n d a men ta l s o f I n o r g a n ic Ch i mi s tr y , An a n y a G ua n g u l y. - Le co u rs d e p h y s iq u e d e Feyn ma n , E le ct ro ma g n éti s me 2 , R ic ha rd F e yn ma n . - Co u r s d e p h y siq u e d e Ber kel ey to m e 2 : E le ct r ici té et ma g n é ti sm e , Ed wa rd M. P urce ll. - Wi kip éd ia . 19
