NYB XXI - Chapitre 4.7

Chapitre 4.7 – La loi de Biot-Savart et le champ
magnétique d’un fil rectiligne fini
La loi de Biot-Savart
v
Après avoir déterminer le module du champ magnétique B généré par un long fil parcouru
par un courant,v les physiciens Biot et Savart détermine en 1820
le champ magnétique
v
infinitésimal dB généré par un segment de fil infinitésimal d l parcouru par un courant
électrique I à un endroit P. Cependant, cette expression n’est valide que lorsque les charges
électriques en mouvement se déplacent lentement1 ce qui est le cas lorsqu’il y a un courant
électrique qui circule dans un fil conducteur :
v
v µ 0 I d l × rˆ µ 0 I dl sin (θ )
dB =
=
nˆ
2
2
4π r
4π
r
où
v
dB : Champ magnétique infinitésimal en tesla (T)
I : Courant électrique qui circule dans l’élément de fil en ampère (A)
v
d l : Segment de fil infinitésimal orienté dans le sens du courant en mètre (m)
v
r : Distance entre d l et l’endoit P où l’on veut évaluer le champ en mètre (m)
µ 0 : Constante magnétique, µ 0 = 4π × 10 −7 Ns 2 / C 2
v
θ : Angle entre d l et r̂
v
r̂ : Vecteur unitaire d’orientation de d l (source) à P (cible)
( rˆ = 1 )
n̂ : Orientation du champ magnétique selon la règle de la main droite
( nˆ = 1 )
Représentation :
2 dimensions
•
3 dimensions
P θ
v
dB r I
r̂
v
dl
1
La force magnétique et le champ magnétique sont en réalité une manifestation d’un effet relativiste qui porte
le nom de « contraction des longueurs » lorsqu’il y a des charges électriques en mouvement. À basse vitesse,
l’approximation de la loi de Biot-Savart s’applique pour exprimer la valeur du champ magnétique.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Champ magnétique d’un fil fini
Le module du champ magnétique B généré par un fil fini parcouru par un courant I dépend
de la distance R entre le fil et l’endroit P où l’on désire évaluer le champ magnétique, du
courant I et de la position angulaire des extrémités du fil par rapport au point P :
B=
où
µ0 I
sin(α1 ) − sin(α 2 )
4π R
B : Champ magnétique produit par le fil au point P (T)
: Courant électrique (A)
I
R : Plus petite distante entre le point P et le prolongement du fil (m)
µ 0 : Constante magnétique, µ 0 = 4π × 10 −7 Ns 2 / C 2
α 1 : Angle délimitant l’extrémité du Côté 1 du fil par rapport au point P
α 2 : Angle délimitant l’extrémité du Côté 2 du fil par rapport au point P
Schéma :
α1 > 0
α2 < 0
v
B
P
R
Côté 1
I
α1 > 0
α2 > 0
v
B
P
a1
a1
R
a2
Côté 2
I
Côté 1
a2
Côté 2
L’orientation du champ magnétique selon la règle de la main droite :
B
I
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Preuve :
Considérons un fil de longueur L parallèle
à l’axe x où il y circule un courant
électrique I. Évaluons le champ magnétique
B généré par ce fil en un point P à une
distance R du fil tel qu’illustré sur le
schéma ci-contre.
y(m )
P
R
I
x(m)
L
Découpons notre fil en morceau vde fil infinitésimal de longueur dx et représentons le
champ magnétique infinitésimal dB généré par ce fil infinitésimal à l’aide de notre système
d’axe :
Champ magnétique infinitésimal :
v
v µ 0 I d l × rˆ
dB =
4π r 2
et
y(m )
v
dB
r̂
P
θ
R
I
r̂
x
y (m )
Introduisons un nouveau système d’axe α
qui mesure un angle par rapport à l’axe
vertical y. Ce système d’axe permet de
délimiter les extrémités du fil A et B. Dans
ce cas particulier, α A < 0 et α B > 0 .
αA
R
r
x
tan (α ) =
R
R
cos(α )
⇒
r=
⇒
x = R tan (α )
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
+
−
P
α (rad)
αB
I
B x(m)
A
cos(α ) =
x(m)
v
dl
r = x2 + R2
v
v
rˆ = − sin (α ) i + cos(α ) j
Avec ce nouveau système d’axe, nous
pouvons établir des nouvelles relations
trigonométrique entre x, R, r et α :
v
cos(α ) j
v
− sin (α ) i
r
v
v
d l = dx i
α
v
dB
R
Triangle
y(m)
P
α
α
r
r̂ α
θ
v
v
d l = dx i
x
r
R
x
x(m)
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v
Puisque nous avons dans l’expression de d l une référence à dx, nous devons évaluer dx en
fonction de α si nous voulons utiliser l’axe α pour effectuer notre sommation à l’aide de
l’intégrale :
x = R tan (α ) ⇒
dx = d(R tan (α ))
(Appliquer la différentielle de chaque côté)
⇒
dx = R d(tan (α ))
(Factoriser la constance R)
⇒
dx = R sec 2 (α ) dα
( d(tan α ) = sec 2 (α ) dα )
Évaluons à l’aide d’une sommation
continue de champs magnétiques
v
infinitésimaux dB le champ magnétique
total au point P en se basant sur le
schéma ci-contre :
v
v
• d l = dx i
dx = R sec (α ) dα
•
x = R tan (α )
•
2
y(m )
R
+
−
P
α (rad)
r
α
αA αB
r̂ α
2
•
•
v
dB
A
2
r= x +R
v
v
rˆ = − sin (α ) i + cos(α ) j
v
v B x(m )
d l = dx i
I
x
Ainsi :
v
v
B = ∫ dB
⇒
⇒
⇒
v
v
µ 0 I d l × rˆ
B=∫
4π r 2
v
v
µ 0 I (dx i ) × rˆ
B=∫
4π x 2 + R 2 2
v
v µ 0 I dx i × rˆ
B=
4π ∫ x 2 + R 2
(
⇒
v µ I
B= 0
4π
⇒
v µ I
B= 0
4π
⇒
v µ I
B= 0
4π
⇒
v µ I
B= 0
4π
v
v µ 0 I d l × rˆ
(Remplacer dB =
)
4π r 2
v
(Remplacer d l et r)
)
(Factoriser const et simplifier racine)
(R sec (α )dα )iv × rˆ
2
∫ (R tan(α ))
(Remplacer x et dx en fonction de α )
+ R2
v
R sec 2 (α ) dα i × rˆ
∫ R 2 tan 2 (α ) + R 2 (Mettre terme au carré)
v
R sec 2 (α ) dα i × rˆ
2
∫ R 2 tan 2 (α ) + 1 (Factoriser R au dénominateur)
v
sec 2 (α ) dα i × rˆ
(Simplifier R, identité trigo : tan 2 (θ ) + 1 = sec 2 (θ ) )
∫ R sec 2 (α )
2
(
(
)
)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Simplifions l’expression de l’intégrale. Puisque r̂ varie selon l’angle α , il n’est pas
constant dans l’intégrale.
r̂ et posons les bornes d’intégration à notre
v Remplaçons
v
intégrale : ( rˆ = − sin (α ) i + cos(α ) j )
v
v µ 0 I sec 2 (α ) dα i × rˆ
B=
(Expression précédente)
4π ∫ R sec 2 (α )
(
)
⇒
v µ I
v
B = 0 ∫ dα i × rˆ
4π R
(Simplifier et factoriser constante)
⇒
v µ I
v
v
v
B = 0 ∫ dα i × (− sin (α ) i + cos(α ) j )
4π R
v
v
(Remplacer rˆ = − sin (α ) i + cos(α ) j )
⇒
v µ I
v v
v v
B = 0 ∫ (− sin (α ) i × i + cos(α ) i × j )dα (Distribuer produit vectoriel)
4π R
⇒
v
v µ I
B = 0 ∫ cos(α ) dα k
4π R
v v
v v v
(Effectuer produit vectoriel : i × i = 0 et i × j = k )
⇒
v
v µ0 I αB
(
)
B=
cos
α
d
α
k
4π R α =∫α A
(Borne : α = α A → α B )
⇒
v
v µ I
α
B = 0 [sin (α )]α BA k
4π R
(Résoudre l’intégrale)
⇒
v
v µ I
B = 0 ( sin (α B ) − sin (α A ) )k
4π R
(Évaluer l’intégrale)
⇒
B=
µ0 I
sin (α A ) − sin (α B )
4π R
■
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Évaluer seulement le module du champ B)
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Situation A : Le fil fini sur l’axe y. Un fil de 4 m parallèle à l’axe y est centré à la
coordonnée (0,3) d’un plan cartésien. On désire évaluer le champ magnétique sous forme
vectoriel généré par le fil à la coordonnée (3,2) du plan cartésien sachant qu’un courant de
0,5 A circule dans le fil dans le sens positif de l’axe y.
Voici une représentation graphique de la situation dans un plan cartésien xyz :
y (m)
I
α1
P
α2
v
B
z (m)
(3,2)
x (m)
Nous avons les informations suivantes selon la géométrie du problème :
Courant circulant dans le fil :
I = 0,5 A
La distance entre le point P et le fil :
R=3 m
(3)
(3)
(− 1)
tan (α 2 ) =
(3)
tan (α 1 ) =
Angle α 1 :
Angle α 2 :
⇒
α 1 = 45°
⇒
α 2 = −18,43°
Nous avons ainsi le champ magnétique suivant au point P produit par la tige :
B=
µ0 I
sin(α1 ) − sin (α 2 )
4π R
(4π × 10 )(0,5) sin(45°) − sin(− 18,43°)
−7
⇒
B=
⇒
B = 1,7 × 10 −8 T
4π (3)
Avec la règle de la main droite, nous pouvons préciser le champ magnétique sous forme
vectorielle :
v
v
B = −1,7 × 10 −8 k T
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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