1) Proportion (« rapport d`une partie au tout

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1) Proportion (« rapport d’une partie au tout »)
Un pourcentage exprime une proportion : c’est un rapport d’une partie au tout exprimé
sous forme d’une fraction de dénominateur 100.
Exemple :
250 g de fromage contenant 40 % de matières grasses contient 250 × 40
100 = 100 g de
matières grasses . 40 % est le rapport de la quantité de matières grasses (« partie ») à celle
de fromage (« tout ») : 40 % = 0,40 =
250
100 .
On dit que le pourcentage 40 % est relatif à un ensemble de référence.
2) Comparaison de deux pourcentages relatifs à des ensembles
de référence
• Lorsque deux pourcentages sont relatifs à un même ensemble de référence , ces
pourcentages et les effectifs correspondants sont rangés dans le même ordre.
• Lorsque deux pourcentages sont relatifs à des ensembles de référence différents , ces
pourcentages et les effectifs correspondant ne sont pas forcément rangés dans le
même ordre.
Exemple :
Une enquête établit que parmi un même ensemble de personnes, 20 % ont utilisé un
médicament A et 70 % un médicament B. L’ensemble de référence étant le même, on
peut dire que parmi ces personnes, il y en a plus qui prennent le médicament B que A.
L’enquête établit aussi que parmi les femmes de cet ensemble, 30 % ont utilisé le
médicament A, contre 25 % seulement parmi les hommes. Les ensembles de référence
sont différents ; on ne peut pas dire si le nombre de jeunes femmes ayant utilisé A est
supérieur ou inférieur au nombre correspondant d’hommes ayant utilisé A.
3) Addition de pourcentages exprimant des proportions
Lorsque A et B sont « parties d’un même tout » E , il n’est pas légitime d’additionner les
pourcentages de A dans E et de B dans E sauf lorsque A et B sont « sans élément commun ».
Exemple :
Un médicament contient deux substances actives distinctes, A et B, ainsi que
l’excipient.
En poids, ce médicament E contient 54 % de substance A et 36 % de substance B.
Les substances A et B étant distinctes, le pourcentage du poids de substance active
dans le médicament est de 54 % + 36 % = 0,54 + 0,36 = 0,90 = 90 %.

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4) Pourcentage de pourcentage exprimant des proportions
Pour A « partie » de E et E « partie » de F :
Si p est le pourcentage de A dans E et p’ le pourcentage de E dans F , alors le pourcentage de
A dans F est pp’.
Exemple :
Parmi un groupe de personnes, 52 % sont des femmes. Parmi ces femmes, 0,4 % sont
de groupe sanguin O. Ainsi, le pourcentage des femmes de groupe sanguin O par
rapport à tout le groupe est : 0,4 %
×
52 % = 0,004
×
0,52 = 0,00208
≈
0,2 %.
5) Pourcentage d’évolution
On considère des nombres réels strictement positifs V
i
et V
f
; V
i
est la valeur « initiale » et V
f
la valeur « finale » d’une grandeur qui évolue (prix, effectif,…).
Le pourcentage d’évolution de V
i
et V
f
est le taux t =
i
if
V
VV
−
écrit en pourcentage.
V
i
<V
f
correspond à t > 0 : pourcentage d’augmentation (ou de hausse )
V
i
>V
f
correspond à t < 0 : pourcentage de diminution (ou de baisse )
Exemple :
Le pourcentage d’évolution de 2,5 à 10 est 5,2 5,210
−
= 3 = 300 % (hausse).
Le pourcentage d’évolution de 10 à 2,5 est
10
105,2
−
= - 0,75 = - 75 % (baisse).
6) Coefficient multiplicateur
Si t =
i
if
V
VV
−
alors V
f
= (1 + t) V
i
.
(1 + t) est le coefficient multiplicatif de V
i
à V
f
.
Démonstration : t =
i
if
V
VV
−
donc t V
i
= V
f
- V
i
et V
i
+ t V
i
= V
f
d’où :
( 1 + t) V
i
=V
f
.

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Propriétés :
V
i
et V
f
sont positifs donc (1 + t ) l’est aussi. Le coefficient multiplicatif est positif.
En cas de hausse, t > 0 donc (1 + t) > 1. En cas de hausse, le coefficient multiplicatif
est supérieur à 1.
En cas de baisse, t > 0 donc (1 + t) > 1. En cas de baisse, le coefficient multiplicatif est
inférieur à 1.
Exemple :
Le nombre de globules rouges d’un patient baisse de 17 %.
On a alors : t = - 17 %= - 0,17 ; c'est-à-dire (1 + t) = 1 – 0,17 = 0,83.
Sachant qu’il en avait 5 millions par goutte de sang, il en a :
5 000 000 × 0,83 = 4 150 000 après la baisse.
7) Evolutions successives
Si on effectue une évolution de taux t
1
puis de taux t
2
, alors le coefficient multiplicatif de
l’évolution totale de taux t est le produit des 2 coefficients multiplicatifs :
( 1 + t) = (1 + t
1
) ( 1 + t
2
). On a alors : t = (1 + t
1
) (1 + t
2
) - 1 = t
1
+ t
2
+ t
1
t
2
Attention : ce taux (exprimé en pourcentage si besoin) n’est donc égal, en général, ni à la
somme, ni au produit des deux taux t
1
et t
2
!
Exemple :
Une baisse de 10 % suivie d’une hausse de 10 % donne t
1
= - 10 % et t
2
= 10 %.
Donc le coefficient multiplicatif global est : (1 + t) = ( 1 - 10 % ) ( 1 + 10 %) = 0,9 × 1,1 =
0,99. Donc le pourcentage global dévolution est t = 0,99 - 1 = - 0,01 = - 1 %.
Une baisse de 10 % suivie d’une hausse de 10 % donne une baisse de 1 % !
8) Approximation du pourcentage de la succession de deux
évolutions
Lorsque les taux t
1
et t
2
écrits sous forme décimale sont proches de 0, le taux t de l’évolution
globale est proche de t
1
+ t
2
.
Exemple :
Une baisse de 1 % suivie d’une hausse de 5 % donne t
1
= - 1 % = - 0,01 et t
2
= 5 % = 0,05.
Ces deux nombres sont assez proches de 0.Donc le pourcentage global dévolution est
environ : t > - 0,01 + 0,05 = 0,04 = 4 %.
Valeur exacte : t = t
1
+ t
2
+ t
1
t
2
= - 0,01 + 0,05 - 0,01 × 0,05 = 0,0395 = 3,95 % > 4 %.