Pourcentage d`évolution, coefficient multiplicatif

Pourcentage d’évolution, coefficient multiplicatif
1.
Taux d’évolution entre deux grandeurs
Définition
Si une grandeur V prend successivement les valeurs VI et VF (valeurs positives), le taux d’évolution ou
V − VI V final − Vinitial
=
variation relative, (ou taux de variation) est : t = F
VI
Vinitial
t peut être écrit sous forme décimale ou sous forme de pourcentage.
Si t>0, il s’agit d’une augmentation de 100t%.
Si t<0, il s’agit d’une diminution de -100t%.
Exemple :
Le prix du Gazole est passé de 1,23 € à 1,29 €. Quel est le pourcentage d’augmentation ?
2.
Coefficient multiplicatif
Le coefficient multiplicatif de VI à VF est le nombre c = (1 + t ) , où t est le taux d’évolution de VI à VF.
On a donc : VF = (1 + t )VI = cVI .
Le coefficient multiplicatif est un nombre positif.
Si c > 1 , l’évolution est une hausse.
Si c < 1 , l’évolution est une baisse
•
•
x 

Une augmentation de x% transforme toute grandeur V en 1 +
 ×V
 100 
x 

Une diminution de x% transforme tout nombre x en 1 −
 ×V
 100 
Exemples :
• Un téléphone portable coûtait 79 € en 2010. En 2011, il a subi une baisse de 40%. Quel est son
nouveau prix ?
40 

791 −
 = 47,4
100


•
€
Un paquet de cigarette est taxé à 300% par l’état. S’il coûte 3,60 € TTC, Quel est son prix HT ?
 300 
x 1 +
 = 3,60 soit x=0,9 €
 100 
Terminale ES
Pourcentage et taux d’évolution
©EPoulin2011
Remarque : Si on connaît V F et VI , alors c =
3.
VF
VI
Evolutions successives
Si t1 est le taux d’évolution de V0 à V1 et t 2 le taux d’évolution de V1 à V2, alors le taux d’évolution
de V1 à V2, alors le coefficient multiplicatif de V0 à V2 est :
1 + t = (1 + t1 )(1 + t 2 ) = c1 × c 2
Ce résultat se généralise au cas de plus de deux évolutions successives
ATTENTION : En cas de hausse ou de baisse successive, les taux ne s’ajoutent donc pas
4.
Evolution réciproque
Deux évolutions (hausse et baisse, ou baisse et hausse) sont réciproques si et seulement si leurs coefficients
multiplicatifs c et c ′ sont tels que cc ′ = 1
Exemple :
Le prix du baril de pétrole a augmenté de 150% en une année.
Quelle baisse faudrait-il pour qu’il revienne à sa valeur initiale ?
Réponse : Coefficient multiplicatif de la hausse : c = 1 + 150% = 2,5
1
1
Coefficient multiplicatif de la baisse : c ′ = =
= 0,4 = 1 − 60%
c 2,5
Il faut donc une baisse de 60% sur le nouveau tarif.
1.
Evolution moyenne
Si t est le taux d’évolution entre le rang 0 et le rang n, alors le taux d’évolution moyen t m entre deux rang
successifs est tel que (1 + t m ) = 1 + t
n
On a ainsi (1 + t m ) = 1 + t
n
Exemple :
Entre 2000 et 2011, le prix du gaz a augmenté de 68,5%. Vérifier que le pourcentage moyen
d’augmentation par an est d’environ 4,848%
• 11 années séparent 2000 de 2011.
• Coefficient multiplicateur d’augmentation par an : 1 +
4,848
100
11
 4,848 
11
• On remarque que 1 +
 = (1,04848) ≈ 1,685 soit une augmentation de 68,5%
100 

• On vérifie ainsi l’affirmation de l’énoncé.
Source web du 27/12/2011 :
http://www.lemonde.fr/economie/infographe/2009/03/13/evolution-du-prix-du-gaz-en-france-depuis-2000_1167423_3234.html
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