Examen d`accès - 1 Octobre 2009

Examen d’accès - 1 Octobre 2009
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Ce examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses
sont proposées pour chaque question (ou ensemble de questions). Il peut y avoir plusieurs bonnes
réponses.
Les réponses sont à inscrire dans la feuille jointe, en cochant pour chaque question la (ou les)
case(s) correspondant à la (ou les) bonnes réponse(s).
Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse.
Toute réponse exacte entraîne une bonification de 1 point, toute erreur est pénalisée de 0,5 points.
Q 1)  et  sont deux événements d’un espace probabilisé tels que :  (∩) = 16;  (|) = 14
(probabilité conditionnelle de  sachant que  est réalisé). Combien vaut  () ?
A) 2/3
B) 1/24
C) 1/12
D) 1/6
E) 1/5
Q 2)  et  sont deux évènements indépendants tels que  () = 0 2 et  () = 0 3 alors
 ( ∪ ) =    
A) 0 06
B) 0 44
C) 0 5
D) 0 56
E) 0 24
Q 3) Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. Si  est une variable aléatoire strictement positive, (1) = 1().
A) Vrai
B) Faux
R. B)
2. ( +  ) = () + ( ) si et seulement si  et  sont indépendants.
C) Vrai
D) Faux
1
Q 4) Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1 Si (  ) = 0 alors  et  sont indépendants.
A) Vrai
B) Faux
2. Si  et  sont deux variables aléatoires positives, (  ) ≥ 0.
C) Vrai
D) Faux
Q 5) Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. Soient  et  deux variables de densité  et  , alors la densité de  + n’est jamais  + .
A) Vrai
B) Faux
2. Soit  la densité d’une variable aléatoire continue, alors  est comprise entre 0 et 1.
C) Vrai
D) Faux
Q 6) Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1.  () =  () pour tout   0.
A) Vrai
B) Faux
2. Si () = 0 et  () = 0 alors  = 0.
C) Vrai
D) Faux
Q 7) Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. Soit  une variable aléatoire de densité  alors  2 est la densité de  =  2 .
A) Vrai
B) Faux
2. Soient  une fonction de répartition sur R, alors  2 est également une fonction de répartition.
C) Vrai
D) Faux
2
Q 8) Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. Si  suit une loi exponentielle de moyenne 2, alors  = 2 suit une loi exponentielle de
paramètre 1.
A) Vrai
B) Faux
2. Si  suit une loi de Poisson, alors () =  ().
C) Vrai
D) Faux
Q 9) Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. Soient 1 et 2 deux variables indépendantes telles que 1 ∼ (; 1 ) et 2 ∼ (; 2 ), alors
1 + 2 ∼ (; 1 + 2 ).
A) Vrai
B) Faux
2. Soient 1 et 2 deux variables indépendantes telles que 1 ∼ (1 ; ) et 2 ∼ (2 ; ), alors
1 + 2 ∼ (1 + 2 ; ).
C) Vrai
D) Faux
Q 10) Un sac contient 5 jetons. On prélève au hasard et successivement et sans remise 3 jetons.
Déterminer le nombre de résultats possibles (éventualités) de cette expérience aléatoire.
A) 125
B) 20
C) 60
D) 50
E) 75
Q 11) Un parking contient 5 places, dans lequel peuvent se garer 5 voitures. Déterminer le nombre
de possibilités sachant qu’aucune place ne doit être vide :
A) 25
B) 60
C) 30
D) 120
E) 50
Q 12) Soient  et  deux évenements tels que  () = 0 2,  ( ∪ ) = 0 7 alors :
A)  () = 0 5
B)  () ≤ 0 5
C)  () ≥ 0 5
3
Q 13) Soient  et  deux évenements tels que  () = 0 2,  () = 0 8,  ( ∪ ) = 1 alors :
A)  et  sont non seulement incompatibles, mais aussi contraires
B)  et  sont incompatibles, mais ne sont pas contraires
C)  et  sont ni contraires ni incompatibles.
Q 14) La loi de probabilité d’une variable aléatoire est définie par :  ( = 2) = 12 ;  ( = 3) =
13 ;  ( = ) = 16 où  est un réel donné. Déterminer le nombre  sachant que l’espérance
mathématique de cette variable aléatoire est nulle.
A) −100
B) −5
C) 4
D) −12
E) −2
Q 15) Soit  et  deux évenements indépendants alors :
a)  ( ∩ ) = 0
B)  ( ∩ ) =  () ()
C)  (|) =  ()
D)  (|) =  ()
Q 16) Dans une population de lycéens, 30 % font du sport hors du lycée. Parmi les sportifs, 15 %
font du volley, 20 % de la natation, et 5 % font à la fois du volley et de la natation. Alors, le
pourcentage de lycéens faisant :
1) du volley hors du lycée est :
A) 4 5%
B) 50%
C) 15%
2) aucun sport hors du lycée est :
D) 70%
E) 65%
4
Q 17) (suite)
3) un sport mais ni volley, ni natation est :
A) 65%
B) 21%
C) 19 5%
4) du volley, mais pas de natation est :
D) 3%
E) 10%
Q 18) On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d’un appareil ménager avant la première panne. On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité de durée de vie sans
vieillissement, définie sur l’intervalle [0 +∞[. Ainsi, la probabilité d’un intervalle [0 [, notée
 ([0 [), est la probabilité
que l’appareil ménager tombe en panne avant l’instant . Cette loi est
R  −
 où  est un nombre réel positif représentant le nombre d’années
telle que  ([0 [) = 0 
(loi exponentielle de paramètre  avec   0).
1) Pour  ≥ 0, la valeur exacte de  ([ +∞[) est :
A) 1 − −
B) −
2) La valeur de  pour laquelle on a  ([0 [) =  ([ +∞[) est :
C) ln 2
D)  ln 2
E) 2
Q 19) (suite)
3) Sachant que cet appareil n’a connu aucune panne au cours des deux premières années après sa
mise en service, la probabilité qu’il ne connaisse aucune panne l’année suivante
est :
A)  ([1 +∞[)
B)  ([3 +∞[)
C)  ([2 3[)
D)  ([3 +∞[) ([0 3[)
E)  ([2 +∞[) ([0 2[)
Q 20)  et  sont deux évènements.  ( ∩ ̄) =   
A)  () −  ( ∩ )
B)  () −  ( ∩ )
C)  (̄) −  ( ∩ )
D)  () −  ( ∩ ̄)
E)  () −  (̄ ∩ )
5
Q 21) Une urne contient 5 boules noires et 3 boules blanches. On tire successivement et sans
remises 2 boules de l’urne. La probabilité de l’événement : « la 2ième boule tirée est noire
sachant que la première l’est aussi » est égale à . . . .
A) 54
B) 2564
C) 514
D) 57
E) 47
Q 22) Lors d’une course équestre comportant 20 partants, la probabilité de gagner le tiercé dans
le désordre est combien de fois supérieure à la probabilité de gagner le tiercé dans l’ordre ?
A) 10 fois
B) 6 fois
C) 5 fois
D) 3 fois
E) 2 fois
Q 23) Dans un tiroir il y a 3 paires de chaussettes de couleurs différentes, on tire au hasard 2
chaussettes ; la probabilité qu’elles appartiennent à la même paire est égale à . . . .
A) 13
B) 15
C) 16
D) 12
E) 14
Q 24) Les questions suivantes portent sur la distribution de probabilité ci-jointe,
-  ( = 0  = 0) = 0 15
-  ( = 0;  = 1) = 0 2
-  ( = 1  = 0) = 0 45
-  ( = 1  = 1) = 0 2
1. ( ) = 0 3.
A) Vrai
B) Faux
2. (| = 0) = 0 75.
C) Vrai
D) Faux
6
Q 25) On lance trois fois de suite une pièce de monnaie.
Sur chaque lancer on regarde si on obtient pile ou face, exemple de résultat possible pile, pile, face
noté PPF. Déterminer le nombre de résultats possibles.
A) 8
B) 6
C) 9
Q 26) (suite)
On appelle  la variable aléatoire égale au nombre de fois ou pile apparaît sur ces trois. Déterminer
la loi de probabilité de  :
 ( = 0) =
A) 0
B) 18
C) 14
D) 38
E) 12
Q 27) (suite)
 ( = 1) =
A) 0
B) 18
C) 14
D) 38
E) 12
Q 28) (suite)
 ( = 2) =
A) 0
B) 18
C) 14
D) 38
E) 12
7
Q 29) (suite)
 ( = 3) =
A) 0
B) 18
C) 14
D) 38
E) 12
Q 30) (suite)
Déterminer l’espérance mathématique de 
A) 34
B) 32
C) 1
D) 98
E) 12
Q 31) (suite)
Déterminer la variance mathématique de 
A) 34
B) 32
C) 1
D) 2
E) 3
Q 32) Un élève répond au hasard aux 10 questions d’un QCM pour lequel 4 choix sont proposés
pour chaque question mais un seul des choix est vrai (1 point si la réponse est juste, −0 5 si la
réponse est fausse). La probabilité qu’il obtienne la moyenne est environ égale à . . . .
A) 0,003
B) 0,058
C) 0,078
D) 0,0035
Q 33) Il existe une seule et unique représentation graphique pour chaque sorte d’étude statistique.
A) Vrai
B) Faux
C) Cela dépend du type de caractère
D) Cela dépend de la taille de l’échantillon
8
Q 34) Un histogramme d’une variable quantitative...
A) n’a pas d’abscisse
B) n’a ni abscisse ni ordonnée
C) n’a pas d’ordonnée
D) est construit de telle manière à ce que les effectifs soient proportionnels à l’aire de leur
"rectangle" respectif.
E) est construit de telle manière à ce que les effectifs soient proportionnels à la hauteur de
leur "rectangle" respectif.
Q 35) L’abscisse du point d’intersection des polygones des fréquences cumulées croissantes et
décroissantes correspond à ...
A) La moyenne
B) La classe modale
C) La médiane
D) L’effectif polygonale
E) Aucune des réponses précédentes est juste.
Q 36) Parmi les mesures suivantes, lesquelles ne sont pas des mesures de dispersion ?
A) l’écart interquartile
B) l’écart type
C) le mode
D) la moyenne élaguée
Q 37) Une fraction de la variance totale expliquée par l’hétérogénéïté des moyennes entre souspopulations nulle indique que :
A) toutes les sous-populations ont la même moyenne
B) toutes les sous-populations ont le même écart-type
C) toutes les sous-populations ont une variance nulle
D) toutes les sous-populations ont la même variance
E) toutes les sous-populations ont des moyennes différentes
9
On considère le tableau suivant
Moyenne des tailles
Ecart-types
Effectif
Groupe A
175
15
45
TAB1
Groupe B
171
25
40
Groupe C
180
10
30
Q 38) La moyenne générale des tailles de tous les individus répartis en trois groupes ci-dessous est
égale à :
A) 175 33 cm
B) 172 25 cm
C) 175 56 cm
D) 174 91 cm
E) 174 36 cm
Q 39) (suite) La variance intra-sous-populations de la série des tailles des individus répartis en 3
groupes ci-dessous est égale à (TAB 1) :
A) 12 079
B) 316 667
C) 331 522
D) 321 568
E) 11 078
Q 40) (suite) La variance inter-sous-populations de la série des tailles des individus répartis en 3
groupes ci-dessous est égale à (TAB 1) :
A) 12 079
B) 316 667
C) 331 522
D) 321 568
E) 11 078
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Soit  la fonction définie par : pour tout  ∈ R\{−12}
 () =

 − || + 1
On note  la courbe représentative de  dans un repère orthonormé
Q 41)
1.
lim  () = +∞
→∞
A) Vrai
B) Faux
2.
lim
→00
 ()
=1

C) Vrai
D) Faux
Q 42)
1.  admet la droite d’équation  = 12 pour asymptote.
A) Vrai
B) Faux
2.  admet la droite d’équation  = 1 pour asymptote.
C) Vrai
D) Faux
Q 43) Soit ( ) la suite telle que, pour tout entier naturel , un  = − .
A) Pour tout entier naturel  :
0 + 1 +  +  = 
1 − −−1
−1
B) Pour tout entier naturel  :
0 + 1 +  +  =
1 − −−1
1 − −1
C) Pour tout entier naturel  :
0 + 1 +  +  = ( + 1)
1 + −
2
D) Pour tout entier naturel  :
0 × 1 ×  ×  = −(+1)2
11
On considère l’intégrale
 =
Z
1
0


1 + 
Q 44) (suite)
1.
0 = [ln(1 +  )]10
A) Vrai
B) Faux
2.
1 = ln
µ
+1
2
¶
C) Vrai
D) Faux
Q 45) (suite)
1. pour tout  ∈ N∗
A) Vrai
B) Faux
2. Pour tout  ∈ N
+1 +  =
1 
( − 1)

+1 ≤ 
C) Vrai
D) Faux
Soit  la fonction définie sur R par  () = (2 +  + 1)− − 1. On admettra que 2 7    2 8
et 7 3  2  7 4.
Q 46)
A) lim→∞  () = +∞
B) lim→∞  () = −1
C) lim→∞  () = 0
D) lim→∞  () = −∞
E) lim→∞  () = 1
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Q 47) (suite)
A)  0 () = (2 + 1)−
B)  0 () = −(2 + 1)−
C)  0 () = ( − 2 )−
D)  0 () = (2 + 3 + 2)−
E)  0 () = (2 + 1)− − 1
Q 48) (suite)
A) 
B) 
C) 
D) 
est décroissante sur R
est croissante sur ] − ∞; −0 5] et décroissante sur [−0 5; +∞[
est croissante sur ] − ∞; −2] et sur [−1; +∞[ et décroissante sur [−2; −1]
est décroissante sur ] − ∞; 0] et sur [1; +∞[ et croissante sur [0; 1]
Q 49) (suite)
A) L’équation  () = 0 n’admet aucune solution
B) L’équation  () = 0 admet 1 solution
C) L’équation  () = 0 admet 2 solutions
D) L’équation  () = 0 admet plus de 3 solutions
Q 50)
A) 
B) 
C) 
D) 
est négative sur l’intervalle [2; +∞[
est positive sur l’intervalle [0; 2]
est négative sur l’intervalle [0; +∞[
est positive sur l’intervalle ] − ∞; 1]
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