Comment calculer la loi d`une variable aléatoire

Université Pierre et Marie Curie
Probabilités et statistiques - LM345
2013-2014
Comment calculer la loi d’une variable aléatoire ?
La première chose à regarder est l’ensemble dans lequel la variable aléatoire prend ses
valeurs. Vous devez savoir calculer la loi d’une variable aléatoire discrète (à valeurs dans
N ou un ensemble fini), d’une variable aléatoire réelle (à valeurs dans R), et d’un vecteur
aléatoire (à valeurs dans Rd avec d > 1) - souvent un couple de v.a. Z = (X, Y ).
Donner la loi d’une variable aléatoire, c’est donner un moyen de calculer la valeur de
P(X ∈ A) pour A une partie quelconque de N (cas discret) ou un borélien quelconque de
Rd (cas réel ou vecteur alétoire).
I - Loi d’une v.a. discrète Toute partie A de N étant une réunion dénombrable de
sigletons {n}, on obtient la probabilité de l’événement (X ∈ A) à partir des probablités
des événements (X = n) pour tout n ∈ N. Donner une loi discrète est simplement donner
les valeurs des
P(X = n) pour tout n dans N (ou une partie finie de N)
On dira ’X suit la loi discrète donnée par P(X = n) = . . . ’ (et si possible on
reconnaîtra une loi connue !).
II - Loi d’une v.a. dans Rd : calcul de la fonction de répartition La fonction de
répartition caractérise la loi. Il suffit alors donner les valeurs de la fonction
FX (x) = P(X ≤ x) ∀x ∈ R (cas réel)
ou pour un vecteur aléatoire X = (X1 , . . . , Xd ) de donner les valeurs de la fonction
FX (x1 , . . . , xd ) = P((X1 ≤ x1 ) ∩ · · · ∩ (Xd ≤ xd )) ∀(x1 , . . . , xd ) ∈ Rd .
On dira ’X suit la loi de fonction de répartition FX (x) = . . . ’ (et si possible on
reconnaîtra la fonction de répartition d’une loi connue !).
III - Loi d’une va. dans Rd : calcul de la densité Une grande partie des variables
aléatoires à valeurs dans Rd avec d ≥ 1 sont des variables dites à densité par rapport à la
mesure deR Lebesgue. Cela signifie qu’il existe une fonction f : Rd → R+ , appelée densité,
vérifiant Rd f = 1 et pour tout borélien A,
Z
P(X ∈ A) =
f (x1 , . . . , xd )dx1 . . . dxd
A
Dans ce cas, donner la densité détermine complètement la loi. Deux méthodes pour calculer la densité :
1
a) S’il existe une fonction f telle que la fonction de répartition s’écrive
Z x
f (t)dt (cas réel)
FX (x) =
−∞
Z xd
Z x1
f (t1 , . . . , td )dt1 . . . dtd (cas général)
...
F(X1 ,...,Xd ) (x1 , . . . , xn ) =
−∞
−∞
alors la loi de X admet pour densité f .
b) Si il existe une fonction f telle que pour toute fonction continue bornée g : Rd → R
(pour d ≥ 1) on ait
Z
E[g(X1 , . . . , Xd )] =
g(x1 , . . . , xd )f (x1 , . . . , xd )dx1 . . . dxd (cas général)
Rd
alors la loi de X admet pour densité f .
On dira ’X suit la loi de densité f (t) = ... par rapport à la mesure de Lebesgue’
(et on reconnaîtra si possible la densité d’une loi connue !).
IV - Calcul de la fonction génératrice ou fonction caractéristique Vous avez vu
que pour une variable discrète, la fonction caractéristique GX (s) = E[sX ] caractérise la
loi. On dira ’X suit la loi ayant pour fonction caractéristique GX (s) = ...’ (et on
reconnaîtra si possible la fonction caractéristique d’une loi connue !).
Cette méthode se généralisera plus tard aux variables aléatoires à valeurs dans R (ou
d
R ) avec l’introduction de la fonction caractéristique. Elle est très efficace pour calculer
la loi d’une somme de v.a. indépendantes.
X suit la loi
Bernoulli de paramère p
X ∼ B(p)
Binomiale de paramètres n et p
X ∼ B(n, p)
Géométrique de paramètre p
X ∼ G(p)
Poisson de paramètre λ
X ∼ P(λ)
X suit la loi
Uniforme sur [a, b]
X ∼ U([a, b])
Exponentielle de paramètre λ
X ∼ E(λ)
P(X = n)
P(X = 0) = 1 − p(= q)
P(X = 1) = p
∀k ∈ {0, . . . n},
P(X = k) = nk pk q n−k
∀k ∈ N∗ ,
P(X = k) = p(1 − p)k−1
∀k ∈ N,
k
P(X = k) = e−λ λk!
Normale de paramètres µ et σ 2
X ∼ N (µ, σ 2 )
GX (s) =
1 − p + sp
np
(1 − p + sp)n
1
p
1−p
1−sp
λ
eλ(s−1)
densité f (t)
1
fX (t) = b−a
1[a,b] (t)
fX (t) = λ exp(−λt)1[0,+∞[ (t)
2
Normale centrée réduite
X ∼ N (0, 1)
E[X] =
p
fX (t) =
fX (t) =
2
t
√1 e− 2
2π
√ 1 e−
2πσ 2
(t−µ)2
2σ 2
f.d.r FX (x) = P(X ≤ x)
FX (x) = x−a
1 (x)
b−a [a,b[
+1[b,+∞[ (x)
FX (x) = (1 − e−λx )1[0,+∞[ (x)