Comment calculer la loi d`une variable aléatoire

Université Pierre et Marie Curie 2013-2014
Probabilités et statistiques - LM345
Comment calculer la loi d’une variable aléatoire ?
La première chose à regarder est l’ensemble dans lequel la variable aléatoire prend ses
valeurs. Vous devez savoir calculer la loi d’une variable aléatoire discrète (à valeurs dans
Nou un ensemble fini), d’une variable aléatoire réelle (à valeurs dans R), et d’un vecteur
aléatoire (à valeurs dans Rdavec d > 1) - souvent un couple de v.a. Z= (X, Y ).
Donner la loi d’une variable aléatoire, c’est donner un moyen de calculer la valeur de
P(X∈A)pour Aune partie quelconque de N(cas discret) ou un borélien quelconque de
Rd(cas réel ou vecteur alétoire).
I - Loi d’une v.a. discrète Toute partie Ade Nétant une réunion dénombrable de
sigletons {n}, on obtient la probabilité de l’événement (X∈A)à partir des probablités
des événements (X=n)pour tout n∈N. Donner une loi discrète est simplement donner
les valeurs des
P(X=n)pour tout ndans N(ou une partie finie de N)
On dira ’X suit la loi discrète donnée par P(X=n) = . . . ’(et si possible on
reconnaîtra une loi connue !).
II - Loi d’une v.a. dans Rd: calcul de la fonction de répartition La fonction de
répartition caractérise la loi. Il suffit alors donner les valeurs de la fonction
FX(x) = P(X≤x)∀x∈R(cas réel)
ou pour un vecteur aléatoire X= (X1, . . . , Xd)de donner les valeurs de la fonction
FX(x1, . . . , xd) = P((X1≤x1)∩ · · · ∩ (Xd≤xd)) ∀(x1, . . . , xd)∈Rd.
On dira ’X suit la loi de fonction de répartition FX(x) = . . . ’(et si possible on
reconnaîtra la fonction de répartition d’une loi connue !).
III - Loi d’une va. dans Rd: calcul de la densité Une grande partie des variables
aléatoires à valeurs dans Rdavec d≥1sont des variables dites à densité par rapport à la
mesure de Lebesgue. Cela signifie qu’il existe une fonction f:Rd→R+, appelée densité,
vérifiant RRdf= 1 et pour tout borélien A,
P(X∈A) = ZA f(x1, . . . , xd)dx1. . . dxd
Dans ce cas, donner la densité détermine complètement la loi. Deux méthodes pour cal-
culer la densité :
1

a) S’il existe une fonction ftelle que la fonction de répartition s’écrive
FX(x) = Zx
−∞
f(t)dt (cas réel)
F(X1,...,Xd)(x1, . . . , xn) = Zx1
−∞
. . . Zxd
−∞
f(t1, . . . , td)dt1. . . dtd(cas général)
alors la loi de Xadmet pour densité f.
b) Si il existe une fonction ftelle que pour toute fonction continue bornée g:Rd→R
(pour d≥1) on ait
E[g(X1, . . . , Xd)] = ZRd g(x1, . . . , xd)f(x1, . . . , xd)dx1. . . dxd(cas général)
alors la loi de Xadmet pour densité f.
On dira ’X suit la loi de densité f(t) = ... par rapport à la mesure de Lebesgue’
(et on reconnaîtra si possible la densité d’une loi connue !).
IV - Calcul de la fonction génératrice ou fonction caractéristique Vous avez vu
que pour une variable discrète, la fonction caractéristique GX(s) = E[sX]caractérise la
loi. On dira ’X suit la loi ayant pour fonction caractéristique GX(s) = ...’(et on
reconnaîtra si possible la fonction caractéristique d’une loi connue !).
Cette méthode se généralisera plus tard aux variables aléatoires à valeurs dans R(ou
Rd) avec l’introduction de la fonction caractéristique. Elle est très efficace pour calculer
la loi d’une somme de v.a. indépendantes.
Xsuit la loi P(X=n)E[X] = GX(s) =
Bernoulli de paramère pP(X= 0) = 1 −p(= q)p1−p+sp
X∼ B(p)P(X= 1) = p
Binomiale de paramètres net p∀k∈ {0,...n},np (1 −p+sp)n
X∼ B(n, p)P(X=k) = n
kpkqn−k
Géométrique de paramètre p∀k∈N∗,1
p
1−p
1−sp
X∼ G(p)P(X=k) = p(1 −p)k−1
Poisson de paramètre λ∀k∈N,λ eλ(s−1)
X∼ P(λ)P(X=k) = e−λλk
k!
Xsuit la loi densité f(t)f.d.r FX(x) = P(X≤x)
Uniforme sur [a, b]fX(t) = 1
b−a[a,b](t)FX(x) = x−a b−a[a,b[(x)
X∼ U([a, b]) + [b,+∞[(x)
Exponentielle de paramètre λ fX(t) = λexp(−λt)[0,+∞[(t)FX(x) = (1 −e−λx)[0,+∞[(x)
X∼ E(λ)
Normale centrée réduite fX(t) = 1
√2πe−t2
2
X∼ N (0,1)
Normale de paramètres µet σ2fX(t) = 1
√2πσ2e−(t−µ)2
2σ2
X∼ N (µ, σ2)
2