Implémentation d`une méthode de décomposition de domaine pour

Sujet de stage : Implémentation d’une méthode de décomposition de domaine pour une équation de
type diffusion discrétisée avec la méthode de Galerkine discontinue.
Contacts : Jean-J[email protected]r, Florence.D[email protected], [e-mail]
Lieu : Centre CEA de Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette cedex
Durée du stage : de préférence 6 mois
Niveau requis : de préférence bac+5
Langage informatique : C++, MPI
Spécialité : calcul scientifique, analyse numérique, algorithmique
En physique des réacteurs, l’équation de transport de neutrons permet de calculer la densité de
neutrons dans le cœur du réacteur, et d’en déduire sa puissance. En régime stationnaire, la densité
de neutrons dépend de leur énergie E, de la direction de leur vitesse  , et de leur position spatiale .
En pratique, on calcule le flux angulaire   qui est égal à la densité fois le module de la vitesse.
L’équation de transport de neutrons s’écrit sous la forme du problème aux valeurs propres généralisé
suivant :
Trouver le couple (  tel que :
C’est une équation de bilan sur la quantité de neutrons produits et disparus.
Le coefficient   est relié à la probabilité qu’un neutron dans l’état   disparaisse. La
fonction   est reliée à la probabilité qu’un neutron apparaisse dans l’état   suite à
une fission, et dépend du flux scalaire  . La fonction   est reliée à
la probabilité qu’un neutron apparaisse dans l’état   par diffusion (c’est un terme intégral en
et  sur .
Si on reporte la source de diffusion   à gauche, le problème  peut se récrire sous la
forme abstraite avec deux opérateurs L et F :  .
Après discrétisation, la résolution numérique n’est pas directe, mais itérative, au moyen de différents
algorithmes imbriqués. Pour calculer le mode fondamental du problème , on utilise l’algorithme
des puissances inverses (itérations externes) :
, 
 .
Les différentes variables sont discrétisées de la façon suivante :
- Méthode multi-groupe en énergie E (approximation constante par morceau) :
.
La résolution se fait à l’aide d’un algorithme de Gauss-Seidel sur les groupes d’énergie .
- Méthodes aux ordonnées discrètes (SN) en angle  :

Avec  la sphère unité, 
 les directions angulaires discrètes (appelées ordonnées
discrètes) et  les poids de quadrature.
La résolution se fait à l’aide d’un algorithme de Jacobi sur les ordonnées discrètes 
. Le
calcul peut se faire en parallèle.
- Discrétisation en espace avec la méthode de Galerkine discontinue, sur un maillage 3D
prismatique (la base 2D est constituée de triangles).
Finalement, la résolution du problème à source  se fait comme suit :
Itérations sur les groupes d’énergie (Gauss-Seidel),
Itérations internes sur la source de diffusion   (méthode du point fixe),
Itérations sur les directions (Jacobi, parallélisation MPI),
Balayage spatial pour résoudre : 
Le balayage spatial est parallélisable en mémoire partagée (OpenMP).
Afin d’accélérer la convergence globale de la méthode, on utilise une méthode de type maillage
grossier en angle, appelée DSA (pour Diffusion Synthetic Acceleration). A la fin de l’itération sur les
ordonnées discrètes, il s’agit de résoudre une équation de la forme suivante :
La solution de cette équation permet de corriger le flux scalaire 
 qui est utilisé à l’itération
suivante pour calculer la source de fission.
Cette technique permet de réduire considérablement le nombre d’itérations internes, mais elle
s’avère coûteuse quand les autres parties de l’algorithme sont parallélisées (c’est une méthode
séquentielle). Le but du stage est de trouver une méthode qui accélère efficacement la DSA sur
machine parallèle. On propose d’implémenter une méthode de décomposition de domaine avec
recouvrement. Le stage se déroulera alors comme suit :
- Ecrire un algorithme de partionnement de maillage équilibré, avec recouvrement possible
pour définir les sous-domaines,
- Implémenter l’algorithme de décomposition de domaine en séquentiel, et avec la norme MPI,
- Faire des tests sur différents cas réalistes.
En fonction de l’état d’avancement du stage et des motivations de l’étudiant, on pourra poursuivre de
la façon suivante :
- Améliorer la méthode de décomposition de domaine au moyen d’un préconditionnement de
type coarse-mesh en espace,
- Implémenter une méthode de décomposition de domaine sans recouvrement,
- Bibliographie analytique sur d’autres méthodes d’accélération, (multi-grilles, algébriques)
pour l’équation de la diffusion discrétisée avec la méthode de Galerkine discontinue.
Une poursuite en thèse est envisageable. L’étudiant intégrera une équipe de numériciens.