Caractérisation d`un ensemble généralisant l`ensemble des

ACTA ARITHMETICA
LXXXVII.2 (1998)
Caract´erisation d’un ensemble g´en´eralisant
l’ensemble des nombres de Pisot
par
Toufik Za¨ ımi (Riyadh)
1. Introduction. Soient Kun corps de nombres et θun entier alg´ebrique
de module >1 et de polynˆome minimal Irr(θ, K, z) sur K. Alors θest dit
K-nombre de Pisot si pour tout plongement σde Kdans Cle polynˆome
σIrr(θ, K, z) poss`ede une unique racine de module >1 et aucune racine
de module 1. Ces nombres ont ´et´e d´efinis par A. M. Berg´e et J. Martinet
[2]. Comme dans [2], on repr´esente un K-nombre de Pisot θdans l’alg`ebre
A=Rr1×Cr2, o`u (r1, r2) d´esigne la signature du corps K, par la suite
(θσ)σde ses conjugu´es de module >1 et on note SKleur ensemble dans A.
D’apr`es le th´eor`eme 1 de [7], l’ensemble SKest ferm´e dans Aseulement
lorsque K=Qou bien K=Q(√d) o`u d∈Z−. On peut esp´erer obtenir
dans Aun ensemble ferm´e d’entiers alg´ebriques g´en´eralisant l’ensemble SQ
en rajoutant aux ´el´ements de SKles points limites suivant la preuve du
th´eor`eme 1 de [7] et l’on obtient alors un ensemble ΣKqu’on peut d´efinir
comme ´etant l’ensemble des entiers alg´ebriques θde module >1 tels que
pour tout plongement σle polynˆome σIrr(θ, K, z) admet au plus une racine
de module >1 et aucune racine de module 1. L’ensemble ΣKco¨ıncide avec
l’ensemble SKseulement lorsque K=Qou bien K=Q(√d) o`u d < 0 et
dans ces cas il est ferm´e. On donne ici une caract´erisation de cet ensemble.
2. Les r´esultats. La caract´erisation suivante de l’ensemble ΣQest dˆue
`a C. Pisot :
Th´ eor` eme A [4]. Soit θun nombre complexe de module >1.Alors
θ∈ΣQsi et seulement si il existe un nombre complexe non nul λet une
suite (an)nd’entiers de Qtels que
X
n≥0
(λθn−an)2<∞.
1991 Mathematics Subject Classification: Primary 11R06.
[141]

142 T. Za¨ımi
Une autre caract´erisation de l’ensemble ΣQd´emontr´ee par C. Pisot et
T. Vijayaraghavan est la suivante :
Th´ eor` eme B [5]. Soit θun nombre complexe alg´ebrique de module >1.
Alors θ∈ΣQsi et seulement si il existe un nombre complexe non nul λet
une suite (an)nd’entiers de Qtels que
lim
n(λθn−an) = 0.
Avec les notations pr´ec´edentes et si on repr´esente dans Aun ´el´ement θ
de ΣKpar la suite (θσ)σo`u θσest soit la racine de module >1 du polynˆome
σIrr(θ, K, z) lorsqu’elle existe, soit 0, on obtient alors le r´esultat suivant :
Th´ eor` eme 1. Soit θ∈ΣK;il existe alors un nombre complexe non nul
λdans K(θ)et une suite (an)nd’entiers de Ktels que
X
σ
X
n≥0|σλθn
σ−σan|2<∞.
Ce th´eor`eme a ´et´e prouv´e pour l’ensemble SKlorsque le corps Kest to-
talement r´eel dans [3] et la preuve donn´ee allait dans le sens de l’application
de l’algorithme de Schur. On donne ici une preuve simple de ce r´esultat. De
la derni`ere in´egalit´e on d´eduit limn|σλθn
σ−σan|= 0 pour tout σet par
suite le th´eor`eme 1 montre une des implications des th´eor`emes A et B.
R´eciproquement, si dd´esigne le degr´e du corps Ksur Qon a alors :
Th´ eor` eme 2. (i) Soient dnombres complexes (θσ)σtels que |θσ|>1ou
bien θσ= 0. On suppose l’existence d’une suite (an)nd’entiers de Ket de d
nombres complexes (λσ)σtels que Qσλσ6= 0 et Pσ∈GPn≥0|λσθn
σ−σan|2
<∞. Alors θσ∈ΣσK pour tout plongement σtel que |θσ|>1.
(ii) Soient dnombres complexes alg´ebriques (θσ)σtels que |θσ|>1ou
bien θσ= 0. On suppose l’existence d’une suite (an)nd’entiers de Ket de d
nombres complexes (λσ)σtels que Qσλσ6= 0 et limn(λσθn
σ−σan) = 0 pour
tout σ. Alors θσ∈ΣσK pour tout plongement σtel que |θσ|>1.
Le th´eor`eme 2(i) a ´et´e ´egalement prouv´e pour l’ensemble SKlorsque le
corps Kest totalement r´eel dans [3].
3. Preuve des th´eor`emes
Preuve du th´eor`eme 1. Avec les notations pr´ec´edentes, soient Irr(θ, K, z)
=zs−u1zs−1+u2zs−2+. . . + (−1)suset α1,σ , α2,σ , . . . , αs,σ les racines du
polynˆome σIrr(θ, K, z). Par induction sur les identit´es de Newton : ak,σ =
(σu1)ak−1,σ −(σu2)ak−2,σ +. . . + (−1)k+1kσuk, o`u ak,σ =αk
1,σ +αk 2,σ +
. . . +αk
s,σ et k≥1, on obtient alors ak,σ =σako`u ak=ak,I est un entier
de K,Id´esignant l’identit´e de Gal(K/Q).

G´en´eralisation des nombres de Pisot 143
La s´erie Pn≥0|σλθn
σ−σan|2o`u θσd´esigne ou bien la racine de module
>1 du polynˆome σIrr(θ, K, z) lorsqu’elle existe ou bien 0 et o`u λ= 1,
converge alors comme une s´erie g´eom´etrique pour tout σ; d’o`u le r´esultat.
Preuve du th´eor`eme 2. (i) Consid´erons le d´eterminant
∆n,σ =
σa0σa1. . . σan
σa1σa2. . . σan+1
.
.
.
σanσan+1 . . . σa2n
.
Le d´eveloppement de ∆n,σ montre que les (∆n,σ )σsont des entiers alg´e-
briques conjugu´es sur Q. De mani`ere identique `a la preuve dans [4], on
obtient la majoration |∆n,σ|<1 `a partir d’un certain rang Nne d´ependant
pas de σet par suite les (∆n,σ)σsont tous nuls `a partir d’un certain rang.
Le crit`ere de rationalit´e de Kronecker montre alors que la s´erie Pn≥0σanzn
est r´ecurrente pour tout plongement σ. Le lemme de Fatou g´en´eralis´e [1]
montre qu’on peut ´ecrire la s´erie Pn≥0σanznsous la forme Pσanzn=
Rσ(z)/Qσ(z) o`u Rσet Qσsont deux polynˆomes `a coefficients entiers de
σK, premiers entre eux et tels que Qσ(0) = 1. Soit fσla fonction d´efinie par
fσ(z) = λσ
1−θσz−X
n≥0
σanzn=X
n≥0
(λσθn
σ−σan)znlorsque |θσ|>1.
Comme cette fonction a un rayon de convergence au moins ´egal `a 1, le
polynˆome Qσadmet une seule racine 1/θσde module <1 et comme fσest
sans pˆole de module 1, les autres racines de Qσsont de module >1.Soit
Pσle polynˆome unitaire `a coefficients entiers de σK d´efini par Pσ(z) =
zqQσ(1/z) o`u qest le degr´e de Qσ. Si θσ= 0 alors les racines de Pσsont
toutes de module <1 et si |θσ|>1 alors θσest la seule racine de module
>1 du polynˆome Pσ, ses autres racines sont de module <1. Si on note
R(z)/Q(z) = Pn≥0anznalors
σR(z)
σQ(z)=X
n≥0
σanzn=Rσ(z)
Qσ(z).
Comme les fractions σR/σQ et Rσ/Qσsont irr´eductibles on d´eduit que Qσ
divise σQ et σQ divise Qσ. De l’´egalit´e Qσ(0) = σQ(0) = 1 on d´eduit
Qσ(z) = σQ(z), d’o`u le r´esultat.
(ii) Soit Irr(θσ, σK, z) = σu0zk+σu1zk−1+...+σukle polynˆome mi-
nimal de θσsur σK, choisi tel que les (ui)0≤i≤ksoient des entiers de K. Le
polynˆome Pd´efini par P(z) = Qσσ−1Irr(θσ, σK, z) o`u
σ−1Irr(θσ, σK, z) = u0zk+u1zk−1+. . . +uk,
est alors `a coefficients entiers de K. De l’´egalit´e σq0+σq1θσ+σq2θ2
σ+. . . +
σqsθs
σ= 0 o`u les (qi)0≤i≤ssont tels que P(z) = q0+q1z+. . . +qszs, on

144 T. Za¨ımi
d´eduit λσPσqiθi+n
σ= 0. Si εσ,j =λσθj σ−σajo`u (j, n)∈N2alors
s
X
i=0
σqiσai+n=−
s
X
i=0
σqiεσ,i+n.
De l’hypoth`ese on d´eduit alors l’existence d’un rang N`a partir duquel les
entiers alg´ebriques conjugu´es (σPs
i=0 qiai+n)σsont tous de module <1 et
donc nuls. La s´erie Pn≥0σanznest alors r´ecurrente pour tout plongement
σet la suite de la preuve est identique `a celle du th´eor`eme 2(i).
L’hypoth`ese limn(λσθn
σ−σan) = 0 suffit pour que la fonction fσd´efinie
dans la preuve du th´eor`eme 2(i) soit sans pˆole de module 1.
Remarque. Dans l’espoir d’obtenir des ensembles ferm´es d’entiers alg´e-
briques g´en´eralisant l’ensemble SQ, on peut enlever les points limites de
l’ensemble SKsuivant la preuve du th´eor`eme 1 de [7] en rajoutant une
hypoth`ese du type θ∈SKet K⊂Q(θ). Toutefois d’apr`es [6], si Kest un
corps quadratique contenant une racine de l’unit´e non r´eelle jalors la suite
(θn)nd´efinie par |θn|>1 avec θnracine du polynˆome zn(z2−z−1)+j(z2−1)
est une suite de K-nombres de Pisot qui v´erifie K⊂Q(θn) et converge vers
le K-nombre de Pisot θ= (1 + √5)/2 qui lui ne v´erifie pas l’hypoth`ese
K⊂Q(θ).
Bibliographie
[1] B. B en za gh ou, Anneaux de Fatou, S´eminaire Delange–Pisot–Poitou, Th´eorie des
nombres, 9-i`eme ann´ee (1968/69), no. 9, 8 p.
[2] A. M. B er g´e et J. M ar ti net, Notions relatives de r´egulateurs et de hauteurs, Acta
Arith. 54 (1989), 155–170.
[3] M. J. B er ti n, K-nombres de Pisot et de Salem, ibid. 68 (1994), 113–131.
[4] C. P is ot, La r´epartition modulo 1 et les nombres alg´ebriques, Ann. Scuola Norm.
Sup. Pisa 7 (1938), 205–248.
[5] T. V ij ay ara gh av an, On the fractional parts of the powers of a number (II ), Proc.
Cambridge Philos. Soc. 37 (1941), 349–357.
[6] T. Z a¨ı mi, Sur les nombres de Pisot relatifs, th`ese de l’universit´e Paris 6, Mai 1994.
[7] —, Sur la fermeture de l’ensemble des K-nombres de Pisot, Acta Arith. 83 (1998),
363–367.
Department of Mathematics
King Saud University
P.O. Box 2455
Riyadh 11451, Saudi Arabia
E-mail: [email protected]
Re¸cu le 8.12.1997 (3313)