R3 19 exercices

25-10- 2009 J.F.C. p. 1
R´ EDUCTION
Exercice 1 Existence d’un polynˆome annulateur non nul pour une matrice.
Exercice 2 Au moins une racine d’un polynˆome annulateur non nul est valeur propres.
Exercice 3 Existence d’une valeur propre pour matrice `a coefficients complexes.
Exercice 4 R´eduction d’une matrice n’ayant qu’une valeur propre.
Exercice 5 Polynˆome d’une matrice diagonalisable
Exercice 6 Polynˆome minimal.
Exercice 7 Caract´erisation des droites et des hyperplans stables par un endomorphisme.
Exercice 8 Lemme des Noyaux.
Exercice 9 Endomorphismes diagonalisables dans la mˆeme base.
Exercice 10 Sous espaces vectoriels stables par un endomorphisme diagonalisable V1.
Exercice 11 Espace vectoriel des polynˆomes d’une matrice carr´ee Adiagonalisable.
Exercice 12 Endomorphisme dont le carr´e est diagonalisable.
Exercice 13 Matrices stochastiques.
Exercice 14 Disques de Gerschgorin. Ovales de Cassini.
Exercice 15 Dimension d’un commutant d’un endomorphisme diagonalisable.
Exercice 16 Comparaison P(Sp A)et Sp P(A).
Exercice 17 Toute matrice de Mn(C)est semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure.
Exercice 18 Sous espaces vectoriels stables par un endomorphisme diagonalisable V2.
Exercice 19 Une matrice (resp. un endomorphisme) est diagonalisable si et seulement si elle (resp.
il) poss`ede un polynˆome annulateur scind´e `a racines simples.

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´
ENONC´ ES
Exercice 1 Existence d’un polynˆome annulateur non nul pour une matrice.
Montrer que toute matrice de Mn(K) poss`ede au moins un polynˆome annulateur non nul.
Exercice 2 Au moins une racine d’un polynˆome annulateur non nul est valeur propres.
Soient Aune matrice de Mn(C) et Pun polynˆome annulateur non nul de A.
Montrer que l’une au moins des racines de Pest une valeur propre de A.
Exercice 3 Existence d’une valeur propre pour matrice `a coefficients complexes.
Montrer que toute matrice de Mn(C) poss`ede au moins une valeur propre.
Exercice 4 R´eduction d’une matrice n’ayant qu’une valeur propre.
Soit Aune matrice de Mn(K) n’ayant qu’une seule valeur propre λ.
Montrer que Aest diagonalisable si et seulement si A=λ In.
Exercice 5 Polynˆome d’une matrice diagonalisable
Aet Bsont deux ´el´ements de Mn(K). Pest une matrice inversible de Mn(K). Qest un ´el´ement de K[X].
Montrer que si B=P−1AP alors Q(B) = P−1Q(A)P.
Application. Montrer que si Aest diagonalisable Q(A) l’est aussi.
Exercice 6 Polynˆome minimal.
Aest une matrice de Mn(K).
Q1. Montrer que si Pest un polynˆome annulateur non nul de A, de degr´e minimal, l’ensemble des polynˆomes
annulateurs de Aest l’ensemble des multiples de Pet le spectre de Aco¨ıncide avec l’ensemble des z´eros de P.
Q2. Montrer que Aposs`ede un polynˆome annulateur unitaire et un seul tel que l’ensemble des polynˆomes annulateurs
de Asoit l’ensemble des multiples de ce polynˆome.
Exercice 7 Caract´erisation des droites et des hyperplans stables par un endomorphisme.
Eest un espace vectoriel sur Kde dimension non nulle n.fest un endomorphisme de E.
Q1. Montrer qu’une droite vectorielle de Eest stable par fsi et seulement si elle est engendr´ee par un vecteur propre
de f.
Q2 Aest la matrice de fdans la base B= (e1, e2, . . . , en) de E.
Montrer qu’un hyperplan de Ed’´equation a1x1+a2x2+· · · +anxn= 0 dans Best stable par fsi et seulement si
a1
a2
.
.
.
an
est un vecteur propre de tA.
Exercice 8 Lemme des Noyaux.
fest un endomorphisme d’un espace vectoriel Esur K.

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Q1. Aet Bsont deux ´el´ements non nuls de K[X]. On suppose que les seuls ´el´ements de K[X] qui divisent Aet B
sont les polynˆomes de degr´e 0. On dira que Aet Bsont ´etrangers.
a) On pose S={AU +BV ; (U, V )∈K[X]2}.Dest un ´el´ement non nul de Sde degr´e minimum.
Dire pourquoi un tel Dexiste et montrer que Sest l’ensemble des multiples de D(on proc´edera par double inclusion
et on pourra utiliser la division euclidienne).
b) En remarquant que Aet Bsont dans S, montrer que Dest constant et en d´eduire qu’il existe deux ´el´ements U0et
V0de K[X] tels que AU0+BV0= 1.
c) Utiliser ce qui pr´ec`ede pour montrer que Ker(AB)(f) = Ker A(f)⊕Ker B(f).
Q2. a) rest un ´el´ement de [[2,+∞[[. P1,P2, ..., Prsont r´el´ements non nuls de K[X] deux `a deux ´etrangers. Montrer
que :
Ker(P1P2· · · Pn)(f) = Ker P1(f)⊕Ker P2(f)⊕ · · · ⊕ Ker Pr(f).
b) rest un ´el´ement de [[2,+∞[[. λ1,λ2, ..., λrsont r´el´ements deux `a deux distincts de K. Montrer que :
Ker (X−λ1)(X−λ2)· · · (X−λr)(f) = Ker(f−λ1IdE)⊕Ker(f−λ2IdE)⊕ · · · ⊕ Ker(f−λrIdE).
Q3. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que si fadmet un polynˆomes annulateur scind´e `a racines simples alors fest diagonal-
isable. Montrer la r´eciproque.
Exercice 9 Endomorphismes diagonalisables dans la mˆeme base.
Eest un espace vectoriel de dimension non nulle nsur K.fet gsont deux endomorphismes diagonalisables de Etels
que : f◦g=g◦f.
Sp(f) = {λ1, λ2, . . . , λp}et pour idans [[1, p]], Fiest le sous-espace propre de fassoci´e `a λi.
Sp(g) = {µ1, µ2, . . . , µq}et pour idans [[1, p]], pour jdans [[1, q]], Gjest le sous-espace propre de gassoci´e `a µj.
Q1. Montrer que les sous-espaces propres de gsont stables par f... et r´eciproquement.
Q2. Montrer que pour idans [[1, p]] :
Fi=
q
M
j=1
(Fi∩Gj)
.
Q3. En d´eduire que fet gse diagonalisent dans la mˆeme base.
Exercice 10 Sous espaces vectoriels stables par un endomorphisme diagonalisable.
Eest un espace vectoriel de dimension nsur K(n∈N∗).
fest un endomorphisme diagonalisable de E.λ1,λ2, ..., λpsont les pvaleurs propres de f.
Pour tout ´el´ement kde [[1, p]] on pose Fk= SEP (f, λk).
Q1. Montrer que si G1,G2, ..., Gpsont psous-espaces vectoriels de F1,F2, ..., Fpalors la somme G1+G2+· · · +Gp
est directe et stable par f.
Q2. Soit Fun sous espace vectoriel de Estable par f. On pose pour tout ´el´ement kde [[1, p]], Gk=F∩Fk.
On se propose de montrer que F=G1⊕G2⊕ · · · ⊕ Gp.
a) Montrer par r´ecurrence que, pour tout kdans [[1, p]], si x1,x2, ...., xksont k´el´ements appartenant respectivement
`a F1,F2, ..., Fket tels que x1+x2+· · · +xk∈Falors ces ´el´ements appartiennent ´egalement `a F.

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b) Achever la d´emonstration du r´esultat propos´e et conclure l’exercice.
Exercice 11 Espace vectoriel des polynˆomes d’une matrice carr´ee Adiagonalisable.
Aest une matrice de Mn(K). λ1,λ2, ..., λpsont les valeurs propres distinctes de A.
On suppose que Aest diagonalisable. Ainsi il existe un matrice inversible Pde Mn(K) telle que D=P−1AP soit
diagonale.
Q1. Montrer que si Sest un polynˆome de K[X] alors S(A) = P S(D)P−1.
Q2. On pose T=
p
Y
k=1
(X−λk). a) Montrer que T(A) = 0Mn(K).
b) Montrer que S={S∈K[X]|S(A) = 0Mn(K)}est l’ensemble des multiples de T.
Q3. F={S(A); S∈K[X]}.
a) Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de Mn(K) et qu’il est engendr´e par (In, A, A2, . . . , Ap−1).
b) Montrer que Fest de dimension p.
Exercice 12 Endomorphisme dont le carr´e est diagonalisable.
Eest un espace vectoriel sur Kde dimension nnon nulle. uest un endomophisme de E.
Q1. Montrer que si uest diagonalisable alors u2est diagonalisable et Ker u2= Ker u.
◮Dans toute la suite on suppose u2diagonalisable.
Q2. On suppose que λest une valeur propre non nulle de u2telle qu’il existe αdans Kv´erifiant α2=λ.
Montrer que SEP u2, λ= Ker(u−αIdE)LKer(u+αIdE).
En d´eduire qu’il existe une base de SEP u2, λconstitu´ee de vecteurs propres de u.
Q3. On suppose que K=C. Montrer que si Ker u2= Ker ualors uest diagonalisable. Et si K=R?
Exercice 13 Matrices stochastiques.
On consid`ere l’ensemble Sdes ´el´ements A= (aij ) de Mn(R) tels que :
∀(i, j)∈[[1, n]]2, aij >0 et ∀i∈[[1, n]],
n
X
j=1
aij = 1
Q1. Montrer que Sest stable pour le produit matriciel.
Q2. Soit Aun ´el´ement de S. Montrer que 1 est valeur propre de A.
Soit λun ´el´ement de Cvaleur propre de A. Montrer que : |λ|61 (AX =λ X,|xk|= Max(|x1|,|x2|, . . . , |xn|) alors
|λ| |xk|=· · · 6· · ·).
⋆Dans la suite Aun ´el´ement de Stel que : ∀(i, j)∈[[1, n]]2, aij >0. Soit λune valeur propre de Ade module 1.
On se propose de montrer que λ= 1 et que SEP (A, λ) est de dimension 1.
Soit X=
x1
x2
.
.
.
xn
un vecteur propre de Aassoci´e `a la valeur propre λ
kest un ´el´ement de [[1, n]] tel que |xk|= Max(|x1|,|x2|, . . . , |xn|).

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Au choix Q3 ou Q4 .
Q3. a) Montrer que |xk|=
n
X
ℓ=1
akℓ xℓ. en d´eduire qu’il existe un r´eel θtel que :
n
X
ℓ=1
akℓ xℓ
xk
e−iθ −1= 0.
b) Montrer que : ∀ℓ∈[[1, n]], xℓ=eiθ xk(prendre la partie r´eelle au niveau de l’´egalit´e pr´ec´edente et remarquer que
xℓ
xke−iθ a une partie r´eelle inf´erieure ou ´egale `a 1).
c) Conclure.
Q4 Rappel Soient z1,z2, ..., zndes complexes, |z1+z2+· · · +zn|=|z1|+|z2|+· · · +|zn|si et seulement si il existe
un r´eel θet des r´eels positifs ou nul ρ1,ρ2, ..., ρntels que ∀k∈[[1, n]], zk=ρkeiθ
a) Montrer que |xk|=
n
X
ℓ=1
akℓ xℓ6
n
X
ℓ=1
|akℓ xℓ|=
n
X
ℓ=1
akℓ |xℓ|6|xk|. Cons´equence ?
b) Utiliser la derni`ere ´egalit´e pour montrer que |x1|=|x2|=· · · =|xn|.
c) Utiliser a) et le rappel pour prouver que x1=x2=· · · =xn. Conclure.
Remarques 1. Il faut absolument savoir prouver le rappel.
2. Si Aest stochastique (et donc si on ne suppose plus que les coefficients de Asont strictement positifs), toute valeur
propre de Ade module 1distincte de 1est une racine q`eme de l’unit´e avec 16q6n. C’est beaucoup plus d´elicat `a
prouver.
Exercice 14 Disques de Gerschgorin. Ovales de Cassini.
A= (aij ) est un ´el´ement de Mn(C).
Pour tout i´el´ement de [[1, n]], on pose : ri=
n
X
j=1
j6=i
|aij |et Di={z∈C| |z−aii|6ri}.
Q1. Montrer que Sp A⊂
n
[
i=1
Di(AX =λX avec X=
x1
x2
.
.
.
xn
non nul et consid´erer |xℓ|= Max
16k6n|xk|).
Q2. Facultatif. Pour tout (i, j) ´el´ement de [[1, n]]2on pose : Cij ={z∈C| |z−aii| |z−ajj |6rirj}.
Montrer que Sp A⊂[
(i,j)∈[[1,n]]2
i6=j
Cij .
Exercice 15 Dimension du commutant d’un endomorphisme diagonalisable.
fest un endomorphisme diagonalisable de Eespace vectoriel de dimension nsur K.λ1,λ2, ..., λpsont les pvaleurs
propres (distinctes) de f. Pour tout iappartenant `a [[1, p]] on pose Fi=SEP(f, λi) = Ker(f−λiIdE).
S={g∈ L(E)|f◦g=g◦f}est le commutant de f.
Q1. Montrer que Sest un sous-espace vectoriel de L(E).
Q2. gest un ´el´ement de S. Montrer que pour tout ´el´ement ide [[1, p]], Fiest stable par g.
Si iappartient `a [[1, p]], on note alors gi, l’application de Fidans Fiqui `a xassocie g(x) et on pose
ϕ(g) = (g1, g2, . . . , gp).
Q3. Montrer que ϕest une application lin´eaire injective de Sdans H=L(F1)× L(F2)× · · · × L(Fp).