correction Devoir libre 5 - Blogs de l`académie d`Amiens

Devoir libre 5
1) Calcule le PGCD de 60 ; 72 et 84.
On veut remplir trois cuves d’eau de contenances 60L ; 72 L et 84L à l’aide d’un récipient.
2) Quelle doit être la plus grande contenance possible de ce récipient de façon à remplir
exactement les trois cuves.
Combien faudra-t-il verser de fois ce récipient dans chacune des cuves pour les remplir à ras bord ?
1) On commence par calculer le PGCD de 60 et 72.
Il s’agit de 12.
Or 12 est un diviseur de 84.
Donc le PGCD de 60 ; 72 et 84 est 12.
2) La plus grande contenance possible de ce récipient est donc 12 L.
60
=5
12
72
=6
12
84
=7
12
On remplira la cuve de 60 L cinq fois, celle de 72 L six fois, et celle de 84 L sept fois.
a est un chiffre, on veut démontrer que le nombre a00a est divisible par 143
(pour a = 4, le nombre est 4 004).
1) Vérifie cette affirmation avec a = 1, puis avec a = 2.
2) Démontre maintenant l’affirmation dans le cas général.
1)
1001
=7
143
2002
= 14
143
2) a00a = a × 1001 = a × 7 × 143 = 143 × 7a
a00a
= 7a
143
7a est un entier, donc a00a est bien divisible par 143.
1) Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ? Justifie.
756
2) La fraction
est-elle irréductible ? Si non, l’écrire sous forme irréductible en justifiant.
441
756 19
+
et donne le résultat sous forme irréductible.
3) Calcule la somme Q =
441 42
1) 756 et 441 sont des multiples de 3, donc ils ne sont pas premiers entre eux.
756
2)
n’est donc pas irréductible.
441
On calcule le PGCD de 756 et 441 (ce sera un multiple de 3) ; il s’agit de 63.
756 12
=
441 7
756 19 12 19 72 19 91 13
3) Q =
+
= +
=
+
=
=
441 42 7 42 42 42 42 6