Chapitre 0 Notions métriques dans R

Chapitre 0
Notions métriques dans Rm
Le module M3 traite essentiellement des fonctions à plusieurs variables réelles, c’est-à-dire,
des fonctions définies sur une partie de Rm . Au début, il comporte les notions fondamentales de limite, de continuité et de différentiablité. Les deux premières ont ete déja vues
dans le cadre de M1, pour les fonctions réelles à variable réelle. Pour les généraliser aux
fonctions à plusieurs variables, nous avons besoin de la définition d’une norme, définition
qui généralise la valeur absolue dans R.
0.1
Normes. Espaces vectoriels normés
0.1.1
Définitions générales et exemples
On désigne par R+ l’ensemble des nombres réels ou nul et par R∗+ l’ensemble des nombres
réels strictement positifs.
Définition 1 Soit E un espace vectoriel sur le corps des nombres réels R. On appelle
norme sur E, toute application
N : E !−→ R+
qui verifie les propriétés suivantes :
1. N (x) = O si, et seulement si, x = OE ,
2. ∀ λ ∈ R, ∀x ∈ E, on a N (λx) = |λ| N (x),
3. ∀x, y, ∈ E, N (x + y) ≤ N (x) + N (y).
Exemples
1. On pose E = Rn et
N1 (x) =
n
!
1
|xi |,
"
# n
#!
N2 (x) = $ (xi )2 ,
1
N3 (x) = max (|xi |).
i=1,...,n
Ces trois applications définissent des normes dans Rn (à montrer). Que deviennentelles lorsque n = 1 ?
3
CHAPITRE 0. NOTIONS MÉTRIQUES DANS RM
4
2. Soit E = C([a, b], R), l’espace vectoriel des fonctions réelles continues sur l’intervalle
[a, b] non vide. On vérifie que les applications
N " , N "" , N """ : C([a, b]) !−→ R+ ,
définies par
"
N (f ) =
%
a
b
|f (t)| dt
""
N (f ) =
&
%
b
(f (t))2 dt
a
et
N """ (f ) = sup |f (t)|
t∈[a,b]
sont des normes.
Définition 2 Un espace vectoriel E sur R muni d’une norme N ou ||.|| est appelé espace
vectoriel normé. On le note (E, N ) ou (E, ||.||).
Remarque 1 Les normes Ni , i ∈ {1, 2, 3}, définies ci-dessus, vérifient les inégalités :
∀ j = 1, . . . , m, |xj | ≤ Ni (x) = N (x1 , . . . , xm ).
En fait, les espaces vectoriels normés font partie d’une classe d’ensembles plus large que
constituent les espaces métriques.
Définition 3 On appelle espace métrique tout ensemble E muni d’une distance, c’est-àdire, d’une application d : E × E !→ R+ qui vérifie les propriétés suivantes :
1. ∀x, y ∈ E, d(x, y) = d(y, x),
2. ∀x, y ∈ E, on a d(x, y) = 0 ⇔ x = y,
3. ∀x, y, z ∈ E, on a d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
On le note (E, d).
Exemples :
1. Soit E un ensemble quelconque. Il est clair que l’application d : E × E !→ R+ définie
par
'
0 si x = y
d(x, y) =
1 sinon
est une distance. On l’appelle distance discrète.
2. Le couple (R, d) où d(x, y) = |ex − ey | est un espace métrique.
Comme nous le disions plus haut, tout espace vectoriel normé peut-être considéré comme
un espace métrique car :
Proposition 1 Toute norme N définie sur un espace vectoriel E induit une distance d
sur cet espace.
Preuve : poser d(x, y) = N (x − y) et montrer qu’alors, d est une distance (exercice).
D’après cette proposition, toutes les notions que nous verrons dans le cadre des espaces
vectoriels normés sont métriques. C’est pour cela que nous avons intitulé ce chapitre
“Notions métriques dans Rm ”.
0.1. NORMES. ESPACES VECTORIELS NORMÉS
0.1.2
5
Boules ouvertes, boules fermées
Dans ce paragraphe, (Rm , ||.||) désigne l’espace vectoriel Rm muni de l’une des trois normes
classiques introduites ci-dessus. Les définitions qui suivent sont essentielles pour toute la
suite du cours.
Définition 4 On appelle boule ouverte de centre x0 ∈ Rm et de rayon r ∈ R+ , la partie
de Rm , notée B(x0 , r) et définie par
B(x0 , r) = {x ∈ Rm , ||x − x0 || < r}.
On appelle boule fermée de centre x0 ∈ Rm et de rayon r ∈ R+ , la partie de Rm , notée
B(x0 , r) et égale à
B(x0 , r) = {x ∈ Rm , ||x − x0 || ≤ r}).
Exemples :
1. Dans R muni de la valeur absolue, les intervalles ouverts ]α, β[ sont des boules
β−α
α+β
ouvertes de centres
et de rayon
2
2
2. Une boule ouverte (fermée) de (R2 , ||.||2 ) est le disque habituel sans le contour (avec
le contour). Qu’en-est-il des boules ouvertes ou fermées dans (R2 , ||.||1 ) et (R2 , ||.||3 ) ?
Définition 5 Une partie A de Rm est un ouvert de (Rm , ||.||) si elle vérifie la propriété
suivante :
x ∈ A =⇒ ∃ rx > 0 tel que B(x, rx ) ⊂ A.
Définition 6 Une partie A de Rm est un fermé de (Rm , ||.||) si son complémentaire est
un ouvert de (Rm , ||.||).
Ces deux définitions sont capitales.
Avant de passer aux exemples d’ouverts et de fermés, il est utile de préciser une propriété
importante que vérifient deux normes équivalentes.
Définition 7 Soient N, N " : Rm !−→ R+ deux normes définies sur l’espace vectoriel Rm .
On dit que N et N " sont équivalentes si,
∃ α, β ∈ R∗+ ; ∀ x ∈ E, α N (x) ≤ N " (x) ≤ β N (x).
Remarque 2 la double inégalité précédente définit une relation d’équivalence sur l’ensemble de toutes les normes dans Rm (exercice).
Cette définition a pour conséquence le fait important suivant :
Proposition 2 Soient N et N " deux normes équivalentes définies sur un espace vectoriel
Rm . Alors, une partie A ⊂ Rm est ouverte au sens de N (rep. fermée) si et seulement si,
elle est ouverte (resp. fermée) au sens de N " .
Preuve : (en cours)
Exemples de normes équivalentes :
Les normes N1 , N2 et N3 , définies ci-dessus dans Rm , sont équivalentes (cours).
CHAPITRE 0. NOTIONS MÉTRIQUES DANS RM
6
Remarques 1
1. Bien qu’elles définissent les mêmes ouverts, deux normes équivalentes ne définissent
pas toujours les mêmes boules.
2. Les exemples de normes non équivalentes se trouvent dans les espaces vectoriels
de dimension infinie car, en licence, on montre que dans les espaces vectoriels de
dimension finie, tels que Rm ou Cm , toutes les normes sont équivalentes.
Exemples d’ouverts et de fermés :(à traiter en cours)
1. Les ensembles ∅ et Rn sont à la fois des ouverts et des fermés de (Rn , ||.||i ), i = 1, 2, 3.
2. Une boule ouverte est un ouvert et une boule fermée est un fermé (exercice).
3. L’ensemble {(x, y) ∈ R2 ; x > 0 et y > 0} est un ouvert de (R2 , ||.||i ).
4. Les ensembles {(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0 et y ≥ 0} et {(x, y) ∈ R2 ; x = y} sont des
fermés de R2 .
0.1.3
Points intérieurs, points adhérents et points d’accumulation
Définition 8 Soit (Rm , ||.||) un espace vectoriel normé et A une partie de Rm . Un point
x0 ∈ A est un point intérieur de A s’il existe une boule ouverte, de centre x0 et de rayon
strictement positif, incluse dans A. Autrement dit :
∃ r ∈ R∗+ ; B(x0 , r) ⊂ A.
Définition 9 Soit (Rm , ||.||) un espace vectoriel normé et A une partie de Rm . Un point
x0 ∈ E est un point adhérent de A si toute boule ouverte de centre x0 et de rayon
strictement positif a une intersection avec A non vide. Autrement dit :
∀ r ∈ R∗+ , B(x0 , r) ∩ A /= ∅.
Définition 10 Soit (Rm , ||.||) un espace vectoriel normé et A une partie de E. Un point
x0 ∈ E est un point d’accumulation de A si toute boule ouverte de centre x0 et de rayon
strictement positif a une intersection avec A privée de x0 non vide. Autrement dit :
∀ r ∈ R∗+ , (B(x0 , r) \ {x0 }) ∩ A /= ∅.
Il est clair qu’un point d’accumulation d’une partie est un point adhérent de la même
partie.
Définition 11 Soit (Rm , ||.||) un espace vectoriel normé et A une partie de Rm .
o
1. On appelle intérieur de A l’ensemble noté A et formé de tous les points intérieurs
de A :
o
A = {x ∈ A; ∃ r > 0, B(x, r) ⊂ A}.
0.1. NORMES. ESPACES VECTORIELS NORMÉS
7
2. On appelle adhérence ou fermeture de A l’ensemble noté A et formé de tous les
points adhérents de A :
A = {x ∈ Rm ; ∀ r > 0, B(x, r) ∩ A /= ∅}.
o
3. On appelle frontière de A l’ensemble noté F r(A) ou ∂A et égal à A \ A.
Remarques 2
1. Un point intérieur (adhérent ou d’accumulation) ne change pas de nature si l’on
remplace la norme de l’espace par une norme équivalente (à montrer). Cela signifie
en particulier que ces définitions correspondent aux mêmes objets dans les espaces
vectoriels normés (Rn , ||.||1 ), (Rn , ||.||2 ) et (Rn , ||.||3 ).
2. Bien sûr que quelle que soit la partie A de Rn , on a
o
A
⊂ A ⊂ A.
o
3. Si A est un ouvert, alors A = A et si A est un fermé, alors A = A.
Exemple fondamental :
1. On munit R de la valeur absolue. Trouver l’intérieur, l’adhérence et la frontière de
N et de Q. Existe-t-il des points d’accumulation de N et de Q ?
Autres exemples :
Ici, R2 est muni de l’une des trois normes classiques.
1. Trouver les points intérieurs, adhérents et d’accumulation de la partie
A = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0 et x2 + y 2 ≤ 1}.
2. Trouver les points intérieurs, adhérents et d’accumulation de la partie
B = {(x, y) ∈ R2 ; x < 0} ∪ (N × {0}).
3. Déterminer la frontière des ensembles A et B définis dans les exemples précédents.
Proposition 3
1. L’intérieur d’une partie est le plus grand ouvert inclus dans la partie.
2. L’adhérence d’une partie est le plus petit fermé qui inclut la partie.
Preuve : (en cours)
8
0.2
0.2.1
CHAPITRE 0. NOTIONS MÉTRIQUES DANS RM
Suites dans les espaces vectoriels normés
Définitons et exemples
Définition 12 Soit E un espace vectoriel normé. On appelle suite d’éléments de E une
application de N (éventuellement privé d’une partie finie) dans E.
On la note (un ), (vn ), . . .où les éléments un , vn . . . sont dans E.
Lorsque E est un espace vectoriel, les suites d’éléments de E sont appelées des suites
vectorielles.
Remarque 3 La donnée d’une suite (un ) d’éléments de Rm équivaut à la donnée de m
suites réelles (uin ), i = 1, . . . , m qu’on appelle suites coordonnées ou suites composantes.
Exemples :
1 n2 − 1
2n n2 − 1
1. ( , 2
) et ( n ,
) sont des suites dans R2 .
n n +1
e n+1
2. (fn ) où fn (t) = sin(nt) définit une suite dans C(R, R). On l’appelle suite de fonctions. Ce type d’exemples sort du cadre du module. Il sera vu le semestre prochain
(M4).
On définit de manière analogue au cas réel (voir le module M1) les suites extraites (ou
sous-suites) d’une suite d’éléments d’un espace vectoriel. Nous nous interesserons particulièrement aux suites de Rm .
Définition 13 Une suite (vn ) est une suite extraite de la suite (un ) (de Rm ) s’il existe
une application ϕ : N !−→ N strictement croissante, telle que
vn = uϕ(n) , ∀ n ∈ N.
Exemples :
1 ,n4 − 1
1 ,n2 − 1
La suite ( 2 4
) est une suite extraite de la suite (
). Trouver l’application ϕ
n n +1
n n2 + 1
qui la définit.
0.2.2
Limite d’une suite d’éléments de Rm
Définition 14 Soit (Rn , ||.||) un espace vectoriel normé.
Une suite (un ) de Rn (ou d’éléments de Rn ) converge vers l ∈ Rn si
∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N; ∀ n > n0 , ||un − l|| < ε.
Notation : lorsque la suite (un ) converge vers u, on note
lim un = u
ou
un → u.
Il existe une autre façon de voir cette définition. Si l’on note d la distance induite par
la norme ||.||, l’inégalité ||un − l|| < ε devient d(un , l) < ε. Autrement dit, une suite (un )
de Rm converge vers l ∈ Rm si pour tout ε > 0, il existe un rang à partir duquel tous les
termes de la suite sont à une distance de l, inférieure strictement à ε.
0.3. COMPACITÉ ET CONVEXITÉ
9
Proposition 4 On munit Rm de deux normes équivalentes ||.|| et ||.||" . Une suite d’éléments
de Rm converge vers l au sens de ||.|| si et seulement si elle converge vers l au sens de
||.||" .
Preuve : (en cours)
Corollaire 1 Une suite (un ) d’éléments de Rm converge au sens de la norme euclidienne
(ou de l’une des trois normes classiques) vers l = (l1 , . . . , lm ) si, et seulement si, chaque
suite coordonnée (uin ), (i = 1, . . . , m) converge vers li , (i = 1, . . . , m).
Preuve : (utiliser la norme du max et la proposition précédente.)
Proposition 5 Une suite d’éléments de l’espace vectoriel Rm converge vers
seulement si, toutes ses sous-suites convergent vers la même limite l.
l
si, et
Preuve : (reprendre la preuve de la proposition analogue de M 2).
Proposition 6 (théorème de Bolzano-Weierstrass) De toute suite bornée de Rm ,
on peut extraire une sous-suite convergente.
0.2.3
Caractérisation des points adhérents et d’accumulation à
l’aide des suites
Proposition 7 Soit A une partie de Rm muni de l’une des trois normes classiques. Un
point u de Rm est un point adhérent (resp. d’accumulation) de A si, et seulement si, il
existe une suite d’éléments (resp. différents de u) de A qui converge vers u.
Preuve : (en cours)
Remarque 4 D’après cette propositon, une partie A de Rm est fermée si, et seulement
si, toute suite d’éléments de A, covergente dans Rm , possède sa limite dans A.
Les suites de Rm constituent un outil efficace pour caractériser non seulement les points
adhérents et les points d’accumulation mais aussi d’autres types d’ensembles comme les
ensembles compacts.
0.3
Compacité et convexité
0.3.1
Compacité
0.3.1.1
Parties bornées
Définition 15 Soit (Rm , ||.||) un espace vectoriel normé. Une partie A de Rm est bornée
s’il existe un réel r > 0 tel que A ⊂ B(0E , r), c’est-à-dire, ∀x ∈ A, ||x|| < r.
Il existe des ouverts bornés et des fermés bornés. Le fait qu’une partie soit bornée ne
signifie pas qu’elle soit fermée.
Exemples :
CHAPITRE 0. NOTIONS MÉTRIQUES DANS RM
10
1
1. La partie S = {(x, sin ); x ∈ R∗+ } n’est pas bornée.
x
2. Une boule ouverte (ou fermée) est bornée.
3. Une partie finie est bornée.
Proposition 8 Soit (Rm , ||.||) un espace vectoriel normé. Une partie A de Rm n’est
pas bornée si, et seulement s’il existe une suite d’éléments (xn ) de A telle que la suite
numérique (||xn ||)n tende vers +∞.
Preuve : (cours)
Remarque 5 Une suite (un ) de Rm est bornée si, et seulement si, ses suites composantes
sont bornées.
0.3.1.2
Parties compactes
Définition 16 Soit (Rm , ||.||) un espace vectoriel normé. Une partie A de Rm est compacte si de toute suite d’éléments de A, on peut extraire une sous-suite convergente dans
A.
En d’autres termes, A est compacte si
∀ (un ), suite de A, ∃ ϕ : N !→ N, strictement croissante,∃ u ∈ A, tels que uϕ(n) → u.
Dans les espaces vectoriels normés (Rm , ||.||), la proposition suivante est fondamentale.
Elle permet de caractériser les ensembles compacts.
Proposition 9 Une partie de Rm (muni de l’une des trois normes classiques) est compacte si, et seulement si, elle est fermée et bornée.
Preuve : (en cours)
Cette proposition va nous aider à construire des exemples d’ensembles compacts et non
compacts dans R, R2 et R3 .
Exemples :
1. N et Q ne sont pas compacts dans R.
2. Une boule fermée (dans Rm ) est compacte
3. R+ n’est pas compact (pourquoi) et sa frontière est compacte.
1
4. La partie T = {(x, sin ); x ∈]0, 1]} n’est pas compacte (pourquoi ?).
x
5. La partie U = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ y ≤ x2 et x ∈ [0, 1]} est compacte (justifier).
6. La partie V = {(x, y, z) ∈ R3 ; 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 et x ∈ [0, 1]} est compacte.
7. La partie W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 = 3} n’est pas compacte (justifier).
Propriétés :Ê
Dans Rm , nous avons les propriétés suivantes :
0.4. ANNEXE : LES ESPACES AFFINES
11
1. Une réunion finie de compacts est un compact.
2. Une intersection quelconque de compacts est un compact
3. Tout fermé inclus dans un compact est un compact.
On reviendra sur la notion de compacité dans le prochain chapitre, notamment en liaison
avec la continuité.
0.3.2
Convexité
Définition 17 Soit a et b, deux éléments de Rm . On appelle segment d’extrémités a et b
l’ensemble des points noté [a, b] et défini par
[a, b] = {a + t (b − a), t ∈ [0, 1]}.
Dans le cas où m = 2, 3, cette définition rejoint le sens intuitif que nous avons du segment.
Définition 18 Une partie A de Rm est convexe si quels que soient deux éléments de A,
[a, b] ⊂ A.
Comme nous le voyons, pour définir la convexité, nous n’avons pas besoin de la structure
d’espace vectoriel normé. La structure d’espace vectoriel suffit.
Exemples :
1. Rm est convexe (évident).
2. Une boule ouverte ou fermée de l’espace vectoriel normé Rm est convexe (à montrer).
3. L’ensemble F = {(x, y) ∈ R2 ; y ≤ x2 et x ∈ [0, 1]} n’est pas convexe (justifier).
4. L’ensemble G = {(x, y) ∈ R2 ; y ≥ x2 et x ∈ [0, 1]} est convexe.
0.4
Annexe : les espaces affines
En première année (chapitre 3), nous avons défini la notion d’equipollence sur l’ensemble
des bipoints du plan (resp. l’espace). Nous avons vu que l’équipollence est une relation
d’équivalence qui induit une partition de l’ensemble des bipoints considérés en classes
d’équivalence appelées vecteurs à deux (resp. trois) dimensions. Si l’on veut représenter
l’espace vectoriel R2 (resp. R3 ) comme un plan (espace) de points, il suffit de se fixer un
point dans le plan (ou dans l’espace) et de prendre comme représentant de chaque vecteur
(qui, ne l’oublions pas, est une classe d’équivalence), le bipoint dont la première extrémité
se confond avec le point fixé. On établit ainsi une correspondance biunivoque (bijective)
entre les vecteurs et les deuxièmes extrémités de ces bipoints. C’est de cette manière que
l’on arrive à identifier l’espace vectoriel R2 (ou R3 ) au plan (ou à l’espace).
Une question se pose. Pourrait-on élargir cette démarche à des ensembles de points quelconques ? La reponse est assujettie à une construction analogue à celle de l’équipollence
et qui est donnée dans la définition suivante.
CHAPITRE 0. NOTIONS MÉTRIQUES DANS RM
12
Définition 19 Un ensemble E est un espace affine si, il existe un espace vectoriel E et
une application
ϕ : E × E !−→ E
telle que
1. ∀ A ∈ E, l’application ϕ(A, .) : E !−→ E (B !→ ϕ(A, B)) est une bijection.
2. ∀ A, B, C ∈ E, ϕ(A, B) + ϕ(B, C) = ϕ(A, C).
La dimension de l’espace affine E est la dimension de l’espace vectoriel associé E.
Les éléments de l’espace affine E sont appelés des points.
D’après la définitio
Chapitre 1
Applications continues
1.1
Exemples d’applications d’une partie de Rm dans
Rp
La donnée d’une application d’une partie A de Rm , à valeurs dans Rp , équivaut à celle de
p fonctions scalaires fi , (i = 1, . . . , p) définies sur A qu’on appelle fonctions composantes
ou fonctions coordonnées.
Les fonctions à valeurs dans un espace vectoriel sont parfois appelées fonctions vectorielles.
Il en est ainsi de toutes les fonctions d’une partie de Rm dans une partie de Rp .
1.1.1
Applications linéaires et affines de Rm dans Rp
Les applications linéaires ont été vues en première année.
Une application affine f : Rm → Rp est définie par f (x) = a + ϕ(x) où a est un élément
de Rp et ϕ, une application lineaire de Rm dans Rp .
Exemples :
1. Montrer que l’application linéaire ψ : R2 → R3 définie par ψ(x, y) = (2y, x + y, 2x)
est injective. Est-elle bijective ? Dessinez son image.
2. On reprend l’application linéaire précédente ψ. On note C la partie de R2 définie
par C = {(cos t, sin t); t ∈ R}. Trouver ψ(C).
3. Montrer que l’image d’un segment de droite de Rm par une application affine f :
Rm → Rp est un segment de droite de Rp .
1.1.2
Applications d’une partie de Rm dans R
Ces applications sont souvent appelées des fonctions réelles à m variables réelles. Nous
avons déjà vu une de ces applications, en l’occurence la norme.
1.1.2.1
Cas où m = 2
2
2
2
1. Dessiner les
( graphes des fonctions f, g : R → R définies par f (x, y) = x + y et
g(x, y) = x2 + y 2 .
13
14
CHAPITRE 1. APPLICATIONS CONTINUES
−1
−1
2. Dessiner f ({9}) et g ({3}) où f et g sont définies dans l’exemple précédent.
3. Montrer que l’ensemble des images de la fonction h : R2 → R définie par h(x, y) =
exp (−x2 − y 2 ) est borné. En est-il de même pour le graphe de f ?
1.1.2.2
Cas où m = 3
1. Ecrire les formes linéaires définies dans R3 , muni de la base canonique.
2. Soit f : R3 → R l’application définie par f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . En utilisant la
−1
norme euclidienne de R3 , dessiner f ({2}).
1.1.3
Fonctions vectorielles d’une ou de deux variables réelles
1.1.3.1
Fonctions vectorielles d’ une variable réelle
La donnée d’une fonction vectorielle f définie dans A ⊂ R à valeurs dans Rp équivaut à
celle de p fonctions réelles f1 , f2 , . . . , fp définies dans A.
Définition 20 Soit f : I → Rp une fonction définie sur la partie I de R. L’image directe
f (I) de l’ensemble de départ I est appelée courbe.
Exemples :
1. On se donne deux points (ou vecteurs) a et b de Rm ; le segment de droite [a, b], introduit dans le chapitre précédent, peut être vu comme l’image directe de l’intervalle
[0, 1] par la fonction vectorielle f : [0, 1] → Rm définie par f (t) = a + t(b − a).
2. Dessiner les courbes paramétrées définies par les fonctions vectorielles f1 , f2 , f3 :
R → R2 où
f1 (t) = (cos t, sin t), f2 (t) = (cos t, cos2 t) et f3 (t) = (et , e−t ).
3. Dessiner les courbes paramétrées définies par les fonctions vectorielles h, k, l : R →
R3 où
h(t) = (2 cos t, 2 sin t, 3t), k(t) = (et cos t, et sin t, t) et l(t) = (
1
2
3
,
,
)·
2
2
1 + t 1 + t 1 + t2
Remarque 6 Rappelons que le graphe d’une application f : E → F est la partie du
produit cartésien E × F définie par :
{(x, y) ∈ E × F : y = f (x)}.
Il ne faut pas confondre le graphe d’une fonction vectorielle f : I → Rm (où I ∈ R) avec
la courbe paramétrée qu’elle décrit. Le premier est une partie dans Rm+1 et le second de
Rm .
1.1. EXEMPLES D’APPLICATIONS D’UNE PARTIE DE RM DANS RP
1.1.3.2
15
Fonctions vectorielles de deux variables réelles
Définition 21 Soit f : A → R3 une fonction définie sur une partie A de R2 .
L’image directe f (A) de l’ensemble de départ A est appelée surface paramétrée.
Exemples :
1. l’application
π π
f : [0, 2π[×[− , + ] → R3 \ {0R3 }
.
2
2
(α, β) !−→ (3 cos α cos β, 3 sin α cos β, 3 sin β).
paramètre la sphère de centre 0R3 et de rayon 3.
2. Soit A une partie de R2 . Le graphe d’une fonction f : A → R (qui est donc une
partie de R3 ) peut être considérée comme une surface paramétrée. Pour le voir, il
suffit de considérer l’application F : A → R3 définie par F (x, y) = (x, y, f (x, y)).
Traiter l’exemple de la fonction f : R2 → R avec f (x, y) = x2 + y 2 .
1.1.4
Coordonnées polaires, sphériques et cylindriques
1.1.4.1
Coordonnées polaires (m = p = 2)
Parmi les exemples d’applications d’une partie de R2 dans R2 , le “changement de variables
en coordonnées polaires” joue un rôle important. On le définit par :
ϕ : R∗+ × [0, 2π[ → R2 \ {0R2 }
.
(r, θ) !−→ (r cos θ, r sin θ)
Cette application est bijective (à montrer). Elle définit une correspondance bijective entre
les représentations cartésienne (x, y) et polaire (r, θ) d’un point (ou vecteur) de R2 \{0R2 }.
On peut définir une autre représentation en coordonnées polaires en substituant [0, 2π[
par [−π, +π[ ou par tout autre intervalle semi-ouvert de longueur 2π.
1.1.4.2
Coordonnées sphériques (m = p = 3)
Elles sont définies par l’applicatiion
π π
ϕ : R∗+ × [0, 2π[×[− , + ] → R3 \ {0R3 }
.
2
2
(r, α, β) !−→ (r cos α cos β, r sin α cos β, r sin β).
1.1.4.3
Coordonnées cylindriques (m = p = 3)
Elles sont définies par l’application
ψ : R∗+ × [0, 2π[×R → R3 \ {(0, 0, z); z ∈ R}
(r, α, z) !−→ (r cos α, r sin α, z).
On remarque que pour r fixé, et α, β (respectivement α, z) variant dans leurs intervalles
respectifs, l’image (x, y, z) = ϕ(r, α, β) (respectivement (x, y, z) = ψ(r, α, z)) décrit la
sphère de centre (0, 0, 0) et de rayon r (respectivement le cylindre de base le cercle centré
en (0, 0, 0) et de rayon r et d’axe, l’axe des z. D’où les appellations de ces nouvelles
coordonnées.
16
CHAPITRE 1. APPLICATIONS CONTINUES
1.1.5
Applications polynomiales de Rm dans Rp
Une fonction P : Rm → R est polynomiale si elle s’écrit sous la forme :
n1
nm
!
!
P (x1 , x2 , . . . , xm ) =
···
αi1 i2 ···im xi11 xi22 . . . ximm
i1 =0
im =0
où les coefficients αi1 i2 ···im sont des nombres réels.
Les termes αi1 i2 ···im xi11 xi22 . . . ximm sont appelés des monômes.
Une fonction P : Rm → Rp est polynomiale si chacune de ses composantes est une fonction
polynomiale.
Exemples :
1. La fonction P : R2 → R définie par P (x, y) = x3 y 2 − 5xy 4 + x + y − 7 est
polynomiale.
2. La fonction Q : R3 → R2 définie par Q(x, y) = (x2 + yz, xyz 2 ) est polynomiale.
x+y
) est-elle
3. La fonction R : R2 → R2 définie par R(x, y) = (x100 + 2x2 y,
1 + x2 + y 4
polynomiale ?
4. Montrer que la fonction S : R × R → R définie par S(x, y) = x + 3x2 − y 5 si
x2 + y 2 ≤ 4 et S(x, y) = y 2 − 3xy 3 si x2 + y 2 > 4 n’est pas polynomiale.
Une fonction polynomiale P : Rm → Rp est homogène s’il existe d ∈ N tel que
∀ x ∈ Rm , ∀ λ ∈ R, P (λx) = λd P (x).
L’entier naturel d est appelé degré d’homogénéité de P .
Ainsi, les monômes sont des polynômes homogènes. Montrer qu’ils ne sont pas les seuls
lorsque m > 1. Un autre exemple connu de polynôme homogène : les applications
linéaires (elles ont un même degré d’homogénéité égal à 1). Pouvez-vous proposer une
autre définition d’application linéaire de Rm dans Rp ?
Sauf mention contraire, dans toute la suite, on notera ||.|| une norme de Rm ,
||.||" , une norme de Rp , B, les boules de Rm , B " , les boules de Rp ,A, une partie
non vide de Rm et a un point de A.
1.2
Limite d’une fonction
Dans ce paragraphe, on supposera que a est un point d’accumulation de A ⊂ Rm .
Définition 22 On dit qu’une fonction f : A \ {a} → Rp admet pour limite l ∈ Rp en a
si
∀ ε > 0, ∃ η > 0 tel que ∀x ∈ A \ {a} et ||x − a|| < η, on a ||f (x) − l||" < ε.
On note
lim f (x) = l
x→a
ou
f (x) → l quand x → a.
En d’autres termes, f admet pour limite en a le p-uplet l si :
∀ ε > 0, ∃η > 0 tel que f (A ∩ (B(a, η) \ {a})) ⊂ B " (l, ε).
1.3. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION
1.2.1
Propriétés des limites
1.2.1.1
Unicité de la limite
17
Proposition 10 La limite d’une fonction f : A\{a} → Rp en a, si elle existe, est unique.
Preuve : (on suppose qu’il en existe deux, différentes, . . .)
1.2.1.2
Opérations sur les limites
Proposition 11 Soient deux fonctions f et g définies sur A \ {a} de Rm et à valeurs
dans Rp . Si f et g admettent pour limites l et l" en a, alors la limite de la somme f + g
en a existe et est égale à l + l" .
Preuve : (en cours)
Proposition 12 On suppose que la fonction f : A \ {a} → Rp admet une limite l en a.
Alors, quel que soit le nombre réel λ, la limite de la fonction λf : A \ {a} → Rp en a
existe et est égale à λl .
Preuve : (en cours)
Proposition 13 Soient deux fonctions scalaires f et g définies sur l’ouvert A \ {a} de
Rm . Si f et g admettent des limites l et l" en a, alors, la limite du produit f g en a existe
et est égale à ll" .
Proposition 14 Soit f : A \ {a} → R une fonction scalaire telle que ∀ x ∈ A \
{a}, f (x) /= 0.
1
Si f admet une limite l /= 0, alors, la limite en a de la fonction : A \ {a} → R existe
f
1
et est égale à .
l
1.3
Continuité d’une fonction
Comme dans le cas des fonctions d’un intervalle I dans R, la notion de continuité des
fonctions à plusieurs variables réelles repose sur celle de limite.
1.3.1
Définition
Définition 23 Une fonction f : A → Rp est continue en a ∈ A si
∀ ε > 0, ∃η > 0 tel que si x ∈ A vérifie ||x − a|| < η, alors ||f (x) − f (a)||" < ε.
On dit que f est continue sur A (ou continue, tout court) si elle est continue en tout point
de A.
18
CHAPITRE 1. APPLICATIONS CONTINUES
En d’autres termes, f est continue en a si
∀ ε > 0, ∃ η > 0 tel que f (B(a, η) ∩ A) ⊂ B " (f (a), ε)
ou encore, si
lim f (x) = f (a).
x→a
Remarque 7 Une fonction f : A → Rp définie sur une partie A ⊂ Rm est continue
en a ∈ A s’il existe un ouvert (ou une boule ouverte) O ⊂ A contenant a, tel que la
restriction f|O : O → Rp soit continue en a.
Preuve : (en cours)
Théorème 1 Une fonction f : A → Rp est continue en a ∈ A, si, et seulement si, quelle
que soit la suite d’éléments (xn ) de A telle que xn → a, la suite image (f (xn )) converge
vers f (a).
Preuve : exercice.
Théorème 2 Soit f : A → Rp une application. Les trois assertions suivantes sont équivalentes.
1. f est continue.
2. L’image réciproque de tout ouvert est égale à l’intersection d’un ouvert de Rm et de
A.
3. L’image réciproque de tout fermé est égale à l’intersection d’un fermé de Rm et de
A.
Preuve : (cours)
Corollaire 2 Si A est une partie ouverte (resp. fermée) de Rm , l’application f : A → Rp
est continue si, et seulement si, l’image réciproque d’un ouvert (resp. fermé) est un ouvert
(resp. fermé).
Remarque 8 Il existe des fonctions continues telles que l’image directe, par ces applications, d’un ouvert (resp. fermé) n’est pas un ouvert (resp. fermé).
Exemple :
Soit f : R2 → R2 la fonction définie par f (x, y) = (xy, y). On vérifie que f (R2 ) =
R2 \ {(x, 0); x ∈ R∗ } qui n’est ni un ouvert, ni un fermé. Pourtant, f est continue car
elle est polynomiale (voir le paragraphe des exemples).
Définition 24 Soit A et B deux parties respectivement de Rm et de Rp . Une fonction
f : A → B est un homéomorphisme si elle est bijective, continue et sa réciproque f −1
continue.
Exemples :
π π
1. L’application sin : [− , ] → [−1, +1] est un homéomorphisme.
2 2
2. L’application f :] − ∞, −1[∪[1, +∞[→ R définie par f (x) = x + 1 si x ∈] −
∞, −1[ et par f (x) = x − 1 si x ∈ [1, +∞[ est une bijection continue mais pas un
homéomorphisme.
1.3. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION
1.3.2
Propriétés
1.3.2.1
Opérations sur les fonctions continues
19
Proposition 15 Si deux fonctions f, g : A → Rp sont continues en a ∈ A, alors leur
somme f + g est continue en a.
Preuve : utiliser la proposition (11)
Proposition 16 On suppose que la fonction f : A → Rp est continue en a. Alors, quel
que soit le nombre réel λ, la fonction λf est continue en a.
Preuve : utiliser la proposition (12).
Proposition 17 Soient deux fonctions scalaires f et g définies sur la partie A ⊂ Rm et
a un point de A. Si f et g sont continues en a, leur produit f g est continu en a.
Preuve : utiliser la proposition (13).
Proposition 18 Soit f : A → R une fonction scalaire telle que ∀ x ∈ A, f (x) /= 0.
Si f est continue en a ∈ A, alors, la fonction
1
:A→R
f
est continue en a.
Preuve : utiliser la proposition (14).
Proposition 19 On considère une partie A" de Rp et les deux fonctions suivantes :
f : A → A" , g : A" → Rq .
où Rq est muni de la norme ||.||"" . Si f est continue en a, et g est continue en f (a), alors
la fonction composée g ◦ f est continue en a.
Preuve : Soit ε > 0. Comme g est continue en f (a), il existe ε" > 0 tel que g(B(f (a), ε" )∩
A" ) ⊂ B(g(f (a)), ε). Comme f est continue en a, pour cet ε" > 0, il existe η > 0 tel que
f (B(a, η) ∩ A) ⊂ B(f (a), ε" ) ∩ A" . D’où,
(g ◦ f )(B(a, η) ∩ A) = g(f (B(a, η) ∩ A)) ⊂ g(B(f (a), ε" ) ∩ A" ) ⊂ B(g(f (a)), ε).
1.3.2.2
Restriction d’une fonction continue
Proposition 20 Soit f : E → Rp une fonction continue sur la partie E de Rm . Quelle
que soit la partie A de E, la restriction f|A : A → Rp est continue.
Preuve : (en cours)
Dans cette proposition, on manipule la même norme sur E et sur Rm .
20
1.3.2.3
CHAPITRE 1. APPLICATIONS CONTINUES
Continuité et normes équivalentes
Théorème 3 On munit Rm de deux normes équivalentes ||.||1 et ||.||2 et Rp de deux
normes équivalentes ||.||"1 et ||.||"2 . Une fonction f : A → Rp est continue au sens des
normes ||.||1 et ||.||"1 si, et seulement si, elle est continue au sens des normes ||.||2 et ||.||"2 .
Pour établir ce théorème, nous pouvons utiliser le lemme suivant :
Lemme 1 Si deux normes ||.|| et ||.||" de Rm (resp Rp ) sont équivalentes, l’application identité IRm : (Rm , ||.||) → (Rm , ||.||" ) (resp. IRp : (Rp , ||.||) → (Rp , ||.||" )) est un
homéomorphisme.
Preuve du lemme : supposons que les deux normes ||.|| et ||.||" sont équivalentes :
∃ α, β ∈ R∗+ ; ∀ x ∈ Rm , α ||x|| ≤ ||x||" ≤ β ||x||.
ε
. On a alors :
β
pour tout x de Rm vérifiant ||x − a|| < δ, ||I(x) − I(a)||" = ||x − a||" ≤ β ||x − a|| <
βδ = ε. La fonction I est donc continue en a.
Pour monter que I −1 est aussi continue, il suffit de prendre pour tout ε > 0, δ = αε. En
||x − a||"
effet, pour tout a et tout x de Rm vérifiant ||x − a||" < δ, on a ||x − a|| ≤
<
α
δ
= ε.
α
Preuve du théorème : on note I|A la restriction de l’application identité IRm à A et on
considère le diagramme suivant :
Soit a un point de Rm et ε, un nombre strictement positif. On pose δ =
I|A
I
m
f
I
p
R
R
A → (Rm , ||.||"1 ) →
(Rm , ||.||1 ) → (Rm , ||.||2 ) →
(Rm , ||.||"2 ).
D’après les propositions 20 13, la composition est continue.
Exercice :
Reprendre la démonstration de cette proposition en utilisant le langage des boules.
Théorème 4 (admis) Dans Rm , toutes les normes sont équivalentes.
Corollaire 3 On munit Rm et Rp des normes ||.|| et ||.||" et R de la valeur absolue.
Une fonction f : A → Rp est continue en un point de A si et seulement si ses fonctions
composantes sont continues en ce point.
1.4
Exemples d’applications continues
L’importance du corollaire précédent réside dans le fait que l’étude de la continuité d’une
fonction f : A → Rp se ramène à celle de p fonctions scalaires.
1.4. EXEMPLES D’APPLICATIONS CONTINUES
1.4.1
21
Fonctions vectorielles
Définition 25 On appelle chemin de Rp toute application continue f de l’intervalle [0, 1]
dans Rp .
On appelle arc (dans Rp ) l’image directe de l’intervalle [0, 1] par un chemin f . L’origine
de l’arc est f (0) et son extrémité, f (1).
1.4.2
Applications linéaires
Lemme 2 Les espaces Rm et Rp sont munis, chacun, d’une norme. L’application linéaire
F : Rm → Rp est continue si, et seulement si, elle est continue en ORm .
Preuve : la condition nécessaire est triviale. Montrons que si F est continue en ORm ,
alors elle l’est en tout point a de Rm . Soit ε > 0. La fonction F étant continue en ORm ,
il existe η > 0 tel que si ||x|| < η, alors ||F (x)|| < ε. Revenons au point a. Soit x tel
que ||x − a|| < η. D’après ce qui précède, ||F (x − a)|| < ε. Comme F est linéaire, cela
équivaut à ||F (x) − F (a)|| < ε. Donc, F est continue en a.
Théorème 5 Les espaces Rm et Rp sont munis, chacun, d’une norme. Toute application
linéaire F : Rm → Rp est partout continue sur Rm .
Preuve : d’après le lemme précédent, il suffit de montrer la continuité en ORm .
D’après le corollaire (3), la continuité des applications linéaires équivaut à celle de toutes
ses composantes qui sont des formes linéaires.
Soit f : Rm → R une forme linéaire. On a pour tout x tel que x = x1 e1 + x2 e2 +
· · · , +x mem , où (e1 , e2 , . . . , em ) est une base de Rm ,
f (x) = x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) + · · · , +xm f (em ).
D’où
|f (x)| ≤ |x1 ||f (e1 )| + |x2 ||f (e2 )| + · · · + |xm ||f (em )| ≤ max |xi | max |f (ei )| ≤ C||x||,
i=1···m
i=1···m
où C = max |f (ei )|. Si f est nulle, elle est constante et donc continue. Si f n’est pas
i=1,···,m
ε
nulle, en prenant ||x|| < , on obtient |f (x)| < ε.
C
Corollaire 4 Les fonctions affines de Rm dans Rp sont continues.
Corollaire 5 Les fonctions κi : Rm → R définies par κi (x) = xi , sont continues.
1.4.3
Fonctions “normes”
On munit R de la valeur absolue. On sait que la norme N = ||.|| est une fonction de Rm
dans R. Cette fonction est continue en tout point de Rm (muni justement de N ) car,
∀ x, y ∈ Rm , | ||x|| − ||y|| |≤ ||x − y||.
En fait, toute autre norme N " , équivalente à N , est continue par rapport à N .
22
CHAPITRE 1. APPLICATIONS CONTINUES
1.4.4
Fonctions polynomiales
Proposition 21 Toute application polynomiale P : Rm → Rp est continue.
Preuve : on se ramène d’abord aux fonctions composantes grâce à la proposition (3).
Ensuite, en utilisant la proposition (11), on se ramène aux monômes et, enfin, en utilisant
la propostion (13) aux fonctions κi , qui sont toutes continues d’après le corollaire (5).
1.4.5
Cas des fonctions scalaires définies dans un ouvert de R2 .
Pour ces fonctions, l’étude de la limite (ou de la continuité) en un point a peut se ramener
au point 0R2 (considérer la translation x → x − a).
Remarque 9 Soit (x, y) un point pris dans une boule ouverte de R2 contenant (0, 0). En
posant x = r cos θ et y = r sin θ (coordonnées polaires), on remarque que (x, y) → (0, 0)
au sens de la norme euclidienne si, et seulement si, r → 0. Cette équivalence ne dépend
pas de l’angle θ, c’est-à-dire qu’elle doit être vraie quel que soit l’argument θ. C’est une
conséquence de la proposition (3).
La même remarque peut se faire dans R3 avec les coordonnées sphériques.
Soit par exemple la fonction f : R2 → R définie par
 3
 x + y4
si (x, y) /= (0, 0),
f (x, y) =
x2 + y 2

1
si (x, y) = (0, 0)
Cette fonction admet pour limite 0 lorsque (x, y) −→ (0, 0). Elle n’est pas continue en
(0, 0).
1.5
Continuité et compacité
Définition 26 Une fonction f : A → Rp , où A est une partie de Rp , est bornée si l’image
directe f (A) est bornée.
Exemples :
1. la fonction f : R2 → R définie ci-après est bornée :
 2
x + 2xy − y 2


si (x, y) /= (0, 0),

2 + y2
x
f (x, y) =


 100
10
si (x, y) = (0, 0)
2. la fonction f : R2 \ {0} → R2 définie par
n’est pas bornée.
1
1
), (
),
f (x, y) = (sin( (
x2 + y 2
x2 + y 2
1.5. CONTINUITÉ ET COMPACITÉ
23
Théorème 6 Soit f : K → Rp une fonction continue sur un compact K de Rm . L’image
directe de K par f est une partie compacte de Rp .
Preuve :
On note (yn ) une suite quelconque d’éléments de f (K) et (xn ) une suite d’éléments de
K telle que f (xn ) = yn . La partie K étant compacte, on peut extraire de la suite (xn )
une sous-suite (xϕ(n) ) (c’est-à-dire, la fonction ϕ : N → N est strictement croissante)
qui converge vers a ∈ K. D’après le théorème (1), la suite image (f (xϕ(n) )) converge
vers f (a) ∈ f (K). Or, (yϕ(n) = (f (xϕ(n) )) est une sous-suite de (yn ). Donc, de toute
suite d’éléments de f (K), on a pu extraire une sous-suite qui converge dans f (K). Par
conséquent, la partie f (K) est compacte.
Exemples :
1. Tout arc est compact.
2. L’image directe de toute boule fermée (donc compacte) incluse dans une partie A
par une application continue f : A → Rp est un compact de Rp . Elle est donc bornée.
Corollaire 6 Toute fonction f : K → Rp , définie et continue sur un compact K est
bornée.
Proposition 22 Toute fonction f : K → R définie et continue sur un compact est bornée
et atteint ses bornes.
Preuve : (en cours)
24
CHAPITRE 1. APPLICATIONS CONTINUES
Chapitre 2
Applications différentiables,
dérivées partielles
2.1
2.1.1
Définition et exemples fondamentaux
Introduction et définition
On se rappelle (cours de M1) combien est importante la notion de dérivabilité pour étudier
les fonction réelles à variable réelle.
Définition 27 (rappel) Soit une fonction f : I → R définie sur un ouvert I de R. Elle
est dérivable en x0 si la limite du rapport
f (x0 + h) − f (x0 )
h
existe lorsque h → 0. Cette limite, notée f " (x0 ), est appelée dérivée de f en x0 .
L’objet de ce chapitre est de généraliser cette notion aux fonctions à plusieurs variables.
Dans cette définition, la division par l’accroissement h (c’est un nombre réel non nul) est
possible. Elle n’est plus possible lorsque l’accroissement h est un m-uplet (m > 1). C’est
pourquoi, il est intéressant de donner une caractérisation (que l’on peut donc prendre
comme nouvelle définition) de la dérivabilité qui permet la généralisation.
Proposition 23 (propriété caractéristique de la dérivabilité)
Une fonction f : I → R définie sur une partie ouverte I de R est dérivable en a ∈ I si
et seulement si
1. il existe une application linéaire de R dans R, notée ϕa ,
2. il existe η > 0 et une application εa :] − η, η[\{0} → R
qui vérifient
1. εa (h) tend vers 0 quand h tend vers 0,
2. ∀ h ∈ ] − η, η[\{0}, on a
f (a + h) − f (a) = ϕa (h) + |h|εa (h).
25
26 CHAPITRE 2. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES, DÉRIVÉES PARTIELLES
Preuve :
On suppose que la fonction f est dérivable en a. Comme I est un ouvert, il existe η > 0
tel que ]a − η, a + η[⊂ I et un nombre noté f " (a) tel que
f (a + h) − f (a)
= f " (a).
h→0
h
lim
On pose ϕa (h) = f " (a).h et
εa (h) =
f (a + h) − f (a) − f " (a)h
f (a + h) − f (a)
h
= [
− f " (a)] .
|h|
h
|h|
On vérifie d’une part, que lorsque h → 0, εa (h) −→ 0 (car
que ∀ h ∈ ] − η, η[\{0}, on a
h
est borné) et d’autre part,
|h|
f (a + h) − f (a) = ϕa (h) + |h|εa (h).
Réciproquement, supposons que la fonction f vérifie la propriété ci-dessus. L’application
ϕa étant linéaire de R dans R, il existe un nombre α tel que ∀ h ∈ R, ϕa (h) = α.h.
h
D’après la définition de la fonction εa et le fait que l’expression
soit bornée, on a
|h|
lim
h→0
f (a + h) − f (a)
|h|
= lim (α + εa (h). ) = α.
h→0
h
h
La fonction f est donc dérivable en a et sa dérivée en ce point est égale à α.
Exemples : dans les exemples suivants, les lettres a et η sont celles de la proposition
ci-dessus.
1. Soit la fonction cos : R → R et a un nombre réel. Dans ce cas η est un nombre positif
quelconque (tous ces nombres conviennent), ϕa (h) = − sin(a).h et l’application εa
est celle de la démonstration.
2. Soit la fonction f : R → R définie par f (x) = 3x2 − 7x + 5. Dans ce cas aussi η est
un nombre positif quelconque, ϕa (h) = (6a − 7).h et l’application εa est celle de la
démonstration.
3. Soit la fonction ln : R∗+ → R. Ici, η est un nombre positif strictement inférieur à a
1
(pourquoi ?) et ϕa (h) = · h
a
Remarque 10 L’application linéaire ϕa , quand elle existe, dépend du point a. Le graphe
de la fonction affine h !−→ f (a) + ϕa (h) est la tangente au graphe de f au point (a, f (a)).
Définition 28 Une application f : O → Rp définie sur une partie ouverte O de Rm est
différentiable en a ∈ O si
1. il existe une application linéaire de Rm dans Rp , notée dfa ,
2. il existe un nombre η > 0 et une application εa : B(0m , η) \ {0} → Rp
2.1. DÉFINITION ET EXEMPLES FONDAMENTAUX
27
qui vérifient
1. εa (h) tend vers 0p quand h tend vers 0m ,
2. ∀ h ∈ B(0m , η) \ {0m }, on a
f (a + h) − f (a) = dfa (h) + ||h||εa (h).
L’application linéaire dfa est appelée différentielle de f au point a.
Une application f : O → Rp différentiable en tout point de O est dite différentiable sur O.
Premier exemple :
Montrons que l’application polynomiale f : R2 → R définie par
f (x, y) = x2 + 2y 2 − 3xy − x + 4y + 1
est partout différentiable sur R2 .
Soit (a, b) un point quelconque de R2 . On a :
f (a + h, b + k) − f (a, b) = [(a + h)2 + 2(b + k)2 − 3(a + h)(b + k) − (a + h) + 4(b + k) + 1]
−[a2 + 2b2 − 3ab − a + 4b + 1] = (2a − 3b − 1)h + (4b − 3a + 4)k + h2 + 2k 2 − 3hk.
On pose η un nombre strictement positif,
df(a,b) (h, k) = (2a − 3b − 1)h + (4b − 3a + 4)k,
et
ε(a,b) (h, k) =
h2 + 2k 2 − 3hk
.
||(h, k)||
On a :
1. df(a,b) est une application linéaire de R2 dans R,
2. ∀ (h, k) ∈ R2 , f (a + h, b + k) − f (a, b) = df(a,b) (h, k) + ||(h, k)||ε(a,b) (h, k),
3.
lim ε(a,b) (h, k) = 0.
||(h,k)||→0
Définition 29 La représentation matricielle de la différentielle dans les bases canoniques
de Rm et Rp est appelée jacobienne.
Ainsi, par exemple dans l’exemple ci-dessus, la jacobienne de la fonction f en (a, b) est
(2a − 3b − 1, 4b − 3a + 4) .
Exercice : Écrire la jacobienne d’une fonction dérivable réelle à variable réelle.
Vu le rôle très important que joue cette notion, on y reviendra très souvent tout au long
de ce chapitre.
Proposition 24 Une application f : O → Rp définie sur une partie ouverte O de Rm
est différentiable en a ∈ O si, et seulement si, toutes ses fonctions composantes fi , i =
1, 2, . . . m, sont différentiables en a et dans ce cas, pour tout h de Rm , on a :
dfa (h) = (df1a (h), df2a (h), · · · , dfpa (h)) .
Preuve : (en cours)
Attention : ne pas confondre l’écriture de la différentielle de la fonction f en un point
avec sa jacobienne (explication en cours).
28 CHAPITRE 2. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES, DÉRIVÉES PARTIELLES
2.2
Propriétés des fonctions différentiables
Proposition 25 Si f : O → Rp est une fonction différentiable en a ∈ O, alors la
différentielle dfa est unique.
Pour démontrer cette proposition, nous avons besoin du lemme suivant.
Lemme 3 Deux applications linéaires u, v : Rm → Rp sont égales si, et seulement si,
pour une base donnée (e1 , . . . , em ) de Rm , on a :
∀ i ∈ {1, . . . , m}, u(ei ) = v(ei ).
Preuves du lemme et de la proposition : (en cours)
Proposition 26 Soit f : O → Rp une fonction définie sur un ouvert O de Rm . Si f est
différentiable en a ∈ O, alors elle est continue en a.
Preuve : (en cours)
2.2.1
Espace vectoriel des fonctions différentiables
Proposition 27 Soient deux fonctions f, g : O → Rp différentiables au point a de l’ouvert
O de Rm . La fonction f + g est alors différentiable en a et sa différentielle est égale à la
somme des différentielles de f et de g :
d(f + g)a = dfa + dga .
Preuve : (en cours)
Exemple :
Toute fonction affine f : Rm → Rp définie par f (x) = ϕ(x) + b où ϕ : Rm → Rp est
linéaire et b un vecteur de Rp , est différentiable en tout point de Rm et sa différentielle
est égale à ϕ (à montrer).
Proposition 28 Soient f : O → Rp une fonction différentiable au point a de l’ouvert O
de Rm et λ une constante réelle. La fonction λf est alors différentiable en a et d(λf )a =
λdfa .
Preuve :
Ces deux propositions restent vraies si l’on remplace “différentiable en a” par “différentiable
dans O”. D’où :
L’ensemble D(O, Rp ) des fonctions différentiables dans l’ouvert O de Rm est un espace
vectoriel.
2.2. PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES
2.2.2
29
Produit de fonctions différentiables
Proposition 29 Soient deux fonctions f, g : O → R différentiables au point a de l’ouvert
O de Rm . La fonction produit f g est alors différentiable en a et
d(f g)a = f (a)dga + g(a)dfa .
Preuve : (en cours)
Corollaire 7 Les fonctions κi : Rm → R définies par κi (x) = xi étant différentiables en
tout point de Rm , les produits κi κj et de manière générale, les produits κα1 1 κα2 2 . . . καmm sont
différentiables.
Corollaire 8 Les fonctions polynomiales P : Rm → R sont différentiables partout sur
Rm .
Preuve : écrire la fonction P comme somme de produits des κi .
2.2.3
Inverse d’une fonction différentiable
Proposition 30 Soit f : O → R une fonction différentiable au point a de l’ouvert O de
Rm . On suppose que f (a) /= 0. Il existe alors δ > 0 tel que la fonction g : B(a, δ) → R,
1
définie par g(x) = (x) soit différentiable en a et
f
dga = −
dfa
·
f 2 (a)
Preuve : (en cours)
Exemple (et définition) : soit P et Q deux fonctions polynomiales scalaires à m variables réelles et K l’ensemble où s’annule Q. Cet ensemble est un fermé (pourquoi ?). La
P
P
P (x1 , x2 , . . . , xm )
fonction notée
: Rm \ K → R définie par (x1 , x2 , . . . , xm ) =
est
Q
Q
Q(x1 , x2 , . . . , xm )
appelée fonction rationnelle. Elle est partout différentiable sur Rm \ K.
2.2.4
Composition d’applications différentiables
Proposition 31 On considère le diagramme de fonctions
f
g
O 1 → O 2 → Rq
où O1 et O2 sont des ouverts de Rm et de Rp respectivement. Si f est différentiable en
a ∈ O1 et si g est différentiable en f (a), alors g ◦ f est différentiable en a et
d(g ◦ f )a = dgf (a) ◦ dfa .
Preuve : (en cours)
30 CHAPITRE 2. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES, DÉRIVÉES PARTIELLES
2.3
2.3.1
Exemples fondamentaux d’applications différentiables
Fonctions vectorielles à variable réelle
D’après la proposition (24), une fonction vectorielle f : I → Rp , définie sur l’intervalle
ouvert I, est différentiable en a ∈ I si et seulement si ses fonctions composantes fi sont
différentiables en a. Or, en introduction de ce chapitre, nous avons vu qu’une fonction
réelle à variable réelle est différentiable en a ∈ I si, et seulement si, elle est dérivable
en a et sa différentielle en ce point est définie par h !−→ fi" (a).h. Par conséquent, si une
fonction vectorielle à variable réelle f (f1 , f2 , . . . , fp ) : I → Rp est différentiable en a ∈ I,
alors, ses fonctions composantes fi sont dérivables en a et
.
Jfa (h) = f1" (a).h, f2" (a).h, · · · fp" (a).h .
Par contre au niveau des jacobiennes on a :


f1" (a).h
 f2" (a).h 

dfa (h) = 
 ··· .
fp" (a).h
Si, de plus, la différentielle dfa n’est pas nulle, la fonction affine ta : R → Rp qui à h
associe ta (h) = f (a) + dfa (h) est l’équation de la tangente à la courbe paramétrée f (I)
au point f (a).
Ainsi, les fonctions f : R !→ R2 et g : R !→ R3 définies par
f (t) = (cos t, sin t),
et
g(t) = (2 cos t, 2 sin t, 3t),
sont partout différentiables sur R. Les droites tangentes
courbes f (R) et g(R) ont pour équations paramétrées

'
 x(h) =
x(h) = cos(a) − sin a.h
y(h) =
et
y(h) = sin(a) + cos a.h

z(h) =
2.3.2
aux points f (a) et g(a) aux
2 cos(a) − 2 sin a.h
2 sin(a) + 2 cos a.h
3h.
Applications linéaires
Une application linéaire ϕ : Rm → Rp est différentiable partout et ∀ a ∈ Rm , dϕa = ϕ.
En effet, soit a un point de Rm . En prenant η un nombre strictement positif (quelconque)
et εa la fonction identiquement nulle sur Rm \ {Om }, on vérifie bien que
∀ h ∈ B(Om , η) \ {Om }, ϕ(a + h) − ϕ(a) = ϕ(h) + ||h||.0 = dϕa (h) + ||h||.εa (h).
On déduit de ce qui précède deux faits :
1. La différentielle de la fonction nulle est nulle.
2. Les fonctions κi définies dans le deuxième chapitre, sont différentiables en tout point
de Rm et leurs différentielles leur sont égales.
2.4. DÉRIVÉES PARTIELLES
2.3.3
31
Fonctions polynomiales
Reprenons l’écriture d’une fonction polynomiale de P : Rm → R :
P (x1 , x2 , . . . , xm ) =
n1
!
i1 =1
···
nm
!
im =1
αi1 i2 ···im xi11 xi22 . . . ximm
où les coefficients αi1 i2 ···im sont des nombres réels.
Cette fonction polynomiale peut aussi s’écrire comme suit :
P =
n1
!
i1 =1
···
nm
!
im =1
αi1 i2 ···im κi11 κi22 . . . κimm .
La somme et le produit de fonctions différentiables étant des fonctions différentiables, les
fonctions polynomiales sont donc différentiables et ce, partout dans Rm .
Exemple :
La différentielle de la fonction polynomiale
P (x, y) = x2 y − 2xy + 3y + 10
au point (a, b) est
dP(a,b) (h, k) = 2b(a − 1)h + (a2 − 2a + 3)k.
D’après la proposition (30), de la différentiabilité des fonctions polynomiales, on peut
déduire celle des fonctions rationnelles aux points où elles sont définies.
2.4
2.4.1
Dérivées partielles
Dérivées dans une direction
Dans tout ce paragraphe, f : A → R désignera une application définie dans la partie A
de Rm et (e1 , e2 , . . . , em ), une base canonique de Rm . Tout élément x de Rm s’ecrit alors
de façon unique comme combinaison linéaire des ei : x = x1 e1 + x2 e2 + . . . xm em .
Définition 30 Soit a un élément de A et u un vecteur non nul de Rm . On suppose qu’il
existe un intervalle ] − α, α[, non vide tel que ∀ t ∈ ] − α, α[, a + tu ∈ A. On appelle
dérivée de la fonction f au point a, dans la direction du vecteur u, le nombre, s’il existe,
défini par
f (a + tu) − f (a)
lim
.
t→0
t
On le note Du f (a).
Exemple :
On pose A = Rm , f (x, y) = x2 + 3y 2 − 2x + 7y + 4, a = (1, −1) et u = (−1, 5). Dans
ce cas, Du f (a) = −5.
Exercice : montrer que la dérivée dans la direction u au point a ∈ A de f : A → R ne
change pas si l’on remplace u par λu où λ est un réel non nul.
32 CHAPITRE 2. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES, DÉRIVÉES PARTIELLES
Définition 31 On appelle dérivée partielle de la fonction f au point a ∈ A, par rapport
∂f
à xi , la dérivée dans la direction du vecteur ei , i = 1, . . . m. On la note
(a).
∂xi
Exemple :
Dans l’exemple précédent, on a
∂f
∂f
(x0 , y0 ) = 2(x0 − 1) et
(x0 , y0 ) = 6y0 + 7.
∂x
∂y
Remarque 11 Les dérivées partielles de la fonction f , quant elles existent, se calculent
selon les mêmes règles que pour les fonctions réelles à une variable. Si l’on veut dériver
par rapport à xi , par exemple, il suffit de considérer dans l’expression de la fonction f ,
les autres variables xj (j /= i) comme des paramètres.
Proposition 32 Soit O un ouvert de Rm . Si la fonction f : O → R est différentiable en
a ∈ O, alors, elle admet des dérivées dans toutes les directions en a.
Preuve : (en cours)
Remarque 12 La réciproque de la proposition (32) est fausse. Une fonction peut admettre des dérivées dans toutes les directions en a et ne pas être différentiable en ce point.
Exemple :
On considère la fonction f : R2 → R définie par

 yx2
si
f (x, y) =
y 2 + x4

0
sinon
(x, y) /= (0, 0),
On vérifie que les dérivées dans toutes les directions (u, v) ∈ R2 de f existent bien au
point (0, 0) et pourtant, elle n’y est pas différentiable car elle n’est même pas continue en
ce point (voir la proposition (26) ).
Corollaire 9 Si la fonction f : O → R est différentiable en a ∈ O, alors, ses dérivées
partielles existent en ce point.
Corollaire 10 Si une fonction f : O → R est différentiable en a ∈ O (O est un ouvert
de Rm ), alors sa différentielle dfa s’exprime comme suit :
dfa (h) =
∂f
∂f
∂f
(a)h1 +
(a)h2 + · · · +
(a)hm .
∂x1
∂x2
∂xm
Preuve : (en cours)
Proposition 33 Si la fonction f : O → R admet des dérivées partielles continues en a,
alors elle est différentiable en a.
Preuve : (en cours)
Nous disposons ainsi d’un moyen (autre que la définition) pour montrer si une fonction
est différentiable.
2.4. DÉRIVÉES PARTIELLES
33
Remarque 13 La réciproque de la proposition (33) est fausse : il existe des fonctions différentiables en un point a et dont les dérivées partielles (qui existent) ne sont pas continues
en ce point.
Exemple :
On considère la fonction f : R2 → R définie par

 (x2 + y 2 ) sin( ( 1
)
f (x, y) =
x2 + y 2

0
si
(x, y) /= (0, 0),
sinon
Cette fonction est différentiable en (0, 0) (montrez le) et ses dérivées partielles ne sont pas
continues en ce point.
2.4.2
Gradient et jacobienne
On note L(m, R), l’ensemble des matrices à une ligne et m colonnes. On sait que cet
espace vectoriel est isomorphe à Rm .
Nouvelle notation de la différentielle :
On reprend les fonctions κi : Rm → R (où i ∈ {1, 2, . . . , m}), introduites dans le chapitre
2 : κi (x1 , . . . , xm ) = xi . Par abus de notation, on pose : κi = xi . Les fonctions κi étant
linéaires, on a : ∀ a ∈ Rm , dκia = κi . Les différentielles des fonctions κi ne dépendent
pas du point a, ce qui explique le deuxième abus de notation suivant : dxia = dκia =
dκi = dxi . En se premettant ces deux abus de notation, on identifie dxi à la fonction κi :
∀ i ∈ {1, 2, . . . , m}, ∀ h ∈ Rm , dxi (h) = hi .
Soit une fonction f : O → R, différentiable en a ∈ O (O est un ouvert de Rm ). D’après
le corollaire 10, sa différentielle a pour expression
dfa (h) =
∂f
∂f
∂f
(a)h1 +
(a)h2 + · · · +
(a)hm .
∂x1
∂x2
∂xm
D’après ce qui précède,
∀ ∈ h ∈ Rm , dfa (h) =
∂f
∂f
∂f
(a)dx1 (h) +
(a)dx2 (h) + · · · +
(a)dxm (h).
∂x1
∂x2
∂xm
obtient alors une nouvelle écriture de la différentielle :
dfa =
∂f
∂f
∂f
(a)dx1 +
(a)dx2 + · · · +
(a)dxm .
∂x1
∂x2
∂xm
Définition 32 Si la fonction f : O → R admet des dérivées partielles en a ∈ O (O est
un ouvert de Rm ), la matrice ligne (élément de L(m, R)), notée gradf (a) et égale à
5
6
∂f (a) ∂f (a)
∂f (a)
,
···
∂x1
∂x2
∂xm
34 CHAPITRE 2. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES, DÉRIVÉES PARTIELLES
est appelée gradient de la fonction numérique f au point a.
Si la fonction f : O → R admet des dérivées partielles partout dans l’ouvert O de Rm ,
l’application gradf : O → L(m, R) définie par
5
6
∂f (x) ∂f (x)
∂f (x)
grad f (x) =
···
∂x1
∂x2
∂xm
est appelée champ de gradients de la fonction f sur O.
Proposition 34 Si une fonction f : O → Rp est différentiable en a ∈ O (O est un
ouvert de Rm ), alors sa différentielle dfa a pour représentation matricielle (par rapport à
la base canonique), la matrice, notée Jf (a), et égale à


∂f1 (a) ∂f1 (a)
∂f1 (a)
·
·
·
 ∂x1
∂x2
∂xm 


 ∂f2 (a) ∂f2 (a)
∂f2 (a) 


···
 ∂x

∂x
∂x
1
2
m


Jf (a) = 
.
..
..
..
..


.
.
.
.






∂fp (a) 
 ∂fp (a) ∂fp (a)
···
∂x1
∂x2
∂xm
On l’appelle jacobienne de la fonction f au point a.
Lorsque m = p, le déterminant de la jacobienne Jf (a) est appelée jacobien. On le note
|Jf (a)|.
Preuve : (c’est une conséquence des propositions (24) et (10))
Définition 33 La fonction f : O → Rp , définie sur l’ouvert O de Rm est dite de classe
C 1 si ses dérivées partielles sont continues sur O.
Remarque 14 Lorsque p = 1 et que la fonction f est différentiable en a, il est clair que
les notions de jacobienne et de gradient coincident.
Proposition 35
1. La jacobienne de la somme de deux fonctions f, g : O → Rp différentiables en a ∈ O
est égale à la somme des jacobiennes de f et de g en ce point :
J(f + g)(a) = Jf (a) + Jg(a).
2. Soit f : O → Rp une fonction différentiable au point a. Alors ∀λ ∈ R,
J(λf )(a) = λJf (a).
3. On considère le diagramme de fonctions
f
g
O 1 → O 2 → Rq
où f et g sont respectivement différentiables en a ∈ O1 et f (a) ∈ O2 . Alors,
J(g ◦ f )(a) = Jg(f (a)).Jf (a).
2.4. DÉRIVÉES PARTIELLES
35
Preuve : (en cours)
Exercice :
Ecrire les formules de transformation sur les dérivées partielles d’une fonction différentiable
f : O → R (où O est un ouvert de R2 , ne contenant pas l’origine) , induites par le passage
aux coordonnées polaires.
2.4.3
Dérivées partielles d’ordre supérieur
On reprend l’espace vectoriel Rm muni de sa base canonique (e1 , e2 , . . . , em ). On suppose
qu’il existe α > 0 tel que la dérivée partielle par rapport à xi de f soit définie sur la partie
U = {a + tej ; |t| < α}.
On obtient alors une nouvelle fonction
∂f
:U →R
∂xi
dont on peut étudier les dérivées partielles. Si la dérivée partielle par rapport à xj de la
∂f
∂ ∂f
∂ 2 f (a)
fonction
existe en a, le nombre
(
)(a), noté
, est appelé dérivée partielle
∂xi
∂xj ∂xi
∂xj ∂xi
d’ordre deux de la fonction f au point a.
On peut ainsi définir , quand elles existent, toutes les dérivées partielles d’ordre deux de
la fonction f au point a.
Par récurrence, sur l’ordre de dérivation, on peut définir les dérivées partielles d’ordre n
au point a à partir des fonctions dérivées partielles d’ordre n − 1, définies dans un ouvert,
contenant le point a, selon la règle :
∂ nf
∂xin ∂xin−1 . . . ∂xi1
(a) =
∂
∂ n−1 f
(
)(a).
∂xin ∂xin−1 ∂xin−2 . . . ∂xi1
Définition 34 La fonction f : O → Rp , définie sur l’ouvert O de Rm est dite de classe
C n si toutes ses dérivées partielles jusqu’a l’ordre n existent et sont continues sur O.
La fonction f : O → Rp , définie sur l’ouvert O de Rm est dite de classe C ∞ si, quel que
soit l’entier naturel n, ses dérivées partielles d’ordre n existent et sont continues sur O.
Convention : une fonction f : O → Rp , définie sur l’ouvert O de Rm est de classe C 0 si
elle est continue sur O.
2.4.3.1
Théorème de Schwarz
Proposition 36 (Théorème de Schwarz) Soit f : O → R une application. Si les dérivées partielles existent dans un ouvert contenant a ∈ O et sont continues au point a,
alors
∂ 2 f (a)
∂ 2 f (a)
=
·
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
Preuve : (en cours)
36 CHAPITRE 2. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES, DÉRIVÉES PARTIELLES
Remarque 15 La continuité des dérivées partielles d’ordre deux entraı̂ne leur égalité. La
réciproque n’est pas vraie.
Remarque 16 La proposition (36) peut se généraliser aux dérivées partielles croisées
d’ordre supérieur à deux.
Dans le cas où les dérivées partielles croisées sont continues, l’ordre de dérivation n’influe
pas sur le résultat.
Chapitre 3
Surfaces de R3
Dans ce chapitre, on notera E l’espace affine (des points) sous-jacent à l’espace vectoriel
R3 .
3.1
Quelques exemples de surfaces de R3
(voir en cours la sphère, le cylindre, le tore, le cône, le tétraèdre et une surface non
remarquable).
3.2
Surfaces définies par une équation
On peut définir une surface dans R3 comme étant l’ensemble des points de R3 qui vérifient
une équation : F (x, y, z) = 0 où F est une fonction définie et continue dans une partie
de R3 (voir les exemples de la sphère, du cylindre, du tore, . . .).
La caractère ‘’différentiable” de F influe sur l’aspect “lisse“ de la surface au point considéré
(voir le tétraèdre).
3.2.1
Vecteurs et plans tangents
On supposera dans cette partie que F est continûment différentiable sur l’ouvert U .
La notion de vecteur tangent est relative à une courbe paramétrée. On sait que si une
courbe C est paramétrée par une fonction dérivable f : I → R3 , le premier vecteur dérivé
non nul en un point t0 de I définit un vecteur tangent en M0 = f (t0 ) de C. Pour décrire
tous les vecteurs tangents en un point M0 d’une surface S, on considère toutes les courbes
paramétrées par des fonctions dérivables contenues dans S et qui passent par M0 . Ainsi,
un vecteur v tangent à une telle courbe en M0 est tangent à S en M0 .
(DESSIN en cours)
Soit ϕ :]t0 − δ, t0 + δ[→ S une application différentiable telle que ϕ(]t0 − δ, t0 + δ[) ⊂ S
et ϕ(t0 ) = M0 = (x0 , y0 , z0 ). Cela signifie que
∀ t ∈ ]t0 − δ, t0 + δ[,
37
F (ϕ(t)) = 0.
CHAPITRE 3. SURFACES DE R3
38
On considère la composition
F ◦ ϕ : ]t0 − δ, t0 + δ[→ R3
qui est une application différentiable (bien sûr) identiquement nulle. Sa jacobienne (ou
différentielle) est donc nulle. D’où :
∂F
∂F
∂F
(x0 , y0 , z0 )ϕ"1 (t0 ) +
(x0 , y0 , z0 )ϕ"2 (t0 ) +
(x0 , y0 , z0 ))ϕ"3 (t0 ) = 0.
∂x
∂y
∂z
On supposera dans toute la suite que le gradient de F n’est pas nul en M0 . En posant
∇F (x0 , y0 , z0 ) = (
∂F
∂F
∂F
(x0 , y0 , z0 ),
(x0 , y0 , z0 ),
(x0 , y0 , z0 ) ) = (a, b, c) /= 0,
∂x
∂y
∂z
un vecteur v = (v1 , v2 , v3 ) est tangent à S en M0 si, et seulement si, av1 + bv2 + cv3 = 0.
Proposition 37 Si le gradient de F en (x0 , y0 , z0 ) n’est pas nul, l’ensemble des vecteurs
tangents à S en un point M0 ∈ S a une structure d’espace vectoriel de dimension 2,
appelé espace tangent vectoriel
Preuve :
Du point de vue géométrique (représentation dans l’espace), l’espace tangent, noté TM0 ,
est un espace affine (de points) obtenu en translatant l’espace tangent vectoriel au point
M0 . Il est décrit par l’équation cartésienne (à prouver) :
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0.
3.2.1.1
Cas des surfaces définies par (x, y) !→ z = f (x, y)
En fait, la surface définie par la fonction f : U → R est le graphe de f . On se ramène
au cas précédent en introduisant l’application F : U × R → R définie par F (x, y, z) =
f (x, y) − z. Si f est différentiable, il en est de même pour F et
∇F (x, y, z) = (
∂f
∂f
(x, y),
(x, y), −1).
∂x
∂y
Exercice :
Montrer que l’équation de l’espace tangent affine à la surface S définie par F (x, y, z) =
f (x, y) − z = 0 en (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) est :
z = T (x, y) = f (x0 , y0 ) + df(x0 ,y0 ) (x − x0 , y − y0 ).
3.2.1.2
Courbes de niveau
Dans ce paragraphe, on s’interesse aux surfaces définies comme graphe d’une application
différentiable
f : U → R.
3.3. SURFACES PARAMÉTRÉES
39
Définition 35 On appelle courbe de niveau k ∈ R de la fonction f , la projection sur le
plan xOy (ici, le repère orthonormé de R3 est Oxyz) de l’intersection de la surface f (U )
avec le plan horizontal d’équation z = k.
On note souvent les courbes de niveau k (abus de notation) f (x, y) = k.
exemples :
1. Les courbes de niveau de la fonction
( f : U → R où U est le disque unité {(x, y) ∈
2
2
2
R , x + y ≤ 1} et f (x, y) =
1 − x2 − y 2 (son graphe√est la demie sphère
supérieure) sont les cercles de centre l’origine et de rayon 1 − k 2 où k est la
constante image de f correspondante.
2. Pour l’application f : R2 → R définie par f (x, y) = x2 − y 2 , les courbes de niveau
f (x, y) = k, pour k =
/ 0, sont des hyperboles équilatères.
Une courbe de niveau est finalement une courbe plane définie par l’équation f (x, y) = k.
Exercice : t rouver les vecteurs tangents en un point M0 d’une courbe de niveau de
l’application différentiable f : U → R.
3.3
Surfaces paramétrées
Il existe une autre manière de décrire une surface.
Définition 36 Une surface paramétrée de R3 est un couple (S, Φ) où S est une partie de
R3 , égale à l’image de l’application continue Φ : U → R3 définie sur une partie U de R2 .
exemples :
1. Pour tout r fixé dans R+ et tout triplet (a, b, c) ∈ R3 , la fonction
π π
ϕ : [0, 2π[×[− , + ] → R3
.
2
2
(r, α, β) !−→ (a + r cos α cos β, b + r sin α cos β, c + r sin β).
paramètre la sphère de centre (a, b, c) et de rayon r.
2. L’application
ψ : [0, 2π[×R → R3
(r, α, z) !−→ (r cos α, r sin α, z).
définit la surface cylindrique de projection orthogonale sur le plan xOy égale au
cercle unité.
3. Pour tout couple (R, r) de nombres strictement positifs, l’application
τ : [0, 2π[×[0, 2π[ → R3
(α, β) !−→ ((R + r cos α) cos β, (R + r cos α) sin β, r sin α)
paramètre un tore centré à l’origine et de rayons R et r. Lorsque R > r, le tore
correspond à une espèce de “pneu”. Que se passe-t-il si R = r et R < r ?
CHAPITRE 3. SURFACES DE R3
40
3.3.1
Vecteurs et plans tangents
Dans cette partie aussi, un vecteur tangent est défini à l’aide d’une courbe paramétrée
incluse dans la surface S. Soit Φ : U → S ⊂ R3 une fonction qui paramètre la surface
S. On suppose que U est un ouvert de R2 et que Φ est différentiable partout sur U . Soit
M0 = (x0 , y0 , z0 ) = Φ(t0 , s0 ) un point de S. On note Γ une courbe paramétrée par la
fonction différentiable γ : I → U où I est un intervalle ouvert de R. On suppose que la
courbe Γ est incluse dans S et passe par A.
(DESSIN en cours)
La composition Φ ◦ γ : I → S ⊂ R3 est différentiable et
∀ u ∈ I,
d(Φ ◦ γ)u = dΦγ(u) ◦ dγu .
En particulier, en u = u0 tel que γ(u0 ) = (t0 , s0 ).
En termes de jacobiennes, d’après le théorème de composition, on a




∂Φ1
∂Φ1
∂Φ1
∂Φ1


 ∂t (γ(u0 )) ∂s (γ(u0 )) 
 ∂t (M0 ) ∂s (M0 ) 
γ1" (u0 )




∂Φ2
∂Φ2
 ∂Φ2
 "

 ∂Φ2

γ
(u
)
J(Φ◦γ)(u0 ) = 
=

(γ(u0 ))
(γ(u0 ))   2 0 
(M0 )
(M0 )  V
 ∂t



∂s
∂t
∂s
 ∂Φ3

 ∂Φ3

∂Φ3
∂Φ3
γ3" (u0 )
(γ(u0 ))
(γ(u0 ))
(M0 )
(M0 )
∂t
∂s
∂t
∂s
où V = γ " (u0 ) est un vecteur tangent à Γ au point γ(u0 ) = (t0 , s0 ) de U (attention, ce
n’est pas un point de la surface considérée) .
Proposition 38 L’ensemble de tous les vecteurs tangents à S en A est l’image de R2 par
la jacobienne de Φ en A.
De manière générale, l’espace des vecteurs tangents à S en A est un espace vectoriel de
dimension égal au rang de la jacobienne de Φ en A. Quant à nous, nous ne verrons que le
cas des points A où le rang est égal à 2.
Corollaire 11 Si le rang de la jacobienne de Φ en A est égal à 2, l’ensemble de tous les
vecteurs tangents à S en A est un espace vectoriel de dimension deux.
Exercices :
1. Donner un paramétrage de l’espace tangent affine (plan affine) à une surface paramétrée.
2. Trouver l’équation du plan tangent en un point M0 de la sphère unité.
3.3.2
Surfaces de révolution
Définition 37 Soit P un plan de E, D et Γ respectivement une droite et une courbe de
P . La surface engendrée par la rotation de la courbe Γ autour de la droite D est appelée
surface de révolution d’axe D et de méridienne Γ.
3.3. SURFACES PARAMÉTRÉES
41
Exemples :
1. Une sphère (centrée à l’origine) est une surface de révolution d’axe, l’axe des z et
de méridienne, un demi-cercle contenu dans le plan Oxz.
2. Une surface cylindrique est aussi une surface de révolution. Trouver son axe et une
de ses méridiennes.
3. Un tore est engendré par la rotation d’un cercle autour d’un axe perpendiculaire au
plan du cercle.
Exercice : donner une représentation paramétrique d’une surface de révolution.
42
CHAPITRE 3. SURFACES DE R3
Chapitre 4
Théorème des fonctions implicites
L’objectif de ce chapitre est de savoir utiliser correctement les théorèmes des fonctions
implicites et d’inversion locale. Les démonstrations sont longues et difficiles. Elles figurent
dans ce document de façon détaillée et ne seront pas reprises dans le cours. et ne
4.1
4.1.1
Théorème des fonctions implicites
Exemple introductif et énoncé du théorème
On considère l’équation du cercle de centre (0, 0) et de rayon 2 : x2 + y 2 − 4 = 0.
Comme il existe des points distincts du cercle (x, y) qui admettent la même abscisse x,
nous ne pouvons pas le représenter comme le graphe d’une fonction réelle à variable réelle.
Cependant, si l’on se limite à des morceaux du cercle, cela est possible, en faisant jouer le
rôle d’antécédent, parfois à x, parfois à y. Ainsi, la moitié supérieure du cercle (“morceau”
√
qui se trouve au dessus de l’axe des x), est le graphe de la fonction x !−→ y = 2 − x2 ,
définie sur l’intervalle ] − 1,
(1[. La moitié qui se trouve à droite de l’axe des y est le graphe
de la fonction y !−→ x = 2 − y 2 , définie sur le même intervalle ] − 1, 1[.
Le problème que l’on se pose dans ce chapitre est de savoir sous quelles conditions (sur
F ) peut-on décrire tel ou tel morceau de la partie
{(x, y) ∈ R2 ; F (x, y) = 0R }
comme le graphe d’une fonction f : I → R ?
La réponse à cette question est donnée, dans le cas général de fonctions F définies dans
un ouvert de Rm , par le théorème suivant :
Théorème 7 (théorème des fonctions implicites) Soit une fonction F : Ω → R de
classe C 1 sur l’ouvert Ω de Rm et un point a = (a1 , a2 , . . . , am ) = (ã, am ) ∈ Ω, tel que
F (a) = 0
et
∂F
(a) /= 0.
∂xm
Il existe alors
1. une boule ouverte de centre ã et de rayon r > 0,
43
44
CHAPITRE 4. THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES
2. un intervalle ouvert J = ]am − η, am + η[ de R,
3. une fonction f : B(ã, r) → J, de classe C 1
tels que :
1. f (a1 , a2 , . . . , am−1 ) = am ,
2. ∀ x = (x̃, xm ) ∈ B(a, r) × J, on a :
F (x) = F (x̃, xm ) = 0 ⇐⇒ f (x̃) = f (x1 , x2 , . . . , xm−1 ) = xm .
Sa démonstration repose sur le théorème du point fixe et ses conséquences.
Définition 38 Une fonction f : A → Rp , définie sur la partie A ⊂ Rm est lipschitzienne
s’il existe une constante k, positive, telle que
∀ x1 x2 ∈ A,
||f (x1 ) − f (x2 )|| ≤ k||x1 − x2 ||.
La constante k est appelée constante de Lipschitz. Si elle est strictement inférieure à 1
(k ∈ ]0, 1[), la fonction f est dite contractante.
Exemples :
1. Montrer que si une fonction f : I → R est continûment dérivable sur l’ouvert I de
R et de dérivée bornée, alors elle est lipschitzienne. Donner une conditon suffisante
sur la dérivée pour que la fonction f soit contractante.
2. Écrire les questions précedentes dans le cas d’une fonction f : O → R définie sur
l’ouvert O de Rm .
1
3. La fonction f : [1, +∞[→ [1, +∞[ définie par f (t) = 1 + est-elle contractante ?
t
Théorème 8 (théorème du point fixe) Soit A une partie fermée de Rm et f : A → A,
une contraction. Il existe alors un point x0 ∈ A, unique, tel que f (x0 ) = x0 .
Preuve : en cours
4.1.2
Lemmes techniques
Lemme 4 Soit f : O × I → R une fonction de classe C 1 sur l’ouvert O × I de Rm−1 × R.
Si sa dérivée partielle par rapport à xm est bornée sur O×I par k, alors, pour tout x̃ ∈ O,
la fonction partielle f (x̃, .) est k-lipschitzienne sur I, de constante k indépendante de x̃.
Preuve : elle se déduit du théorème des accroissements finis des fonctions réelles à variable
réelle (en l’occurence xm ).
Lemme 5 Soit I = ]α − r, α + r[ un intervalle ouvert non vide et f : I → R une
contraction de constante k telle que |α − f (α)| < (1 − k)r. La fonction f admet alors un
point fixe unique.
4.1. THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES
45
Preuve : soit r" un nombre strictement positif tel que
|α − f (α)| < (1 − k)r" < (1 − k)r
et I " l’intervalle fermé [α−r" , α+r" ] Montrons que la fonction f applique l’intervalle fermé
I " dans lui-même. Pour tout x ∈ I " , on a :
|f (x) − α| ≤ |f (x) − f (α)| + |f (α) − α| ≤ k|x − α| + (1 − k)r" ≤ kr" + (1 − k)r" = r" .
D’après le théorème du point fixe, la fonction f admet un point fixe, unique dans I " qui
est inclus dans I.
Lemme 6 Soit f : A → A une contraction de constante k sur le fermé A de R dont le
d0
·
point fixe est noté a. Quel que soit le point x de A, si |x−f (x)| ≤ d0 , alors |a−x| ≤
1−k
d0
· D’après la
1−k
démonstration du lemme 5, le point fixe de f , qui est unique, est dans cette boule.
Preuve : on considère l’intervalle fermé de centre x et de rayon
Lemme 7 Soit I =]b − η, b + η[ un intervalle ouvert de R, U une partie fermée non vide
de Rm−1 et f : U × I → R une application vérifiant les propriétés suivantes :
1. ∃ k ∈]0, 1[; ∀ u ∈ U, |f (u, t) − f (u, s)| ≤ k|t − s|.
2. ∀ t ∈ I, la fonction partielle f (., t) : U → R est continue.
3. |f (u, b) − b| ≤ (1 − α)η, ∀ u ∈ U.
Il existe alors, pour chaque u ∈ U , un unique point au ∈ I, tel que f (u, au ) = au et
l’application ϕ : U → I définie par ϕ(u) = au est continue.
Preuve : remarquons d’abord que pour chaque u pris dans U , l’application partielle
fu = f (u, .) : I → I
est une contraction de constante k qui ne dépend pas de u. D’après le lemme 5, elle
admet un point fixe, unique noté au et vérifiant donc f (u, au ) = au . On peut alors définir
l’application ϕ : U → I par ϕ(u) = au .
Montrons que cette application est continue partout dans U . Soit u ∈ U . Pour tout ε > 0,
on considère le nombre ε(1 − k) > 0. On sait que f (u, au ) = au et comme l’application
partielle f (., au ) : U → R est continue, il existe δ > 0 tel que si ||u − v|| < δ, alors
|f (v, au ) − f (u, au )| < ε" , c’est-à-dire : |f (v, au ) − au )| < ε" . On sait que l’applicatin
partielle fv = f (v, .) : U → R, est contractante de constante k, et donc admet, d’après
le lemme 5, un point fixe av . D’après le lemme 6 et du fait que |f (v, au ) − au | < ε" , on a
|ϕ(v) − ϕ(u)| = |av − au | <
La fonction ϕ est donc continue en tout point de U .
ε"
= ε.
1−k
46
CHAPITRE 4. THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES
4.1.3
Preuve du théorème des fonctions implicites
On la fait en deux étapes.
Première étape.
Dans un premier temps , on va montrer l’existence
1. d’une boule ouverte (dans Rm−1 ) de centre ã et de rayon r > 0,
2. d’un intervalle ouvert J de R, et
3. d’une fonction f : B(ã, r) → J, continue.
∂F
On pose C =
(a) /= 0 et ã = (a1 , a2 , . . . , am−1 ). On considère la fonction
∂xm
G(x1 , x2 , . . . , xm ) = xm −
F (x1 , x2 , . . . , xm )
.
C
∂G
(a) = 0. Comme la fonction G est de classe C 1 , sa
∂xm
1
dérivée partielle par rapport à xm est continue. Pour ε = , il existe un nombre η > 0
2
tel que si ||x − a|| < η, alors
D’où G(a1 , a2 , . . . , am ) = am et
|
∂G
∂G
∂G
1
(x) −
(a)| = |
(x)| < ·
∂xm
∂xm
∂xm
2
Comme les normes classiques sont équivalentes, il existe une boule B(ã, r) et un intervalle
J =]am − δ, am + δ[ tels que B(ã, r) × J ⊂ B(a, η). Comme G est continue, on peut choisir
δ
r de telle sorte que si (x1 , . . . , xm−1 ) ∈ B(ã, r), alors |G(x1 , . . . xm−1 , am ) − am | < .
2
D’après le lemme 4, les fonctions partielles de la restriction de G à la boule B(ã, r) sont
1
contractantes de même constante k = . D’après la proposition 7, il existe une fonction
2
continue f : B(ã, r) → J telle que G(x̃, f (x̃)) = f (x̃). Autrement dit,
∀ x̃ ∈ B(ã, r), F (x̃, f (x̃)) = 0.
Par ailleurs, quel que soit x = (x̃, xm ) ∈ B(ã, r), vérifiant F (x̃, xm ) = 0, on a G(x̃, xm ) =
xm et par conséquent, f (x̃) = xm .
Deuxième étape.
Montrons que la fonction f est différentiable au point ã. Soit h̃ ∈ B(0m−1 , r) et H =
f (ã + h̃) − f (ã). Comme f est contine en ã, lorsque h̃ tend vers 0m−1 , H tend aussi
vers 0. On sait que F est différentiable en a = (ã, am ) = (ã, f (ã)) : ∃ η " > 0 tel que si
h ∈ B(a, η " ), alors
F (a + h) − F (a) = dFa (h) + ||h||ε(h)
où ε(h) → 0 lorsque h → Om et
dFa (h) =
m−1
!
i=1
∂F (a)
∂F (a)
hi +
hm .
∂xi
∂xm
4.1. THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES
47
En particulier, pour h = (h̃, H), on obtient d’une part :
F (a + h) − F (a) = F (ã + h̃, f (ã + h̃)) − F (a) = 0
et d’autre part,
F (ã + h̃, f (ã + h̃)) = F (ã + h̃, f (ã) + H) = dFa (h̃, H) + ||(h̃, H)||ε(h̃, H).
On en déduit :
m−1
! ∂F (a)
1
f (ã + h̃) − f (ã) = H = −
[
hi + ||(h̃, H)||ε(h̃, H)].
∂F
∂xi
i=1
(a)
∂xm
On pose
ε" (h̃) = −
1
||(h̃, H)||
ε(h̃, H).
∂F (a) ||h̃||
∂xm
On note respectivement ||.||1 et ||.||"1 les normes définies dans Rm et Rm−1 par ||x||1 =
m
m−1
!
!
"
|xi | et ||x̃||1 =
|xi |. Il est clair que si x = (x̃, xm ), alors ||x||1 = ||x̃||1 + |xm )|.
1
1
On en déduit que le rapport
||(h̃, H)||1
||(h̃, H)||1
=
"
||h̃||1
||h̃||"1
est borné lorsque h̃ tend vers 0m−1 et par conséquent, lim ε" (h̃) = 0.
h̃→
Corollaire 12 La dérivée partielle de f par rapport à xi pouri ∈ {1, . . . , m − 1} existe en
ã et
∂F
(a)
∂f
∂xi
(ã) = −
.
∂F
∂xi
(a)
∂xm
Exemples :
1. reprendre l’exemple introductif.
2. dire en quels points de R3 , on peut appliquer le théorème des fonctions implicites à
la fonction F (x, y, z) = xyz.
3. On considère la fonction F : R3 → R définie par F (x, y, z) = z 2 − x2 − y 2 . Elle
est de classe C 1 et en tout point (a, b, c) tel que c /= 0, on peut trouver une boule
ouverte B de centre (a, b), un intervalle J contenant c et une fonction f : B → J
telle que l’ensemble {(x, y, z) ∈ R3 ; F (x, y, z) = 0} ∩ B × J coincide avec le graphe
de la fonction f .
48
CHAPITRE 4. THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES
Le théorème des fonctions implicites peut être reformulé pour les fonctions F : Ω → Rp
où Ω est un ouvert de Rm × Rp . On conviend de désigner la variable de F par (x, y) où
x est un m-uplet et y, un p-uplet. Si F est de classe C 1 , on note JF1 (a) et JF2 (a) les
jacobiennes de F par rapport à la première variable vectorielle x et la deuxième variable
vectorielle y. Ce sont des matrices à p lignes et respectivement à m et p colonnes.
Théorème 9 (admis) Soit F : Ω → Rp une fonction de classe C 1 sur l’ouvert Ω de
Rm × Rp et un point ω = (a, b) ∈ Ω, tel que F (ω) = 0 et JF2 (a) soit inversible. Il existe
alors
1. une boule ouverte de centre a et de rayon r > 0, incluse dans Rm ,
2. une boule ouverte de centre b de rayon r" > 0, incluse dans Rp ,
3. une fonction f : B(a, r) → B(b, r" ), de classe C 1
tels que :
1. f (a) = b (cette égalité est dans Rp ),
2. ∀ (x, y) ∈ B(a, r) × B(b, r" ), on a :
F (x, y) = 0 ⇐⇒ f (x) = y.
Exemples :
1. Résolution d’un système linéaire de p équations à m + p inconnues.
2. On considère l’application F : R3 → R2 définie par
5 3
6
xy1 + y23
F (x, y1 , y2 ) =
.
xy12 + y23
Dites en quels points on peut appliquer le theorème des fonctions implicites.
4.2
Théorème d’inversion locale
Théorème 10 (Théorème d’inversion locale) Soit f : O → Rm une application de
classe C 1 sur l’ouvert O de Rm . On suppose qu’en a ∈ O, la jacobienne Jf (a) est inversible. Il existe alors deux ouverts U ⊂ O et V tels que l’application g : U → V définie
par ∀ x ∈ U, g(x) = f (x) soit un difféomorphisme de U sur V .
L’application ϕ ainsi définie est un difféomorphisme local.
Preuve : soit b = f (a). On construit une application auxiliaire :
F : Rm × O → Rm
en posant F (y, x) = y − f (x). La fonction F est de classe C 1 car les dérivées partielles
par rapport aux variables scalaires xi et yj sont continues. Elle vérifie F (b, a) = 0. De
plus la jacobienne par rapport à la variable y, JF2 (b, a) = Jf (a), est inversible. D’après
le deuxième théorème des fonctions implicites 9, il existe deux ouverts U " et V , le premier
contenant a et le deuxième, b et une application de classe C 1 , notée G, de V dans U " tels
que
4.2. THÉORÈME D’INVERSION LOCALE
49
1. G(b) = a,
2. ∀ (y, x) ∈ V × U " , on a
F (y, x) = 0 ⇐⇒ x = G(y).
Ainsi, ∀ y ∈ V, F (y, G(y)) = y − f (G(y)) = 0, c’est-à-dire, f (G(y)) = y.
La fonction G est injective car si G(y1 ) = G(y2 ), f étant une fonction, y1 = f ((G(y1 )) =
f ((G(y2 )) = y2 .
On pose U = G(V ). C’est un ouvert car c’est l’image réciproque de l’ouvert V par f .
L’application g : U → V , définie par g(x) = G(x), est bijective. Elle est différentiable
(d’après le théorème des fonctions implicites) et sa réciproque g −1 , égale à la restriction
de f à U , est aussi différentiable. Par conséquent la fonction
g:U →V
définie par ∀ x ∈ U, g(x) = f (x) est un difféomorphisme.
On dit souvent que la fonction f est inversible localement en a.
Exemples
1. Systèmes d’équations linéaires.
2. L’application f : R2 → R2 définie par
F (x, y) =
5
x + y3
x2 + y 3
6
admet des inverses locales en certains points à déterminer.
3. Montrer que l’application f : R2 → R2 définie par f (x, y) = (ex cos y, ex sin y) induit
un difféomorphisme local en tout point de R2 . Montrer qu’elle n’est pas injective.
Conclure.
50
CHAPITRE 4. THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES
Chapitre 5
Formule de Taylor et extrema
5.1
5.1.1
Formule de accroissements finis, formule de Taylor
Introduction
Nous avons vu en première année les formules des accroissements finis et de Taylor pour les
fonctions réelles à une variable réelle. Il existe des formules analogues pour les fonctions
réelles de plusieurs variables réelles. L’idée de la démonstrartion est contenue dans le
lemme suivant :
Lemme 8 Soit O un ouvert convexe de Rm . Quels que soient deux points a et a + h de O,
l’application ϕ : [0, 1] → O ⊂ Rm définie par ϕ(t) = a + th est continue sur l’intervalle
[0, 1] et est indéfiniment dérivable sur l’ouvert ]0, 1[.
Preuve : exercice.
Soit f : O → R une fonction définie sur l’ouvert convexe O, a ∈ O, h tel que a + h ∈ O
et ϕ, l’application définie dans le lemme 8. On considère la composition F = f ◦ ϕ,
c’est-à-dire
ϕ
f
[0, 1] → O → Rm .
Lemme 9 Si la fonction f est de classe C 1 , alors la fonction F continue sur [0, 1] et
continûment dérivable sur ]0, 1[.
F " (t) =
m
!
∂f
(a + th)hi .
∂x
i
i=1
(5.1)
Preuve : la fonction F = f ◦ ϕ est différentiable sur ]0, 1[ car c’est une composition de
fonctions différentiables et
[F " (t)] = JF (t) = Jf (ϕ(t)).Jϕ(t)
=
5
∂f
∂f
∂f
(ϕ(t))
(ϕ(t)) · · ·
(ϕ(t))
∂x1
∂x2
∂xm
51

6 

·

ϕ"1 (t)
ϕ"2 (t)
..
.
ϕ"m (t)





52
CHAPITRE 5. FORMULE DE TAYLOR ET EXTREMA
m
m
!
!
∂f
∂f
= [
(ϕ(t))ϕ"i (t)] = [
(a + th)hi ].
∂x
∂x
i
i
i=1
i=1
5.1.2
Formule des accroissements finis
5.1.2.1
Formule des accroissements finis dans le cas des fonctions réelles une
à variable réelle (Rappel)
Théorème 11 Soit f une fonction continue sur le segment [a, b], a < b, dérivable sur
l’intervalle ouvert ]a, b[ ; il existe alors un point c ∈ ]a, b[ tel que f (b)−f (a) = f " (c)(b−a).
Remarque 17 Si l’on note h le nombre b − a, sous les hypothèses de ce théorème on peut
déduire l’existence d’un réel θ ∈ ]0, 1[ tel que f (a + h) − f (a) = f " (a + θh)h.
5.1.2.2
Formules des accroissements finis dans le cas des fonctions réelles à
plusieurs variables réelles
Théorème 12 (théorème des accroissement finis) Soit f : O → R une fonction de
classe C 1 sur l’ouvert convexe O de Rm . Quels que soient les points a ∈ O et h ∈ Rm tels
que a + h ∈ O, il existe θ ∈ ]0, 1[ tel que
f (a + h) − f (a) =
m
!
∂f (a + θh)
i=1
∂xi
hi .
(5.2)
Preuve. On considère le diagramme :
ϕ
f
[0, 1] → O → Rm
où ϕ(t) = a + t(b − a) avec ϕ(0) = a et ϕ(1) = a + h. La fonction F = f ◦ ϕ est réelle
à variable réelle. Comme composition d’applications continues, elle est continue sur [0, 1].
Comme composition d’applications différentiables, la première sur ]0, 1[ et la seconde sur
O, elle est différentiable sur ]0, 1[. D’après la remarque 17, il existe θ ∈ ]0, 1[ tel que
F (1) − F (0) = F " (θ)
(5.3)
et d’après la relation 5.1, pour t ∈ ]0, 1[,
m
!
∂f
F (t) =
(a + th)hi .
∂xi
i=1
"
Remplaçant les valeurs F (0) = f (a) et F (1) = f (a + h) dans 5.2, on obtient le relation
5.3.
Remarque 18 On peut donner une autre formulation du théorème des accroissements
finis : soient f : O → R une fonction de classe C 1 , a et b, deux points quelconques de
l’ouvert convexe O de Rm . Il existe alors un point c ∈ [a, b] (segment) tel que
f (b) − f (a) =
m
!
∂f (c)
i=1
∂xi
(bi − ai )·
(5.4)
5.1. FORMULE DE ACCROISSEMENTS FINIS, FORMULE DE TAYLOR
53
Remarque 19 Le théorème des accroissements finis dans le cas d’une fonction f : O →
Rp de classe C 1 définie sur un ouvert convexe O de Rm existe mais il n’a pas la même
formulation que dans le cas d’une fonction scalaire (p = 1) dans le sens où l’égalité dans
la remarque précedente est remplacée par une inégalité :
||f (b) − f (a)|| ≤ sup ||dfx || · ||b − a||·
x∈O
2
où ||dfx || désigne la norme de la jacobienne, considérée comme un vecteur de Rm .
5.1.3
Formule de Taylor
Rappelons d’abord la formule de Taylor pour les fonctions réelles à variable réelle (vue en
première année, M 2 ).
5.1.4
Formule de Taylor pour les fonctions réelles à variable
réelle (Rappel)
Théorème 13 Soient f une fonction possédant des dérivées continues jusqu’à l’ordre
n + 1 sur un intervalle I de R, x et x0 deux éléments de I ; on a la relation :
x − x0 "
(x − x0 )2 ""
(x − x0 )n (n)
f (x) = f (x0 ) +
f (x0 ) +
f (x0 ) + · · · +
f (x0 ) +
1!
2!
n!
% x
(x − t)n (n+1)
f
(t) dt.
(5.5)
n!
x0
5.1.5
Formule de Taylor pour les fonctions réelles à plusieurs
variables réelles
Théorème 14 Soit f : O → R une fonction de classe C n+1 sur l’ouvert convexe O de Rm
et a, un point de O. Quel que soit l’accroissement vectoriel h ∈ Rm tel que a + h ∈ O,
on a :
m
f (a + h) = f (a) +
m
m
1 ! ∂f
1 ! ! ∂ 2 f (a)
(a)hi1 +
hi hi + · · · +
1! i =1 ∂xi1
2! i =1 i =1 ∂xi1 ∂xi2 1 2
1
1
2
m
m
m
!
1 !!
∂ n f (a)
···
hi1 hi2 · · · hin +
n! i =1 i =1
∂x
∂x
.
.
.
∂x
i
i
i
n
1
2
in =1
1
2
m !
m
m % 1
!
!
∂ n+1 f (a + th)
1
···
(1 − t)n
hi1 hi2 · · · hin+1 dt.(5.6)
n! i =1 i =1
∂x
∂x
.
.
.
∂x
i
i
i
0
1
2
n+1
i =1
1
2
n
Preuve. Comme O est convexe, quel que soit l’accroissement vectoriel h tel que a+h ∈ O,
d’après le lemme 9, on peut trouver un intervalle ] − α, 1 + β[ tel que le diagramme
ϕ
f
] − α, 1 + β[ → O → Rm .
54
CHAPITRE 5. FORMULE DE TAYLOR ET EXTREMA
définisse une application F . Les fonctions ϕ et f étant ce classe C n+1 , la fonction F est
aussi de classe C n+1 . Cela signifie que F est n + 1 fois dérivable sur l’intervalle ] − α, 1 + β[.
L’expression de la dérivée F " (t) est déjà trouvée dans 5.1. Concernant la dérivée seconde,
on applique la 5.1 aux dérivées partielles d’ordre un. Les dérivées croisées sont continues
et donc, d’après le théorème de Schwarz, elles sont égales :
F "" (t) =
m !
m
!
∂ 2 f (a + th)
j=1 i=1
∂xj ∂xi
hi hj ,
et de manière générale,
F
(n)
(t) =
m !
m
!
i1 =1 i2 =1
···
m
!
in
∂ n f (a + th)
hi1 hi2 · · · hin .
∂x
∂x
.
.
.
∂x
i
i
i
n
1
2
=1
D’après la formule de Taylor 5.5,
1
1)
1
F (1) = F (0) + F " (0) + F "" (0) + · · · + F (n) (0) +
1!
2!
n!
%
0
1
(1 − t)n (n+1)
F
(t) dt.
n!
Corollaire 13 Soit P : Rm → R une fonction polynômiale de dgré total n. On a :
m
m
m
1 ! ! ∂ 2 P (a)
1 ! ∂f
P (a + h) = P (a) +
(a)hi1 +
hi hi + · · · +
1! i =1 ∂xi1
2! i =1 i =1 ∂xi1 ∂xi2 1 2
1
1
2
m
m
m
!
1 !!
∂ n P (a)
···
hi hi · · · hin .
n! i =1 i =1
∂xi1 ∂xi2 . . . ∂xin 1 2
i =1
1
2
n
Remarque 20 Dans la formule 5.6, on peut présenter le reste
m
m
m % 1
!
1 !!
∂ n+1 f (a + th)
···
(1 − t)n
hi hi · · · hin dt
n! i =1 i =1
∂xi1 ∂xi2 . . . ∂xin+1 1 2
i =1 0
1
2
n
sous la forme
||h||n+1 ε(h)
où lim ε(h) = 0 (exercice).
h→0
5.2
5.2.1
Extrema
Définitions et exemples
Définition 39 On dit que la fonction f : A → R admet un maximum (respectivement
minimum) local en a ∈ A s’il existe r > 0 tel que
∀ x ∈ A ∩ B(a, r), f (x) ≤ f (a) (resp. f (x) ≥ f (a)).
Un extremum local est un minimum local ou un maximum local.
5.2. EXTREMA
55
Définition 40 On dit que la fonction f : A → R admet un maximum (respectivement
minimum) global en a ∈ A si
∀ x ∈ A, f (x) ≤ f (a) (resp. f (x) ≥ f (a)).
Un extremum global est un minimum global ou un maximum global.
On dit parfois “relatif” (respectivement “absolu”) à la place de “local” (respectivement
“global”).
Exemples :
1. La fonction f : R2 → R définie par f (x, y) = x2 + y 2 admet en (0, 0) un minimum
global.
2. La fonction f : R2 → R définie par f (x, y) = x2 − y 2 n’admet ni de minimum, ni de
maximum en (0, 0) (pourquoi ?).
3. La fonction f : R2 → R définie par f (x, y) = x2 sin(y) admet des minima et des
maxima locaux mais pas globaux.
4. La fonction f : C → R définie sur le cercle unité C par f (x, y) = (x − 1)2 + y 2 ) admet
un minimum global
5. La fonction f : D → R définie sur l’ensemble D = {(x, y) ∈ R2 ; xy = 1} par
f (x, y) = x2 est minorée. Pourtant, elle n’admet pas de minimum.
La notion d’extremum peut être définie sans conditions supplémentaires sur le domaine
de départ A ou la classe de différentiablilté de f . Dans le paragraphe qui suit, on verra
les propriétés des extrema lorsque A est un ouvert et f , différentiable.
5.2.2
Extrema libres (ou sans contraintes)
Définition 41 Soit f : A → R une fonction qui admet un extremum local en a ∈ A. Si
a est un point intérieur de A, alors cet extremum est dit libre.
Proposition 39 Soit O un ouvert de Rm et f : O → R une fonction différentiable. Si f
admet un extremum libre local en a ∈ O, alors dfa = 0.
Preuve.(en cours)
Définition 42 Soit O un ouvert de Rm et f : O → R une fonction différentiable. On
appelle point critique de f tout point a ∈ O tel que dfa = 0.
En d’autres termes, un point critique a de f est un point où toutes les dérivées partielles
s’annulent.
Remarque 21 Un point critique n’est pas nécessairement un extremum local. Prendre
par exemple la fonction f : R → R où f (x) = x3 ou la fonction f : R2 → R définie par
f (x, y) = x3 + y 3 .
56
CHAPITRE 5. FORMULE DE TAYLOR ET EXTREMA
Remarque 22 Une fonction peut admettre en un point un extremum libre local sans
qu’elle ne (
soit différentiable en ce point. Prendre par exemple la fonction f : R2 → R où
f (x, y) = x2 + y 2 .
La formule de taylor joue un rôle important pour étudier l’existence et la nature d’un
extremum libre local. Nous allons le voir dans le cas d’une fonction f : O → R de classe
C 3 où O est un ouvert de R2 . Pour tout point (a, b) ∈ O et (h, k) tel que (a+h, b+k) ∈ O,
la formule de Taylor 5.6 ainsi que la remarque 20 nous permettent d’écrire :
∂f (a, b)
∂f (a, b)
h+
k+
∂x
∂y
∂ 2 f (a, b)
∂ 2 f (a, b) 2 8
1 7 ∂ 2 f (a, b) 2
h +2
hk +
k + ||(h, k)||2 ε(h, k),
2
∂x2
∂x∂y
∂y 2
où lim ε(h, k) = 0. On pose
f (a + h, b + k) − F (a, b) =
(h,k)→0
A =
∂ 2 f (a, b)
,
∂x2
B =
∂ 2 f (a, b)
,
∂x∂y
C =
∂ 2 f (a, b)
.
∂y 2
Proposition 40 Soit O un ouvert de Rm et f : O → R une fonction de classe C 3 . On
suppose que dfa = 0. Si
1. B 2 − AC > 0, f n’admet pas d’extremum en a ;
2. B 2 − AC < 0 et si A > 0, f admet un minimum en a ;
3. B 2 − AC < 0 et si A < 0, f admet un maximum en a ;
Pour démontrer ce théorème nous avons besoin des définitions et du lemme suivants :
Définition 43 On appelle forme quadratique de R2 , toute fonction polynômiale homogène
de degré deux.
Toute forme quadratique de R2 s’écrit comme suit :
Q(x, y) = ax2 + bxy + cy 2 .
Définition 44 Une forme quadratique Q de R2 est dite définie positive (respectivement,
définie négative) si
∀ (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}, Q(x, y) > 0, respectivement,
Q(x, y) < 0.
Exemples :
1. La forme quadratique x2 − 2xy + 3y 2 est définie positive car x2 − xy + y 2 =
(x − y)2 + 2y 2 .
2. Montrer que la forme quadratique x2 − 3xy + 2y 2 n’est ni définie positive, ni définie
négative.
Lemme 10 Une forme quadratique Q(x, y) = ax2 + bxy + cy 2 est définie positive (respectivement, définie négative) si, et seulement si, b2 − 4ac < 0 et a > 0 (respectivement,
a < 0)
Preuve. (en cours).
Preuve de la proposition 40 : en cours.
5.2. EXTREMA
5.2.3
57
Extrema liés (ou avec contraintes)
Comme auparavant, on considère une fonction f : A → R définie dans un ouvert de Rm . Il
arrive parfois que l’on ait besoin de chercher un extremum de la fonction f sur seulement
une partie de son ensemble de définition, laquelle partie pourrait être définie par des
égalités, des inégalités ou des deux à la fois. Ces relations, qui réduisent le domaine de
recherche des extrema s’appellent des contraintes.
Exemples :
1. Trouver les cotés x et y d’un rectangle de périmètre fixé à c ∈ R et de surface
maximale revient à trouver les maxima de la fonction f : R2 → R définie par
f (x, y) = xy sur la partie {(x, y) ∈ R2 ; 2x + 2y = c}.
2. Trouver la distance minimale d’un point (x0 , y0 ) à la droite d’équation αx + βy + γ
revient à minimiser la fonction f : R2 → R définie par f (x, y) = (x−x0 )2 + (y−y0 )2
lorsque le point (x, y) varie sur cette droite
Dans le cadre de M 4, nous ne verrons que le cas d’une contrainte donnée par une égalité.
On revient à la fonction f définie sur l’ouvert O. Soit U une partie de Rm définie par
U = {x ∈ O; g(x) = 0}.
On suppose que O ∩ U /= ∅.
Chercher les extrema de la fonction f sur l’ensemble U revient à chercher les extrema de
la restriction f|U : U → R.
Théorème 15 Soient f, g : O → R deux fonctions de classe C 1 sur l’ouvert O de Rm .
Soit U = {x ∈ O; g(x) = 0} et a un point de U tel que dga /= 0 (a n’est pas un point
critique de g). Si la fonction f|U admet un extremum en a, alors il existe un scalaire λ tel
que dfa = λdga .
Preuve. Comme dga /= 0, il existe une dérivée partielle de g en a non nulle qu’on suppose
∂g(a)
égale à la dernière :
. De plus, g(a) = 0. D’après le théorème des fonctions implicites,
∂xm
il existe une boule ouverte de centre ã = (a1 , a2 , . . . , am−1 et de rayon r > 0, B(ã, r), un
intervelle ouvert J =]am − η, am + η[, non vide et une fonction g̃ : B(ã, r) → J de classe
C 1 tel que si x = (x̃, xm ) ∈ B(ã, r) × J, alors
g(x) = g(x̃, xm ) = 0 ⇐⇒ xm = g̃(x̃).
avec
∂g(a)
∂g̃(ã)
∂xi
∀ i ∈ {1, 2, . . . , m − 1},
= −
·
∂g(a)
∂xi
∂xm
Cela signifie en particulier que U ∩ (B(ã, r) × J) = g̃(B(ã, r)). Par conséquent,
∀ x = (x̃, xm ) ∈ U ∩ (B(ã, r)) × J, f (x) = f (x̃, xm ) = f (x̃, g̃(x̃)).
(5.7)
58
CHAPITRE 5. FORMULE DE TAYLOR ET EXTREMA
On considère le diagrame
f
v
B(ã, r) → B(ã, r) × J → Rm
où v(x̃) = (x̃, g̃(x̃)). La fonction composée F = f ◦ v définie par F (x̃) = f (x̃, g̃(x̃)) est
de classe C 1 car c’est la composition de fonctions de classe C 1 et
JF (ã) = Jf (x̃, g̃(x̃)) · Jv(x̃).
Comme

1
0
..
.




Jv(x̃) = 
 0

 ∂g̃(x̃)
∂x1
on a
∀ i ∈ {1, 2, . . . , m − 1},
0
1
..
.
0
∂g̃(x̃)
∂x2
0
0
..
.
···
···
..
.
..
.
0
0
..
.





,

0
1

∂g̃(x̃)
∂g̃(x̃) 
···
∂x3
∂xm−1
∂F (x̃)
∂f (x̃, g̃(x̃))
∂f (x̃, g̃(x̃)) ∂g̃(x̃)
=
+
·
∂xi
∂xi
∂xm
∂xm−1
et d’après la relation 5.7,
∂g(a)
∂F (x̃)
∂f (x̃, g̃(x̃))
∂f (x̃, g̃(x̃)) ∂g̃(ã)
∂xi
=
+
= −
·
∂g(a)
∂xi
∂xi
∂xm
∂xi
∂xm
On pose
∂g(a)
∂g̃(ã)
∂xi
λ = −
= −
·
∂g(a)
∂xi
∂xm
On en déduit :
∀ i ∈ {1, 2, . . . , m − 1},
∂F (ã)
∂f (ã, g̃(ã))
∂f (ã, g̃(ã))
=
−λ
·
∂xi
∂xi
∂xm
Or, ∀ x̃ ∈ U, f|U (x̃) = F (x̃). L’existence d’un extremum lié de f sur U en a équivaut à
celle d’un extremum libre de F en ã. D’après la proposition 39, dFã = 0 et par conséquent,
toutes ses dérivées partielles sont nulles en ã. D’où,
∀ i ∈ {1, 2, . . . , m},
∂f (a)
∂g(a)
= λ
·
∂xi
∂xi
Cela équivaut à dire que
dfa = λdga .
Le scalaire λ est appelé multiplicateur de Lagrange.
5.2. EXTREMA
59
Corollaire 14 Soient f, g : O → R deux fonctions de classe C 1 sur l’ouvert O de R2 .
Soit U = {(x, y) ∈ O; g(x, y) = 0} et (a, b) un point de U tel que dg(a,b) /= 0. Si la
fonction f|U admet un extremum en (a, b), alors le couple (a, b) est solution du système
de deux équations à deux inconnues.


 g(x, y) = 0,



9
 99 ∂f
∂f
9
9
(x, y)
(x, y) 9
9 ∂x
9
∂y


9 ∂g
9 = 0

∂g

9

(x, y)
(x, y) 99
 9
∂x
∂y
Les solutions du système précédent sont des candidats à devenir des extrema locaux relatifs
de la fonction f sous la contrainte g.
Exercice : donner un système d’équations que doit vérifier un extremum local relatif de
la fonction f sous la contrainte g dans le cas où m = 3.
60
CHAPITRE 5. FORMULE DE TAYLOR ET EXTREMA
Chapitre 6
Intégrale double, intégrale triple
6.1
6.1.1
Intégration d’une fonction bornée sur un domaine
borné de R2
Idée intuitive de construction de l’intégrale double
Soit ∆ un ouvert borné de R2 , Γ sa frontière et f : ∆ → R une application bornée,
c’est-à-dire, telle que |f (x, y)| ≤ B pour tout (x, y) ∈ ∆. Comme ∆ est une partie bornée,
il existe un rectangle [a, b] × [c, d] tel que ∆ ⊂ [a, b] × [c, d]. Soit (xi )i=1···n une partition
de [a, b] et (yi )i=1···m une partition de [c, d]. Ces deux partitions définissent un pavage P
de ∆.
61
62
CHAPITRE 6. INTÉGRALE DOUBLE, INTÉGRALE TRIPLE
On introduit les notations suivantes :
∆ij = ∆ ∩ ([xi , xi+1 ] × [yi , yj+1 ]),
Mij =
sup f (x, y) ;
mij =
(x,y)∈∆ij
SP =
!
i,j
Mij aire (∆ij ) et sP =
inf
(x,y)∈∆ij
!
f (x, y),
mij aire (∆ij ).
i,j
6(P) = sup aire(∆ij ).
i,j
On a évidemment sP 2 SP .
Définition 45 On dit que la fonction f est intégrable sur ∆ si les expressions sP et SP
admettent la même limite lorsque l’élément d’aire 6(P) du pavage tend vers zéro. Cette
limite est notée
%%
f (x, y) dxdy.
∆
Théorème 16 (admis) . Toute fonction vcontinue et bornée sur ∆ est intégrable.
Remarque 23 La fonction f : ∆ → R définie par ∀ (x, ) ∈ ∆, f (x, y) = 1 est continue,
donc intégrable. La valeur de son intégrale évalue l’aire de la partie ∆.
%%
aire (∆) =
dx dy.
∆
Une interprétation de l’intégrale
%%
f (x, y) dxdy.
∆
On désigne par S le graphe (qui est une surface) de la fonction f et par C la surface
cylindrique engendrée par les droites parallèles à l’axe Oz et qui passent
% %par la frontière
Γ de ∆. Les quantités sP et SP représentent des volumes dont la limite
f (x, y) dxdy
∆
est égale au volume (algébrique) du domaine de R3 délimité par les surfaces S, C et le
plan xOy.
6.2
Propriétés des intégrales doubles.
1. L’intégrale est une forme linéaire positive : si f est positive,
un nombre positif.
%%
∆
f (x, y) dxdy est
6.2. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES DOUBLES.
63
2. Soit ∆ un ouvert tel que ∆ = ∆0 ∪ ∆1 ∪ δ (voir le dessin ci-dessous) où ∆1 et ∆2
sont deux ouverts et δ une partie d’intérieur vide. Alors,
%%
%%
%%
f (x, y) dxdy =
f (x, y) dx dy +
f (x, y) dx dy.
∆
∆0
∆1
3. Le produit de deux fonctions intégrables est une fonction intégrable.
4. Formule de la moyenne :
¯ = ∆ ∪ Γ ; g est
Soient f et g deux fonctions définies et continues sur le fermé ∆
¯ tel que
supposée positive. Il existe un point (en général, non unique) (x0 , y0 ) ∈ ∆
%%
%%
f gdxdy = f (x0 , y0 )
gdxdy.
∆
∆
En particulier si g = 1.
%%
f dx dy = f (P0 ) aire (∆).
∆
En effet, si f et g sont intégrables sur ∆, leur produit f g est aussi intégrable sur
¯ elles sont bornées.
∆. De plus, comme elles sont continues sur le compact ∆,
Posons
Mf = sup f (x0 , y0 ) ; mf = inf
f (x0 , y0 )
(x0 ,y0 )∈∆
(x0 ,y0 )∈∆
Sachant que la fonction g est positive, on a :
m f g 2 f g 2 Mf g
et donc
mf
%%
∆
gdxdy
2
%%
∆
2
f (x, y)g(x, y) dx dy Mf
%%
∆
g(x, y) dx dy
64
CHAPITRE 6. INTÉGRALE DOUBLE, INTÉGRALE TRIPLE
Par suite, il existe un nombre k tel que mf 2 k 2 Mf et
%%
%%
f (x, y)g(x, y) dxdy = k
g(x, y)dxdy.
∆
∆
D’après le théorème de la valeur intermédiaire, la fonction f étant continue sur un
compact
6.3
6.3.1
Calcul des intégrales doubles
Théorème de Fubini
On suppose, dans cette partie que la frontière Γ du domaine est la réunion de deux graphes
de deux fonctions x !−→ φ1 (x) et x !−→ φ2 (x) définies sur un même intervalle [a, b] (ou
de façon symétrique, de deux fonctions y !−→ ψ1 (y) et y !−→ ψ2 (y) définies sur un même
intervalle [c, d] :
Théorème 17 (théorème de Fubini) Si la fonction f est intégrable sur un domaine
∆ qui vérifie les conditions ci-dessus, alors
;
%%
% b :% f φ1 (x)
f (x, y)dy dx
f (x, y) dx dy =
∆
a
φ0 (x)
6.3. CALCUL DES INTÉGRALES DOUBLES
65
et de façon symétrique
%%
f (x, y) dx dy =
∆
%
c
d
:%
;
ψ1 (y)
f (x, y) dx dy.
ψ0 (y)
"
"
2
"
" 2
Preuve : Avec les notations
% % du paragraphe 1, soit (xi , yj ) ∈ ∆ij . Comme mij f (xi , yi ) Mij ,
on peut calculer I =
f dx dy en prenant la limite
∆
lim
A(P)→0
!
i,j
f (x"i , yi" ) (xi+1 − xi ) (yj+1 − yj )
Successivement on a, en admettant que l’on peut chercher la limite en calculant d’abord
la limite quand le diamètre de la subdivision sur [c, d] tend vers zéro,
!
!
I = lim
(xi+1 − xi )
f (x"i , yi" ) (yj+1 − yj )
d(P)→0
=
i
lim
|xi+1 −xi |→0
% :%
i
f1 (x)
b
=
!
a
j
(xi+1 − xi )
;
f (x, y)dy
f0 (x)
%
f1 (xi )
f (x"i , y) dy
f0 (xi )
dx.
Comme cas particulier, on a,
Corollaire 15 Dans le cas où ∆ est un rectangle ]a, b[×]c, d[ et où f (x, y) = g(x)h(y),
on a
5% b
6 5% d
6
%%
f dx dy =
g(x) dx
h(x) dy .
∆
Exemples
1. Calculer I =
%%
∆
I =
a
c
y dx dy avec ∆ = {(x, y) ; y > 0, x2 + y 22 R2 }.
%
% √R2 −y2
R
y dy
−
0
√
dx = 2
R2 −y 2
=R 2
2<
= − (R2 − y 2 )3/2 0 = R3 .
3
3
%
R
y
0
(
R2 − y 2 dy
2. Calculer l’aire comprise entre la parabole y = x2 et la droite y = x + 2.
A =
%%
dx dy =
∆
=
%
2
−1
%
2
−1
dx
%
x+2
x2
9
(x + 2 − x2 )dx = .
2
dy
66
CHAPITRE 6. INTÉGRALE DOUBLE, INTÉGRALE TRIPLE
6.3.2
Changement de variables
Une autre méthode de calcul est celle du changement de variables, méthode permise
par le théorème suivant.
Théorème 18 ( changement de variables) Soit le changement de variables x =
ϕ(u, v), y = ψ(u, v), où (ϕ, ψ) définit une application de classe C 1 de l’ouvert ∆" sur
l’ouvert ∆. On suppose que le jacobien J de la transformation ne s’annule pas sur ∆" ,
c’est-à-dire pour tout (u, v) ∈ ∆"
 ∂ϕ

∂ϕ
(u, v)
(u, v)


∂v
J(u, v) = det  ∂u
 /= 0
∂ψ
∂ψ
(u, v)
(u, v)
∂u
∂v
On a alors
%%
f (x, y) dx dy =
%%
∆"
∆
f (ϕ(u, v), ψ(u, v)) |J(u, v)| du dv.
Preuve : dans le cours. Application importante : passage aux coordonnées polaires
x = ρ cos θ,
y = ρ sin θ
et J(ρ, theta) = ρ.
Exemples
1. Aire d’un disque ∆, centré à l’origine et de rayon R.
%%
%%
dx dy =
ρ dρ dθ où ∆" =]0, 2π[×]0, R[
"
∆
% 2π∆
% R
=
dθ
ρ dρ = πR2 .
0
0
2. Volume de la sphère, centrée à l’origine et de rayon R
%%
(
V = 2
R2 − x2 − y 2 dxdy
2
2
2
<R
% % x +y
(
4
= 2
R2 − ρ2 ρdρdθ = πR3 .
3
∆"
6.4
Intégrale triple
Soit ∆ un ouvert borné de R3 et f : ∆ → R, une fonction bornée.
% % % La définition donnée
au paragraphe 1se généralise immédiatement avec la notation
f (x, y, z) dx dy dz.
∆
Le “pavage” se fait en prenant des subdivisions des arêtes d’un cube qui contient l’ouvert
∆.
Le calcul d’une telle intégrale se réalise comme celui d’une intégrale double. Nous allons
voir ceci sur des exemples.
Exemples
6.4. INTÉGRALE TRIPLE
1. Calculons I =
%%%
67
xyz dx dy dz.
∆
(a) Si ∆ est le cube [0, 1]3 alors
I=
%
1
x dx
0
%
%
1
y dy
0
1
0
1
z dz = .
8
(b) Prenons maintenant un ouvert plus compliqué
∆ = {(x, y, z) ; x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z < 1}
Fixons x ; alors (x, y, z) ∈ ∆ si et seulement si (y, z) ∈ ∆x .
I=
%
0
1
dx
%%
∆x
xy z dy dz =
%
0
1
xdx
%%
∆x
y z dy dz.
68
CHAPITRE 6. INTÉGRALE DOUBLE, INTÉGRALE TRIPLE
Nous fixons y maintenant. Pour y variant de 0 à 1 − x, z varie de 0 à 1 − x − y.
On a :
% 1
% 1−x
% 1−x−y
I =
xdx
ydy
zdz
0%
0
0
%
1
1−x
1
=
xdx
y((1 − x)2 + y 2 − 2y(1 − x))dy
2 %0
> 0
?1−x
1
2
1
y4 2 3
2y
=
x (1 − x)
+
− y (1 − x)
dx
2 %0
2
4
3
0
1
1
1
=
x(1 − x)4 dx =
24 0
720
2. Changement de variables en coordonnées cylindriques
x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = z,
%%%
Calculons par exemple I =
z dx dy dz où
J(ρ, θ) = ρ.
∆
∆ = {(x, y, z) ; z > 0, x2 + y 2 + z 2 < 1}.
Faisons le changement de coordonnées semi-polaires ; alors (x, y, z) ∈ ∆ si et seulement si (θ, ρ, z) ∈ ∆" avec
∆" = {(θ, ρ, z| ; 0 < θ < 2π , 0 < z < 1 , ρ2 + z 2 < 1}
%%%
% %
alors I =
z ρ dρ dθ dz = 2π
z ρ dρ dz, où
∆"
∆""
∆"" = {(ρ, z) , 0 < z < 1 , ρ2 + z 2 < 1}.
I = 2π
%
1
z dz
%
√
1−z 2
>0 2
?1 0
z
z4
π
= 2π
−
= .
4
8 0
4
ρ dρ = 2π
%
0
1
z(1 − z 2 )
dz
2
6.4. INTÉGRALE TRIPLE
69
3. Changement de variables en coordonnées sphériques
x = ρ sin θ cos ϕ
y = ρ sin θ sin ϕ
z = ρ cos θ
02 f 2 2π ; ρ ≥ 0 ; 02 θ2 π
J(ρ, θ, ϕ) = ρ2 sin θ ≥ 0
Calculons de nouveau le volume de la sphère S de rayon R
%%%
%%%
V =
dx dy dz =
ρ2 sin θ dθ dρ df
∆"
S
où ∆" = {(ρ, θ, f ), 0 < ρ < R, 0 < θ < π, 0 < f < 2π}.
On a donc
%
%
%
R
π
ρ2 dρ
V =
0
2π
sin θdθ
0
0
4
df = πR3
3
70
CHAPITRE 6. INTÉGRALE DOUBLE, INTÉGRALE TRIPLE
Chapitre 7
Fonctions holomorphes
7.1
7.1.1
Rappels sur les nombres complexes
Construction du corps des nombres complexes
On considère le corps des réels R. On définit sur R2 les deux opérations suivantes :
1. (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ),
2. (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).
On vérifie que R2 , muni de ces deux lois, est un corps commutatif dont les éléments neutres
sont (0, 0) par rapport à l’addition et (1, 0) par rapport à la multiplication. On le note C
et on l’appelle corps des nombres complexes. Il est important de remarquer que la partie
R = {(x, 0); x ∈ R}
est un sous-corps de C que nous pouvons identifier, sans risque d’ambiguı̂té, à R. Un réel
x dans C peut être écrit comme un couple (x, 0).
On sait, par ailleurs, que l’équation X 2 + 1 = 0 n’a pas de solutions dans R. Dans
C, cette équation possède comme solution le couple (0, 1). En effet, d’après la règle de
multiplication et l’identification de R et de R , on a :
(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) ≡ −1.
On désigne le nombre complexe (0, 1) par i. Tout autre élément z = (x, y) de C s’écrit
alors z = (x, 0) + (y, 0) · i et, toujours d’après l’identification des ensembles de R et de
R, on obtient la deuxième écriture des nombres complexes :
z = x + iy.
Le nombre réel x est appelé partie réelle de z et le nombre réel y, partie imaginaire.
7.1.1.1
Représentation géométrique
Le corps C est un espace vectoriel sur R de dimension deux. On peut donc le représenter
par un plan rapporté à un repère orthonormé.
71
72
CHAPITRE 7. FONCTIONS HOLOMORPHES
7.1.1.2
Conjugué d’un nombre complexe
On appelle conjugué d’un nombre complexe z = x + iy, le nombre complexe z = x − iy.
Géométriquement parlant, dans un plan rapporté à un repère xOy, la conjugaison est la
symétrie par rapport à l’axe des x.
7.1.1.3
Module d’un nombre complexe
On appelle module d’un nombre complexe z = x + iy le nombre réel positif ou nul
(
x2 + y 2 . Cela correspond à la norme euclidienne du vecteur (x, y).
7.1.1.4
Écriture polaire d’un nombre complexe
On rappelle que, quels que soient deux nombres réels a et b, vérifiant a2 + b2 = 1, il
existe un nombre réel θ ∈ [0, 2π[ tel que cos θ = a et sin θ = b.
Soit z = x + iy un nombre complexe. On suppose que z /= 0. Donc, son module, noté
r (= x2 + y 2 ) est différent de zéro. D’ où
:
;
(
x
y
z = x2 + y 2 (
+i 2
.
x + y2
x2 + y 2
D’après le rappel ci-dessus, il existe un nombre réel θ ∈ [0, 2π[ tel que cos θ = (
y
x
x2 + y 2
et sin θ = (
· D’où la troisième écritue d’un nombre complexe :
x2 + y 2
r(cos θ + i sin θ).
qu’on appelle écriture ou représentation polaire d’un nombre complexe. Le nombre θ,
défini modulo 2π, est appelé argument du nombre complexe z.
7.1.2
Topologie de C
Définition 46 On appelle disque ouvert (repectivement fermé) de centre z0 et de rayon
r ≥ 0, l’ensemble noté ∆(z0 , r) (resp. ∆(z0 , r)) et défini par
∆(z0 , r) = {z ∈ C; |z − z0 | < r;
resp. ∆(z0 , r) = {z ∈ C; |z − z0 | ≤ r}}.
On remarque qu’un disque ouvert (repectivement fermé) correspond à la boule euclidienne
ouverte (repectivement fermée) de R2 . Par conséquent, toutes les notions vues au premier
semestre dans le cas spécifique de R2 (point intérieur, point adhérent, point d’accumulation, partie ouverte, partie fermée et frontière) se définissent de la même manière dans C.
Exemples :
1. L’ensemble C∗ = C \ {0} est un ouvert.
2. L’ensemble R− = {(x, 0) ∈ R2 ; x ≤ 0} est un fermé de R2 et son complémentaire,
un ouvert. On l’appelle demi-droite négative.
7.2. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS COMPLEXES À VARIABLE COMPLE
3. L’ensemble R + i[−π, +π[ = {x + iy; x ∈ R et y ∈ [−π, π[} ⊂ C n’est ni un
ouvert, ni un fermé.
Ces deux ensembles interviennnent beaucoup dans la définition de certaines fonctions
élémentaires à variable complexe.
7.1.3
Suites de nombres complexes
Un suite de nombres complexes est une application de N, privé éventuellement d’un
nombre fini d’éléments, dans C. La suite n !−→ zn est notée (zn ) et zn est appelé terme
général.
Définition 47 Une suite de nombres complexes (zn ) est convergente s’il existe z ∈ C tel
que
∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N; si n > n0 , alors |zn − z| < ε.
n
sin(n2 )
+
i
converge vers i tandis que
n2 + 1
n2 + 1
1
la suite de terme général wn = cos(n) + i sin( ) n’est pas convergente.
n
Remarque 24 La suite de nombres complexes (zn ) = (xn + iyn ) est congergente si, et
seulement si, les suites (xn ) et (yn ) le sont dans R, muni de la valeur absolue.
Exemple : la suite de terme général zn =
Remarque 25 Le module d’un nombre complexe est égal à sa norme au sens euclidien.
Par conséquent, la suite de nombres complexes (zn ) converge vers z = (x, y) si, et seulement si, la suite de couples ((xn , yn )) converge dans R2 au sens de la norme euclidienne
ou de toute autre norme (puisque nécessairement équivalente à la norme euclidienne).
7.2
Continuité et dérivabilité des fonctions complexes
à variable complexe
Dans toute la suite de ce chapitre, on s’interessera aux fonctions définies dans une partie
de C et à valeurs dans C. Ce sont des fonctions complexes à variable complexe.
Exemples :
1. f : C → C où f (z) = z 2 − (2 + i)z + (1 − i).
d
az + b
2. f : C\{− } → C où f (z) =
; a, b, c, d ∈ C et c /= 0 (fonction homographique),
c
cz + d
3. f : C → C où f (z) = z
4. f : C → C où f (z) = Re(z).
Remarque 26 Une fonction f : A → C définie sur une partie A de C peut être écrite en
utilisant les parties réelles et imaginaires de l’antécedent et de l’image. Cela nous donne
une fonction de A, en tant que partie de R2 dans R2 . En posant P (x, y) = Ref (z) et
Q(x, y) = Imf (z), on a
f (z) = f (x + iy) = Ref (z) + iImf (z) = P (x, y) + iQ(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)).
74
CHAPITRE 7. FONCTIONS HOLOMORPHES
Ainsi, les exemples précédents de fonctions complexes à variable complexe correspondent
aux fonctions
1. (P, Q) : R2 → R2 où (P (x, y), Q(x, y)) = (x2 − y 2 − 2x + y + 1, 2xy − x − 2y − 1),
2. Cas où a = − b = c = d = 1 :
(P, Q) : R2 \ {(−1, 0)} → R2 où (P (x, y), Q(x, y)) = (
3. (P, Q) : R2 → R2 où (P (x, y), Q(x, y)) = (x, −y),
x2 + y 2 − 1
2y
),
,
2
2
(x − 1) + y (x − 1)2 + y 2
4. (P, Q) : R2 → R2 où (P (x, y), Q(x, y)) = (x, 0).
7.2.1
Fonctions bornées
Une fonction f : A → C définie sur une partie A de C est bornée si
∃ M > 0; ∀ z ∈ A, |f (z)| ≤ M.
Plus loin, on verra des fonctions élémentaires non bornées sur C et dont la restriction est
bornée dans R.
7.2.2
Fonctions continues
On définit de manière analogue aux fonctions de deux variables et à valeurs dans R2 les
notions de limite et de continuité.
Définition 48 Soit A un partie non vide de C et a un point d’accumulation de A. Une
fonction f : A \ {a} → C admet une limite l ∈ C si
∀ ε > 0, ∃ η > 0 tel que ∀z ∈ A \ {a} et |z − a| < η, on a |f (z) − l| < ε.
On écrit lim f (z) = l ou f (z) → l quand z → a.
z→a
Définition 49 Soit A un partie non vide de C et a un point de A. Une fonction f : A → C
est continue en a ∈ C si
lim f (z) = f (a)
z→a
Remarque 27 La fonction f : A → C est continue en a = a1 + ia2 = (a1 , a2 ) si, et
seulement si, la fonction (P, Q) correspondante est continue en (a1 , a2 ).
De cette remarque, on déduit que les propositions vues au chapitre 2, sur la somme, la
multiplication par un scalaire (ici, complexe) et la composition restent vraies pour les
fonctions complexes à variables complexe.
Concernant le produit de deux fonctions continues en a = (a1 , a2 ) ∈ A, on peut se ramener
à un couple de fonctions réelles à deux variables réelles continues en (a1 , a2 ).
Exemples : les fonctions définies ci-dessus sont toutes continues dans leurs domaines de
définition respectifs.
7.2. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS COMPLEXES À VARIABLE COMPLE
7.2.3
Fonctions holomorphes
Définition 50 Une fonction f : O → C définie sur une partie O de C est dérivable ou
holomorphe en un point a, intérieur de O, si la limite du rapport (défini sur O \ {z0 })
f (z) − f (z0 )
z − z0
df
existe, quand z tend vers z0 . On la note f " (z0 ) ou
(z0 ).
dz
On dit que la fonction f est holomorphe sur O si elle est holomorphe en tout point de O.
Exemples :
1. La fonction f : C → C où f (z) = zRe(z) est dérivable en 0.
2. La fonction f : C → C où f (z) = z 2 − (2 + i)z + (1 − i) est holomorphe partout sur
C.
3. La fonction f : C → C où f (z) = z n’est holomorphe en aucun point de C.
Proposition 41 Un fonction f : O → C définie sur un ouvert O de C est holomorphe
si, et seulement si, il existe un nombre réel δ > 0, un nombre complexe α et une fonction
ε : B(0, δ) → C tels que
1. lim ε(h) = 0,
h→0
2. ∀ h ∈ B(0, δ) \ {0}, f (z0 + h) − f (z0 ) = α.h + |h|ε(h).
Preuve : analogue à celle de la proposition 3.2.
Remarque 28 (importante) La fonction définie dans le troisième exemple ci-dessus
(f (z) = z) est linéaire. Le couple de fonctions réelles à deux variables réelles, (P, Q), qui
la représentent est bien sûr linéaire : (P (x, y), Q(x, y)) = (x, −y). En tant qu’application
de R2 dans R2 , elle est donc différentiable (et même de classe C ∞ ). Pourtant, la fonction
f n’est pas dérivable, et donc, n’est pas différentiable au sens de la proposition (41).
La différentiabilité de f n’équivaut donc pas à la différentiabilité de (P, Q). Le lien entre
ces deux propriétés est précisée dans le théorème suivant.
Théorème 19 Soit une fonction f : O → C définie sur un ouvert O de C. On note P
et Q les fonctions réelles à deux variables réelles définies par P (x, y) = Ref (x + iy) et
Q(x, y) = Imf (x + iy). La fonction f est dérivable en z0 = x0 + iy0 si, et seulement si,
les fonctions P et Q sont différentiables en (x0 , y0 ) et
∂Q
∂P
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 )
∂x
∂y
et
∂P
∂Q
(x0 , y0 ) = −
(x0 , y0 ).
∂y
∂x
(7.1)
Preuve : en cours.
Les relations 7.1 sont appelées les “conditions de Cauchy - Riemann”. En réalité, il serait
plus juste de les appeler “conditions de D’Alembert - Euler” car, ces deux mathématiciens
les ont utilisées bien avant Cauchy et Riemann dans leurs travaux en cartographie, hydrodynamique et calcul intégral.
Grâce à ce théorème, on comprend, sans passer par la définition, pourquoi la fonction
linéaire z !−→ z n’est pas dérivable (ou n’est pas holomorphe).
76
CHAPITRE 7. FONCTIONS HOLOMORPHES
Corollaire 16 On reprend les notations du théorème précédent. Si f est dérivable en
z0 = x0 + iy0 , alors
f " (z0 )
=
=
∂P
∂Q
∂Q
∂P
(x0 , y0 ) + i
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ) − i
(x0 , y0 )
∂x
∂x
∂y
∂y
∂P
∂P
∂Q
∂Q
(x0 , y0 ) − i
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ) + i
(x0 , y0 ).
∂x
∂y
∂y
∂x
(7.2)
Remarque 29 De ces expressions découle l’égalité :
|f " (z0 | = det(Jacobienne(P, Q)(x0 , y0 )).
7.2.3.1
Règles de dérivabililité des fonctions holomorphes
1. Si les fonctions f, g : O → C sont holomorphes en a ∈ O, alors la somme f + g est
holomorphe en a et
(f + g)" (a) = f " (a) + g " (a).
2. Si les fonctions f, g : O → C sont holomorphes en a ∈ O, alors le produit f g est
holomorphe en a et
(f g)" (a) = f " (a)g(a) + f (a)g " (a).
3. Si les fonctions f, g : O → C sont holomorphes en a ∈ O et si g ne s’annule pas dans
f
une boule ouverte contenant a, alors le quotient est holomorphe en a et
g
f
f " (a)g(a) − f (a)g " (a)
( )" (a) =
.
g
g 2 (a)
f
g
4. Soit le diagramme suivant : O1 → O2 → C où O1 et O2 sont des ouverts de C. Si f
et g sont holomorphes respectivement ne a et f (a), alors g ◦ f est holomorphe en a
et (g ◦ f )" (a) = g " (f (a))f " (a).
Exemples :
1. Une fonction polynomiale à variable complexe est holomorphe.
2. Une fonction homographique est holomorphe là où elle est définie.
7.3
Quelques exemples de fonctions holomorphes
On a déjà vu les fonctions polynomiales et les fonctions homographiques.
7.3.1
Fonction puissance
On va étudier dans ce paragraphe les fonctions qui à z ∈ C associent z α , où α est un
nombre réel.
On suppose que n est un entier positif non nul. La fonction F : C → C définie par F (z) =
z n est monomiale (donc polynomiale). Elle est dérivable partout sur C et f " (z) = nz n−1 .
7.3. QUELQUES EXEMPLES DE FONCTIONS HOLOMORPHES
77
Si l’on pose, pour tout nombre complexe non nul z, z = r(cos α + i sin α), Z = F (z) et
Z = R(cos β + i sin β), on obtient les relations
R = rn
et
β = nα.
On restreint les ensembles de départ et d’arrivée de telle sorte à déduire de F une fonction
π π
bijective. On considère l’ensemble Dn" = { z ∈ C; arg(z) ∈ ] − , ] }. La fonction
n n
f : Dn" → C définie par f (z) = z n est bijective et continue. Elle admet une réciproque
notée G qui est continue seulement sur C \ R− (dire pourquoi).
π π
√
Proposition 42 L’application g : C\R− →] , [, (notée aussi n
), définie par g(z) =
n n
1
Z ↔ z = Z n est holomorphe et g " (z) = √
.
n
n z n−1
Preuve : en cours.
7.3.2
Fonction exponentielle
On suppose connue la fonction exponentielle réelle (de R dans R) que l’on note e. On
définit la fonction exponentielle sur C par
exp(z) = exp(x + iy) = ex (cos y + i sin y).
D’après la remarque 27, la fonction (P, Q) correspondante définie par (P (x, y), Q(x, y)) =
(ex cos y, ex sin y), est continue et, en tant que fonction de R2 dans R2 , elle est de classe
C ∞ . De plus, elle vérifie les conditions de Cauchy - Riemann. Par conséquent, d’après le
théorème 19, la fonction f est dérivable partout sur C et d’après le corollaire qui suit ce
théorème,
f " (z) =
∂Q
∂P
(x0 , y0 ) + i
(x0 , y0 ) = ex cos y + iex sin y = exp(z).
∂x
∂x
La restriction de la fonction exponentielle exp à R coincide avec l’exponentielle réelle.
7.3.2.1
Propriétés de la fonction exp
1. En utilisant la propriété de la fonction complexe réelle et les formules trigonométriques,
on établit que
∀ z, z " ∈ C, exp(z + z " ) = exp(z) + exp(z " ).
2. La fonction exp n’est pas injective car exp(z + 2kπ) = exp(z), ∀ k ∈ Z.
3. La fonction exp n’est pas surjective car 0 n’a pas d’antécédent.
78
7.3.3
CHAPITRE 7. FONCTIONS HOLOMORPHES
Fonction logarithme
Revenons à la fonction exp définie sur C. On considère la fonction que l’on note aussi
(abus d’écriture) exp définie par
exp : R + i[−π, +π[ → C∗
z !−→ exp(z)
On remarque que cette nouvelle fonction est bijective. Elle admet donc une réciproque
que l’on note Log, définie par
z = exp Z
Z = Log(z)
⇐⇒
.
∗
Z ∈ R + i[−π, +π[
z ∈ C
Si l’on pose Log(z) = x + iy pour z = r(cos θ + i sin θ) ∈ C∗ , on a d’une part Log(z) ∈
R + i[−π, +π[ et d’autre part z = exp(x + iy) = ex (cos y + i sin y) = r(cos θ + i sin θ).
On en déduit que Log(z) = ln(r) + i arg z avec arg z ∈ [−π, +π[. D’où
∀ z ∈ C∗ , Log(z) = ln(|z|) + i arg(z),
avec
arg(z) ∈ [−π, +π[.
Remarque 30 Il existe plusieurs façons de définir la fonction logarithme dans C∗ en
choisissant tel ou tel ensemble de départ de la fonction exp. Si l’on prenait, par exemple la
restriction de cette dernière fonction à R + i[π, 3π[, ou de manière générale à R + i[α, α+
2π[, (α ∈ R), on définit une fonction réciproque, appelée toujours fonction logarithme,
˜ α , on aura
qui prend des valeurs différentes de la première : si on la note Log
˜ α (z) = ln(|z|) + iarg(z),
Log
avec
arg(z) ∈ [α, α + 2π[.
Revenons à la fonction Log. Elle n’est pas continue partout sur C∗ (pourquoi ?). Sa restriction à C \ R− , notée L est continue. De plus, on a ausi :
Proposition 43 La fonction logarithme L : C \ R− → R + i] − π, π[ définie par L(z) =
1
ln(|z|) + i arg(z) est holomorphe et L" (z) = .
z
Preuve : en cours
7.3.4
Fonctions trigonométriques
On définit les fonctions trigonométriques sin et cos sur C à l’aide de la fonction exponetielle :
exp(iz) + exp(−iz)
exp(iz) − exp(−iz)
cos(z) =
et
sin(z) =
.
2
2i
Ces fonctions prolongent les fonctions réelles cos et sin définies sur R à tout C. Il faut
remarquer toutefois que si les fonctions réelles cos et sin sont bornées, les fonctions complexes cos et sin ne le sont pas.
Proposition 44 Les fonctions cos et sin sont holomorphes et
cos" (z) = − sin(z),
Preuve : en cours
et
sin" (z) = cos(z).
Table des matières
0 Notions métriques dans Rm
0.1 Normes. Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.1 Définitions générales et exemples . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.2 Boules ouvertes, boules fermées . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.3 Points intérieurs, points adhérents et points d’accumulation .
0.2 Suites dans les espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.1 Définitons et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.2 Limite d’une suite d’éléments de Rm . . . . . . . . . . . . . .
0.2.3 Caractérisation des points adhérents et d’accumulation à l’aide
suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3 Compacité et convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.1 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.2 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4 Annexe : les espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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des
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. 9
. 9
. 9
. 11
. 11
1 Applications continues
1.1 Exemples d’applications d’une partie de Rm dans Rp . . . . . .
1.1.1 Applications linéaires et affines de Rm dans Rp . . . . . .
1.1.2 Applications d’une partie de Rm dans R . . . . . . . . .
1.1.3 Fonctions vectorielles d’une ou de deux variables réelles .
1.1.4 Coordonnées polaires, sphériques et cylindriques . . . . .
1.1.5 Applications polynomiales de Rm dans Rp . . . . . . . .
1.2 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Continuité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Exemples d’applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Fonctions “normes” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Cas des fonctions scalaires définies dans un ouvert de R2 .
1.5 Continuité et compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
5
6
8
8
8
13
13
13
13
14
15
16
16
17
17
17
19
20
21
21
21
22
22
22
80
TABLE DES MATIÈRES
2 Applications différentiables,
dérivées partielles
2.1 Définition et exemples fondamentaux . . . . . . . . .
2.1.1 Introduction et définition . . . . . . . . . . . .
2.2 Propriétés des fonctions différentiables . . . . . . . .
2.2.1 Espace vectoriel des fonctions différentiables .
2.2.2 Produit de fonctions différentiables . . . . . .
2.2.3 Inverse d’une fonction différentiable . . . . . .
2.2.4 Composition d’applications différentiables . .
2.3 Exemples fondamentaux d’applications différentiables
2.3.1 Fonctions vectorielles à variable réelle . . . . .
2.3.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . .
2.4 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Dérivées dans une direction . . . . . . . . . .
2.4.2 Gradient et jacobienne . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . . .
3 Surfaces de R3
3.1 Quelques exemples de surfaces de R3
3.2 Surfaces définies par une équation . .
3.2.1 Vecteurs et plans tangents . .
3.3 Surfaces paramétrées . . . . . . . . .
3.3.1 Vecteurs et plans tangents . .
3.3.2 Surfaces de révolution . . . .
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25
25
25
28
28
29
29
29
30
30
30
31
31
31
33
35
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37
37
37
37
39
40
40
4 Théorème des fonctions
4.1 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . .
4.1.1 Exemple introductif et énoncé du théorème .
4.1.2 Lemmes techniques . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Preuve du théorème des fonctions implicites
4.2 Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . .
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43
43
43
44
46
48
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5 Formule de Taylor et extrema
5.1 Formule de accroissements finis, formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Formule des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Formule de Taylor pour les fonctions réelles à variable réelle (Rappel)
5.1.5 Formule de Taylor pour les fonctions réelles à plusieurs variables
réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Extrema libres (ou sans contraintes) . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Extrema liés (ou avec contraintes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
51
51
52
53
53
53
54
54
55
57
TABLE DES MATIÈRES
6 Intégrale double, intégrale triple
6.1 Intégration d’une fonction bornée sur un domaine borné de
6.1.1 Idée intuitive de construction de l’intégrale double .
6.2 Propriétés des intégrales doubles. . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Calcul des intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Intégrale triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
R
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2
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7 Fonctions holomorphes
7.1 Rappels sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Construction du corps des nombres complexes . . . . . . . . .
7.1.2 Topologie de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Suites de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Continuité et dérivabilité des fonctions complexes à variable complexe
7.2.1 Fonctions bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Quelques exemples de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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61
61
61
62
64
64
66
66
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71
71
71
72
73
73
74
74
75
76
76
77
78
78
82
TABLE DES MATIÈRES
Table des figures
83
84
TABLE DES FIGURES
Liste des tableaux
85

Chapitre 0 Notions métriques dans R

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