Chapitre 0 Notions métriques dans R

Chapitre 0
Notions m´etriques dans Rm
Le module M3 traite essentiellement des fonctions `a plusieurs variables r´eelles, c’est-`a-dire,
des fonctions d´efinies sur une partie de Rm. Au d´ebut, il comporte les notions fondamen-
tales de limite, de continuit´e et de diff´erentiablit´e. Les deux premi`eres ont ete d´eja vues
dans le cadre de M1, pour les fonctions r´eelles `a variable r´eelle. Pour les g´en´eraliser aux
fonctions `a plusieurs variables, nous avons besoin de la d´efinition d’une norme, d´efinition
qui g´en´eralise la valeur absolue dans R.
0.1 Normes. Espaces vectoriels norm´es
0.1.1 D´efinitions g´en´erales et exemples
On d´esigne par R+l’ensemble des nombres r´eels ou nul et par R∗
+l’ensemble des nombres
r´eels strictement positifs.
D´efinition 1 Soit Eun espace vectoriel sur le corps des nombres r´eels R. On appelle
norme sur E, toute application
N:E!−→ R+
qui verifie les propri´et´es suivantes :
1. N(x)=Osi, et seulement si, x=OE,
2. ∀λ∈R,∀x∈E, on a N(λx)=|λ|N(x),
3. ∀x, y, ∈E,N(x+y)≤N(x)+N(y).
Exemples
1. On pose E=Rnet
N1(x)=
n
!
1|xi|,N
2(x)=
"
#
#
$
n
!
1
(xi)2,N
3(x) = max
i=1,...,n(|xi|).
Ces trois applications d´efinissent des normes dans Rn(`a montrer). Que deviennent-
elles lorsque n= 1 ?
3

4CHAPITRE 0. NOTIONS M ´ ETRIQUES DANS RM
2. Soit E=C([a, b],R), l’espace vectoriel des fonctions r´eelles continues sur l’intervalle
[a, b] non vide. On v´erifie que les applications
N",N
"",N """ :C([a, b]) !−→ R+,
d´efinies par
N"(f)=%b
a|f(t)|dt N""(f)=&%b a
(f(t))2dt et N"""(f) = sup
t∈[a,b]|f(t)|
sont des normes.
D´efinition 2 Un espace vectoriel Esur Rmuni d’une norme Nou ||.|| est appel´e espace
vectoriel norm´e. On le note (E, N)ou (E,||.||).
Remarque 1 Les normes Ni,i ∈{1,2,3}, d´efinies ci-dessus, v´erifient les in´egalit´es :
∀j=1, . . . , m, |xj|≤Ni(x)=N(x1, . . . , xm).
En fait, les espaces vectoriels norm´es font partie d’une classe d’ensembles plus large que
constituent les espaces m´etriques.
D´efinition 3 On appelle espace m´etrique tout ensemble Emuni d’une distance, c’est-`a-
dire, d’une application d:E×E!→ R+qui v´erifie les propri´et´es suivantes :
1. ∀x, y ∈E, d(x, y)=d(y, x),
2. ∀x, y ∈E, on a d(x, y) = 0 ⇔x=y,
3. ∀x, y, z ∈E, on a d(x, y)≤d(x, z)+d(z, y).
On le note (E, d).
Exemples :
1. Soit Eun ensemble quelconque. Il est clair que l’application d:E×E!→ R+d´efinie
par
d(x, y)='0 si x=y
1 sinon
est une distance. On l’appelle distance discr`ete.
2. Le couple (R,d) o`u d(x, y)=|ex−ey|est un espace m´etrique.
Comme nous le disions plus haut, tout espace vectoriel norm´e peut-ˆetre consid´er´e comme
un espace m´etrique car :
Proposition 1 Toute norme Nd´efinie sur un espace vectoriel Einduit une distance d
sur cet espace.
Preuve : poser d(x, y)=N(x−y) et montrer qu’alors, dest une distance (exercice).
D’apr`es cette proposition, toutes les notions que nous verrons dans le cadre des espaces
vectoriels norm´es sont m´etriques. C’est pour cela que nous avons intitul´e ce chapitre
“Notions m´etriques dans Rm”.

0.1. NORMES. ESPACES VECTORIELS NORM ´ ES 5
0.1.2 Boules ouvertes, boules ferm´ees
Dans ce paragraphe, (Rm,||.||) d´esigne l’espace vectoriel Rmmuni de l’une des trois normes
classiques introduites ci-dessus. Les d´efinitions qui suivent sont essentielles pour toute la
suite du cours.
D´efinition 4 On appelle boule ouverte de centre x0∈Rmet de rayon r∈R+, la partie
de Rm, not´ee B(x0,r)et d´efinie par
B(x0,r)={x∈Rm,||x−x0|| <r}.
On appelle boule ferm´ee de centre x0∈Rmet de rayon r∈R+, la partie de Rm, not´ee
B(x0,r)et ´egale `a
B(x0,r)={x∈Rm,||x−x0|| ≤r}).
Exemples :
1. Dans Rmuni de la valeur absolue, les intervalles ouverts ]α,β[ sont des boules
ouvertes de centres α+β
2et de rayon β−α 2
2. Une boule ouverte (ferm´ee) de (R2,||.||2) est le disque habituel sans le contour (avec
le contour). Qu’en-est-il des boules ouvertes ou ferm´ees dans (R2,||.||1) et (R2,||.||3)?
D´efinition 5 Une partie Ade Rmest un ouvert de (Rm,||.||)si elle v´erifie la propri´et´e
suivante :
x∈A=⇒∃rx>0tel que B(x, rx)⊂A.
D´efinition 6 Une partie Ade Rmest un ferm´e de (Rm,||.||)si son compl´ementaire est
un ouvert de (Rm,||.||).
Ces deux d´efinitions sont capitales.
Avant de passer aux exemples d’ouverts et de ferm´es, il est utile de pr´eciser une propri´et´e
importante que v´erifient deux normes ´equivalentes.
D´efinition 7 Soient N, N":Rm!−→ R+deux normes d´efinies sur l’espace vectoriel Rm.
On dit que Net N"sont ´equivalentes si,
∃α,β∈R∗
+;∀x∈E, αN(x)≤N"(x)≤βN(x).
Remarque 2 la double in´egalit´e pr´ec´edente d´efinit une relation d’´equivalence sur l’en-
semble de toutes les normes dans Rm(exercice).
Cette d´efinition a pour cons´equence le fait important suivant :
Proposition 2 Soient Net N"deux normes ´equivalentes d´efinies sur un espace vectoriel
Rm. Alors, une partie A⊂Rmest ouverte au sens de N(rep. ferm´ee) si et seulement si,
elle est ouverte (resp. ferm´ee) au sens de N".
Preuve : (en cours)
Exemples de normes ´equivalentes :
Les normes N1,N
2et N3, d´efinies ci-dessus dans Rm, sont ´equivalentes (cours).

6CHAPITRE 0. NOTIONS M ´ ETRIQUES DANS RM
Remarques 1
1. Bien qu’elles d´efinissent les mˆemes ouverts, deux normes ´equivalentes ne d´efinissent
pas toujours les mˆemes boules.
2. Les exemples de normes non ´equivalentes se trouvent dans les espaces vectoriels
de dimension infinie car, en licence, on montre que dans les espaces vectoriels de
dimension finie, tels que Rmou Cm, toutes les normes sont ´equivalentes.
Exemples d’ouverts et de ferm´es :(`a traiter en cours)
1. Les ensembles ∅et Rnsont `a la fois des ouverts et des ferm´es de (Rn,||.||i),i=1,2,3.
2. Une boule ouverte est un ouvert et une boule ferm´ee est un ferm´e (exercice).
3. L’ensemble {(x, y)∈R2;x>0 et y>0}est un ouvert de (R2,||.||i).
4. Les ensembles {(x, y)∈R2;x≥0 et y≥0}et {(x, y)∈R2;x=y}sont des
ferm´es de R2.
0.1.3 Points int´erieurs, points adh´erents et points d’accumula-
tion
D´efinition 8 Soit (Rm,||.||)un espace vectoriel norm´e et Aune partie de Rm. Un point
x0∈Aest un point int´erieur de As’il existe une boule ouverte, de centre x0et de rayon
strictement positif, incluse dans A. Autrement dit :
∃r∈R∗
+;B(x0,r)⊂A.
D´efinition 9 Soit (Rm,||.||)un espace vectoriel norm´e et Aune partie de Rm. Un point
x0∈Eest un point adh´erent de Asi toute boule ouverte de centre x0et de rayon
strictement positif a une intersection avec Anon vide. Autrement dit :
∀r∈R∗
+,B(x0,r)∩A/=∅.
D´efinition 10 Soit (Rm,||.||)un espace vectoriel norm´e et Aune partie de E. Un point
x0∈Eest un point d’accumulation de Asi toute boule ouverte de centre x0et de rayon
strictement positif a une intersection avec Apriv´ee de x0non vide. Autrement dit :
∀r∈R∗
+,(B(x0,r)\{x0})∩A/=∅.
Il est clair qu’un point d’accumulation d’une partie est un point adh´erent de la mˆeme
partie.
D´efinition 11 Soit (Rm,||.||)un espace vectoriel norm´e et Aune partie de Rm.
1. On appelle int´erieur de Al’ensemble not´e o
Aet form´e de tous les points int´erieurs
de A:o
A={x∈A;∃r>0,B(x, r)⊂A}.

0.1. NORMES. ESPACES VECTORIELS NORM ´ ES 7
2. On appelle adh´erence ou fermeture de Al’ensemble not´e Aet form´e de tous les
points adh´erents de A:
A={x∈Rm;∀r>0,B(x, r)∩A/=∅}.
3. On appelle fronti`ere de Al’ensemble not´e Fr(A)ou ∂Aet ´egal `a A\o
A.
Remarques 2
1. Un point int´erieur (adh´erent ou d’accumulation) ne change pas de nature si l’on
remplace la norme de l’espace par une norme ´equivalente (`a montrer). Cela signifie
en particulier que ces d´efinitions correspondent aux mˆemes objets dans les espaces
vectoriels norm´es (Rn,||.||1),(Rn,||.||2)et (Rn,||.||3).
2. Bien sˆur que quelle que soit la partie Ade Rn, on a
o
A⊂A⊂A.
3. Si Aest un ouvert, alors o
A=Aet si Aest un ferm´e, alors A=A.
Exemple fondamental :
1. On munit Rde la valeur absolue. Trouver l’int´erieur, l’adh´erence et la fronti`ere de
Net de Q. Existe-t-il des points d’accumulation de Net de Q?
Autres exemples :
Ici, R2est muni de l’une des trois normes classiques.
1. Trouver les points int´erieurs, adh´erents et d’accumulation de la partie
A={(x, y)∈R2;x>0, y > 0 et x2+y2≤1}.
2. Trouver les points int´erieurs, adh´erents et d’accumulation de la partie
B={(x, y)∈R2;x<0}∪(N×{0}).
3. D´eterminer la fronti`ere des ensembles Aet Bd´efinis dans les exemples pr´ec´edents.
Proposition 3
1. L’int´erieur d’une partie est le plus grand ouvert inclus dans la partie.
2. L’adh´erence d’une partie est le plus petit ferm´e qui inclut la partie.
Preuve : (en cours)