1 BROCHURE D`EXERCICES D`ANALYSE 2 Intégrale indéfinie

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BROCHURE D’EXERCICES D’ANALYSE 2
Intégrale indéfinie, intégrale définie et équations différentielles du premier ordre
avec réponses et corrigés par
OSMANOV H. et KHELIFATI S
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Chapitre VIII. Intégrale indéfinie. Calcul intégral.
L’intégrale indéfinie est le problème inverse de la recherche de la dérivée d’une fonction
donnée.
§1. Primitives. Intégrale indéfinie.
VIII.1.Notion de primitives d’une fonction. Soit fune fonction définie sur un intervalle
IR. On cherche une fonction Fdéfinie et dérivable sur Ivérifiant:
Fxfx,xI. (1)
Définition. On appelle primitive de f sur I toute fonction F définie et dérivable sur I,
vérifiant l’équation (1).
Théorème. Si f admet une primitive, alors elle en admet une infinité et si F,G sont deux
primitives de f sur I, alors il existe une constante c Rtelle que :
FxGxc,xI.
VIII.2. Intégrale indéfinie.
Définition. On appelle intégrale indéfinie de f sur I Rl’ensemble des primitives de f
sur I,si elles existent, qu’on note fxdx,xI.
Si Fest une primitive de f, alors on écrit :
fxdx Fxc,cR.
En pratique, on désigne souvent par l’intégrale indéfinie une certaine fonction primitive au
lieu de l’ensemble des primitives de f.
VIII.3. Existence de l’intégrale indéfinie. Pour l’existence de l’intégrale indéfinie d’une
fonction f, c’est à dire d’une primitive, on a la condition suffisante suivante:
Théorème. Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle.
Conséquence. Les fonctions élémentaires réelles admettent toutes des primitives.
Remarque. Il existe des fonctions n’admettant de primitives au sens de la définition donnée.
§2.Calcul intégral.

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L’opération de recherche de l’intégrale indéfinie est appelée intégration ou primitivisation
et pour cela, on dit souvent intégrer une fonction au lieu de calculer son intégrale indéfinie.
VIII.4. Propriétés fondamentales de l’intégrale indéfinie. Les propriétés suivantes sont
vraies:
i) fxgxdx fxdx gxdx ;
ii) fxdx fxdx ,R;
iii)fxdx fxou dfxdx fxdx;
iv)dFxFxc;
v) si fxdx Fxc, alors fax bdx 1
aFax bc.
VIII.5. Table des principales intégrales indéfinies. A partir de la table des dérivées des
fonctions élémentaires, on établit la table suivante des primitives de fonctions élémentaires:
i) 0dx c;
ii)xdx x1
1c,R, 1,
iii) axdx ax
logaca0, a1;exdx exc,xR;
iv) dx
xlog|x|cx0;
v)sinx dx cosxc;cosx dx sinxc,xR;
vi)dx
cos2xtgxc,x
2k;dx
sin2xctgxc,xk,kZ;
vii) dx
1x2arcsinxc,
arccosxc,,1x1 ;
viii)dx
1x2arctgxc,
arcctgxc,,xR;

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ix)shx dx chxc,xR;chx dx shxc,xR;
x) dx
ch2xthxc,xR;dx sh2xcthxc,x0;
xi)dx
1x2log x1x2cargshxc,xR;
xii) dx
x21log xx21c|x|1;
xiii)dx
1x21
2log 1x 1xc
argthxc1x1,
argcthxc|x|1..
VIII.6. Méthode directe d’intégration. Cette méthode consiste, grâce aux propriétés des
intégrales et aux transformations sur la fonction à intégrer, à utiliser la table des principales
primitives .
Exemples.
sinx2x2x3
1x2dx sinxdx 2x2dx x dx 3dx 1x2
cosx2
3x32 3x33arctgxc.
VIII.7. Méthode du changement de variable. Parmi les méthodes d’intégration les plus
effectives, il y a la méthode du changement de variable qui consiste à écrire la fonction à intégrer
fsous la forme fxgx.x. On a le théorème suivant:
Théorème 1. Soient fxgx.x,et x txdéfinie et dérivable sur un
intervalle IxR.Si la fonction t ygtadmet une primitive Gtsur un intervalle It
tel que IxIt, alors la fonction fxgxxadmet une primitive sur Ixet on a
fxdx gx.xdx Gx c,cR. (2)
En particulier le théorème est vrai si g,et sont continues.
Méthode pratique. Soit à calculer fxdx qui peut se mettre sous la forme
fxdx gxxdx telle que gadmet une primitive G, alors, d’après le théorème, on

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pose tx,dt xdx. Dans ce cas, on a
fxdx gtdt GtcGx c.
Exemple. Calculer Fxsinx.cosx dx. Remarquons tout d’abord que
sinx.cosxdx sinxsinxdx sinx dsinx.
Ainsi, en posant tsinx, on obtient :
sinx.cosxdx t dt 2
3t3/2 c2 3sin3/2xc.
Parfois le changement de variable n’est pas visible et on peut, dans certains cas, poser
xt. Plus précisément, on a le théorème suivant:
Théorème 2. Soient f une fonction continue sur I et :JI une fonction inversible
telle que C1J. Alors, en posant x t,on obtient la formule
fxdx fttdt gtdt Gtc, (3)
avec t1xx,dx tdt et Gune primitive de g. On revient ensuite à la
variable xen remplaçant t1x, d’où
fxdx G1x c. (4)
Cette méthode est dite méthode de substitution.
Exemple. Calculer dx
x2a23/2 . Dans cet exemple, le changement de variable n’est pas
visible et il est préférable d’utiliser le théorème 2 en faisant le changement suivant:
xtatgt. Dans ce cas, on a
dx adt
cos2t,x2a23/2 a3 cos3t,
et en remplaçant dans l’intégrale, on obtient, après quelques transformations
trigonométriques:
dx
x2a23/2 acos3t
a3cos2tdt 1 a2costdt 1 a2sintc.
Comme tarctg x
a, alors on a la résultat:
dx
x2a23/2 1
a2sinarctg x
2c1
a2x
x2a2c.
Remarques.
1) Le choix du changement de variable doit être judicieux et seule la pratique du calcul
intégral permet de le déterminer.
2) Comme dt dxdx dans le théorème 1, il est préférable d’écrire l’intégrale sous
la forme:
fxdx gdFc.
3) Nous conseillons au lecteur de vérifier les résultats obtenus en calculant leurs dérivées qui

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doivent être égales aux fonctions à intégrer.
VIII.8. Méthode d’intégration par parties. Un grand nombre d’intégrales se calculent par
la méthode d’intégration par parties qui est donnée par le théorème suivant:
Théorème. Soient u,v deux fonctions dérivables sur un intervalle I Rtelles que la
fonction uv admet une primitive sur I.Alors la fonction uvadmet une primitive sur I et on
a :
uxvxdx uxvxuxvxdx. (5)
En particulier le théorème est vrai si u,vC1I.
Symboliquement, on écrit:
u dv u.vv du .
Remarques.
1) Le choix de cette méthode n’a de sens que si l’intégrale figurant dans le membre de droite
de la formule (5) est facile à calculer.
2) Le choix des fonctions uet vdoit être judicieux et ce n’est que par la pratique des
exercices que l’on pourra plus facilement faire ce choix.
3) La pratique montre qu’un bon nombre d’intégrales susceptibles d’être calculées par la
méthode d’intégration par parties peuvent être classées en trois groupes:
a) fxlogx dx,fxarcsinx dx,fxarccosx dx,fxarctgx dx,
fxarccosx2dx,fxarctgx2dx,...dans le cas où fadmet une primitive;
b.Pxcosx dx,Pxsinx dx,Pxexdx où Pest un polynôme
R, dans ce cas, on pose uxPx;
c.excosx dx,exsinx dx ,R,sinlogxdx,
coslogxdx,,R.
Exemples. Comme pour les exemples précédents, la constante arbitraire est désignée par la
lettre cR.
1)xarctgx dx. Posons uarctgxet vx. Alors on a