Exercice [Créteil, Paris, Versailles, 2004] Solution [Créteil, Paris
Exercice [Créteil, Paris, Versailles, 2004]
36202744 = 9658 x 3748 + 4560
362027443748
Solution [Créteil, Paris, Versailles, 2004]
36202744 = 3748 x 9658 + 3748 + 812 = 3748 x 9659 + 812
362027443748 9659 812
3748
Exercice [Besançon 1998]
aba2-b2 = 255
Solution [Besançon 1998]
a2 - b2 = (a - b) x (a + b).
255 !
255 = 1 x 255 = 3 x 85 = 5 x 51 = 15 x 17,
25513515175185255255
" #
$!
%"1 x 255 = (a - b) x (a + b)
&a - b < a + ba - b = 1a + b = 255
'()*
!
a - b = 1a = b + 1+
"a + b = 255*ab + 1+
"b + 1 + b = 2552 x b = 254b = 127+
b = 127a = b + 1a = 128+
a = 128b = 127()
,"a = 128b = 127
-!
,3 x 85 = (a - b) x (a + b)"a = 44b = 41
,5 x 51 = (a - b) x (a + b)"a = 28b = 23
,15 x 17 = (a - b) x (a + b)"a = 16b = 1
Exercice : division euclidienne à compléter
&.")
. . / 0 1 0
2 1 . 3 . .
. . .
2 . . .
4 .
').
Solution : division euclidienne à compléter
"36*5
4 10610
7 106/7
1 106489
3 106433
: 106498
0 106740
/ 1067:7
9 106799
; 106173
< )5=5
>
. . / 0 1 0
2 1 7 3 ;.
. . .
2 . . .
4 .
$2
"¤¤7 - 324 = ¤¤
36
337634763576"
4%337636
11/ 0 1 0
2 1 7 3 ; 1
410
248 9
7 9
&2>1
7%347636
13/ 0 1 0
2 1 7 3 ; 0
710
274 0
7 8
&2>1
1%357636
1:/ 0 1 0
2 1 7 3 ; ;
110
217 3
4 7
&?%" "
Exercice [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, La
Réunion, 2000]
aa'5,a11
r,a'11r'
4,a + a'11
7,3 x a11
Solution [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poiriers, La
Réunion, 2000]
%@"5
!5
a = q x 11 + r5a11+
0 ≤ r ≤ 102511
a' = q' x 11 + r'5a'11+
0 ≤ r' ≤ 102511
4,a + a'11
$)a + a'
%"a + a' = (q + q') x 11 + r + r'
%a + a'112
a + a'11
<A0 ≤ r + r' ≤ 10a + a'11r
+ r'
B2a + a'1111 ≤ r + r'
&a + a' = (q + q') x 11 + r + r'")a + a' = (q + q' + 1) x 11 + r +
r' - 11"5111
-A0 ≤ r + r' - 11 ≤ 10*11 ≤ r + r' ≤ 21
a + a'11r + r' - 11
B2a + a'1122 ≤ r + r'
&5?
CD"*0 ≤ r ≤ 100
≤ r' ≤ 100 ≤ r + r' ≤ 20"*A0 ≤ r + r' ≤ 21"
)
7,3 x a11
$
3 x a3 x a = (3 x q) x 11 + 3 x r
,0 ≤ 3 x r ≤ 103 x a11
3 x r
,3 x a = (3 x q) x 11 + 3 x r")3 x a = (3 x q + 1) x 11 + 3 x r - 11
,0 ≤ 3 x r - 11 ≤ 10*11 ≤ 3 x r ≤ 21
3 x a113 x r - 11
,3 x a = (3 x q) x 11 + 3 x r")3 x a = (3 x q + 2) x 11 + 3 x r - 22
,0 ≤ 3 x r - 22 ≤ 10*22 ≤ 3 x r ≤ 32
3 x a113 x r - 11
%"0 ≤ r ≤ 100 ≤ 3 x r ≤ 30"*
A0 ≤ 3 x r ≤ 32
Exercice : minimum du dividende dans une division euclidienne (1)
,abqra < 3000
q = 82r = 47Eab
Solution : minimum du dividende dans une division euclidienne (1)
E"!
a = 82 x b + 47 < 3000 5ab+
0 ≤ 47 < b25b
b48
'"a82 x 48 + 47 = 3983
')"3983 > 3000
Exercice : minimum du dividende dans une division euclidienne (2)
,abqrq = r = 37
Ea
Solution : minimum du dividende dans une division euclidienne (2)
E"!
a = 37 x b + 375ab+
0 ≤ 37 < b25b
b38
'"a37 x 38 + 77 = 37 x 39 = 1443
Exercice : reste dans la division euclidienne par 8 du carré d'un impair
,abqra = µ2Aµ
b = 8
,rµ = 1,rµ = 3,rµ = 5
Bµr = 1
Solution : reste dans la division euclidienne par 8 du carré d'un impair
% !
12 = 1 = 0 x 8 + 1+
32 = 9 = 1 x 8 + 1+
52 = 25 = 3 x 8 + 1+
72 = 49 = 6 x 8 + 1
%"μ"μ = 2 x k + 1 Ak
μ2" μ2!
μ2 = (2 x k + 1)2 = 4 x k2 + 4 x k + 1
B"F "5
μ285*1
%"μ2 = 4 x k x (k + 1) + 1
,) "*1@
'"*8" 4 x k x (k +
1)
- "kk
k mk = 2 x m4 x k x (k + 1) = 4 x 2 x m x (2 x m + 1)
= 8 x m x (2 x m + 1) "8
k nk = 2 x n + 14 x k x (k + 1) = 4 x (2 x n + 1) x
(2 x n + 2) = 8 x (2 x n + 1) x (n + 1) "8
-μμ281
Exercice : division euclidienne (1)
9
2133,
Solution : division euclidienne (1)
%!
a = 33 x 21 + r = 693 + r5a21+
0 ≤ r < 212521
'*693694695713 9
%693702711
G!)9693
"9
Exercice : un a priori qu'il vaut mieux regarder de près
b5 *a
abQDE(a,b)
,@b5 *a'
a'bQDE(a',b)
a' > a
$ba + 1a'
a' b
abQDE(a',b)-QDE(a,b)
B2QDE(a',b) - QDE(a,b) = QDE(a' - a,b)
Solution : un a priori qu'il vaut mieux regarder de près
%"""QDE(a',b) - QDE(a,b) = QDE(a' - a,b)
&"Da' = 700a = 500b = 49"QDE(700,49) - QDE(500,49) =
QDE(200,49)14 - 10 = 4
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
1
/
38
100%
