Polycopié - ENSTA ParisTech

AOT 13
G´eom´etrie Diff´erentielle
et Application au Contrˆole G´eom´etrique
Fr´ed´eric Jean
Notes de cours
´
Edition 2011/2012

ii

Table des mati`eres
1 Vari´et´es diff´erentiables 1
1.1 Vari´et´es diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Applications diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Sous-vari´et´es .................................. 8
2 Espaces tangent et cotangent 13
2.1 Vecteurs tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 D´erivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Diff´erentielle d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Coordonn´ees sur l’espace tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Cas des sous-vari´et´es de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Espace cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Champs de vecteurs 27
3.1 Fibr´es tangent et cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 ´ Equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Flots et groupes de diff´eomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Familles de champs de vecteurs 39
4.1 Syst`emes command´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Crochets et alg`ebre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3 Orbite d’une famille de champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4 Espace tangent `a une orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Distributions et m´ecanique non-holonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 Syst`emes command´es affines 63
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Ensembles atteignables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Syst`emes sans d´erive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4 Syst`emes affines commandables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

iv TABLE DES MATI` ERES
A Exercices 79
A.1 Champs de coordonn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.2 V´ehicule articul´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.3 Sph`ere roulant sur une sph`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
A.4 Transfert de population pour syst`emes quantiques . . . . . . . . . . . . . 86
A.5 Application du lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.6 La sph`ere imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Bibliographie 93
Index 94

Chapitre 1
Vari´et´es diff´erentiables
1.1 Vari´et´es diff´erentiables
On consid`ere un espace topologique M(c’est-`a-dire un espace de points muni d’une
topologie). On suppose que cet espace est
– `a base d´enombrable : la topologie de Ma une base d´enombrable d’ouverts. Cette
propri´et´e est ´equivalente `a l’existence d’un sous-ensemble d´enombrable dense (par
exemple Qnpour Rn) ;
– s´epar´e : deux points distincts ont des voisinages distincts.
D´efinition. Une carte de dimension nsur Mest un couple (U, ϕ) form´e de
– un ouvert U⊂M;
– un hom´eomorphisme ϕ:U→ϕ(U)⊂Rn(un hom´eomorphisme est une application
continue et inversible dont l’inverse est continue).
L’ouvert Uest le domaine de la carte. Pour p∈U,ϕ(p) = (x1(p),...,xn(p)) ∈Rn:ϕ
est ce que l’on appelle une fonction coordonn´ees.
Un point de Mpeut appartenir `a deux domaines diff´erents correspondant `a deux
cartes (U, ϕ) et (V, ψ).
D´efinition. Deux cartes (U, ϕ) et (V, ψ) sur Msont compatibles si U∩V=∅ou si
ϕ◦ψ−1est un diff´eomorphisme entre les ouverts de Rnque sont ψ(U∩V) et ϕ(U∩V).
(Rappels : Une application f:U⊂E→F, o`u Eet Fsont des espaces vectoriels norm´es
et Uun ouvert de E, est un diff´eomorphisme de Udans f(U)si elle est de classe C∞,
inversible et si son inverse est de classe C∞. Une condition n´ecessaire et suffisante est
que fsoit injective et que Df(x)soit un isomorphisme ∀x∈U.)
Remarques.
– A priori les dimensions des cartes n’ont pas ´et´e fix´ees. On pourrait donc avoir
ϕ(U)⊂Rnet ψ(V)⊂Rmavec m6=n. Cependant, si U∩V6=∅, le fait que ϕ◦ψ−1
et ψ◦ϕ−1soient des diff´eomorphismes impose que les deux cartes soient de mˆeme
dimension.