Mathématiques Générales

Mathématiques Générales
de l’IUT, BTS, L3 à l’école d’ingénieurs
Livret pédagogique
Tony Bourdier [email protected]
Jean-François Scheid [email protected]nancy.fr
Version 4.0

Table des matières 2
Table des matières
I Formalisation mathématique 7
1 Logique de base 7
1.1 Implication, condition nécéssaire, condition suffisante . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Contraposée.................................... 7
1.3 Équivalence.................................... 7
1.4 Exercices ..................................... 8
2 Théorie naïve des ensembles 8
2.1 Ensembles,éléments ............................... 8
2.2 Sous-ensembles .................................. 9
2.3 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Application caractéristique (indicatrice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Partition...................................... 13
2.6 Ensembles remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Exercices ..................................... 14
3 Produit cartésien, n-uplets 15
3.1 n-uplets ...................................... 15
3.2 Produitcartésien................................. 15
4 Quantificateurs 16
4.1 Quelquesoit ................................... 16
4.2 Ilexiste ...................................... 16
4.3 Quantification multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.4 Exercices ..................................... 18
II Relations, fonctions, applications 20
1 Relations 20
1.1 Définitions..................................... 20
1.2 Représentation .................................. 21
1.3 Relationréciproque................................ 21
1.4 Image et image réciproque d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Restriction, prolongement, égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Opérations ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Composition.................................... 26
1.8 Propriétés..................................... 26
1.9 Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.10Relationsd’ordre ................................. 28
2 Fonctions, applications 29
2.1 Définitions..................................... 29
2.2 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Applications remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Exercices ..................................... 35
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Table des matières 3
III Principes de raisonnements 37
1 Raisonnement par récurrence 37
1.1 Définition ..................................... 37
1.2 Règles de bonne conduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3 Exemple...................................... 37
1.4 Récurrence d’ordre k............................... 38
1.5 Récurrenceforte ................................. 38
1.6 Exercices ..................................... 39
IV Arithmétique 40
V Structures 41
1 Structures algébriques usuelles 41
1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2 Groupes...................................... 41
1.3 Morphismes.................................... 41
1.4 Anneaux...................................... 41
1.5 Corps ....................................... 41
2 Espaces vectoriels 41
2.1 Espacevectorielréel ............................... 41
2.2 Combinaison linéaire de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Sommedesous-espaces.............................. 41
VI Nombres complexes 42
1 L’ensemble des nombres complexes C42
1.1 Définitions..................................... 42
1.2 Opérations sur C................................. 42
2 Conjugé, module et argument 42
2.1 Nombre conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Module et argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Forme trigonométrique et notation exponentielle ρeiθ ............. 42
3 Géométrie 42
3.1 Interprétation géométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 FormuledeMoivre ................................ 42
3.3 Racine ni`eme d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
VII Dérivation 43
1 Dérivation d’une fonction d’une variable réelle 43
2 Notations de Landau et "algèbre" associée 44
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Table des matières 4
3 Formules de Taylor 45
4 Développements limités 46
VIII Algèbre linéaire 47
1 Espace vectoriel réel 47
1.1 Définitions..................................... 47
1.2 Combinaison linaire de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.3 Espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.4 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 Applications linéaires 53
2.1 Définitions..................................... 53
2.2 Propriétés..................................... 55
2.3 Noyau,rang.................................... 56
2.4 Imaged’unebase................................. 58
2.5 Projecteur..................................... 59
2.6 Exercices ..................................... 60
3 Calcul matriciel 61
3.1 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Matricescarrés .................................. 65
3.4 Changementdebase ............................... 67
3.5 Déterminant.................................... 69
3.6 Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.7 Exercices ..................................... 74
4 Équations linéaires 77
4.1 Définitions..................................... 77
4.2 MéthodedeGauss ................................ 77
4.3 Exercices ..................................... 78
5 Espaces euclidiens 79
5.1 Produit scalaire, norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Orthogonalité................................... 80
5.3 Exercices ..................................... 81
IX Suites et séries 83
1 Suites de nombres réels 83
1.1 Suite monotone, bornée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.2 Suiteconvergente................................. 83
1.3 Suiteextraite ................................... 84
1.4 Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.5 Suitearithmétique ................................ 84
1.6 Suitegéométrique................................. 84
1.7 Suite arithmético-géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.8 Somme des npremiersentiers.......................... 84
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Table des matières 5
1.9 Somme des npremiers carrés d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.10Sommegéométrique ............................... 85
1.11Suitesadjacentes ................................. 86
2 Séries de nombres réels 86
2.1 Définition ..................................... 86
2.2 Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.3 Théorèmes de comparaison pour les séries à termes positifs . . . . . . . . . 87
2.4 Sériegéométrique................................. 87
2.5 Sérieharmonique................................. 87
2.6 SériesdeRiemann ................................ 87
2.7 Conditions suffisantes de convergence pour les séries à termes positifs . . . . 88
X Intégration 90
1 Intégrale simple 90
1.1 Définitions..................................... 90
1.2 Propriétés..................................... 91
1.3 Critères d’intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2 Approximation par somme de Riemann 93
3 Intégrale et primitive 93
4 Intégration par parties 93
5 Changement de variables 94
6 Intégrale généralisée 95
6.1 Définition ..................................... 95
6.2 Intégrale absolument convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3 IntégraledeRiemann............................... 97
XI Transformée et série de Fourier 98
1 Séries de Fourier 98
1.1 Définitions..................................... 98
1.2 FormuledeParseval ...............................101
1.3 Convergences ...................................101
1.4 PhénomènesdeGibbs ..............................102
2 Transformée de Fourier 102
2.1 Définitions.....................................102
2.2 Propriétés.....................................103
2.3 Transformée de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
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