Mathématiques pour économistes

Table des mati` eres
I Alg` ebre lin´ eaire 1
1 Espaces vectoriels 3
1.1 D´ efinition ....................................... 3
1.2 Espace vectoriel quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Base et dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Codimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Rang, image et noyau d’une application lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Somme directe d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel et projecteur . . . . . . . . 8
1.8 Lien entre espaces suppl´ ementaires et espace quotient . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9 Th´ eor` eme du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.10 Inverse d’une application lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.11 Dualit´ e, base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.12 Bidualit´ e........................................ 12
1.13 Transpos´ ee d’une application lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Matrices 15
2.1 D´ efinition ....................................... 15
2.2 Addition des matrices et multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Matrice unit´ e ..................................... 16
2.5 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Endomorphisme associ´ e` a une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7 Matrices ´ equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.9 D´ eterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.10 Cofacteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.11 Caract´ erisation des d´ eterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.12 Inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.13 D´ eterminant de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.14 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.15 Calcul des solutions d’un syst` eme compatible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.16 Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.17 Polynˆ ome caract´ eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
iii

iv Math´ ematiques pour ´ economistes: Mohammed Dennai, Roger Goglu
2.18 Endomorphisme diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.19 Polynˆ ome minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.20 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.21 R´ eduction de Jordan d’un endomorphisme nilpotent . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.22 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.23 Une condition n´ ecessaire et suffisante de trigonalisation . . . . . . . . . . . . . 39
2.24 Exemple de trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.25 Matrice hermitienne ou hermitique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.26 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.27 Matrice sym´ etrique r´ eelle .............................. 42
2.28 Matrice auto-adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.29 Matrice d´ efinie positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.30 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.31 Exemples autour des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.32 D´ ecomposition de Cholesky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.33 Matrice unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.34 Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.35 Matrice d’une isom´ etrie ............................... 54
2.36 Norme d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.37 Matrice non n´ egative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.38 Disque de Gerschg¨ orin................................ 64
2.39 Matrice de forme particuli` ere ............................ 66
II Analyse r´ eelle 75
3 Fonctions d’une variable r´ eelle 77
3.1 Continuit´ e....................................... 77
3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 Th´ eor` emes autour des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4 Infiniment petits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5 Interpr´ etation g´ eom´ etrique : asymptotes droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6 Bornes d’une fonction num´ erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7 D´ efinition de f+et de f−∶.............................. 82
3.8 D´ eriv´ ee d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.9 R` egles de calcul des d´ eriv´ ees ............................ 83
3.10 Th´ eor` eme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.11 Th´ eor` eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.12 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.13 D´ eriv´ ees des fonctions circulaires, hyperboliques et fonctions r´ eciproques . . . 86
3.14 D´ eveloppement de Taylor- MacLaurin avec reste de Young . . . . . . . . . . . 90
3.15 Equivalents usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.16 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.17 In´ egalit´ e de H¨ older pour une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.18 Convexit´ e des fonctions positivement homog` enes . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.19 In´ egalit´ e de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Table des mati` eres v
4 Int´ egrale simple 103
4.1 Int´ egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2 Fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3 Caract´ eristiques de l’int´ egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Premier th´ eor` eme de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5 Application au calcul int´ egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.6 Primitive d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.7 Int´ egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.8 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.9 Second th´ eor` eme de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.10 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.11 Tableau des primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.12 Calcul pratique d’une int´ egrale simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.13 Int´ egration de fonctions rationnelles de sin xet cos x; r` egle de Bioche . . . . . 116
4.14 Autres fractions rationnelles et fonctions radicales . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.15 Convergence d’une int´ egrale de Riemann, int´ egrale de r´ ef´ erence . . . . . . . . 118
4.16 Int´ egrale de fonctions d´ ependant d’un param` etre . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.17 Int´ egrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.18 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.19 Int´ egrale convergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.20 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.21 R` egle d’Abel pour l’int´ egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.22 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.23 In´ egalit´ e de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5 Int´ egrale double 125
5.1 Interpr´ etation des int´ egrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3 Changement de variable dans une int´ egrale double . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.4 Changement de variable et int´ egrale double en coordonn´ ees polaires . . . . . . 129
5.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.6 Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6 Int´ egrale triple 133
6.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2 Coordonn´ ees sph´ eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3 Coordonn´ ees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7 Int´ egrales multiples 137
7.1 Diff´ eomorphisme et jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2 Coordonn´ ees sph´ eriques en dimension n......................137
7.3 Volumes sph´ eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.4 Aire d’une sph` ere multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

vi Math´ ematiques pour ´ economistes: Mohammed Dennai, Roger Goglu
8 Suites et s´ eries 141
8.1 D´ efinition d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.2 Convergence, divergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.3 Suite de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.4 Op´ erations alg´ ebriques sur les suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.5 Op´ erations alg´ ebriques sur les suites divergeant vers +∞ . . . . . . . . . . . . 144
8.6 Suites et applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.7 Suite r´ ecurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.8 Th´ eor` eme du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.9 Somme au sens de C´ esaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.10 Th´ eor` emes de comparaison et d’encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.11 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.12 Th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.13 Convergence simple, uniforme, uniforme sur tout compact d’une suite d’ap-
plications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.14 Approximation d’une fonction continue par un polynˆ ome . . . . . . . . . . . . 160
8.15 Convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.16 S´ erie ..........................................164
8.17 Somme d’une s´ erie..................................164
8.18 La s´ erie g´ eom´ etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.19 Th´ eor` emes utiles autour des s´ eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.20 La s´ erie harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.21 Test de comparaison logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.22 Comparaison des s´ eries et des int´ egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.23 S´ eries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.24 Crit` eres usuels de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.25 Crit` ere de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.26 S´ eries de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.27 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.28 R` egle de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.29 R` egle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.30 Crit` ere de Raabe-Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.31 Crit` ere de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.32 S´ erie altern´ ees. R` egle de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.33 Crit` ere d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.34 S´ erie absolument convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.35 S´ erie de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.36 Th´ eor` eme d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.37 Reste d’une s´ erie ...................................184
8.38 S´ eries majorables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.39 Continuit´ e de la somme d’une s´ erie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.40 Int´ egration, d´ erivation des s´ eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.41 S´ eries enti` eres, rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.42 S´ erie de Taylor-Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.43 Application des s´ eries aux calculs int´ egrales d´ efinies . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.44 Int´ egration des ´ equations diff´ erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Table des mati` eres vii
8.45 Qest dense dans R..................................196
8.46 Produit infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
III Fonction de plusieurs variables 205
9 Fonctions de plusieurs variables 207
9.1 Continuit´ e.......................................207
9.2 D´ eriv´ ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.3 Diff´ erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.4 D´ eriv´ ees d’ordre sup´ erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9.5 D´ eveloppement de Taylor-McLaurin ` a l’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.6 Fonction implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.7 Th´ eor` eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.8 Extrˆ ema locaux et absolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.9 Conditions suffisantes du second ordre pour un extremum global . . . . . . . . 218
9.10 Extrˆ ema sous contraintes. Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 223
9.11 Extrˆ ema sous contraintes en forme d’in´ egalit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.12 Th´ eor` eme de K¨ uhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.13 Crit` ere de la hessienne bord´ ee............................229
IV Equations diff´ erentielles 235
10 ´ Equations diff´ erentielles lin´ eaires 237
10.1 Pr´ esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
10.2 Th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz lin´ eaire d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
10.3 Equation diff´ erentielle lin´ eaire du premier ordre, m´ ethode de la variation de
la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
11 Equations diff´ erentielles non-lin´ eaires 243
11.1 Solution de l’´ equation y′=f(x, y)par approximations successives . . . . . . 243
11.2 La condition de Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
12 Exemples d’´ equations diff´ erentielles non lin´ eaires remarquables 247
12.1 Fonction homog` ene , ´ equation diff´ erentielle homog` ene . . . . . . . . . . . . . 247
12.2 Equation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
12.3 Equations diff´ erentielles ` a variables s´ eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
12.4 Equations aux diff´ erentielles totales exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
12.5 Facteur int´ egrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
13 Equations diff´ erentielles ordinaires d’ordre navec second membre 257
13.1 D´ eterminant de Wronski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
13.2 Exemple : ´ equations diff´ erentielles lin´ eaires d’ordre deux. . . . . . . . . . . . . 259
14 Equation diff´ erentielles de Bessel 269