REPRESENTATION VECTORIELLE b

REPRESENTATION VECTORIELLE ( ON6GMT)
En courant continu, lors de la résolution de circuits, on à recours aux lois de Kirchoff, dont les deux lois disent
ceci :
Lois 1 : "la somme algébrique des tensions dans une boucle fermée d'un circuit est égale à zéro"
Lois 2 : "la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants quittant le nœud"
Ces deux lois sont également d'application dans les circuits à courant alternatifs, mais vu que les courants et les
tensions ne sont pas forcément en phase et qu'ils varient d'une manière périodique en fonction du temps, il a fallu
mettre au point une méthode simple pour résoudre ces circuits. Il s'agit de la méthode de représentation
vectorielle.
Somme de deux courants sinusoïdaux
Pour illustré ce premier exemple, représentons un circuit électrique alimenté par une source de tension
sinusoïdale de 120V crête, une réactance inductive ( self ) de 30Ω branchée en parallèle sur une résistance de
40Ω. On désire connaître la valeur du courant I
T
fourni par la source de tension.
Dans cet exemple, les courants circulants dans les branches du circuit sont les suivants :
I
R
= Ur / R = 120 / 40 = 3A
I
x
= Ux / X
l
= 120 / 30 = 4A
Ces valeurs correspondent bien sûr à une valeur instantanée, ici valeur de crête, puisque les 120V annoncés est
une valeur de crête.
Dans la loi régissant les courants continus, on pourrait penser que le courant total I
T
serait
de 3A + 4A = 7A …
Ici, nous avons une self dont le déphasage du courant est de 90° en arrière sur la tension,
tandis que le courant I
R
dans la résistance est en phase avec la tension.
Sur cette représentation graphique, on peut remarquer plusieurs choses :
- la tension d'alimentation E de 120V
crête;
- le courant I
R
dans la résistance, en phase
avec la tension;
- la tension dans la self, I
X
, en déphasage
de 90° sur la tension;
- le courant total, I
T
, point par point, dont
le maximum est de 5A, et non 7A !!
De plus, cette nouvelle courbe I
T
, dont la
somme des courants de 3A et 4A fait bien 5A et
non pas 7A, est déphasée par rapport à la
tension E de 53° en arrière.
Il n'est pas pratique de travailler avec cette
méthode très laborieuse, qui demande le dessin
des tensions et courants. C'est pourquoi, en
pratique, on travaille toujours avec la méthode de représentation vectorielle.
Vecteur tournant : concept pratique.
Considérons deux axes perpendiculaires se coupant en un point 0, appelé "origine". Ces deux axes, l'un
horizontal AB, et l'autre vertical CD.

Au départ de l'origine 0, traçons un cercle de rayon égale à 1 ( cercle
trigonométrique ). Traçons une droite partant de l'origine vers le cercle d'un
angle quelconque.
La projection du point extrême de ce vecteur sur l'axe vertical CD (
projection parallèle à l'axe AB ) nous donne une mesure h égale au sinus de
l'angle α formé par la droite et l'axe CD.
La projection sur l'axe horizontal nous donne une mesure l égale au cosinus
de l'angle α
αα
α.
Ces mesures h et l seront évidemment différentes suivant l'angle formé entre
les deux courbes.
Si l'angle est de 0° ( droite confondue avec l'axe AB ), la hauteur h sera
égale à 0, le sinus d'un angle de 0° équivaut donc à 0. Par contre, la longueur
l sera égale à la longueur de la droite, à savoir 1. le cosinus d'un angle de 0° est donc égale à 1.
Idem pour un angle de 90° : la projection de cet angle sur l'axe vertical CD égale à la longueur du rayon du
cercle trigonométrique, tandis que sa projection sur l'axe horizontal AB égale à 0.
En résumé :
- le cosinus d'un angle de 0° égale à 1 ( Cos 0 = 1 )
- le sinus d'un angle de 0° égale à 0 ( Sin 0 = 0 )
- le sinus d'un angle de 90° égale à 1 ( Sin 90 = 1 )
- le cosinus d'un angle de 90° égale à 0 ( Cos 90 = 0 )
Au-delà des 90° ( de 90 à 180), les sinus restent de signe positif, tandis que
les cosinus prennent le signe de négation. De 180° à 270°, les cosinus et les
sinus sont de signes négatifs, et de 270° à 360°, les sinus sont négatifs,
tandis que les cosinus retrouvent leurs signes positif.
Partant de ce principe de rotation, reprenons notre vecteur de longueur égale
au rayon du cercle, et partons d'un angle égale à 0° et tournons dans le sens
anti-horlogique pour arriver à 90°, puis 180°. ( figure ci-contre ). Ne nous préoccupons pas pour le moment des
sinus et cosinus, mais mesurons, pour chaque angle, la longueur de la projection sur l'axe vertical CD.
Nous pouvons écrire le tableau suivant :
Ce tableau nous montre que les valeurs se
répètent à chaque passage du vecteur dans
un autre quart de cercle, ou plutôt tout les
90°, en inversant le signe en passant la
barre des 180°, puisque la projection du
vecteur sur l'axe vertical CD se trouve
sous l'axe horizontal. Avec ce tableau,
nous pouvons tracé une sinusoïde dont
l'axe des abscisses serait l'angle α et l'axe
des ordonnées serait la hauteur h. Ce
graphique donnerait ceci :
α
αα
α h α
αα
α h α
αα
α h α
αα
α h
0 0 95 0,99619 190 -0,17365 285 -0,96593
5 0,08716 100 0,98481 195 -0,25882 290 -0,93969
10 0,17365 105 0,96593 200 -0,34202 295 -0,90631
15 0,25882 110 0,93969 205 -0,42262 300 -0,86602
20 0,34202 115 0,90631 210 -0,5 305 -0,81915
25 0,42262 120 0,86602 215 -0,57358 310 -0,76604
30 0,5 125 0,81915 220 -0,64279 315 -0,70711
35 0,57358 130 0,76604 225 -0,70711 320 -0,64279
40 0,64279 135 0,70711 230 -0,76604 325 -0,57358
45 0,70711 140 0,64279 235 -0,81915 330 -0,5
50 0,76604 145 0,57358 240 -0,86602 335 -0,42262
55 0,81915 150 0,5 245 -0,90631 340 -0,34202
60 0,86602 155 0,42262 250 -0,93969 345 -0,25882
65 0,90631 160 0,34202 255 -0,96593 350 -0,17365
70 0,93969 165 0,25882 260 -0,98481 355 -0,08716
75 0,96593 170 0,17365 265 -0,99619 360 0
80 0,98481 175 0,08716 270 -1
85 0,99619 180 0 275 -0,99619
90 1 185 -0,08716 280 -0,98481

Voici donc la représentation de la projection du
vecteur sur l'axe CD. Il es évident que les
valeurs se répètent à chaque fois que le vecteur
effectue un tour complet, et qu'un cycle
complet correspond à 360°, mais on peut
retrouver un angle bien supérieur à 360°. Par
exemple, si on parle d'un angle de 8420°, il
s'agit en fait d'un angle de (8420/360)=23,3888
tours, soit 23 tour et 0,3888 tours, donc un
angle de 360° x 0,3888 = 139,968°. Donc, un
angle de 8420° génère la même hauteur h qu'un
angle de 139,968°.
Il est possible de représenter une tension ou un courant sinusoïdal au moyen d'un vecteur tournant, dont la
longueur est égale à la valeur de crête et la vitesse de rotation égale à la fréquence.
Représentation d'une tension sinusoïdale.
La valeur de crête d'un signal sinusoïdal va donc représenter la longueur du vecteur tournant, et la fréquence, sa
vitesse de rotation.
Prenons par exemple une tension sinusoïdale de 100V crête à une fréquence de 50Hz. Cette tension possède un
déphasage de 30° avec l'axe horizontal.
Représentation graphique :
Sur le premier graphique, le premier vecteur représente le déphasage de 30° de la tension sinusoïdale. L'angle θ
représente le déphasage de la tension à un moment t. Cet angle peut être calculé comme suit :
θ
θθ
θ = 360·f·t, ou : f = fréquence du signal et t = temps en seconde.
Exemple : sur le graphique ci-dessus, on trouve 3,33ms pour un angle de 60°.
Appliquons la formule : θ = 360 x 50 x 3,33
-3
= 60°
Pour connaître la tension à un instant t , on appliquera la formule suivante :
V = V
m
sin(θ
θθ
θ + α
αα
α)
V = valeur instantanée du signal;
V
m
= valeur de crête du signal;
α
αα
α = angle de déphasage en degré.
Exemple : pour un angle θ de 60° calculé plus haut, la tension à ce point serait de :
V = 100 sin(60 + 30) = 100 sin (90) = 100.

C'est bien la valeur que nous indique le graphique.
Représentation de plusieurs vecteurs, addition de vecteurs.
Nous pouvons, sur un graphique, pour trouver le courant total débité par l'alimentation de notre circuit R+X
l
présenter en début d'article. Rappelons que dans l'exemple, le courant est déphasé en arrière de 53°.
On représente d'abord l'axe représentant la tension, 120V. Sa position n'a aucune influence sur le graphique, on
la place donc dans le sens que l'on désire. Ici, nous avons choisi la position horizontale pour le courant. A partir
de ce choix, les autres vecteurs ne pourront plus avoir de position arbitraire, mais devrons suivre celle de la
tension.
On retrouve sur ce graphique :
- la tension d'alimentation E de 120V;
- le courant Ir (U
r
/R) de 3A, en phase avec la tension ( aucun déphasage
dans une résistance );
- le courant I
l
dans la self de 4A (U
x
/X
l
), en déphasage arrière de 90° par
rapport à la tension.
Ce graphique est explicite, et nous montre bien le déphasage du courant dans la self par rapport à la tension
d'alimentation.
Pour trouver le courant total délivré par le générateur, il faut additionner vectoriellement les courants présents
sur le graphique.
Pour ce faire, on prend un vecteur de départ, par exemple I
r
. A l'extrémité de ce vecteur, donc au niveau de la
flèche, on abaisse une parallèle au deuxième vecteur, ici I
l
. La longueur
de cette droite doit avoir au minimum la longueur du vecteur I
l
.
Ensuite, on procède de la même manière au départ du vecteur I
l
, en
traçant une parallèle au vecteur I
r
.
Cette droite doit avoir une longueur minimum I
r
.
On obtient, après construction, une intersection entre les deux nouveaux éléments, qui devient l'extrémité du
vecteur résultant de l'addition des deux vecteurs I
r
et I
l
.
Nous venons de trouver le courant I
t
débiter par la source de tension de
notre montage.
A525169²4²3²Il²IrIt =
==
==
==
=+
++
+=
==
=+
++
+=
==
=+
++
+=
==
=
Cette méthode nous permet de connaître le déphasage final d'un courant,
par exemple, sur une tension, en d'en calculer l'angle.
Dans ce cas ci ( vu qu'il s'agit d'un triangle rectangle ) : tan(θ) = I
l
/ I
r
= 4/3 = 1,333
L'angle est donc bien de 53°.
Cette technique fonctionne bien sur avec n'importe quels vecteurs,
n'importe quel déphasage.
Essayons avec trois vecteurs d'angles inconnus, aigus ou obtus :
Dans cet exemple, au départ, nous avions 3 vecteurs : les vecteurs 1, 2 et 3.
Nous avons d'abord additionner les vecteurs 1 et 2, et la résultante s'est
additionnée au vecteur 3. Nous venons de trouver la résultante totale de
notre graphique.