I ESPACES METRIQUES 1. Espaces métriques 1.1 Définitions Soit

I ESPACES METRIQUES
1. Espaces métriques
1.1 Définitions
Soit Eun ensemble non vide. On appelle distance sur Etoute application
d:E×E→R+
vérifiant les propriétés suivantes :
a)∀x, y ∈E, d(x, y) = 0 ⇐⇒ x=y;
b)∀x, y ∈E, d(x, y) = d(y, x);
c)∀x, y, z ∈E, d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z)(inégalité triangulaire).
On appelle espace métrique tout ensemble non vide Emuni d’une distance det on le note
(E, d).
1.2 Exemples
a) Notons K=Rou C. L’application d:K×K→R+définie par d(x, y) = |x−y|est
une distance sur K, appelée distance usuelle.
b) L’application d: ]0,+∞[×]0,+∞[→R+définie par d(x, y) = |ln(x/y)|est une distance
sur ]0,+∞[.
c) Soit El’ensemble des fonctions continues sur un segment [a, b]de Rà valeurs réelles.
Alors l’application d:E×E→R+définie par d(f, g) = sup
x∈[a,b]|f(x)−g(x)|est une
distance sur E.
d) Soit Eun ensemble non vide ; on définit l’application d:E×E→R+par d(x, y) = 1
si x6=yet d(x, x)=0pour tout x∈E. Alors dest une distance sur Eappelée distance
discrète.
Preuve : cf. exercice.
1.3 Distances sur Kp(K=Rou C)
Soit pun entier ≥1; on pose pour tous x= (x1,··· , xp)et y= (y1,··· , yp)dans Kp,
d1(x, y) =
p
X
i=1 |xi−yi|, d2(x, y) = p
X
i=1 |xi−yi|2!
1
2
, d∞(x, y) = max
1≤i≤p|xi−yi|.
alors d1, d2et d∞sont des distances sur Kp;d2est appelée distance euclidienne classique
sur Kp.
Preuve :
Il est immédiat de vérifier que d1et d∞sont des distances sur Kp. Pour d2, le seul point
délicat est de prouver l’inégalité triangulaire ; pour ce faire, on utilise le résultat suivant :
1

Lemme
a) (inégalité de Cauchy-Schwarz) Soient a1,··· , ap, b1,··· , bpdes réels, alors on a
p
X
i=1
aibi≤ p
X
i=1
a2
i!
1
2 p
X
i=1
b2
i!
1
2
.
b) (inégalité de Minkowski) Soient a1,··· , ap, b1,··· , bpdes réels, alors on a
p
X
i=1
(ai+bi)2!
1
2
≤ p
X
i=1
a2
i!
1
2
+ p
X
i=1
b2
i!
1
2
.
L’inégalité de Cauchy-Schwarz a été vue dans le cours d’algèbre bilinéaire ; l’inégalité de
Minkowski s’en déduit comme suit :
p
X
i=1
(ai+bi)2=
p
X
i=1
a2
i+
p
X
i=1
b2
i+ 2
p
X
i=1
aibi
or on a d’après Cauchy-Schwarz,
p
X
i=1
aibi≤
p
X
i=1
aibi≤ p
X
i=1
a2
i!
1
2 p
X
i=1
b2
i!
1
2
donc
p
X
i=1
(ai+bi)2≤
p
X
i=1
a2
i+
p
X
i=1
b2
i+ 2 p
X
i=1
a2
i!
1
2 p
X
i=1
b2
i!
1
2
=Ñ p
X
i=1
a2
i!
1
2
+ p
X
i=1
b2
i!
1
2é2
d’où l’inégalité de Minkowski par passage à la racine carrée.
On en déduit aussitôt l’inégalité triangulaire : pour tous x, y, z ∈Kp,
p
X
i=1 |xi−zi|2!
1
2
≤ p
X
i=1
(|xi−yi|+|yi−zi|)2!
1
2
≤ p
X
i=1 |xi−yi|2!
1
2
+ p
X
i=1 |yi−zi|2!
1
2
c’est-à-dire
d2(x, z)≤d2(x, y) + d2(y, z).
2 Topologie d’un espace métrique
2.1 Définition
On appelle espace topologique tout ensemble Enon vide muni d’une famille de sous-
ensembles, appelés ouverts de E, vérifiant les conditions suivantes :
a) ∅et Esont des ouverts de E;
b) toute réunion d’ouverts de Eest un ouvert de E;
c) toute intersection finie d’ouverts de Eest un ouvert de E.
2

2.2 Exemples
a) Soit Eun ensemble non vide ; alors on peut définir une topologie sur E, dite topologie
grossière, en prenant pour famille d’ouverts de Ela famille composée de ∅et E.
b) Soit Eun ensemble non vide ; alors on peut définir une topologie sur E, dite topologie
discrète , en prenant pour famille d’ouverts de Ela famille de tous les sous-ensembles de
E.
On va maintenant montrer que tout espace métrique est un espace topologique en défi-
nissant une famille d’ouverts :
2.3 Définitions
Soit (E, d)un espace métrique et soient a∈Eet run réel >0.
a) On appelle boule ouverte de centre aet de rayon rle sous-ensemble de E, noté B(a, r),
défini par
B(a, r) = {x∈E / d(a, x)< r}.
b) On appelle boule fermée de centre aet de rayon rle sous-ensemble de E, noté B(a, r),
défini par
B(a, r) = {x∈E / d(a, x)≤r}.
c) On dit qu’un sous-ensemble Ude Eest un ouvert de Es’il est vide ou si pour tout
a∈U, il existe une boule ouverte de centre acontenue dans U.
2.4 Exemples
a) Toute boule ouverte d’un espace métrique Eest un ouvert de E.
b) Tout intervalle ouvert Ide Rest un ouvert de R.
c) Dans l’espace métrique (R2, d2), le demi-plan A={(x, y)∈R2/ y > 0}est un ouvert
de R2.
Preuve :
a) Soit (E, d)un espace métrique et considérons une boule ouverte B(a, r)de E: soit
x0∈B(a, r), alors d(x0, a)< r donc il existe ε > 0tel que d(x0, a)< r −ε < r alors
B(x0, ε)⊂B(a, r), en effet :
Pour tout x∈B(x0, ε), d(x, x0)< ε donc d(x, a)≤d(x, x0) + d(x0, a)< ε +r−ε=r,
d’où x∈B(a, r)et ainsi B(a, r)est un ouvert de E.
b) prenons, par exemple, I=]a, b[où aet bsont des réels tels que a < b, alors pour
tout x∈]a, b[il existe ε > 0tel que a<x−ε<x<x+ε<bdonc la boule ouverte
B(x, ε) =]x−ε, x +ε[est contenue dans ]a, b[(démonstration analogue pour ]−∞, a[et
]a, +∞[).
c) Soit (x0, y0)∈A, alors y0>0donc il existe ε > 0tel que y0> y0−ε > 0, alors
B((x0, y0), ε)⊂A, en effet :
pour tout (x, y)∈B((x0, y0), ε)on a
|y−y0| ≤ Ä(x−x0)2+ (y−y0)2ä1
2< ε donc 0< y0−ε<y
d’où (x, y)∈Aet ainsi Aest un ouvert de E.
3

2.5 Théorème
Tout espace métrique (E, d)est un espace topologique pour la famille d’ouverts définie
en 2.3.
Preuve :
Il est clair que Eet ∅sont des ouverts de Eau sens de la définition 2.3.
Considérons une famille (Ui)i∈Id’ouverts de Eet montrons que [
i∈I
Uiest un ouvert de
E: soit x∈[
i∈I
Ui, alors il existe i0∈Itel que x∈Ui0, or Ui0est un ouvert de Edonc il
existe r > 0tel que B(x, r)⊂Ui0, et par conséquent B(x, r)⊂[
i∈I
Ui, donc [
i∈I
Uiest un
ouvert de E.
Considérons maintenant une famille finie (Ui)i∈Id’ouverts de Eet montrons que \
i∈I
Ui
est un ouvert de E: soit x∈\
i∈I
Ui, alors pour tout i∈I,x∈Ui, or Uiest un ouvert de
Edonc il existe ri>0tel que B(x, ri)⊂Ui. Posons alors r= min
i∈Iri: comme Iest fini,
rest l’un des ridonc r > 0et ainsi B(x, r)⊂\
i∈I
Ui, donc \
i∈I
Uiest un ouvert de E.
Remarque
Une intersection quelconque d’ouverts n’est pas nécessairement un ouvert :
en effet \
ε>0
]−ε, ε[= {0}qui n’est pas un ouvert de Rpuisqu’il n’existe aucune boule
ouverte de centre 0contenue dans {0}.
2.6 Définition
Soit Eun espace métrique ; on dit qu’une partie Fde Eest un fermé de Esi et seulement
si le complémentaire de Fdans Eest un ouvert de E.
2.7 Proposition
a) ∅et Esont des fermés de E;
b) toute réunion finie de fermés de Eest un fermé de E;
c) toute intersection de fermés de Eest un fermé de E.
Preuve :
a) E− ∅ =Eet E−E=∅sont des ouverts de E, donc ∅et Esont des fermés de E.
b) Considérons une famille finie (Fi)i∈Ide fermés de E, alors E−[
i∈I
Fi=\
i∈I
(E−Fi)qui
est un ouvert de Ecomme intersection finie d’ouverts, donc [
i∈I
Fiest un fermé de E.
4

c) Considérons une famille (Fi)i∈Ide fermés de E, alors E−\
i∈I
Fi=[
i∈I
(E−Fi)qui est
un ouvert de Ecomme réunion d’ouverts, donc \
i∈I
Fiest un fermé de E.
2.8 Exemples
a) Toute boule fermée d’un espace métrique Eest un fermé de E.
b) Tout segment [a, b]de Rest un fermé de R. De même les intervalles de la forme ]−∞, a]
et [a, +∞[sont des fermés de R.
c) Dans l’espace métrique (R2, d2), le demi-plan F={(x, y)∈R2/ y ≤0}est un fermé
de R2.
d) Tout singleton {a}d’un espace métrique Eest un fermé de E.
Preuve :
a) Considérons une boule fermée B(a, r)de E, alors E−B(a, r) = {x∈E / d(x, a)> r};
montrons que E−B(a, r)est un ouvert de E:
soit x0∈E−B(a, r), on a d(x0, a)> r donc il existe ε > 0tel que d(x0, a)> r +ε > r ;
or on a pour tout x∈B(x0, ε), d’après l’inégalité triangulaire
d(x, a)≥d(x0, a)−d(x, x0)> r +ε−ε=r
donc x∈E−B(a, r), et ainsi B(x0, ε)⊂E−B(a, r):E−B(a, r)est donc un ouvert de
Ed’où B(a, r)est un fermé de E.
b) Considérons un segment [a, b]de R, alors R−[a, b] =] − ∞, a[∪]b, +∞[est un ouvert
de Rd’après 2.4et 2.5. On montre de façon analogue que ]− ∞, a]et [a, +∞[sont des
fermés de R.
c) R2−F={(x, y)∈R2/ y > 0}est un ouvert d’après 2.4donc Fest un fermé de R2.
d) Soit x0∈E− {a}, i.e x06=a, alors d(x0, a)>0donc il existe ε > 0tel que
d(x0, a)>ε>0; on en déduit que B(x0, ε)⊂E− {a}, en effet :
pour tout x∈B(x0, ε), on a
d(x, a)≥d(x0, a)−d(x0, x)> ε −ε= 0
donc x6=ai.e x∈E− {a}. Donc E− {a}est un ouvert de Eet ainsi {a}est un fermé
de E.
Remarque
Une réunion quelconque de fermés n’est pas nécessairement un fermé :
en effet [
ε>0
[ε, +∞[=]0,+∞[qui n’est pas un fermé de R; en effet R−]0,+∞[=] − ∞,0]
qui n’est pas un ouvert de Rpuisqu’il n’existe aucune boule ouverte de centre 0contenue
dans ]− ∞,0].
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