Intégration - Exo7

Exo7
Intégration
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile
I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exercice 1 ****
Soient fet gdeux fonctions continues et strictement positives sur [a,b]. Pour nentier naturel non nul donné,
on pose un=Rb
a(f(x))ng(x)dx1/n
.
Montrer que la suite (un)converge et déterminer sa limite (commencer par le cas g=1).
Correction H[005444]
Exercice 2 **I
1. Soit fune application de classe C1sur [0,1]telle que f(1)6=0.
Pour n∈N, on pose un=R1
0tnf(t)dt. Montrer que limn→+∞un=0 puis déterminer un équivalent simple
de unquand ntend vers +∞(étudier limn→+∞nun).
2. Mêmes questions en supposant que fest de classe C2sur [0,1]et que f(1) = 0 et f0(1)6=0.
Correction H[005445]
Exercice 3 ***IT
Limites de
1)1
n3∑n
k=1k2sin kπ
n2) ( 1 n!∏n
k=1(a+k))1/n(a>0 donné)3)∑n
k=1
n+k
n2+k4)∑n
k=1
1
√n2−k2
5)1
n√n∑n
k=1E(√k)6)∑n k=1
k2
8k3+n37)∑2n−1
k=n
1
2k+18)n∑n
k=1
e−n/k
k2
Correction H[005446]
Exercice 4 ***I
Soit fune fonction de classe C2sur [0,1]. Déterminer le réel atel que :
Z1
0
f(t)dt −1
n
n−1
∑
k=1
f(k
n) =
n→+∞
a
n+o(1 n).
Correction H[005447]
Exercice 5 **I Le lemme de LEBESGUE
1. On suppose que fest une fonction de classe C1sur [a,b]. Montrer que limλ→+∞Rb
asin(λt)f(t)dt =0.
2. (***) Redémontrer le même résultat en supposant simplement que fest continue par morceaux sur [a,b]
(commencer par le cas des fonctions en escaliers).
1

Correction H[005448]
Exercice 6 ***T
Soit El’ensemble des fonctions continues strictement positives sur [a,b].
Soit ϕ:E→R
f7→ Rb
af(t)dtRb a
1
f(t)dt
.
1. Montrer que ϕ(E)n’est pas majoré.
2. Montrer que ϕ(E)est minoré. Trouver m=Inf{ϕ(f),f∈E}. Montrer que cette borne infèrieure est
atteinte et trouver toutes les fde Etelles que ϕ(f) = m.
Correction H[005449]
Exercice 7 ***
Etude complète de la fonction f(x) = 1
x−1Rx
1
t2
√1+t8dt.
Correction H[005450]
Exercice 8 ***
Pour xréel, on pose f(x) = e−x2Rx
0et2dt.
1. Montrer que fest impaire et de classe C∞sur R.
2. Montrer que fest solution de l’équation différentielle y0+2xy =1.
3. Montrer que limx→+∞2x f (x) = 1.
4. Soit g(x) = ex2
2xf0(x). Montrer que gest strictement décroissante sur ]0,+∞[et que gadmet sur ]0,+∞[
un unique zéro noté x0vérifiant de plus 0 <x0<1.
5. Dresser le tableau de variations de f.
Correction H[005451]
Exercice 9 ***
Soit fune fonction de classe C1sur [0,1]telle que f(0) = 0. Montrer que 2R1
0f2(t)dt 6R1 0f02(t)dt.
Correction H[005452]
Exercice 10 ****
Soit fune fonction continue sur [a,b]. Pour xréel, on pose F(x) = Rb
a|t−x|f(t)dt. Etudier la dérivabilité de F
sur R.
Correction H[005453]
Exercice 11 ***
Soit aun réel strictement positif et fune application de classe C1et strictement croissante sur [0,a]telle que
f(0) = 0. Montrer que ∀x∈[0,a],∀y∈[0,f(a)],xy 6Rx
0f(t)dt +Ry
0f−1(t)dt.
Correction H[005454]
Exercice 12 **
Soit fcontinue sur [0,1]telle que R1
0f(t)dt =1
2. Montrer que fadmet un point fixe.
Correction H[005455]
Exercice 13 **
Soient fet gdeux fonctions continues par morceaux et positives sur [0,1]telles que
∀x∈[0,1],f(x)g(x)>1. Montrer que (R1
0f(t)dt)(R1 0g(t)dt)>1.
2

Correction H[005456]
Exercice 14 ***
Partie principale quand ntend vers +∞de un=∑n
k=1sin 1
(n+k)2.
Correction H[005457]
Exercice 15 **
Montrer que ∑n
k=1sin k
n=1 2+1 2n+o(1 n).
Correction H[005458]
Exercice 16 **
Déterminer les limites quand ntend vers +∞de
1)un=1
n!Z1
0
arcsinnx dx 2)Z1
0
xn
1+xdx 3)Zπ
0
nsinx
x+ndx.
Correction H[005459]
Exercice 17 ***
Etude complète de F(x) = R2x
x
dt
√t4+t2+1.
Correction H[005460]
Exercice 18 ***
Trouver toutes les applications continues sur Rvérifiant : ∀(x,y)∈R2,f(x)f(y) = Rx+y
x−yf(t)dt.
Correction H[005461]
Exercice 19 ***
Soit fune fonction de classe C1sur [a,b]telle que f(a) = f(b) = 0 et soit M=sup{|f0(x)|,x∈[a,b]}. Montrer
que Rb
af(x)dx6M(b−a)2
4.
Correction H[005462]
Exercice 20 **
Déterminer les fonctions fcontinues sur [0,1]vérifiant R1
0f(t)dt=R1 0|f(t)|dt.
Correction H[005463]
Exercice 21 ***I
— Déterminer limx→1Rx2
x
dt
lnt.
— Etude complète de F(x) = Rx2
x
dt
lnt.
Correction H[005464]
Exercice 22 ****
Soit f(t) = t2
et−1si t6=0 et 0 si t=0.
1. Vérifier que fest continue sur R.
2. Soit F(x) = Rx
0f(t)dt. Montrer que Fa une limite réelle `quand xtend vers +∞puis que `=
2limn→+∞∑n
k=1
1
k3.
Correction H[005465]
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3

Correction de l’exercice 1 N
fest continue sur le segment [a,b]et admet donc un maximum Msur ce segment. Puisque fest strictement
positive sur [a,b], ce maximum est strictement positif.
Pour n∈N∗, posons un=Rb
a(f(x))ndx1/n
. Par croissance de l’intégrale, on a déjà
un6Zb
a
Mndx1/n =M(b−a)1/n,
(car ∀x∈[a,b],06f(x)6M⇒ ∀x∈[a,b],(f(x))n6Mnpar croissance de la fonction t7→tnsur [0,+∞[).
D’autre part, par continuité de fen x0tel que f(x0) = M, pour ε∈]0,2M[donné, ∃[α,β]⊂[a,b]/α<βet ∀x∈
[α,β],f(x)>M−ε
2.
Pour nélément de N∗, on a alors
un>Zβ
α(f(x))ndx1/n
>Zβ
α(M−ε
2)ndx1/n
= (M−ε
2)(β−α)1/n.
En résumé,
∀ε∈]0,2M[,∃(α,β)∈[a,b]2/α<βet ∀n∈N∗,(M−ε
2)(β−α)1/n6un6M(b−a)1/n.
Mais, limn→+∞M(b−a)1/n=Met limn→+∞(M−ε
2)(β−α)1/n= (M−ε 2)(β−α)1/n.
Par suite, ∃n1∈N∗/∀n>n1,M(b−a)1/n<M+εet ∃n2∈N∗/∀n>n2,(M−ε
2)(β−α)1/n>M−ε.
Soit n0=Max{n1,n2}. Pour n>n0, on a M−ε<un<M+ε. On a montré que
∀ε>0,∃n0∈N∗/∀n∈N,(n>n0⇒ |un−M|<ε),
et donc que limn→+∞un=M.
Plus généralement, si gcontinue sur [a,b],gadmet un minimum m1et un maximum M1sur cet intervalle, tous
deux strictement positifs puisque gest strictement positive. Pour ndans N∗, on a
m1/n
1Zb
a
(f(x))ndx1/n 6Zb
a
(f(x))ng(x)dx1/n 6M1/n
1Zb
a
(f(x))ndx,
et comme d’après l’étude du cas g=1, on a limn→+∞m1/n
1Rb
a(f(x))ndx1/n=limn→+∞M1/n
1Rb
a(f(x))ndx1/n=
M, le théorème de la limite par encadrements permet d’affirmer que limn→+∞Rb
a(f(x))ng(x)dx1/n=M. On
a montré que
lim
n→+∞Zb
a
(f(x))ng(x)dx1/n =Max{f(x),x∈[a,b]}.
Correction de l’exercice 2 N
1. fest continue sur le segment [0,1]et est donc bornée sur ce segment. Soit Mun majorant de |f|sur
[0,1]. Pour n∈N,
|un|6Z1
0
tn|f(t)|dt 6MZ1
0
tndt =M
n+1,
et comme limn→+∞M
n+1=0, on a montré que limn→+∞un=0.
Soit n∈N. Puisque fest de classe C1sur [0,1], on peut effectuer une intégration par parties qui fournit
un=tn+1
n+1f(t)1
0−1
n+1Z1
0
tn+1f0(t)dt =f(1)
n+1−1 n+1Z1
0
tn+1f0(t)dt.
4

Puisque f0est continue sur [0,1], limn→+∞R1
0tn+1f0(t)dt =0 ou encore −1
n+1R1
0tn+1f0(t)dt =o(1
n).
D’autre part, puisque f(1)6=0, f(1)
n+1∼f(1) nou encore f(1) n+1=f(1) n+o(1 n). Finalement, un=f(1) n+o(1 n),
ou encore
un∼f(1)
n.
2. Puisque fest de classe C1sur [0,1]et que f(1) = 0, une intégration par parties fournit
un=−1
n+1R1
0tn+1f0(t)dt. Puisque f0est de classe C1sur [0,1]et que f0(1)6=0, le 1) appliqué à f0
fournit
un=−1
n+1Z1
0
tn+1f0(t)dt ∼ −1
n
f0(1)
n=−f0(1) n2.
Par exemple, R1
0tnsin πt
2dt ∼1 net R1
0tncos πt
2dt ∼π
2n2
Correction de l’exercice 3 N
1. Pour n>1,
un=1
n3
n
∑
k=1
k2sin kπ
n=1 n
n
∑
k=1
(k
n)2sin kπ n=1 n
n
∑
k=1
f(k
n),
où f(x) = x2sin(πx).unest donc une somme de RIEMANN à pas constant associée à la fonction continue
fsur [0,1]. Quand ntend vers +∞, le pas 1
ntend vers 0 et on sait que untend vers
Z1
0
x2sin(πx)dx =−1
πx2cos(πx)1
0
+2
πZ1
0
xcos(πx)dx =1
π+2 π(1 πxsin(πx)1
0−1
πZ1
0
sin(πx)dx)
=1
π−2 π2−1 πcos(πx)1
0
=1
π−2 π2(1 π+1 π)
=1
π−4 π3.
2. On peut avoir envie d’écrire :
ln(un) = 1
n(
n
∑
k=1
(ln(a+k)−lnk)) = 1
n
n
∑
k=1
ln(1+a
k).
La suite de nombres a,a
2,..., a n« est une subdivision (à pas non constant) de [0,a]» mais malheureuse-
ment son pas a−a
2=a 2ne tend pas vers 0 quand ntend vers +∞. On n’est pas dans le même type de
problèmes.
Rappel. (exo classique) Soit vune suite strictement positive telle que la suite (vn+1
vn)tend vers un réel
positif `, alors la suite (n
√vn)tend encore vers `.
Posons vn=1
n!∏n
k=1(a+k)puis un=n
√vn.
vn+1
vn
=a+n+1
n+1→1,
et donc limn→+∞un=1.
3. Encore une fois, ce n’est pas une somme de RIEMANN. On tente un encadrement assez large : pour
16k6n,
n+k
n2+n6n+k n2+k6n+k n2.
5