1 Dé nitions

Dans toute la suite, on considèrera un espace vectoriel normé (E,k.k) où (E,+,.) est un K-ev et k.kune norme sur
E. On rappelle alors que E«hérite » naturellement d’une structure d’espace métrique (E,d) par d(x,y)= kx−yk
Définition : Soit A∈Eet r>0. On appelle Boule ouverte (rp. Boule fermée) de centre Aet de rayon r, et on
note B(A,r) (rp B(A,r)), l’ensemble des vecteurs xde Etq d(x,A)<r(rp. kx−Ak ≤ r).
Définition : Soit A∈Eet U⊂E. On dit Aest intérieur à U(on note A∈
◦
U) ssi ∃r>0B(A,r)⊂U
Remarque : On notera que tout point intérieur à Uest un point de U, car A∈B(A,r)◦
U⊂U
Définition : Soit U⊂E. On dit que Uest un ouvert de Essi tout point de Uest intérieur à U
En bref , une partie de Equi ne contient rien de sa frontière, Tout est à l’« intérieur ». . .
U⊂Eest un ouvert de Essi ∀M∈U∃r>0 tq B(M,r)⊂U
;et Esont donc des ouverts de E
Les intervalles de Rsont des ouverts de Rssi ce sont des intervalles ouverts ! Ouf !
Toute Boule ouverte B(A,r) est un ouvert puisque
∀M∈B(A,r)B(M,r−d(A,M)) ⊂B(A,r)
Uest ouvert ssi U⊂
◦
U⇐⇒ U=
◦
U
Définition : Soit A∈Eet U⊂E. On dit Aest adhérent à U(on note A∈U) ssi ∀r>0B(A,r)∩U6= ;
Remarque : On notera que tout point de Uest adhérent à Upuisque B(A,r)∩U⊃{A}U⊂U!
Définition : Une partie Fde Eest dite fermée ssi son complémentaire (dans E) est un ouvert.
Par complémentarité, « en bref », une partie de Equi « contient » sa frontière
Par complémentarité donc, ;et Esont aussi des fermés de E
Contrairement à une « mauvaise intuition », il existe des parties de Eà la fois ouvertes et fermées (ainsi
d’ailleurs que des parties ni ouvertes ni fermées).
Les intervalles de Rqui sont des fermés sont les intervalles fermés mais aussi ceux du type [a,+∞[.
]a,+∞[ est ouvert mais ]0,1] n’est ni ouvert ni fermé dans R.
Toute Boule fermée B0=B(A,r) est une partie fermée de E, puisque son complémentaire est un ouvert : (faire
un dessin)∀M∈(E−B0)B(M,d(A,M)−r)⊂(E−B0)
Fest un fermé ssi tout point adhérent à Fest bien dans F(Il contient toute sa frontière)⇐⇒ F⊂F⇐⇒ F=F
Définition : Soit K⊂E.Kest appelé un compact de Essi c’est un fermé borné de E
Les intervalles compacts de Rsont exactement les segments de R(cad les [a,b]).
Toute Boule fermée B(A,r) est évidemment fermée et bornée donc une partie compacte de E.
Définition : Soient U,V⊂E.Uest dense dans Vssi elle vérifie l’une des propriétés équivalentes suivantes
(i) ∀M∈V∀r>0B(M,r)∩U6= ;
Il y a des éléments de U infiniment proches (à r près) de tous les éléments M de V
(ii) U⊃V
Remarque :Qet R-Qsont denses dans R
GL(n) est dense dans M(n) : il suffit d’écrire A=lim A−1/nI et A−1/nI est inversible pour nplus grand que le
plus petit élément des inverses des valeurs propres non nulles de A.

Théorème Toute réunion d’ouverts est un ouvert. Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.
Remarque : Une intersection infinie d’ouverts n’est pas en général un ouvert comme le montre le contre-exemple
suivant dans R:\
n∈N¸−1
n,1 n·=n0ofermé car son complémentaire est ouvert ] − ∞,0[ ∪]0,+∞[
DémoSoit (Ui)i∈Iune famille d’ouverts de E. Posons U= ∪
i∈IUi. Soit M∈Ualors il existe i0∈Itel que M∈Ui0,
et donc ∃r>0 tel que B(M,r)⊂Ui0. Comme Ui0⊂U, la preuve est terminée.
Soit (Ui)1≤i≤nune famille finie d’ouverts de E. Posons U= ∩
1≤i≤nUi. Soit M∈Ualors pour tout 1 ≤i≤n, puisque
Uiest ouvert, il existe ri>0 tel que B(M,ri)⊂Ui. En posant r=min1≤i≤nri, (c’est là ou cela coince en cardinal
infini puisqu’on pourrait avoir r=0), on a B(M,r)⊂B(M,ri)⊂Ui, ou encore B(M,r)⊂U
Théorème Toute réunion finie de fermés est un fermé. Toute intersection de fermés est un fermé.
Remarque : - Un contre-exemple pour une réunion infinie : [
n∈N·−1+1
n,1 −1 n¸=i−1 , 1h
Démo Par complémentarité , on se ramen au théo précédent : \
i∈I
(E−Ui)=E−[
i∈I
Ui[
i∈I
(E−Ui)=E−\
i∈I
Ui
Théorème Caractérisation séquentielle des Fermés
Soit F⊂E.Fest un fermé si et seulement si pour toute suite d’éléments (fn) de Fconvergente, alors elle
converge dans F, cad lim fn∈F
Démo =⇒ Fest fermé donc F=F. Soit une suite (fn) d’éléments de Fconvergente vers A. Par définition
d’une limite, il existe un rang N0à partir duquel fn∈B(A,r). En particulier B(A,r)∩F6= ; ou encore A∈F=F.
⇐= On sait F⊂F. Soit A∈Falors par définition, ∀n∈NB(A,1/n)∩F6= ;. Notons fncet élément. Par définition
fn∈Fet d’aautre part d(fn,A)≤1/nce qui amène lim fn=A. L’hypothèse permet de conclure A∈F, donc F⊂F
Remarque : Caractérisation la plus utile dans la pratique pour prouver fermé
Théorème Une application f:E→R(ou C) est continue ssi l’image réciproque de tout ouvert (rp. tout
fermé) de Rest un ouvert (rp. un fermé) de E
Le "si" est hors programme PSI. le "seulement si"> est très utile dans la pratique
Par exemple l’ensemble des points représentant l’ellipse (cad, dans un bon repère, les (x,y) tels que x2
a2+y2 b2=
1) est un fermé de R2, puisque c’est l’image réciproque de {1} fermé de Rpar l’application continue ϕdéfinie
de R2dans Rpar ϕ(x,y)=x2
a2+y2 b2.
Autre exemple : l’ensemble des points de R2vérifiant x2+y2<1 (cad « l’intérieur » de l’ellipse ) est un ouvert
de R2, puisque Image réciproque de l’ouvert ] − ∞,1[, par l’application continue ψ: (x,y)→x2+y2−1.
Théorème L’image d’un compact par une application continue est un compact
Remarque : Comme un compact est borné et fermé, ce théorème peut s’énoncer sous une forme plus édulcorée :
sur un compact, toute application continue est bornée et "atteint" ses bornes. Par exemple, pour etre encore plus
pragmatique, pour un compact K⊂E, si fest continue, on peut écrire que sup
x∈K
kf(x)kest bien défini et il existe
X0∈Ktel que sup
x∈K
kf(x)k=kf(X0)k. Cette idée sert règulièrement.