1 Dé nitions

Topologie dans les Espaces Vectoriels Normés de dimension nie
Dans toute la suite, on considèrera un espace vectoriel normé (E , k.k) où (E , +, .) est un K-ev et k.k une norme sur
E . On rappelle alors que E « hérite » naturellement d’une structure d’espace métrique (E , d ) par d (x, y) = kx − yk
1 Dénitions
Définition : Soit A ∈ E et r > 0. On appelle Boule ouverte (rp. Boule fermée) de centre A et de rayon r , et on
note B (A, r ) (rp B (A, r )), l’ensemble des vecteurs x de E tq d (x, A) < r (rp. kx − Ak ≤ r ).
◦
Définition : Soit A ∈ E et U ⊂ E . On dit A est intérieur à U (on note A ∈U )
ssi ∃ r > 0 B (A, r ) ⊂ U
Remarque : On notera que tout point intérieur à U est un point de U , car A ∈ B (A, r )
◦
U⊂U
Définition : Soit U ⊂ E . On dit que U est un ouvert de E ssi tout point de U est intérieur à U
En bref , une partie de E qui ne contient rien de sa frontière, Tout est à l’« intérieur ». . .
U ⊂ E est un ouvert de E ssi ∀ M ∈ U ∃ r > 0 tq B (M , r ) ⊂ U
; et E sont donc des ouverts de E
Les intervalles de R sont des ouverts de R ssi ce sont des intervalles ouverts ! Ouf !
Toute Boule ouverte B (A, r ) est un ouvert puisque
∀ M ∈ B (A, r ) B (M , r − d (A, M )) ⊂ B (A, r )
◦
◦
U est ouvert ssi U ⊂U ⇐⇒ U =U
Définition : Soit A ∈ E et U ⊂ E . On dit A est adhérent à U (on note A ∈ U )
ssi ∀ r > 0 B (A, r ) ∩U 6= ;
Remarque : On notera que tout point de U est adhérent à U puisque B (A, r ) ∩U ⊃ {A}
U ⊂U !
Définition : Une partie F de E est dite fermée ssi son complémentaire (dans E ) est un ouvert.
Par complémentarité, « en bref », une partie de E qui « contient » sa frontière
Par complémentarité donc, ; et E sont aussi des fermés de E
Contrairement à une « mauvaise intuition », il existe des parties de E à la fois ouvertes et fermées (ainsi
d’ailleurs que des parties ni ouvertes ni fermées).
Les intervalles de R qui sont des fermés sont les intervalles fermés mais aussi ceux du type [a, +∞[.
]a, +∞[ est ouvert mais ]0, 1] n’est ni ouvert ni fermé dans R.
Toute Boule fermée B 0 = B (A, r ) est une partie fermée de E , puisque son complémentaire est un ouvert : (faire
un dessin) ∀ M ∈ (E − B 0 ) B (M , d (A, M ) − r ) ⊂ (E − B 0 )
F est un fermé ssi tout point adhérent à F est bien dans F (Il contient toute sa frontière) ⇐⇒ F ⊂ F ⇐⇒ F = F
Définition : Soit K ⊂ E . K est appelé un compact de E ssi c’est un fermé borné de E
Les intervalles compacts de R sont exactement les segments de R (cad les [a, b]).
Toute Boule fermée B (A, r ) est évidemment fermée et bornée donc une partie compacte de E .
Définition : Soient U ,V ⊂ E . U est dense dans V ssi elle vérifie l’une des propriétés équivalentes suivantes
(i) ∀ M ∈ V ∀ r > 0 B (M , r ) ∩ U 6= ;
Il y a des éléments de U infiniment proches (à r près) de tous les éléments M de V
(ii) U ⊃ V
Remarque : Q et R-Q sont denses dans R
GL(n) est dense dans M (n) : il suffit d’écrire A = lim A − 1/nI et A − 1/nI est inversible pour n plus grand que le
plus petit élément des inverses des valeurs propres non nulles de A.
2 Propriétés des Ouverts et Fermés
Théorème Toute réunion d’ouverts est un ouvert. Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.
Remarque : Une intersection
d’ouverts n’est pas en général un ouvert comme le montre le contre-exemple
¸
· infinie
n o
\ −1 1
suivant dans R :
,
= 0 fermé car son complémentaire est ouvert ] − ∞, 0[ ∪ ]0, +∞[
n∈N n n
DémoSoit (Ui )i ∈I une famille d’ouverts de E . Posons U = ∪ Ui . Soit M ∈ U alors il existe i 0 ∈ I tel que M ∈ Ui 0 ,
i ∈I
et donc ∃ r > 0 tel que B (M , r ) ⊂ Ui 0 . Comme Ui 0 ⊂ U , la preuve est terminée.
Soit (Ui )1≤i ≤n une famille finie d’ouverts de E . Posons U =
∩ Ui . Soit M ∈ U alors pour tout 1 ≤ i ≤ n, puisque
1≤i ≤n
Ui est ouvert, il existe r i > 0 tel que B (M , r i ) ⊂ Ui . En posant r = min 1≤i ≤n r i , (c’est là ou cela coince en cardinal
infini puisqu’on pourrait avoir r = 0), on a B (M , r ) ⊂ B (M , r i ) ⊂ Ui , ou encore B (M , r ) ⊂ U
Théorème Toute réunion finie de fermés est un fermé. Toute intersection de fermés est un fermé.
·
¸
i
h
[
1
1
Remarque : - Un contre-exemple pour une réunion infinie :
−1 + , 1 −
= −1 , 1
n
n
n∈N
Démo Par complémentarité , on se ramen au théo précédent :
\
(E −Ui ) = E −
i ∈I
[
i ∈I
Ui
[
(E −Ui ) = E −
i ∈I
\
Ui
i ∈I
Théorème Caractérisation séquentielle des Fermés
Soit F ⊂ E . F est un fermé si et seulement si pour toute suite d’éléments ( f n ) de F convergente, alors elle
converge dans F , cad lim f n ∈ F
Démo =⇒ F est fermé donc F = F . Soit une suite ( f n ) d’éléments de F convergente vers A. Par définition
d’une limite, il existe un rang N0 à partir duquel f n ∈ B (A, r ). En particulier B (A, r ) ∩ F 6= ; ou encore A ∈ F = F .
⇐= On sait F ⊂ F . Soit A ∈ F alors par définition, ∀ n ∈ N B (A, 1/n)∩F 6= ;. Notons f n cet élément. Par définition
f n ∈ F et d’aautre part d ( f n , A) ≤ 1/n ce qui amène lim f n = A. L’hypothèse permet de conclure A ∈ F , donc F ⊂ F
Remarque : Caractérisation la plus utile dans la pratique pour prouver fermé
3 Topologie et Continuité
Théorème Une application f : E → R(ou C) est continue ssi l’image réciproque de tout ouvert (rp. tout
fermé) de R est un ouvert (rp. un fermé) de E
Le "si" est hors programme PSI. le "seulement si"> est très utile dans la pratique
Par exemple l’ensemble des points représentant l’ellipse (cad, dans un bon repère, les (x, y) tels que
x2
a2
y2
+ b2 =
1) est un fermé de R2 , puisque c’est l’image réciproque de {1} fermé de R par l’application continue ϕ définie
de R2 dans R par ϕ(x, y) =
x2
a2
y2
+ b2 .
Autre exemple : l’ensemble des points de R2 vérifiant x 2 + y 2 < 1 (cad « l’intérieur » de l’ellipse ) est un ouvert
de R2 , puisque Image réciproque de l’ouvert ] − ∞, 1[, par l’application continue ψ : (x, y) → x 2 + y 2 − 1.
Théorème L’image d’un compact par une application continue est un compact
Remarque : Comme un compact est borné et fermé, ce théorème peut s’énoncer sous une forme plus édulcorée :
sur un compact, toute application continue est bornée et "atteint" ses bornes. Par exemple, pour etre encore plus
pragmatique, pour un compact K ⊂ E , si f est continue, on peut écrire que sup k f (x)k est bien défini et il existe
x∈K
X 0 ∈ K tel que sup k f (x)k = k f (X 0 )k. Cette idée sert règulièrement.
x∈K