Algèbre 2, Cours de deuxième année de l`Université de Bordeaux

Algèbre 2,
Cours de deuxième année de l’Université de Bordeaux
Jean-Jacques Ruch 1
1. Institut de Mathématiques Bordeaux, UMR 5251 du CNRS, Université de Bordeaux, 351 cours de la Libération, F33405
Talence Cedex, France.

Table des Matières
Chapitre 1. DÉTERMINANT 7
I. Préliminaire sur les permutations (sans démonstrations) 7
II. Définition et propriété des déterminants 9
II.1. Déterminant d’une matrice 9
II.2. Déterminant d’une famille de vecteurs 10
II.3. Propriétés 12
II.4. Formes multilinéaires 14
III. Calcul de déterminants 16
III.1. Déterminants de matrices particulières 16
III.2. Méthodes de calcul 17
IV. Application des déterminants 18
IV.1. Calcul de l’inverse d’une matrice 19
IV.2. Système de Cramer 19
IV.3. Orientation de l’espace 21
Chapitre 2. RÉDUCTION D’ENDOMORPHISMES 23
I. Diagonalisation 23
I.1. Valeur propre - Vecteur propre 23
I.2. Polynôme caractéristique 24
I.3. Étude des sous-espaces propres 26
I.4. Endomorphismes diagonalisables 27
I.5. Exemple de diagonalisation 29
II. Trigonalisation 29
II.1. Endomorphismes trigonalisables 29
II.2. Exemple de trigonalisation 30
III. Polynômes d’endomorphismes - Polynôme minimal 31
III.1. Polynômes d’endomorphismes 31
III.2. Polynôme minimal 32
III.3. Théorème de Cayley-Hamilton 33
III.4. Lemme de décomposition des noyaux 35
III.5. Diagonalisation à l’aide du polynôme minimal 36
III.6. Diagonalisation simultanée 37
IV. Sous-espaces caractéristiques 37
IV.1. Définition 37
IV.2. Comparaison avec les sous-espaces propres 38
IV.3. Stabilité des sous-espaces caractéristiques 38
IV.4. Théorème de décomposition en sous-espaces caractéristiques 38
IV.5. Autre définition des sous-espaces caractéristiques 39
IV.6. Nouveau théorème de diagonalisation 39
IV.7. Applications linéaires restreintes 39
IV.8. Trigonalisation des matrices en blocs relatifs aux sous-espaces caractéristiques 40
V. Endomorphismes nilpotents 42
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Table des matières
V.1. Caractérisation des endomorphismes nilpotents 42
V.2. Décomposition “diagonale + nilpotent” ou décomposition de Dunford 43
V.3. Décomposition de Jordan 44
Chapitre 3. FORMES BILINÉAIRES et QUADRATIQUES 47
I. Rappel sur les formes linéaires 47
II. Formes bilinéaires 48
III. Formes bilinéaires symétriques et orthogonalité 50
III.1. Formes bilinéaires symétriques 50
III.2. Orthogonalité 52
IV. Formes quadratiques 54
IV.1. Généralités 54
IV.2. Réduction d’une forme quadratique 56
IV.3. Réduction sur un espace vectoriel complexe (K=C) 57
IV.4. Réduction sur un espace vectoriel réel (K=R) 58
IV.5. Méthode de Gauss de réduction des formes quadratiques 59
IV.6. Exemple 60
Chapitre 4. ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS 63
I. Produit scalaire et norme euclidienne 63
I.1. Définitions 63
I.2. Propriétés 64
II. Orthogonalité 65
II.1. Bases orthogonales et orthonormées 65
II.2. Sous-espaces vectoriels orthogonaux 66
II.3. Projections orthogonales 67
II.4. Symétries orthogonales 68
III. Groupe orthogonal 69
III.1. Automorphismes orthogonaux 69
III.2. Matrices orthogonales 71
III.3. Changement de bases orthonormées. 72
IV. Endomorphismes symétriques 73
V. Adjoint d’un endomorphisme 74
VI. Espaces euclidiens de dimension 2 75
VI.1. Étude de O2(R)75
VI.2. Étude de SO(E)76
VI.3. Étude de O−(E) = O(E)\SO(E)77
VII. Espaces euclidiens de dimension 3 78
VII.1. Produit mixte 79
VII.2. Produit vectoriel 79
VII.3. Étude de O3(R)80
VII.4. Caractérisation des rotations 82
VII.5. Décomposition des rotations en produit de 2réflexions 84
VII.6. Décomposition des rotations en produit de 2retournements 85
Chapitre 5. ESPACES HERMITIENS 87
I. Définition et caractérisation des espaces hermitiens 87
I.1. Rappels sur les nombres complexes 87
I.2. Formes sesquilinéaires 87
I.3. Produit scalaire hermitien 89
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Table des Matières
I.4. Orthogonalité et base orthonormée 90
II. Groupe unitaire 91
II.1. Automorphismes unitaires 91
II.2. Matrices unitaires 92
II.3. Changement de bases orthonormées 94
III. Endomorphismes hermitiens ou auto-adjoints 94
IV. Adjoint d’un endomorphisme 95
V. Endomorphismes normaux 96
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