1 Espaces vectoriels, compl´ements

CHAPITRE
1
Espaces vectoriels, compl´ ements
Sommaire
1 Somme directe ............................................ 3
1.1 Somme ............................................ 3
1.2 Somme directe ........................................ 3
1.3 Suppl´ ementaire ........................................ 4
1.4 Cas de la dimension finie ................................... 4
2D
´
ecomposition de Een somme directe ............................... 5
2.1 Applications lin´ eaires ..................................... 5
A) Projecteur ..................................... 5
B) Sym´ etrie vectorielle ................................ 6
C) Affinit´ e vectorielle ................................. 6
D) Projecteurs associ´ es ` a une d´ ecomposition en somme directe ........... 6
2.2 Cas de la dimension finie ................................... 6
3 Applications lin´ eaires ........................................ 7
3.1 Isomorphisme de tout suppl´ ementaire du noyau avec l’image ................ 7
3.2 Applications ......................................... 8
A) Projection ..................................... 8
B) Formule de Grassmann .............................. 8
C) Polynˆ omes d’interpolation de Lagrange ...................... 8
4 Dualit´ e ................................................ 9
4.1 Espace dual .......................................... 9
4.2 Hyperplan ........................................... 10
A) Caract´ erisation ` a l’aide des formes lin´ eaires ................... 10
B) ´ Equation d’un hyperplan ............................. 10
C) Formes lin´ eaires et vecteurs de E......................... 10

2 Espaces vectoriels, compl´ ements
4.3 Base duale .......................................... 11
4.4 ´ Equation d’un hyperplan en dimension finie......................... 11
5 Trace ................................................. 11
5.1 Trace d’une matrice ..................................... 11
5.2 Matrices semblables ..................................... 12
5.3 Trace d’un endomorphisme ................................. 13

1 Somme directe 3
Kd´ esigne l’un des corps Rou C;Eet Fsont des K-espaces vectoriels; on note IE(resp. IF)l’application
identique de E(resp. de F).
1 Somme directe
Dans ce paragraphe, qest un entier au moins ´ egal ` a2,etE1,E2,... ,Eqd´ esignent des K-sous-espaces vectoriels
de E.
1.1 Somme
D´ efinition 1.1 (Somme de sous-espaces vectoriels).
On note q
i=1Eil’ensemble q i=1xi/(x1,...,xq)∈E1×···×Eq;
q
i=1Eiest appel´
esomme des sous-espaces vectoriels Ei.
Remarques.
q
i=1Eiest l’image de l’application lin´
eaire 
:(x1,...,xq)∈E1×···×Eq→ x1+···+xq
Ainsi, q
i=1Eiest un K-sous-espace vectoriel de Eet :E1×···×Eq→q i=1Ei=Imest une application
lin´ eaire surjective.
Si Giest une famille g´
en´ eratrice de Ei,q
i=1Giest une famille g´
en´ eratrice de q
i=1Ei.
1.2 Somme directe
D´ efinition 1.2 (Somme directe de sous-espaces vectoriels).
La somme q
i=1Eiest une somme directe si, et seulement si, l’application lin´
eaire 
:(x1,...,xq)→ x1+···+xq
est un isomorphisme d’espaces vectoriels entre E1×···×Eqet q
i=1Ei; dans ce cas, la somme est not´
ee q
i=1Ei.
Th´ eor` eme 1.1 (Caract´ erisation d’une somme directe).
Les propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
(i)la somme q
i=1Eiest directe;
(ii)la seule d´ ecomposition de 0Edans q
i=1Eiest 0E=q i=10Ei;
(iii)∀x∈q
i=1Ei,∃!(x1,...,xq)∈E1×···×Eq,x=q i=1xi
(iv) ∀k∈[[1 ,q−1]],k
i=1Ei∩Ek+1={0E}
D´ emonstration. Puisque est une application lin´ eaire surjective, est un isomorphisme si, et seulement si, 
est injective.
(ii)⇐⇒ ker ={0E}⇐⇒est injective ⇐⇒ (i).
(iii)⇐⇒ est bijective ⇐⇒ (i).
(i)⇒ (iv) Soient k∈[[1,q−1]] et x∈k
i=1Ei∩Ek+1; il existe donc (x1,...,xk)∈E1×···×Ektel que
x=x1+···+xk,i.e.
(x1,...,xk,0Ek+1,...,0Eq)=(0E1,...,0Ek,x,0Ek+2,...,0Eq)

4 Espaces vectoriels, compl´ ements
et, puisque est une application injective
(x1,...,xk,0Ek+1,...,0Eq)=(0E1,...,0Ek,x,0Ek+2,...,0Eq)
ce qui montre que x=0E.
(iv) ⇒ (i)Supposons l’application non injective; il existe alors (x1,...,xq)∈ker\{0E},i.e. x1+···+xq=0E
avec (xi)1
i qnon tous nuls. On pose i0=max{i/xi= 0};i0est un entier au moins ´
egal ` a2et
xi0=−(x1+···+xi0−1)∈Ei0∩i0−1
i=1Ei
ce qui est en contradiction avec l’hypoth` ese; ainsi kerest r´ eduit ` a{0E}et est une application injective. cqfd
1.3 Suppl´ ementaire
D´ efinition 1.3 (Sous-espace suppl´ ementaire).
Deux sous-espaces vectoriels Vet Wde Esont dits suppl´ ementaires si, et seulement si, Eest la somme directe de
Vet W, soit E=V⊕W
Th´ eor` eme 1.2 (Caract´ erisation des suppl´ ementaires).
Les propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes
(i)V et W sont suppl´ ementaires (dans E);
(ii)tout xde E s’´ ecrit de mani` ere unique x=v+wavec (v,w)∈V×W;
(iii)V+W=EetV∩W={0E}.
D´ emonstration. C’est la d´ emonstration pr´ ec´ edente pour q=2etV+W=E.cqfd
Exemple 1.1. Si Pest un polynˆ ome de K[X]dedegr
´
en+1, l’ensemble (P)={AP /A∈K[X]}des multiples
de Pet l’ensemble Kn[X] des polynˆ
omes de degr´ e au plus n, sont suppl´ ementaires dans K[X].
K[X]=(P)⊕Kn[X]avecdegP=n+1
D´ emonstration. (P)et Kn[X] sont des sous-espaces vectoriels de K[X] et la division euclidienne des polynˆ omes
donne, pour tout B∈K[X], l’existence d’un couple unique (A,R)∈K[X]×Kn[X] tel que B=AQ +R.cqfd
1.4 Cas de la dimension finie
Th´ eor` eme 1.3 (Somme directe et dimension).
Si E est un espace vectoriel de dimension finie, la somme q
i=1Eiest directe si, et seulement si,
dimq
i=1Ei=
q
i=1dim Ei
D´ emonstration. :(x1,...,xq)∈E1×···×Eq→ x1+···+xq∈q
i=1Eiest une application lin´
eaire et
surjective; est bijective si, et seulement si les espaces vectoriels E1×···×Eqet q
i=1Eiont mˆ
eme dimension;
or dim(E1×···×Eq)=q
i=1dim Ei, ce qui d´
emontre l’´ equivalence annonc´ ee. cqfd
Corollaire (Cas des suppl´ ementaires).
Soient E un espace vectoriel de dimension finie n et V un sous-espace vectoriel de dimension p (pn);

2D
´
ecomposition de Een somme directe 5
(i)tout suppl´ ementaire de V est de dimension n −p;
(ii)soit W un sous-espace vectoriel de dimension n −p ; W est un suppl´ ementaire de V si, et seulement si,
V∩W={0E}, ou bien si, et seulement si, V +W=E.
D´ emonstration.
(i)E=V⊕W⇒ dim E=dim(V⊕W)=dim V+dim W;
(ii)seule les r´ eciproques m´ eritent une d´ emonstration. Si V∩W={0E}, dim(V+W)=dim V+dim W=n=dim E,
et donc V+W=Eet V⊕W=E.SiV+W=E,dim(V+W)=dim E=n=dim V+dim W,cequi
montre que V⊕W=E.cqfd
Remarque. La connaissance d’un renseignement sur la dimension permet de diviser le travail par deux !
2D
´
ecomposition de Een somme directe
2.1 Applications lin´ eaires
Th´ eor` eme 2.1 (Contruction d’applications lin´ eaires).
Si E =q
i=1Eiet si, pour tout i ∈[[1,q]],u
i∈L(Ei,F), il existe une unique application lin´
eaire u ∈L(E,F)
telle que
∀i∈[[1 ,q]] ,u|Ei=ui
D´ emonstration.
Analyse.Six=x1+···+xqest la d´
ecomposition d’un vecteur x∈Esuivant les facteurs Ei,
u(x)=u(x1)+···+u(xq)par lin´
earit´ e (2.1)
=u1(x1)+···+uq(xq)car u|Ei=ui(2.2)
ce qui montre l’unicit´ edeu.
Synth` ese. Pour x∈E, on pose u(x)=u1(x1)+···+uq(xq), ce qui d´
efinit upuisque la d´ ecomposition x=x1+···+xq
est unique. Par construction u|Ei=uiet uest une application lin´ eaire car pour tout (λ, µ) ∈K2
x=x1+···+xq,y=y1+···+yq⇒ λx+µy=(λx1+µy1)+···+(λxq+µyq)
et
u(λx+µy)=u1(λx1+µy1)+···+uq(λxq+µyq)
=λu1(x1)+µu1(y1)+···+λuq(xq)+µuq(yq)
=λu1(x1)+···+uq(xq)+µu1(y1)+···+uq(yq)
=λu(x)+µu(y)
cqfd
A) Projecteur
Soient E=V⊕Wet x=v+wla d´ ecomposition de xsuivant Vet W; on pose
pV:x→ vet pW:x→ w
On a alors les propri´ et´ es suivantes :
pV◦pV=pV,pV+pW=IE,pV◦pW=pW◦pV=0L(E)
ker pV=W,Im pV=ker(IE−pV)=V,pV|V=IV,pV|W=0L(V)
R´ eciproquement, si pest un endomorphisme de Equi v´ erifiep◦p=p,ona